Bài viết đề cập đến việc tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải bài toán thực tế, thông qua mô hình hóa toán học. Hoạt động này giúp học sinh nắm vững kiến thức đạo hàm và kỹ năng vận dụng đạo hàm để giải bài toán thực tế, khuyến khích họ tích cực vận dụng tri thức toán học vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 62 (02/2019) No 62 (02/2019) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: https://tapchikhoahoc.sgu.edu.vn TỔ CHỨC DẠY HỌC VẬN DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TỐN THỰC TẾ THƠNG QUA MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC The organization of teaching and applying the derivative to solving practical problems through mathematical modeling TS Phan Anh Tài Trường Đại học Sài Gòn Tóm tắt Bài báo đề cập đến việc tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải tốn thực tế, thơng qua mơ hình hóa tốn học Hoạt động giúp học sinh nắm vững kiến thức đạo hàm kỹ vận dụng đạo hàm để giải tốn thực tế, khuyến khích họ tích cực vận dụng tri thức tốn học vào việc giải vấn đề thực tiễn Tổ chức dạy học tốn giúp học sinh hiểu sâu mối liện hệ toán học thực tiễn, rèn lực giải vấn đề thực tiễn Từ khóa: Mơ hình hóa, đạo hàm, tốn thực tế Abstract The article mentions the organization of teaching and applying the derivative to solving practical problems through mathematical modeling This activity helps students master the knowledge of the derivative and the skills of applying the derivative to solving the real problems It also creates motivation and encourages children to actively use mathematical knowledge to solve practical problems Thereby, it is necessary to help students better understand the relationship between mathematics and practice, and train children to solve problems Keywords: Modeling, derivative, practical problems Đặt vấn đề Dạy học Toán, điều quan trọng giáo viên (GV) làm giúp học sinh (HS) hiểu, nắm vững vận dụng tri thức toán học để giải vấn đề (GQVĐ), đặc biệt vấn đề thực tiễn liên quan Chủ đề ứng dụng đạo hàm hàm số chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc phát huy lực nhận thức sáng tạo HS Đây chủ đề thú vị chương trình tốn học trường Trung học phổ thơng (THPT) với hệ thống lý thuyết tập phong phú, đa dạng, có nhiều độc đáo phương pháp giải tạo nên hấp dẫn say mê HS Vận dụng kiến thức ứng dụng đạo hàm để GQVĐ (chẳng hạn tính đơn điệu cực trị hàm số) giải loạt tốn: khảo sát tính đơn điệu hàm số; điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng cho trước; áp dụng tính đơn điệu để chứng Email: phananhtai@sgu.edu.vn 117 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 62 (02/2019) minh đẳng thức, bất đẳng thức; dùng tính đơn điệu để giải phương trình, hệ phương trình; xét cực trị hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.v.v Ngồi ra, áp dụng để GQVĐ ngành khoa học khác Vật lí, Hóa hoc, Sinh học vấn đề thực tế Do để HS nắm vững chất nội dung cách tốt em phải làm chủ tri thức đó, em phải người chủ động lĩnh hội tri thức vận dụng chúng cách thành thạo Dạy học giải tốn thơng qua mơ hình hóa (MHH) tốn học giúp cho mong muốn, yêu cầu khả thi Để giải toán thực tế, HS phải trải qua trình MHH tốn học – q trình chuyển vấn đề thuộc lĩnh vực ngồi tốn học thành vấn đề tốn học, sử dụng cơng cụ tốn để tìm câu trả lời cho vấn đề đặt Nội dung nghiên cứu 2.1 Bài toán thực tế Lý thuyết Giáo dục Toán học theo thực tế (Theory of Realistic Mathematíc Education) hình thành phát triển Viện Freudenthal Hà Lan vào khoảng năm 1970 kỷ XX Theo Freudenthal (1991), Giáo dục Tốn học theo thực tế có hai quan điểm cốt lõi: - Toán học phải kết nối với giới thực tế, gần gũi với trẻ em có liên quan đến tình sống hàng ngày - Toán học nên xem hoạt động người, liên quan đến xã hội lồi người Bài tốn thực tế bao gồm tình liên quan đến giới thực tế tình có vấn đề (problem situation) với nội dung liên quan đến Tốn học mơ từ thực tế bối cảnh dạy học cụ thể Lang (1996) khẳng định tình có vấn đề bao hàm ứng dụng tình mơ hình hóa (modeling) Theo Phạm Văn Hồn [1], việc giải tốn có nội dung thực tế thường tiến hành qua bước: Bước 1: Chuyển tốn thực tế dạng ngơn ngữ thích hợp với lí thuyết tốn học dùng để giải (lập mơ hình toán học toán); Bước 2: Giải toán khn khổ lí thuyết tốn học; Bước 3: Chuyển kết lời giải tốn học ngơn ngữ lĩnh vực thực tế 2.2 Mơ hình tốn học quy trình giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học Theo Common Core State Standards (2016) (Dẫn theo [2]), mơ hình hóa tốn học tiến trình lựa chọn sử dụng cơng cụ tốn học thống kê thích hợp để phân tích tình thực tế, để hiểu chúng tốt để cải tiến định Như vậy, mơ hình tốn học hiểu thể vấn đề thực tế dạng ngơn ngữ tốn học MHH tốn học q trình sử dụng cơng cụ tốn học tạo mơ hình để giải vấn đề liên quan đến tình thực tiễn Nhiều nhà nghiên cứu thiết lập quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học dạng sơ đồ Các sơ đồ chất hoạt động MHH toán học, hướng dẫn để thiết kế nhiệm vụ MHH thực MHH dạy học Dưới đây, chúng tơi giới thiệu số quy trình MHH tốn học dạng sơ đồ Thứ nhất, quy trình MHH tốn học tình thực tế Stewart Sơ đồ tóm lược sau: 118 PHAN ANH TÀI TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Vấn đề giới thực Lập Mơ hình tốn học Giải Kết luận tốn học Giải thích Dự báo giới thực Kiểm tra Sơ đồ 1: Q trình mơ hình hóa (Phỏng theo Stewart) [3] Bốn bước trình MHH cụ thể sau: Bước Lập mơ hình toán học cách xác định đặt tên cho biến số, đưa giả định nhằm làm đơn giản hóa tượng để áp dụng toán học cách dễ dàng Bước Áp dụng kiến thức tốn học vào mơ hình vừa xây dựng nên để đưa kết luận toán học Bước Vận dụng kết luận toán học giải thích chúng mối liên hệ với thực giới thực cách đưa giải thích dự báo Bước Kiểm tra lại dự báo, giải thích thơng qua việc kiểm tra lại liệu thực tế Nếu chúng khơng phù hợp với thực tế cần sửa đổi mơ hình xây dựng mơ hình bắt đầu quy trình lại lần Thứ hai, chu trình mơ hình hóa theo Common Core State Standards Chu trình mơ hình hóa được thể qua sơ đồ: Sơ đồ 2: Chu trình mơ hình hóa (Common Core State Standards) (Dẫn theo [2]) Theo sơ đồ 2, để thực chu trình mơ hình hóa, ta cần tiến hành theo bước: Bước Từ vấn đề (problem) phát sinh tình huống, ta xác định biến số tình lựa chọn khung lý thuyết để mô yếu tố then chốt; Bước Xây dựng (formulate) mơ hình cách tạo lựa chọn đối tượng hình học, đồ thị, biểu bảng, đại số thống kê để mô tả mối quan hệ biến số; Bước Phân tích, thiết lập phép tốn mối quan hệ tính tốn (compute) để tìm kết luận; Bước Diễn giải (interpret) kết toán học kết luận lại tình ban đầu; Bước Xác nhận (validate) lại xem kết luận có phù hợp hay khơng việc so sánh với tình ban đầu cải tiến mơ hình (sau đó, lặp lại chu trình từ bước 2) chấp nhận kết 119 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 62 (02/2019) Bước Viết báo cáo (report) kết luận giải thích lý chấp nhận kết 2.3 Tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học 2.3.1 Dạy học Tốn thơng qua mơ hình hóa tốn học Về cấu trúc, phân hoạch thành bước diễn đạt chi tiết nhiệm vụ bước quy trình số quy trình khác khác Nhưng cấu trúc nhiệm vụ thực theo trình tự có tương đồng quy trình Một nhiệm vụ cụ thể thuộc bước quy trình thuộc bước khác quy trình Điều cần quan tâm HS hiểu việc vận dụng kiến thức Toán học vào giải toán thực tế Trong dạy học Tốn, việc thực quy trình MHH ln tn theo chế linh hoạt, mềm dẻo có điều chỉnh phù hợp với toán thực tế để vấn đề trở nên đơn giản hơn, dễ hiểu HS trường phổ thơng Do đó, chúng tơi xây dựng quy trình bước tổ chức hoạt động MHH toán học dạy học giải toán thực tế sau: Bài toán thực tế (1)&(2) Bước Tìm hiểu tốn thực tế: phân tích, xác định giả thuyết, tham số, biến số, đơn giản hóa vấn đề, làm sáng tỏ, lọc yếu tố quan trọng sử dụng phạm vi toán thực tế; thiết lập mối liên hệ yếu tố Bước Xây dựng mơ hình tốn học: lựa chọn sử dụng ngơn ngữ tốn học mơ tả tốn thực tế, xây dựng nội dung tốn tốn học dự đốn tính phức tạp Bước Giải tốn: liên tưởng, huy động kiến thức, sử dụng cơng cụ tốn học thích hợp để giải tốn tốn học Bước Hiểu lời giải toán: từ kết bước 3, hiểu lời giải toán ý nghĩa mơ hình tốn học bối cảnh thực tiễn Bước Đánh giá mơ hình: kiểm tra tính hợp lí tối ưu mơ hình tốn học xây dựng; đưa kết luận, giải thích phù hợp với thực tế; dự đoán, cải tiến mơ hình (có độ phức tạp cao hơn) bắt đầu lại quy trình Kết thúc bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng ngôn ngữ công cụ Tốn học để mơ tả ý tưởng tốn học, biểu diễn vấn đề thực tiễn Tóm lược q trình tổ chức hoạt động MHH tốn học dạy học giải toán thực tế theo sơ đồ sau: Bài toán Toán học (3) Lời giải Toán học (4)&(5) Cải tiến mơ hình Lời giải thực tế Sơ đồ 3: Quy trình tổ chức hoạt động MHH tốn học giải toán thực tế 120 PHAN ANH TÀI TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN điện nối từ nhà máy điện đất liền đến cù lao Khoảng cách ngắn từ cù lao C đến đất liền A (vị trí A C sát bờ sông) 0,6km, khoảng cách từ nhà máy điện đến cù lao 1,0 km Do mắc dây điện trực tiếp từ nhà máy điện cù lao, nên người ta chọn ví trí S nằm A nhà máy điện B để mắc đường dây điện từ nhà máy điện đến S, từ S đến cù lao hình 1.1 Chi phí km dây điện đất liền 3000 USD, km dây điện đặt ngầm đáy sông 5000 USD Hỏi điểm S phải cách nhà máy điện ki lơ mét để chi phí mắc đường dây điện nhất? 2.3.2 Một số ví dụ tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học Trong phần này, tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học với mục đích tạo hứng thú, kích thích tính tò mò, tạo quan tâm đến tình gợi lên định hướng áp dụng đạo hàm giải toán thực tế Đưa số toán thực tế làm ví dụ tổ chức cho HS làm việc theo nhóm, chúng tơi mong đợi HS số câu trả lời trình bày chiến lược cho tình dự kiến Ví dụ Xét toán: Một đường dây C 0,6 km A S 0,8 km 1,0 km x B Hình 1.2 điện, cù lao, khoảng cách, vị trí, chi phí km, đất liền, đặt ngầm, Các tham số xuất tốn (được nhóm đưa ra): nhà máy điện, cù lao, đường dây điện, khoảng cách ngắn nhất, chi phí km dây điện đất liền, chi phí km dây điện đặt ngầm, chọn vị trí Sau nghiên cứu kĩ lưỡng thảo luận theo nhóm, GV hướng dẫn HS lựa chọn tham số bản: khoảng cách ngắn nhất, chi phí km dây điện đất Bước 1: Tìm hiểu tốn thực tế Từ hình 1.1, GV tổ chức cho HS nghiên cứu thảo luận nhóm số liệu cần thiết cần thu thập nhằm đơn giản hóa tốn; hướng dẫn HS liệt kê từ khóa, xác định yếu tố (tham số) có liên quan đến vấn đề đơn vị tính nhằm thiết lập điều kiện ban đầu toán; xác định tham số quan trọng loại bỏ tham số phụ Các từ khóa cần xác định: nhà máy 121 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 62 (02/2019) liền, chi phí km dây điện đặt ngầm, chọn vị trí; loại bỏ số tham số phụ: nhà máy điện, cù lao, đường dây điện Thống đơn vị tính km Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học Sau xác định tham số bản, GV tiếp tục định hướng cho HS thiết lập điều kiện ban đầu xây dựng hàm số Điều kiện ban đầu xác định sau: khoảng cách từ nhà máy điện đất liền đến cù lao (1,0 km); khoảng cách ngắn từ cù lao đến đất liền (0,6 km); chi phí km dây điện đất liền (3000 USD), chi phí km dây điện đặt ngầm đáy sông (5000 USD) GV tổ chức cho HS thảo luận xác định biến số điều kiện biến số; lựa chọn mơ hình biểu diễn để từ xác định chi phí mắc đường dây điện (hình 1.2) Xác định cơng thức hàm số giá trị nhỏ hàm số Các cơng thức tính xác định: Khoảng cách từ A đến nhà máy điện AB (0,8 x)2 (Do x∈(0; 0,8)) 20 Bước 4: Hiểu lời giải toán Từ kết x bước 3, GV 20 hướng dẫn HS quay trở lại vấn đề đặt để hiểu yêu cầu toán HS thảo luận giá trị x để hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất, từ xác định vị trí để chi phí mắc đường dây điện Sau thảo luận, câu trả lời đưa vị trí để chi phí mắc đường dây điện diểm S cho BS km 20 Bước 5: Đánh giá mơ hình Từ kiến thức tốn học (hàm số, đạo hàm,…) sử dụng trình giải vấn đề, GV định hướng HS thảo luận tìm hiểu thực tế để kiểm nghiệm lời giải toán GV kết luận kết tốn Tiếp HS thảo luận ưu điểm, hạn chế mơ hình cải tiến mơ hình cách bổ sung thêm tham số khác, chẳng hạn: điểm C cách bờ sông 0,2km (C nằm sâu cù lao), AC gồm phần ngầm sơng phần đất liền Đại diện nhóm trình bày ý kiến thảo luận nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm lực giải vấn đề nhóm giới thiệu thêm cho HS việc mở rộng toán Ví dụ Xét tốn: Ơng A dùng ao có diện tích 50 m2 để ni cá Vụ cá vừa qua ông thả nuôi cá với mật độ 20con/m2 thu 1,5 cá thành phẩm Qua kinh nghiệm ni cá mình, ơng A thấy thả giảm con/m2 cá thành phẩm thu tăng thêm 0,5 kg Hỏi vụ cá tới ông A phải mua bao x = 1,02 0,62 0,8 km Giả sử BS = x (0 < x < 0,8) ⇒ AS = 0,8 − x Khi tổng chi phí mắc đường dây điện là: T 3000 x 5000 0,36 (0,8 x) Bước 3: Giải toán HS sử dụng số liệu, cơng thức tính thảo luận để tính chi phí mắc đường dây điện Trong q trình thảo luận tính chi phí nhất, em phát cần phải vận dụng kiến thức đạo hàm hàm số Xét hàm số f ( x) 3000 x 5000 0,36 (0,8 x) , x ∈ (0; 0,8) f '( x) 3000 5000 0,36 16 (0,8 x) 0,36 (0,8 x)2 f '( x) 0,36 (0,8 x) 5(0,8 x) 122 PHAN ANH TÀI TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN nhiêu cá giống thả vào ao để cuối vụ đạt tổng suất cá cao nhất? (Giả sử khơng có hao hụt q trình ni) Tương tự ví dụ 1, với tốn GV hướng dẫn HS thực MHH theo quy trình bước nêu Trong đó, cần lưu ý: - Xác định tham số, biến số điều kiện để xây dựng hàm số biểu diễn sản lượng cá thu năm tới Để làm điều này, HS phải thu thập số liệu thực tế thay đổi mật độ cá nuôi thả ao ảnh hưởng đến suất cá thu cuối vụ để xác định hàm số biểu diễn - Thảo luận ý tưởng toán học cho việc tính số cá giống năm tới phải mua để thả vào ao Với hướng dẫn giáo viên HS vận dụng đạo hàm xác định suất cá thu cuối vụ từ tính sản lượng cá thu cao năm tới Dưới kết sau thảo luận nhóm học sinh thực nghiệm đại diện nhóm trình chiếu (các hình 2.1 2.2): Hình 2.1 Hình 2.2 123 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 62 (02/2019) GV cần hiểu khó khăn HS để có định hướng phù hợp Chẳng hạn, giới thiệu bước quy trình MHH cách chi tiết, khoa học; với tốn, hướng dẫn để HS thực tồn hay số bước quy trình Qua nghiên cứu chủ đề nhận thấy, thảo luận nhóm phương pháp hiệu giúp HS thiết lập mơ hình chuyển vấn đề tốn học sách giáo khoa thành vấn đề sống vận dụng kiến thức Toán học giải toán thực tiễn đặt Rèn luyện cho em khả tranh luận ưu điểm hạn chế mô hình xây dựng nhằm đánh giá, chọn lọc cải tiến mơ hình cho phù hợp với thực tiễn Kiến thức đạo hàm phản chiếu cách sâu sắc qua thực tiễn sống Chính điều này, thơng qua q trình MHH tốn học HS hiểu sâu mối liên hệ chặt chẽ kiến thức đạo hàm với thực tiễn sống Hơn thế, giúp cho HS phát triển khả nhận thức tri thức toán học mức độ cao hơn, rèn luyện kĩ hợp tác nâng cao kĩ giải vấn đề thực tiễn GV nhận xét làm nhóm HS khẳng định kết tốn Từ kết HS tư vấn cho ơng A số cá giống năm tới phải mua để thả vào ao Đồng thời, GV giới thiệu thêm cho HS việc vận dụng đạo hàm vào giải số tốn vật lý, hóa học, sinh học,… Cuối GV thiết kế thêm toán thực tế mà vận dụng kiến thức đạo hàm giải chúng để HS thực hành Bài toán thực hành Bài Một công ty dự kiến chi 1,5 tỉ Việt Nam đồng để sản xuất thùng đựng sơn hình trụ có dung tích lít Biết chi phí để làm mặt xung quanh thùng 150.000 đ/m2 chi phí để làm mặt đáy 180.000 đ/m2 Hãy tính số thùng sơn tối đa mà cơng ty sản xuất (giả sử chi phí cho mối nối không đáng kể) Bài Một vật chuyển động theo quy luật s = 9t2 − t3, với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? Kết luận Hoạt động MHH dạy học Tốn trường phổ thơng hồn tồn vận dụng dựa theo quy trình bước đề xuất Cùng với hạn chế kiến thức toán, thực MHH tốn học, HS gặp khó khăn như: khơng hiểu vấn đề đặt tình thực tế; khó khăn việc xác định giả thiết, nhận biến quan trọng để thiết lập mô hình tốn; khó khăn lựa chọn phương pháp giải phù hợp giải thích kết hợp lý Vì vậy, Ngày nhận bài: 05/01/2019 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học mơn Tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1981 Bùi Anh Tuấn, Ngô Tùng Hiếu Bùi Hồng Duyên, Xây dựng toán thực tế lớp 10: thực nghiệm nhỏ thành phố Cần Thơ, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, Tập 48, Phần C (2017): 1-11 Stewart J (2012) Caculus: Early Transcendentals, Senventh Edition Cengage Learning, 1194 pages Biên tập xong: 15/02/2019 124 Duyệt đăng: 20/02/2019 ... Một số ví dụ tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải tốn thực tế thơng qua MHH toán học Trong phần này, tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học với mục đích tạo... (report) kết luận giải thích lý chấp nhận kết 2.3 Tổ chức dạy học vận dụng đạo hàm giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học 2.3.1 Dạy học Tốn thơng qua mơ hình hóa tốn học Về cấu trúc, phân... cho HS việc vận dụng đạo hàm vào giải số tốn vật lý, hóa học, sinh học, … Cuối GV thiết kế thêm toán thực tế mà vận dụng kiến thức đạo hàm giải chúng để HS thực hành Bài toán thực hành Bài Một công