PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết 1 a) x 243 b) x x c) x 5 Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh đa thức x2 x vô nghiệm b) Cho tỉ lệ thức 1) a c b Với Chứng minh: b d d 2a 3c 2a 3c 2b 3d 2b 3d 2) a c ac b2 d bd Câu (4,0 điểm) a) Tìm x biết x x x b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B 8 x đạt giá trị nhỏ x 3 Câu (5,0 điểm) Cho ABC nhọn, AD vng góc với BC D Xác định I; J cho AB trung trực DI, AC trung trực DJ;IJ cắt AB ; AC L K Chứng minh a) AIJ cân b) DA tia phân giác góc LDK c) BK AC ; CL AB d) Nếu D điểm tùy ý cạnh BC Chứng minh góc IAJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) Tìm x, y thuộc biết : 25 y x 2009 ĐÁP ÁN HSG THANH OAI 2014-2015 Câu 5 1 1 a) x x x 2 3 Vậy x b) x x 1 Nếu x ta có: 2x x x (thỏa mãn) Vậy x x Nếu x ta có 2x 1 x x (thỏa mãn) c) x 5 2 x x x x 5 5 Vậy x x Câu 2 a) x2 x x2 x x 1 Vì x 1 x nên x 1 1 x Do đa thức cho vô nghiệm b) 1) Với 2) b a c 2a 2c 3a 3c 2a 3c 2a 3c ; d b d 2b 2d 3b 3d 2b 3d 2b 3d a c a2 c2 a2 c2 2 (1) b d b d b d2 a c a c ac (2) b d b d bd Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu a) x x x (1) Lập bảng xét dấu x -3 x+3 + + x–4 + Xét khoảng x 3, ta có (1) trở thành 2 x x 3,5 (thuộc khoảng xét) Xét khoảng 3 x , ta có (1) trở thành 0.x (khơng có giá trị x thỏa mãn) Xét khoảng x , ta có (1) trở thành: 2 x 7 x 3,5 (không thuộc khoảng xét) Kết luận : Vậy x 3,5 x x 3 1 x 3 x 3 x 3 B đạt giá trị nhỏ nhỏ x3 Xét x x , ta có giá trị nhỏ 5 x x3 Kết luận: Giá trị nhỏ B – x b) Biến đổi B Câu A K J L I B D C a) Do AB; AC trung trực AB Nên AI = AD; AD=AJ AI AJ AIJ cân A b) ALI ALD (c.c.c) I1 D1 Tương tự AKD AKJ (c.c.c) D2 J Mà AIJ cân (câu a) I1 J D1 D2 DA tia phân giác LDK c) Chứng minh KC phân giác đỉnh K tam giác DLK Chứng minh DC phân giác đỉnh D tam giác DLK Suy LC tia phân giác đỉnh L tam giác DLK Mà AB phân giác đỉnh L tam giác LDK Hay CL vuông góc với AB L Chứng minh tương tự : BK vng góc với AC K d) Chứng minh IAJ 2BAC (không đổi) * AIJ cân A có IAJ khơng đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nến cạnh bên AI nhỏ Ta có AI AD AH (AH đường vng góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức D H Vậy D chân đường vng góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ Câu Ta có: 25 y x 2009 2 x 2009 25 y 2 x 2009 y 25(*) Vì y nên x 2009 2 25 2 , suy x 2009 x 2009 Với x 2009 1, thay vào (*) ta có: y 17 (loại) Với x 2009 thay vào (*) ta có y 25, suy y ( y ) Từ tìm x 2009, y ...ĐÁP ÁN HSG THANH OAI 2014- 2015 Câu 5 1 1 a) x x x 2 3 Vậy x b) x x 1 Nếu... (1) trở thành 0.x (khơng có giá trị x thỏa mãn) Xét khoảng x , ta có (1) trở thành: 2 x 7 x 3,5 (không thuộc khoảng xét) Kết luận : Vậy x 3,5 x x 3 1 x 3 x 3 x 3... 2009 2 25 2 , suy x 2009 x 2009 Với x 2009 1, thay vào (*) ta có: y 17 (loại) Với x 2009 thay vào (*) ta có y 25, suy y ( y ) Từ tìm x 2009, y