Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung Hình học 10

Bài viết trình bày một nghiên cứu cụ thể tại Trường Trung học phổ thông Bà Điểm (gồm 44 học sinh) đã được thực hiện 3 biện pháp: hình thành tri thức mới cho học sinh thông qua hoạt động khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn; tăng cường xây dựng các tình huống gắn với đời sống thực tiễn để học sinh giải quyết; tổ chức cho học sinh khai thác, vận dụng kiến thức đã học dựa trên các đồ dùng được làm từ vật liệu có sẵn trong cuộc sống thường ngày.

ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY

Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÌNH HỌC 10

Developing mathematical modeling competence for students through teaching

geometry content grade 10

TS Phạm Thị Thanh Tú(1), Trần Thị Hồng Nhung(2)

(1) Trường Đại học Sài Gòn

(2) Học viên cao học Trường Đại học Sài Gòn

TÓM TẮT

Chương trình giáo dục phổ thông (chương trình tổng thể) 2018 đã chỉ rõ năng lực mô hình hóa toán học

là một trong năm năng lực mà giáo viên toán cần phải hình thành và phát triển cho học sinh Bài báo trình bày một nghiên cứu cụ thể tại Trường Trung học phổ thông Bà Điểm (gồm 44 học sinh) đã được thực hiện 3 biện pháp: hình thành tri thức mới cho học sinh thông qua hoạt động khảo sát một hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn; tăng cường xây dựng các tình huống gắn với đời sống thực tiễn để học sinh giải quyết; tổ chức cho học sinh khai thác, vận dụng kiến thức đã học dựa trên các đồ dùng được làm từ vật liệu có sẵn trong cuộc sống thường ngày Kết quả nghiên cứu cho thấy học sinh phát huy được khả năng sáng tạo và vận dụng được vào thực tiễn hay nói cách khác, năng lực mô hình hóa toán học của học sinh đã được cải thiện Các biện pháp này hoàn toàn có thể ứng dụng cho lớp 10

Từ khóa: mô hình hóa toán học, năng lực mô hình hóa toán học, hình học 10

ABSTRACT

General education program (master program) 2018 has shown that mathematical modeling competence

is one of the five competencies that math teachers need to shape and develop for students A specific study at Bà Điểm High School with 44 students has taken 3 measures: creating new knowledge for students through surveying activities of one or many separate cases taken from Practice; strengthen the construction of real-life situations for students to solve; organize for students to exploit and apply the learned knowledge based on the utensils made from materials available in daily life The results show that the application of the measures above has improved the mathematical modeling capacity for students These measures are perfectly applicable for grade 10

Keywords: geometry grade 10, mathematical modeling, mathematical modeling competency

1 Mở đầu

Toán học đã xuất hiện ngay từ những

ngày đầu bình minh của lịch sử nhân loại

Trải qua nhiều thập kỷ, toán học vẫn không

ngừng vận động và phát triển Ngày nay,

toán học đã phát triển một cách mạnh mẽ

và có nhiều ứng dụng sâu sắc Những phát minh mới của toán học xuất hiện hàng ngày, hàng giờ với rất nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn Ngày nay toán học không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào

Email: tranthihongnhung.1771995@gmail.com

hoá học, sinh học và nhiều ngành khoa học

xã hội nữa Ở nước ta, cố Thủ tướng Phạm

Văn Đồng từng nói: “Trong phương hướng

phát triển khoa học kỹ thuật ở nước ta có

những ngành có thể và cần phải làm sớm,

mà làm sớm được thì rất tốt Ví dụ như

ngành toán học, trong đó có vận trù học, có

phương pháp PERT” [1]

Trong Thông báo khoa học Trường

Đại học Văn Hóa Hà Nội (04/1999) với bài

viết có tiêu đề “Toán học và thực tiễn đời

sống” [1], Đoàn Phan Tân khẳng định:

“Toán học là một khoa học rất trừu tượng

lại có tác dụng to lớn với thực tiễn, tác

dụng của nó đối với đời sống sản xuất và

khoa học kỹ thuật là vô cùng to lớn”

Tuy nhiên, việc chuyển đổi các vấn đề

thực tiễn sang toán và ngược lại, sử dụng

kết quả toán để giải quyết các vấn đề thực

tiễn trên thực tế là rất khó thực hiện, đặc

biệt là đối với học sinh (HS) lớp 10 vì ở

thời điểm này các em chưa được tiếp xúc

nhiều với các dạng toán thực tế Thực trạng

này được nghiên cứu và phân tích cụ thể

với công trình về thực trạng năng lực mô

hình hóa (MHH) toán học của HS trung

học phổ thông (THPT) của tác giả Lê Hồng

Quang [2] Trong đó, tác giả đưa ra nhận

định rằng: “Dạy học MHH toán học trong

nhà trường phổ thông tại Việt Nam giai

đoạn tới là đầy triển vọng” Do đó, để hỗ

trợ cho HS trong việc chuyển đổi này

chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc phát

triển năng lực MHH toán học thông qua

các tiết dạy hình thành tri thức mới thuộc

chương trình Hình học 10 Ở đây, chúng

tôi chọn làm MHH Hình học 10 thay vì

Hình học 11 hay Hình học 12, vì ở lớp 10

HS không bị áp lực về thời gian và thi cử,

hơn nữa Hình học 10 cũng có nhiều nội

dụng thuận lợi để chúng tôi thực hiện các

biện pháp

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Mô hình hóa toán học

Tại hội nghị của Freudental năm 1968, MHH toán học trong giáo dục lần đầu tiên được xuất hiện một cách chính thức Nhưng một cột mốc quan trọng của việc đưa MHH vào nhà trường phải kể đến chính là nghiên cứu của Pollak năm 1979 Theo đó, ông cho rằng giáo dục toán học trước hết phải có nhiệm vụ dạy cho HS cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày Chính vì lí do đó mà hội nghị quốc tế

về dạy học MHH toán học và áp dụng International Commission on Mathematical Instruction (ICTMA) được tổ chức hai năm một lần với mục đích thúc đẩy khả năng vận dụng phương pháp MHH trong dạy học toán ở trường phổ thông MHH giúp rèn luyện cho HS những kĩ năng toán học cần thiết, kỹ năng giải quyết vấn đề, kỹ năng hợp tác và nghiên cứu, phát triển tư duy logic và nhận thức ở mức độ cao Hoạt động này giúp tăng cường sự gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế giới bên ngoài, từ đó giúp HS thấy được vẻ đẹp, cấu trúc và ứng dụng của toán học trong thực tiễn Nhằm giúp HS hiểu sâu và nắm chắc kiến thức toán học trong nhà

trường [3]

Có nhiều định nghĩa và mô tả khác nhau về khái niệm MHH toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả có sự lựa chọn khác nhau Trong phạm

vi bài viết này, chúng tôi sử dụng khái niệm MHH toán học theo Lâm Thùy Dương [4] và Xviregiev [5]: “MHH toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực

tế sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập

và giải quyết các mô hình toán học Cụ thể, MHH toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học và ngược lại, cùng với các yếu tố liên

quan đến quá trình đó: từ bước xây dựng

lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mô hình

toán học phù hợp, làm việc trong một môi

trường toán học, giải thích, đánh giá kết

quả liên quan đến tình huống thực tiễn và

điều chỉnh mô hình cho đến khi có được

kết quả hợp lí”

Quá trình MHH toán học được trình

bày trong chương trình đánh giá HS quốc tế

PISA theo sơ đồ gồm các bước sau đây [4]:

Bước 1, bắt đầu từ một vấn đề thực tế

được đặt ra trong thế giới thực;

Bước 2, nhận ra các kiến thức toán học phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm toán học;

Bước 3, không ngừng cắt tỉa, chọn lọc các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán thể hiện cho tình huống; Bước 4, giải quyết bài toán;

Bước 5, làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác định những hạn chế của lời giải

Sơ đồ thể hiện rất rõ mối liên hệ giữa

thế giới thực và thế giới toán học thông qua

việc chuyển từ tình huống thực tiễn thành

một vấn đề toán học và việc chuyển lời giải

toán học thành lời giải thực tiễn Do đó,

việc dạy học gắn liền với thực tiễn về thực

chất là dạy cho học sinh tự mình thực hiện

được 4 giai đoạn gồm: Chuyển tình huống

thực tiễn thành tình huống toán học; giải

quyết bài tập toán học; chuyển các kết quả

của bài tập toán thành kết quả của lời giải

thực tiễn; kết luận cho vấn đề thực tiễn

ban đầu

2.3 Năng lực mô hình hoá toán học

Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa và

quan điểm khác nhau về năng lực MHH

toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo

dục Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng

quan điểm về năng lực MHH toán học của Bloomhoj và Jensen như sau: Năng lực MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH trong một tình huống cho trước [6] Các biểu hiện của năng lực MHH được thể hiện qua việc: [7] + Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu,

đồ thị, v.v.) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn

+ Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập;

+ Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Từ khái niệm trên theo chúng tôi thấy, đối với HS trung học phổ thông, năng lực MHH thể hiện thông qua việc:

Thế giới thực tế

Lời giải thực tế Lời giải toán học

Vấn đề thực tế Vấn đề toán học

Thế giới toán học

+ Thiết lập được mô hình toán học

(gồm công thức, phương trình, sơ đồ, bảng

biểu, hình vẽ ) để mô tả tình huống đặt ra

trong một số bài toán thực tiễn;

+ Giải quyết được những vấn đề toán

học trong mô hình được thiết lập;

+ Lí giải được tính đúng đắn của lời

giải (những kết luận thu được từ các tính

toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn

hay không) Đặc biệt, nhận biết được cách

đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu

cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả

thiết, tổng quát hóa ) để đưa đến những

bài toán giải được

Từ những mô tả trên, theo chúng tôi,

để bồi dưỡng và phát triển năng lực MHH

toán học trong dạy học Hình học 10, giáo

viên (GV) cần chú trọng vào những thành

tố cơ bản sau để bồi dưỡng và phát triển

cho HS:

+ Kiến thức, kỹ năng liên quan đến toán học để giúp HS phát triển kỹ năng kết nối chúng nhằm giải quyết những vấn đề thực tế;

+ Sử dụng các biểu diễn toán;

+ Phân tích các biểu diễn;

+ Thấu hiểu được sự kết nối giữa toán học và thực tế

8 kỹ năng thành phần của năng lực MHH toán học bao gồm:

(1) Đơn giản hóa giả thiết;

(2) Làm rõ mục tiêu (yêu cầu của đề bài);

(3) Thiết lập vấn đề toán học;

(4) Xác lập biến số, hằng số (kèm theo điều kiện);

(5) Thiết lập mệnh đề toán học;

(6) Lựa chọn mô hình;

(7) Biểu diễn mô hình bằng đồ thị; (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Các cấp độ trong năng lực mô hình hóa của học sinh (theo Ludwig và Xu [6])

Mức Các kỹ năng có thể thực hiện Biểu hiện của HS

Mức 0

HS đọc không hiểu tình huống, không thể viết, vẽ hay phác thảo những gì liên quan tới vấn đề, ngộ nhận bởi các tình huống gây nhiễu

Mức 1

HS chỉ hiểu được tình huống thực tiễn theo bối cảnh, nhưng không cấu trúc lại hoặc chưa tìm ra được mối liên hệ giữa các giả thiết với nhau, không thể tìm được sự kết nối với một ý tưởng toán học nào

Mức 2 HS cần đạt 2 kỹ năng MHH (1)

và (2)

Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh biết tìm

mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng chưa biết chuyển đổi thành vấn đề toán học

Mức 3 HS cần đạt được các kỹ năng

(1), (2), (3) và (4)

Không chỉ tìm ra mô hình thật mà còn phiên dịch nó thành vấn đề toán học, nhưng vẫn chưa thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giới toán học

Mức 4 HS cần đạt được các kỹ năng

(1), (2), (3), (4), (5), (6) và (7)

HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ các tình huống thực tiễn, làm việc với bài toán đó với các kiến thức toán học và có cho ra được kết quả cụ thể Mức 5 HS cần đạt được tất cả 8 kỹ năng thành phần nói trên

HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho

Theo các căn cứ ở trên, chúng tôi cho

rằng cách tốt nhất để phát triển năng lực

MHH cho học sinh là tạo cơ hội để học

sinh được thường xuyên rèn luyện các kỹ

năng thành phần của năng lực này Từ đó,

chúng tôi đề xuất các biện pháp phát triển

năng lực MHH toán học cho HS thông qua

dạy học nội dung Hình học 10

2.3 Một số biện pháp phát triển năng

lực mô hình hoá toán học cho học sinh

thông qua dạy học nội dung hình học

lớp 10

Nghiên cứu được tiến hành ở lớp 10A4

(44 HS) Trường THPT Bà Điểm Kết quả

nghiên cứu cho thấy, có 38/44 HS cảm

thấy tiết học hứng thú, 34/44 HS có tiến bộ

về năng lực mô hình hóa và khả năng vận

dụng vào thực tiễn, 20/44 HS phát huy

được khả năng sáng tạo Qua nghiên cứu,

chúng tôi nhận thấy có ba biện pháp đạt

hiệu quả nổi trội hơn hẳn chưa từng được

đề xuất trước đây

2.3.1 Biện pháp 1, hình thành tri thức

mới cho học sinh thông qua khảo sát một

hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn

Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và

phản ánh thực tiễn Những nội dung toán

thường có tính trừu tượng, khái quát, nên

khi học các tri thức mới, HS lớp 10 ít thấy

sự liên hệ của chúng với thực tế Do đó, tổ

chức dạy học thông qua việc khảo sát một

hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn

sẽ giúp HS thấy được mối liên hệ giữa toán

và thực tế, qua đó tạo nguồn cảm hứng và

động lực cho họ tiếp cận kiến thức và hình

thành tri thức mới

Với đề xuất này, chúng tôi đưa ra các

trường hợp riêng từ thực tiễn nhằm đơn

giản hóa những tri thức trừu tượng, thu hẹp

khoảng cách giữa lý thuyết và thực tiễn, từ

đó hình thành tri thức mới cho HS

Ví dụ 1 Để dạy định lí côsin trong tam

giác cho HS, GV có thể tổ chức như sau:

Hoạt động 1, GV đưa ra một tình

huống gắn với thực tiễn:

Hai chiếc tàu đánh cá cùng xuất phát

từ một bến cảng A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau thành góc 600 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? (1 hải lí  1,852 km)

Để giúp HS giải quyết tình huống trên,

GV có thể hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động sau:

Câu hỏi gợi ý 1, mô tả tình huống trên

thông qua hình vẽ

Câu trả lời mong đợi (CTLMĐ): sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được

30 hải lí Khi đó, tình huống được mô tả lại như Hình 1

Hình 1

Câu hỏi gợi ý 2, quan sát hình vẽ trên,

các em cho biết đã từng giải bài toán nào tương tự bài toán này chưa?

CTLMĐ: bài toán trong [9] Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 2), khi đó áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

BC AC AB

hay BC2 AC2AB2 (*)

Ta có thể chứng minh đẳng thức (*) như sau:

BC  ACAB  AC AB  AC AB

AC AB

Hình 2

Trong chứng minh chúng ta vừa thực

hiện, giả thiết góc A vuông được sử dụng

như thế nào?

CTLMĐ:

Â=900cosÂ=0 2AC AB 0

Câu hỏi gợi ý 3, trong bài giải trên, ta

đã sử dụng phương pháp nào để giải?

CTLMĐ: phương pháp vectơ

Câu hỏi gợi ý 4, tương tự bài toán

trên, các em hãy giải bài toán đã đưa ra ở

trên và CTLMĐ như sau:

Ta có





2 2

2

2

30 40 2.600

1300

BC BC

AC AB

AC AB AC AB

Suy ra BC 130036 (hải lí)

Vậy sau 2 giờ hai tàu cách nhau 36 hải

lí

Phân tích:

- Câu hỏi gợi ý 1 giúp HS sử dụng các

biểu diễn toán, nhận ra biến số và cấu trúc

toán ẩn sau tình huống để thiết lập mô hình

- Câu hỏi gợi ý 2, 3 và 4 nhằm dẫn dắt

HS hướng đến việc sử dụng phương pháp

vectơ để tính độ dài cạnh BC Thông qua

việc tính độ dài cạnh BC bằng phương

pháp vectơ, HS khám phá ra tri thức mới

tổng quát hơn là “tính độ dài một cạnh của

tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó Tuy nhiên, lúc này bài toán mới dừng lại ở một trường hợp riêng là “tính độ dài cạnh BC khi biết

2 cạnh còn lại AB = 40, AC =30 và Â =

600” nên sau đó, GV cần tổ chức thêm khái quát hóa để nâng lên thành bài toán tổng quát Hoạt động khái quát hóa được tổ chức như sau:

Hoạt động 2, các em hãy giải bài toán

tổng quát sau:

“Cho tam giác ABC, biết hai cạnh ,

ABc AC  và Â  b  Tính độ dài

cạnh BC”

CTLMĐ: tương tự hoạt động 1, ta có





 

  

2 2

2

2

2 os

Suy ra BC b2c22 os b c c  Trên cơ sở giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát trên, GV đề nghị HS làm các bài tương tự như:

Bài 1, “cho tam giác ABC, biết hai

cạnhABc, BC và a,  Tính độ  dài cạnh AC”

Bài 2, “cho tam giác ABC, biết hai

cạnhBCa, ACbvà  Tính độ dài cạnh AB”

Sau khi HS giải quyết hết các bài toán tổng quát đã nêu, GV tiếp tục tổ chức cho

HS hoạt động sau:

Hoạt động 3, thiết lập công thức tổng

quát tính một cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó

Hoàn thành hoạt động 3, HS hình thành tri thức mới là định lí côsin trong

tam giác ABC với BC = a, CA = b và AB =

c, ta có:

2 2 2

2 cos ;

a   b c bc A

2 cos ;

b   c a ca B

2 cos

Hoạt động 4, phát biểu bằng lời công

thức tính một cạnh của tam giác theo hai

cạnh còn lại và côsin của góc xen giữa hai

cạnh đó và CTLMĐ: “Trong tam giác, bình

phương một cạnh thì bằng tổng bình

phương hai cạnh còn lại trừ cho hai lần tích

của hai cạnh đó nhân với côsin của góc xen

giữa hai cạnh đó”

Nhận xét:

Thông qua hoạt động khảo sát một

trường hợp riêng (tình huống lấy từ thực

tiễn là tình huống tính khoảng cách giữa 2

tàu đánh cá sau 2 giờ rời bến cảng A) của

bài toán: “Tính độ dài cạnh BC của tam

giác ABC khi biết hai cạnh AB 40,

30

AC  và 0”, GV giúp HS tự

hình thành tri thức mới là định lí côsin

trong tam giác bằng cách tổ chức cho họ

hoạt động khái quát hóa bài toán từ trường

hợp riêng thành bài toán tổng quát: “Cho

tam giác ABC, biết hai cạnhAB c AC b , 

và  Tính độ dài cạnhBC” Sau yêu

cầu “thiết lập công thức tổng quát tính một

cạnh của tam giác theo hai cạnh còn lại và

côsin của góc xen giữa hai cạnh đó”, hoạt

động cuối cùng là GV đề nghị HS phát

biểu bằng lời công thức tính một cạnh của

tam giác theo hai cạnh còn lại và côsin của

góc xen giữa hai cạnh đó để củng cố kiến

thức mới học

2.3.2 Biện pháp 2, tăng cường xây

dựng các tình huống gắn với thực tế để học

sinh giải quyết

Để phát triển năng lực MHH toán học

cho HS, GV cần tạo điều kiện cho họ thực

hiện các hoạt động có liên quan thông qua

quá trình dạy học khái niệm mới, dạy học

định lý, các công thức, quy tắc, giải bài tập

toán.v.v

Việc thường xuyên tổ chức cho HS thực hiện các hoạt động chuyển đổi từ tình huống thực tế sang tình huống toán sẽ tác động lên nhận thức và thói quen sử dụng công cụ toán học để giải quyết các vấn đề

từ đơn giản đến phức tạp nảy sinh trong cuộc sống hàng ngày

Chẳng hạn, khi dạy học nội dung về phương trình đường tròn, chúng tôi cho học sinh thực hiện hoạt động MHH toán học thông qua bài toán sau:

Ví dụ 2 Một nhà hàng tiệc cưới ở Bến

Tre có cổng chính ra vào là một phần đường tròn có trang trí hoa rất đẹp (Hình 3) Bạn An rất thích cái cổng này, nên dự định khi về nhà sẽ làm một cái tương tự Nhân tiện có cái thước dây của anh thợ sửa chữa nào đó để quên ở nhà hàng, sử dụng nó để đo đạc và nhận thấy: độ rộng trên mặt đất của cổng là 4m (khoảng cách giữa hai chân cổng) Đứng cách một chân cổng khoảng 0,25m bạn giơ tay vừa chạm cổng (chiều cao từ vị trí An đứng đến vòm cổng

là 2m) Chỉ với những thông số trên An đã tìm được tâm và bán kính của đường tròn tương ứng chứa cổng đó Vậy, vì sao bạn

An tìm được?

Để giúp HS giải thích được điều đó,

GV cần hướng dẫn họ thực hiện các hoạt

động sau:

Hình 3

Hoạt động 1, vẽ mô hình cổng và mô

phỏng các dữ kiện mà An đã có được

Mô hình mong đợi: gọi A và B là giao

điểm của đường tròn và mặt đất (hai chân

cổng), H là vị trí mà bạn An đứng để đo

chiều cao đến vòm cổng và C là vị trí điểm

trên vòm cổng mà tay bạn chạm tới ở vị trí

đứng H Khi đó ta có mô hình cổng như

Hình 4:

Hình 4

Hoạt động 2, đưa vào mô hình cổng

một hệ trục tọa độ theo các thông số mà An

thu được ở tình huống trên để tiện cho việc

tìm bán kính hình tròn chứa cổng đó

CTLMĐ: xem đường thẳng đi qua hai

điểm A, B (hai chân cổng) là trục Ox, chọn

gốc tọa O trùng với trung điểm đoạn AB,

trục Oy vuông góc với trục Ox ngay tại O

Khi đó, với các dữ liệu thu được từ tình

huống trên, ta có:

2 2

AB

OAOB  m

 2;0 ,  2;0

2 0, 25 1,75 ;

2

Suy ra C1, 75; 2 

Khi đó, mô hình cổng được biểu diễn

trong hệ trục tọa độ đã chọn bởi hoạt động

2 như Hình 5

Hình 5

Hoạt động 3, viết phương trình đường

tròn cổng (gọi là C) trong hệ tọa độ đã chọn, từ đó suy ra tâm và bán kính của nó CTLMĐ: phương trình đường tròn (C)

có dạng x2 y2 2ax2by c 0 (với

0

a   b c ) Đường tròn C đi qua các điểm

 2; 0 ,

A  B 2; 0 và C1, 75; 2, nên có phương trình là: 2 2 49

4 0 32

x y  y 

Vậy (C) là đường tròn có tâm (0; 0,77)

4096

Hoạt động 4, cho biết sau khi dựng

được một khung sắt hình tròn có tâm và bán kính như tâm và bán kính đường tròn tìm được ở hoạt động 3 thì tiếp theo, An sẽ phải cắt bỏ một phần đường tròn này như thế nào để có được phần cổng như của nhà hàng Trình bày và giải thích cách làm đó Cách trình bày mong đợi:

Dựng đường kính MN của đường tròn khung sắt (M, N nằm trên đường tròn khung sắt) như Hình 6 Tại điểm M, đo trên đoạn MN một đoạn bằng 1,37 m, xác định điểm O, từ D kẻ đường thẳng vuông góc với MN và cắt đường tròn tại A và B Khi đó, bạn An chỉ cần cắt trên khung sắt ở hai vị trí A và B là được phần cổng giống

của nhà hàng (phần cung lớn) như Hình 6

Hình 6

Giải thích: vì phần bỏ đi của cổng

chính là phần cung tròn nằm bên dưới trục

Ox trong Hình 5 nên gọi M là giao điểm

của đường tròn với trục tung (M nằm bên

dưới Ox) thì đoạn OM chính là đoạn trên

trục Oy cần bỏ đi Khi đó:

2,14 0,77 1,37

I

OM   R y   m

Vậy, để xác định phần cung tròn bỏ đi,

ta chỉ cần dựng trên đường tròn một đường

kính, xác định giao điểm của đường kính

với đường tròn Từ một trong hai giao

điểm vừa xác định được, đo trên đường

kính một đoạn là 1,37 m rồi dựng một

đường vuông góc với đường kính Đường

thẳng dựng được chính là đường cần cắt

Phân tích

+ Hoạt động 1 được đưa ra nhằm giúp

HS mô phỏng thực tế thành mô hình toán

để thuận tiện cho việc tính toán

+ Từ thực tế các cổng hầu hết đều có

dạng đối xứng trục (với trục là đường

thẳng vuông góc với mặt đất ở chính giữa

hai chân cổng), kết hợp với việc nhận ra

các biến cần thiết được chọn lọc trong tình

huống, HS có thể phác thảo mô hình cổng

trên với hệ trục tọa độ được chọn như Hình

5 Có nhiều mô hình có thể được HS lựa

chọn (chẳng hạn như mô hình hình học

tổng hợp được yêu cầu trong hoạt động 1)

nhưng với cách hỏi ở hoạt động 2, GV hướng HS đến mô hình tọa độ và vận dụng kiến thức mới học là phương trình đường tròn vào giải quyết tình huống

Ngoài mô hình như mong đợi được trình bày ở trên, HS cũng có thể sử dụng

mô hình khác như: chọn đường thẳng đi qua hai điểm A, B (hai chân cổng) là trục

Ox, chọn gốc tọa độ O trùng với một chân cổng (chẳng hạn như O trùng với chân cổng A), trục Oy vuông với trục Ox ngay tại O Khi đó ta có các tọa độ tương ứng là (0; 0)

A O ,B 4;0 C3, 75; 2và phương trình đường tròn tương ứng với hệ trục tọa độ này là: 2 2 49

32

x y  x y

Vậy (C) là đường tròn có tâmI(2; 0,77)

và bán kính 18785

2,14 4096

+ Thông thường, để viết phương trình đường tròn, đề bài thường trực tiếp cho tâm và bán kính hoặc cho giả thiết mà từ đó gián tiếp có thể tìm được chúng rồi mới thiết lập phương trình đường tròn Tuy nhiên, ở hoạt động 3, các dữ kiện thu được không cho HS một gợi ý nào để tìm tâm và bán kính Do đó, HS phải tìm cách khác, trong đó cách dựa vào phương trình tổng quát của đường tròn sẽ được nghĩ tới vì nó đã được họ vận dụng thuần thục để tìm ra phương trình Parabol, khi biết Parabol đi qua 3 điểm cho trước (như bài 12 trong [8, tr.51] chẳng hạn) Hoạt động tìm tâm và bán kính khi đã biết phương trình của đường tròn là tương đối dễ dàng đối với

HS

+ Sau khi tìm ra được phương trình đường tròn, việc xác định phần cần cắt bỏ của đường tròn cũng tương đối dễ dàng đối với HS Tuy nhiên, việc diễn đạt cách cắt

như thế nào lại không đơn giản, mà phụ

thuộc nhiều vào khả năng giao tiếp của mỗi

HS Do đó, hoạt động này góp phần rèn

luyện cho HS khả năng thể hiện, đánh giá

lời giải trong ngữ cảnh thực tế và khả năng

giao tiếp toán học

Nhận xét:

Từ tình huống thực tế, HS được tạo

điều kiện để chuyển đổi sang mô hình toán

học nhằm đơn giản hóa bài toán Hơn nữa,

thông qua các hoạt động trên, HS được rèn

luyện khả năng thiết lập mô hình toán học,

rèn luyện khả năng thể hiện, đánh giá được

lời giải trong ngữ cảnh thực tế và khả năng

giao tiếp toán học

2.3.3 Biện pháp 3: tổ chức cho học

sinh khai thác, vận dụng kiến thức đã học

dựa trên các đồ dùng được làm từ vật liệu

có sẵn trong cuộc sống thường ngày

Phương tiện dạy học trực quan thường

tác động mạnh vào các giác quan của HS,

giúp họ nhận ra những dấu hiệu bề ngoài

của hiện tượng, tạo điều kiện thuận lợi kích

thích họ tìm hiểu, xem xét, khám phá sự

vật

Với các phương tiện trực quan làm từ

vật liệu có sẵn trong cuộc sống hàng ngày,

HS có thể đưa ra các dự đoán của mình và

kiểm tra tính đúng – sai của chúng để hình

thành tri thức mới

Thực tế cho thấy, HS thường rất tò

mò, hứng thú khi được khám phá các tri

thức toán từ những vật, đối tượng gần gũi

với các em

Chính vì thế để phát triển năng lực

MHH cho HS, cần quan tâm tổ chức cho

họ khám phá tri thức hình học dựa trên các

đồ dùng được làm từ vật liệu có sẵn trong cuộc sống thường ngày

Ví dụ 3 Sau khi dạy học xong khái

niệm hình elip, GV tổ chức cho HS khai

thác, vận dụng khái niệm như sau:

Bước 1, chuẩn bị:

- Giáo viên chuẩn bị trước một số tấm bìa cứng có hình dạng khác nhau, trong đó

có hình elip (hình 7a-b-c-d)

- Thiết kế phiếu học tập:

Phiếu học tập

1 Chiều ngang lớn nhất của tấm bìa là:

(tương ứng với 2a = )

2 Chiều dọc lớn nhất của tấm bìa là:

… (tương ứng với 2b = )

3 Với các thông số tìm được như trên, hãy xác định phương trình đường viền xung quanh tấm bìa

4 Hãy kiểm tra tính chính xác của phương trình trên bằng cách lấy thêm một điểm nữa (khác các điểm đã có) rồi thế vào phương trình của mình để kiểm tra

……….…

……….……

Bước 2, triển khai thực hiện:

- GV đưa ra hình ảnh hình elip và một

số hình tương tự hình elip (hình 7a-b-c-d)

để HS nhận dạng GV cho HS quan sát rồi đặt câu hỏi “Trong các hình sau, hình nào

là hình elip?” Câu trả lời: Hình 7a