THCS Tam Hưng ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP Năm học 2013-2014 Bài (3 điểm) a) x b) x 20 x 15 x 10 x Bài (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên m; n thỏa mãn a) 2m 2n 2048 b)3m 4n mn 16 Bài (4 điểm) a) Cho x, y, z, t số khác thỏa mãn điều kiện sau: y xz, z yt y3 z t y z x3 x Chứng minh: 3 y z t t x y z a b b) Cho x y z b c x y z c a Chứng minh x y z Bài (4 điểm) a) Cho đa thức f ( x) x2015 2000x2014 2000x2013 2000x 2012 2000x Tính giá trị đa thức x 1999 b) Cho đa thức f ( x) ax2 bx c Chứng tỏ rằng: f (2) f (3) 13a b 2c Bài (5 điểm) a) Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân ABD, ACE ABD ACE 900 1) Qua C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt đường thẳng AH K Chứng minh CD vng góc với BK 2) Chứng minh ba đường thẳng AH , BE, CD đồng quy b) Cho hai điểm B C nằm đoạn thẳng AD cho AB = CD Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng Chứng minh MA MD MB MC ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TAM HƯNG 2013-2014 Bài a) Chỉ rõ x 0;1; 2 , rõ trường hợp kết luận x5 x 5 1 x5 b) Lý luận để có x2 20 x2 15 x2 10 x2 5 Xét đủng trường hợp - Trường hợp có số âm tính x 4 - Trường hợp có số âm tính x 3 Bài 2.a) Ta có 2m 1111 2n 1111 211 211 2m 11 2n 11 1 2m 11 2n 11 Lý luận tìm m 12 n 11 b) Biến đổi n m 4 Xác định tích số nguyên có trường hợp Kết luận m; n 8;2 ; 0;4 ; 5; 1 ; 3;7 ; 6;1 ; 2;5 Bài a) Từ giả thiết suy x y z y z t Lập phương tỉ số áp dụng tính chất dãy tỉ số để có x3 y z y3 z3 t Mặt khác ta có: x3 x x x x y z x y3 y y y y z t t Suy điều phải chứng minh b) Cộng vế theo vế suy điều cần chứng minh Bài a) f ( x) x2015 1999 1 x 2014 1999 1 x 2013 1999 1 x 2012 1999 1 x Thay x=1999 ta f ( x) x2015 x2015 x 2014 x 2014 x 2013 x 2013 x x Tính kết kết luận f (1999) 1998 b) Tính f 2 f (3) f (2) f (3) 13a b 2c f (2) f (3) f (2) f (3) f (3) f (3) f (3) Bài a) 1) Vẽ hình chứng minh đến hết 2) Chỉ AH , BE, CD ba đường cao BCK b) Xét trường hợp *Trường hợp điểm M AD ta có: MA MD MB MC *Trường hợp M AD , Gọi I trung điểm BC Trên tia đối tia IM lấy điểm N cho IM IN ta có IB IC Vì AB CD AI ID AB IB IC CD *Chứng minh IMA IND (c.g.c) MA ND - Điểm C nằm MDN chứng minh ND MD NC MC - Chứng minh IBM ICN (c.g.c) suy MA MD MB MC ... f ( x) x2015 1999 1 x 2014 1999 1 x 2013 1999 1 x 2012 1999 1 x Thay x=1999 ta f ( x) x2015 x2015 x 2014 x 2014 x 2013 x 2013 x x Tính kết kết...ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TAM HƯNG 2013- 2014 Bài a) Chỉ rõ x 0;1; 2 , rõ trường hợp kết luận x5 x 5 1 x5 b) Lý luận... 4 Xác định tích số ngun có trường hợp Kết luận m; n 8;2 ; 0;4 ; 5; 1 ; 3 ;7 ; 6;1 ; 2;5 Bài a) Từ giả thiết suy x y z y z t Lập phương tỉ số áp dụng tính chất