Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề “hàm số bậc hai” (đại số 10)

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, trong dạy học Toán, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh là năng lực mô hình hóa toán học. Bài viết đề cập việc vận dụng mô hình hóa trong dạy học chủ đề Hàm số bậc hai (Đại số 10).

VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 7/2019, tr 217-220; 277 VẬN DỤNG MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “HÀM SỐ BẬC HAI” (ĐẠI SỐ 10) Nguyễn Dương Hoàng - Trường Đại học Đồng Tháp Nguyễn Thị Thu Ba - Trường Đại học Sài Gòn Ngày nhận bài: 05/6/2019; ngày chỉnh sửa: 10/7/2019; ngày duyệt đăng: 30/7/2019 Abstract: According to the general education curriculum, in teaching mathematics, one of the competencies needed to develop for students is the mathematical modeling competency Through mathematical modeling activities to describe situations, solve practical problems, help students not only understand knowledge, the relationship between mathematics and practice but also form and develop mathematical modeling competency for children Therefore, in this article we mentioned the application of modeling in teaching the topic “Quadratic functions” (Algebra grade 10) Keywords: Mathematical modeling, students, quadratic functions Mở đầu Để thực đổi bản, tồn diện GD-ĐT, đòi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học Định hướng quan trọng đổi phương pháp dạy học trường phổ thông phát huy tính tích cực, tự lực sáng tạo, phát triển lực hành động, lực hợp tác người học Đó xu hướng tất yếu giai đoạn Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, dạy học Tốn, lực cần hình thành cho học sinh (HS) lực mơ hình hóa (MHH) tốn học [1] Theo [2], thành tố lực MHH dạy học Toán gồm: - Đơn giản giả thiết toán học, loại bỏ yếu tố phi tốn học, xử lí điều kiện toán; - Làm rõ mục tiêu tốn, hiểu tính thực tế tốn; - Thiết lập vấn đề từ tình thực tế; - Xác định biến, tham số, số liên quan, tìm mối liên hệ biến số; - Lựa chọn mơ hình tốn học; - Biểu diễn mơ hình biểu đồ, đồ thị, xử lí số liệu thực tế; - Liên hệ lại vấn đề thực tiễn Vậy, yêu cầu cần đạt lực thể thông qua việc thực hoạt động sau: - Sử dụng mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mơ tả tình đặt tốn thực tế; - Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập; - Thực đánh giá lời giải bối cảnh thực tiễn cải tiến mơ hình cách giải khơng phù hợp Thơng qua hoạt động MHH tốn học để mơ tả tình đưa ra, giải tốn thực tiễn, giúp HS nắm vững kiến thức, mối liên hệ tốn học với thực tiễn mà hình thành phát triển lực MHH cho em Trong chương trình mơn Tốn lớp 10, khái niệm “hàm số bậc hai” có mối liên hệ chặt chẽ với tượng thực tiễn có ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học; biểu diễn đồ thị hàm số thơng qua hình vẽ, sơ đồ Do vậy, viết này, đề cập việc vận dụng MHH dạy học chủ đề Hàm số bậc hai (Đại số 10) Nội dung nghiên cứu 2.1 Mơ hình hóa tốn học 2.1.1 Khái niệm “mơ hình hóa tốn học” Có nhiều quan niệm khác mơ hình, hiểu, mơ hình dùng để mơ tả tình thực tiễn nhằm hướng tới mục tiêu định Mô hình tốn học mơ hình trừu tượng, sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả đối tượng nghiên cứu Mơ hình sử dụng dạy học Tốn hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng mơ hình ảo máy tính điện tử, MHH trình tạo mơ hình nhằm hướng tới giải vấn đề coi trình khép kín MHH tốn học q trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học cách thiết lập giải mô hình tốn học [3] Theo Nguyễn Thị Tân An: dạy học Toán, MHH cho phép HS kết nối toán học nhà trường với thực tiễn, cung cấp tranh rộng hơn, phong phú toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa [4] Theo [5], MHH tốn học q trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học cách thiết lập giải mơ hình tốn học Như vậy, hiểu, MHH tốn học phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá tình xuất phát từ thực tiễn cơng cụ ngơn ngữ tốn học, từ vận dụng kiến thức, kĩ toán học để giải toán đặt MHH toán học giúp HS phát triển thơng hiểu khái niệm q trình toán học [6]; phát triển kĩ hợp tác nhận thức mức độ cao [7] Do đó, GV cần đưa dạng tập thực tiễn gắn với hoạt động MHH nhằm phát triển lực MHH cho HS 217 Email: songthu1988@gmail.com VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 7/2019, tr 217-220; 277 2.1.2 Quy trình mơ hình hóa tốn học Theo Nguyễn Phú Lộc [8], quy trình mơ hình hóa gồm bước sau (xem sơ đồ 1): 2.1.3.3 Phát triển tư sáng tạo Q trình MHH tốn học tình thực tiễn cho thấy mối liên hệ thực tiễn với kiến thức tốn học Tìm kiếm Bài tốn thực tiễn Mơ hình tốn học Bài tốn tốn học Chuyển đổi Giải Kiểm tra Lời giải thực tiễn Diễn giải - Bước (tìm kiếm chuyển đổi): chuyển từ toán thực tiễn sang toán toán học (mơ hình tốn học) - Bước (tìm lời giải): sử dụng cơng cụ tốn học để tìm lời giải cho toán - Bước (diễn giải): sử dụng kết thu bước để diễn giải thành lời giải thực tiễn - Bước (kiểm chứng): so sánh, đối chiếu lời giải với tốn thực tiễn ban đầu xem có thật hợp lí hay không Trong khuôn khổ viết này, chúng tơi vận dụng quy trình MHH Nguyễn Phú Lộc vào q trình dạy học Tốn Quy trình đảm bảo đầy đủ bước việc MHH, đồng thời giúp HS dễ hiểu nắm vững kiến thức 2.1.3 Vai trò hoạt động mơ hình hóa tốn học dạy học Toán 2.1.3.1 Tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn Hoạt động MHH toán học cách tiếp cận giúp HS vận dụng tri thức linh hoạt, tạo hội cho em học tập thơng qua vấn đề, tình gần gũi với thực tiễn Trong trình tìm hiểu giải vấn đề thực tiễn, MHH toán học cho phép HS phát chất vấn đề giải vấn đề đó; tạo mơi trường học tập đa dạng, mà HS sử dụng phương tiện tốn học để giải tình nảy sinh lĩnh vực khác 2.1.3.2 Phát triển lực giải vấn đề thực tiễn Trong q trình MHH tốn học, HS áp dụng khái niệm học vào thực tiễn, sử dụng mơ hình tốn học để thể vấn đề, giải vấn đề, rút kết luận đưa dự đốn Trong q trình này, HS phân tích, thử nghiệm, sửa chữa, bổ sung cho mơ hình phù hợp Như vậy, nói, MHH tốn học q trình tốn học có liên quan đến lực quan sát, suy luận, phân tích, diễn giải, tạo hội cho HS phát triển lực giải vấn đề thực tiễn Lời giải toán học nhà trường Để thực trình MHH, HS cần vận dụng thành thạo thao tác tư tốn học phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa,…, qua đó, tạo động say mê học tập cho em Như vậy, thấy MHH tốn học cho phép HS nhận thấy lợi ích tốn học, gắn tốn học với môn học khác, phát triển khả giải vấn đề thực tiễn 2.2 Một số nguyên tắc mơ hình hóa tốn học 2.2.1 Đảm bảo tính khoa học Các mơ hình thiết kế cần đảm bảo tính khoa học, tính xác mơ tả tình thực tiễn HS sử dụng phương pháp toán học để giải toán, từ đối chiếu kết với thực tiễn để điều chỉnh mơ hình tốn học cho phù hợp 2.2.2 Làm rõ tính ứng dụng tốn học thực tiễn Tốn học có ứng dụng to lớn thực tiễn phát triển ngành khoa học kĩ thuật, điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất Việc vận dụng toán học vào thực tiễn nghĩa dùng cơng cụ tốn học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm tìm yếu tố chưa biết, biến đổi, xếp yếu tố nhằm đạt mục tiêu đề 2.2.3 Đảm bảo tính khả thi tính vừa sức Tính khả thi hoạt động MHH hệ thống tập có nội dung thực tiễn hiểu khả thực (xây dựng được, sử dụng được) Điều phụ thuộc vào nhiều yếu tố: chương trình, sách giáo khoa, kế hoạch dạy học quỹ thời gian thực hiện, trình độ, nhận thức chung HS, khả trình độ thực GV, tương hợp nội dung thực tiễn chứa đựng tình huống, Vì vậy, hoạt động hệ thống tập MHH cần chọn lọc phù hợp mức độ số lượng Các tập MHH tình thực tiễn cần xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Do đó, thiết kế hoạt động hệ thống tập, GV cần ý đến cấp độ sau đây: - Cấp độ 0: HS khơng hiểu tình huống; - Cấp độ 1: HS hiểu tình thực tiễn 218 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 7/2019, tr 217-220; 277 khơng biết cấu trúc MHH tình huống; - Cấp độ 2: sau tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mơ hình thật thơng qua cấu trúc, chưa biết chuyển đổi thành vấn đề tốn học; - Cấp độ 3: HS tìm mơ hình thật, MHH thành vấn đề tốn học, khơng giải vấn đề; - Cấp độ 4: HS thiết lập vấn đề toán học từ tình thực tiễn, giải tốn có kết cụ thể; - Cấp độ 5: HS trải nghiệm q trình MHH tốn học kiểm nghiệm lời giải toán mối liên hệ với tình cho Tùy đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ cấp độ phù hợp, vừa sức với HS nhằm nâng cao hiệu hoạt động MHH tốn học dạy học mơn Tốn 2.3 Vận dụng mơ hình hóa tốn học dạy học chủ đề Hàm số bậc hai (Đại số 10) Trong dạy học Toán, hoạt động MHH toán học giúp HS phát triển thao tác tư kĩ giải vấn đề Thông qua hoạt động MHH toán học, HS hiểu mối liên hệ tốn học với thực tiễn mơn học khác Dưới đây, chúng tơi trình bày việc vận dụng quy trình MHH tốn học dạy học chủ đề Hàm số bậc hai thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1: bóng đá lên, đạt đến độ cao rơi xuống Biết quỹ đạo bóng cung parabol mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, x thời gian (tính giây), kể từ bóng đá lên; y độ cao (tính mét) bóng Giả thiết bóng đá từ độ cao 0,5m Sau giây, bóng đạt độ cao 6,2m giây sau đá lên, độ cao 4m (xem hình 1) a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao y theo thời gian x có phần đồ thị trùng với quỹ đạo bóng tình b) Xác định độ cao lớn bóng (tính xác đến hàng phần nghìn) c) Sau bóng chạm đất kể từ đá lên (tính xác đến hàng phần trăm)? Hình Mơ hình tốn bóng đá * Mục tiêu tốn: - Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao y theo thời gian x có phần đồ thị trùng với quỹ đạo bóng rơi; - Tìm độ cao lớn bóng tính thời gian bóng chạm đất; - Thấy số hình ảnh thực tiễn có quỹ đạo chuyển động phần đồ thị hàm số bậc hai Để giải tốn trên, chúng tơi MHH tốn thơng qua bước sau: - Bước (tìm kiếm chuyển đổi): GV hướng dẫn nhóm HS phân tích nắm vấn đề thực tiễn sau: + Quỹ đạo bóng cung parabol mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hàm số biểu thị độ cao y theo thời gian x hàm số bậc hai có phần đồ thị trùng với quỹ đạo bóng; + Độ cao lớn bóng tung độ đỉnh parabol - Bước (tìm lời giải): giả sử y  f (x)  ax  bx  c(a  0) Các nhóm thảo luận tìm hệ số a, b, c sau: Quả bóng đá lên từ độ cao 0,5m, nghĩa là: f(0) = c = 0,5 Sau giây đạt độ cao 6,2m nên: f(1) = a + b + 0,5 = 6,2 Sau đá giây, bóng độ cao 4m, nghĩa là: f(2) = 4a + 2b + 0,5 = HS thu gọn hệ thức rút hệ phương trình bậc nhất: a  b  5,7  4a  2b  3,5 Giải hệ phương trình HS thu kết sau: 79 193 Vậy, hàm số cần tìm là: a   ;b  20 20 79 193 y  f (x)   x  x 20 20 Tiếp theo, HS tìm độ cao lớn bóng: độ cao lớn bóng tung độ đỉnh  parabol, cụ thể: y    6,394 4a HS giải phương trình bậc hai: 79 193 y   x2  x  hai nghiệm gần 20 20 x1  0,05 (loại giá trị âm) x  2, 49 Như vậy, bóng chạm đất sau gần 2,49 giây - Bước (diễn giải): sau giải tốn tìm nghiệm, GV hướng dẫn HS đưa nhận xét: quỹ đạo chuyển động bóng cung parabol mặt phẳng Ta xác định vị trí bóng (cả độ cao so với mặt đất, lẫn khoảng cách so với vị trí 219 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 7/2019, tr 217-220; 277 bóng đá lên) thời điểm trình chuyển động sau bóng chạm đất (tung độ đỉnh đồ thị hàm số 0) - Bước (kiểm chứng): việc xác định quỹ đạo chuyển động không giúp HS xác định vị trí bóng thời điểm bất kì, mà giúp HS dự kiến thời gian bóng rơi xuống đất, tính khoảng cách từ vị trí đá đến vị trí bóng rơi xuống Những kết tìm thỏa mãn điều kiện hợp lí với tốn thực tiễn Ví dụ (bài tốn cổng Ác-xơ): du lịch đến thành phố Xanh Lu-i (Mĩ), ta thấy cổng lớn cổng Ác-xơ Giả sử lập hệ tọa độ Oxy cho chân cổng qua gốc (x y tính mét), chân cổng vị trí A(162; 0) Biết điểm M cổng có tọa độ (10; 43) a) Tìm hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng cổng Ác-xơ b) Tính chiều cao cổng (tính từ đỉnh cao cổng đến mặt đất, làm tròn kết đến hàng đơn vị) (xem hình 2) Điểm M(10; 43) thuộc parabol nên: 43  102 a  10b  c Giải hệ phương trình: 43  a   1520 c   3483   26244a  162b  c    b  760 100a  10b  c  43   c    Vậy, parabol cần tìm là: y   43 x  3482 x 1520 760 Sau đó, nhóm HS vẽ đồ thị hàm số vừa tìm tìm chiều cao cổng dựa vào đồ thị hàm số sau (xem hình 3): Hình Đường parabol biểu diễn hình dạng cổng Ác-xơ Cuối cùng, nhóm HS quan sát đồ thị vừa vẽ rút kết luận: chiều cao cổng tung độ đỉnh parabol Khi đó: Hình Cổng Ác-xơ Mục tiêu tốn: - Xây dựng hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng cổng Ác-xơ (đường parabol); Tính chiều cao cổng (xác định tung độ đỉnh parabol trên) * MHH tốn thơng qua bước sau: - Bước (tìm kiếm chuyển đổi): GV chia lớp thành nhóm yêu cầu nhóm quan sát hình ảnh cổng Ác-xơ Các nhóm thảo luận đưa dự đốn hình dạng cổng giống phần đường parabol Sau đó, GV u cầu nhóm tìm dạng biểu diễn đường parabol Các nhóm thảo luận, đưa cách xác định phương trình biểu diễn - Bước (tìm lời giải): nhóm dựa theo quan sát kiện đề đưa để tìm dạng biểu diễn parabol hàm số bậc hai Các nhóm thảo luận đưa hàm số cần tìm có dạng: y  ax  bx  c(a  0) Điểm O(0; 0) thuộc parabol nên ta có: = c Điểm A(162; 0) thuộc parabol  162 a  162b  c 12131289  3483   43    b  4ac         577600  760   1520     4a 12131289 577600  282123 1520  43      1520   - Bước (diễn giải): Chiều cao cổng tung độ đỉnh parabol Vậy, trường hợp chiều cao cổng Ác-xơ là: 282123  185,6m 1520 - Bước (kiểm chứng): thực tế có nhiều cơng trình thiết kế có hình dạng tương tự cổng Ácxơ Những kết tìm thỏa mãn điều kiện phù hợp với thực tiễn (xem hình 4) nên: 220 Hình Một số hình ảnh thực tế có hình dạng parabol (Xem tiếp trang 277) VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 7/2019, tr 272-277 niên mà đời sống kinh tế không bước cải thiện, vấn đề xã hội không giải quyết, mà tình hình trị khơng ổn định Do vậy, để nâng cao hiệu việc xây dựng lối sống niên phải nỗ lực đưa nghiệp đổi tiến lên bước vững Trên lĩnh vực kinh tế, phải bước tiến tới dân giàu nước mạnh; lĩnh vực trị phải khẩn trương đổi hệ thống trị, tăng cường lãnh đạo Đảng, hiệu lực quản lí Nhà nước, giữ vững ổn định trị, kiên đẩy lùi tượng tiêu cực, khắc phục xuống cấp đạo đức, lối sống xã hội Đây yếu tố mang lại hiệu việc giáo dục đạo đức cho niên Lối sống người gắn liền khúc xạ sản xuất xã hội góp phần hình thành thái độ lao động, việc làm nghề nghiệp sở thống lợi ích cá nhân lợi ích xã hội Trong kinh tế thị trường nay, lối sống, đạo đức giá trị truyền thống chịu ảnh hưởng lớn từ đồng tiền cách làm giàu Việc xây dựng lối sống lành mạnh, đạo đức nhân nghĩa đắn tạo môi trường sáng, đủ sức làm đối trọng phản quang lại lạnh lùng, vị kỉ đồng tiền, hạn chế xu hướng hàng hóa hóa, tiền tệ hóa đời sống người xã hội kinh tế thị trường Hơn lúc hết, cần phải thấm nhuần luận điểm nhà kinh điển Mácxít: “Con người tạo hồn cảnh đến mức hồn cảnh tạo người đến mức ấy” [4; tr 55] Tài liệu tham khảo [1] Ban Bí thư Trung ương Đảng (2002) Hồ Chí Minh tồn tập (tập 15) NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật [2] Ban Bí thư Trung ương Đảng (2002) Hồ Chí Minh tồn tập (tập 4) NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật [3] Đảng Cộng sản Việt Nam (1998) Văn kiện Hội nghị lần thứ năm Ban Chấp hành Trung ương Đảng khóa VIII NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật [4] C Mác Ph Ăngghen (1995) Toàn tập (tập 3) NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật [5] Nguyễn Văn Trung (chủ biên, 1996) Chính sách niên NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật [6] Phạm Hồng Tung (2007) Nghiên cứu lối sống: Một số vấn đề khái niệm cách tiếp cận Tạp chí Khoa học, chuyên đề Khoa học Xã hội Nhân văn, Đại học Quốc gia Hà Nội, tr 271-278 [7] Thái Duy Tuyên (chủ biên, 1995) Tìm hiểu định hướng giá trị niên Việt Nam NXB Thanh niên [8] Huỳnh Khái Vinh (2001) Một số vấn đề lối sống, đạo đức, chuẩn giá trị xã hội NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật VẬN DỤNG MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC… (Tiếp theo trang 220) Kết luận Thực tiễn cho thấy, vận dụng MHH toán học dạy học chủ đề Hàm số bậc hai (Đại số 10) mang lại hiệu định HS biết thiết lập mệnh đề toán học, chuyển toán thực tế sang ngơn ngữ tốn học, biết liên hệ lại vấn đề thực tiễn Thông qua hoạt động MHH, HS có hội để phát triển thao tác tư duy, kĩ giải vấn đề; đặc biệt em thấy mối liên hệ toán học với thực tiễn môn khoa học khác, u thích học tập mơn Tốn Tài liệu tham khảo [1] Bộ GD-ĐT (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng - Chương trình tổng thể (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GD-ĐT) [2] Nguyễn Danh Nam (2016) Năng lực mơ hình hóa giáo viên tốn phổ thơng Tạp chí Giáo dục, số 380, tr 43-46 [3] IU Xviregiev (1988) Các mơ hình Tốn học sinh thái học Tốn học hệ sinh thái (Bùi Văn Thanh dịch) NXB Khoa học Kĩ thuật [4] Nguyễn Thị Tân An (2012) Sự cần thiết mơ hình hố dạy học tốn Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, số 37, tr 4-7 [5] Nguyễn Danh Nam (2016) Phương pháp mơ hình hóa dạy học mơn Tốn trường phổ thơng NXB Đại học Thái Nguyên [6] Lesh, R - Galbraith, P - Haines, C - Hurford, A (2016) Modeling Students’ Mathematical Modeling Competences Springer [7] Nguyễn Phú Lộc (2016) Tích cực hóa hoạt động học tập học sinh dạy học môn Tốn - Một chun khảo sở lí thuyết hoạt động NXB Đại học Cần Thơ [8] Đỗ Đức Thái - Đỗ Tiến Đạt - Nguyễn Hoài Anh Trần Ngọc Bích - Đỗ Đức Bình - Hồng Mai Lê Trần Thúy Ngà (2018) Dạy học phát triển lực mơn Tốn tiểu học NXB Đại học Sư phạm [9] Blum, W - Galbraith, P.L - Henn, H-W - Niss, M (2007) (Eds.) Modelling and Applications in Mathematics Education The 14th ICMI Study 14 New York: Springer - Verlag, pp 45-56 277 ... dạy học chủ đề Hàm số bậc hai (Đại số 10) Trong dạy học Toán, hoạt động MHH toán học giúp HS phát triển thao tác tư kĩ giải vấn đề Thơng qua hoạt động MHH tốn học, HS hiểu mối liên hệ toán học. .. số vấn đề lối sống, đạo đức, chuẩn giá trị xã hội NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật VẬN DỤNG MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC… (Tiếp theo trang 220) Kết luận Thực tiễn cho thấy, vận dụng MHH toán học dạy học. .. hoạt động mơ hình hóa tốn học dạy học Tốn 2.1.3.1 Tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn Hoạt động MHH toán học cách tiếp cận giúp HS vận dụng tri thức linh hoạt, tạo hội cho em học tập thông