002 đề HSG toán 7 huyện việt yên 2012 2013

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT N ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (4,0 điểm) 2 1    0, 25   0,   11  : 2012 1) M     7  1,    0,875  0,  2013 11   2) Tìm x, biết : x2  x   x  Câu (5,0 điểm) 1) Cho a,b,c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện abc bca c ab   c a b b a  c  Hãy tính giá trị biểu thức B  1   1  1    a  c  b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7, sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x   x  2003 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x  y  z  xyz Câu (6,0 điểm) Cho xAy  600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) KMC tam giác c) Cho BK  cm Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương  a  b  c  1, chứng minh a b c   2 bc  ac  ab  ĐÁP ÁN HSG TOÁN VIỆT YÊN 2012-2013 Câu 2 1    0, 25   0,   11  : 2012  1) Ta có: M    7  1,    0,875  0,  2013 11   1  2 2    11    2012   : 7 7 7       2013 11 10    1 1  1        11      : 2012             2013   11           2  2012    : 0  7  2013 2) Vì x2  x   nên 1  x2  x   x2  hay x   +) Nếu x  (*)  x 1   x  +)Nếu x  *  x   2  x  1 Câu 1) Nếu a  b  c  , Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c b  c  a c  a b a b c b c a c  a b    1 c a b abc abc bca c  a b a b bc c a Mà 1  1  1     2 c a b c a b b a  c   b  c  c  a  b  c  Vậy B  1   1  1        8  a  c  b   a  c  b  +)Nếu a  b  c  Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c b c a c  a b a b c b c a c  a b    0 c a b abc abc bca c  a b a b bc c a Mà 1  1  1     1 c a b c a b b a  c   b  c  c  a  b  c  Vậy B  1   1  1        1  a  c  b   a  c  b  2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu a, b, c a b c a bc x 5x 6x x 7x      a  ;b   ;c  (1) 18 18 18 18 18 Ta có: Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a' b' c' a b  c x 4x 5x 6x      a '  ;b '  ;c '  (2) 15 15 15 15 15 a  a '; b  b '; c  c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc So sánh (1) (2) ta có c c'  6x 7x x  4   x  360 15 18 90 hay đầu , Vậy Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu 1) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x  x   2013  x  2011 Dấu “=” xảy  x   2013  x     x  2) Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử 1 Theo 2013 1 x  y  z 1 1 1        x2   x  yz yx zx x x x x Thay vào đầu ta có :  y  z  yz  y  yz   z   y(1  z )  (1  z )     y  1 z  1  z 1   z  y 1   y  TH1: z 1   z  y 1   y  TH2: 1; 2;3 ; 1;3;  Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn Câu x z t C B y K M H A ABC a)  BK  CAB  ACB  MAC cân B đường trung tuyến ABH  BAK b) K  trung điểm AC (cạnh huyền – góc nhọn)  BH  AK (hai cạnh tương ứng ) mà Ta có : BH = CM (tính chất cặp đoạn chắn) mà CK  BH  AK  AC  CM  CK  MKC tam giác cân (1) ACB  300  MCK  600 (2) MCB  900 Mặt khác BK đường cao 1 AC  BH  AC 2  MKC Từ (1) (2) tam giác KAB  300  AB  2BK  2.2  cm ABK c) Vì vng K mà AK  AB2  BK  16   12 ABK Vì vng K nên theo Pytago ta có: KC  Mà KCM AC  KC  AK  12  KC  KM  12 Theo phần b) AB = BC =4; AH =BK=2 HM = BC (HBCM hình chữ nhật)  AM  AH  HM  Câu  a  b  c 1 Vì nên : 1 c c    (1) ab  a  b ab  a  b a a b b  (2) ;  (3) ac  a  c Tương tự: bc  b  c a b c a b c      (4) Do đó: bc  ac  ab  b  c a  c a  b  a  1 b  1   ab   a  b  a b c 2a 2b 2c 2(a  b  c)        (5) a b c Mà b  c a  c a  b a  b  c a  b  c a  b  c a b c   2 Từ (4) (5) suy bc  ac  ab  (đpcm) ... ÁN HSG TOÁN VIỆT YÊN 2012- 2013 Câu 2 1    0, 25   0,   11  : 2012  1) Ta có: M    7  1,    0, 875  0,  2013 11   1  2 2    11    2012   : 7 7 7       2013. .. 11 10    1 1  1        11      : 2012             2013   11           2  2012    : 0  7  2013 2) Vì x2  x   nên 1  x2  x   x2  hay... lớp 7C nhận nhiều lúc So sánh (1) (2) ta có c c'  6x 7x x  4   x  360 15 18 90 hay đầu , Vậy Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu 1) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x  x   2013