Bài viết tìm hiểu về năng lực mô hình hóa trong học tập toán của học sinh phổ thông. Từ đó đánh giá cấp độ mô hình hóa trong giải các bài toán, đặc biệt là các bài toán có liên hệ với thực tiễn. Nghiên cứu cho thấy năng lực mô hình hóa của học sinh phổ thông Việt Nam còn nhiều hạn chế, hầu hết các em chỉ đạt được ở cấp độ thấp.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2015, Vol 60, No 8, pp 44-52 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0143 NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC CỦA HỌC SINH PHỔ THƠNG Nguyễn Danh Nam Phòng Đào tạo, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên Tóm tắt Bài báo tìm hiểu lực mơ hình hóa học tập tốn học sinh phổ thơng Từ đánh giá cấp độ mơ hình hóa giải toán, đặc biệt tốn có liên hệ với thực tiễn Nghiên cứu cho thấy lực mơ hình hóa học sinh phổ thơng Việt Nam nhiều hạn chế, hầu hết em đạt cấp độ thấp Điều bất cập nội dung chương trình sách giáo khoa hành, tính ứng dụng toán học giải vấn đề sống ngày chưa coi trọng Kết nghiên cứu khẳng định phương pháp mơ hình hóa dạy học Tốn góp phần bồi dưỡng lực mơ hình hóa tốn học học sinh, giúp em biết sử dụng công cụ ngôn ngữ tốn học để giải tình nảy sinh thực tiễn Từ khóa: Mơ hình, mơ hình hóa, tốn học hóa, lực mơ hình hóa Mở đầu Mục tiêu quan trọng chương trình tốn học phổ thơng hình thành phát triển cho học sinh khả vận dụng tri thức toán học để giải tình nảy sinh từ thực tiễn sống Điều chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA quan tâm nghiên cứu từ năm 2000 Chương trình PISA đánh giá lực đặc trưng tốn học là: Tư lập luận (thinking and reasoning); suy luận chứng minh tốn học (argumentation); giao tiếp tốn học (communication); mơ hình hóa (modeling); nêu giải vấn đề (problem posing and solving); biểu diễn (representation); sử dụng kí hiệu ngơn ngữ tốn học (using symbolic, formal and technical language and operations); sử dụng cơng cụ tính tốn (using of aids and tools) Kết thu từ chương trình PISA giúp nước đánh giá lực tốn học cốt lõi học sinh phổ thơng, từ xây dựng chiến lược phát triển chương trình giáo dục toán học quốc gia Trong lực trên, mơ hình hóa lực nhiều quốc gia giới đề cập đến từ hai thập niên trước giữ vị trí ngày quan trọng chương trình mơn Tốn phổ thơng nhiều nước Hoa Kì, Đức, Pháp, Anh, Trung Quốc, Singapore, [1], [4] Mơ hình hóa dạy học tốn trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá tình nảy sinh từ thực tiễn cơng cụ ngơn ngữ tốn học hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, cơng thức, [11] Do đó, mơ hình hóa giúp học sinh nhận biết ý nghĩa, vai trò kiến thức tốn học sống; phát triển khả phân tích, suy luận, lập luận giải vấn đề tốn học tình huống, hoàn cảnh khác nhau; phát triển tư phê phán khả liên hệ kiến thức toán học với môn học khác Ngày nhận bài: 10/7/2015 Ngày nhận đăng: 20/10/2015 Liên hệ: Nguyễn Danh Nam, e-mail: danhnam.nguyen@dhsptn.edu.vn 44 Năng lực mơ hình hóa tốn học học sinh phổ thơng Khả xây dựng mơ hình tốn học từ tình thực tiễn coi sở việc “tốn học hóa tình thực tiễn” Thuật ngữ “tốn học hóa” có nghĩa sử dụng ngơn ngữ tốn học chuyển vấn đề sống hàng ngày dạng biểu diễn toán học Năng lực tốn học hóa tình thực tiễn tổng hợp lực thu nhận thơng tin tốn học từ tình thực tiễn; lực chuyển đổi thơng tin thực tế sống, toán học lực thiết lập mơ hình tốn học tình thực tiễn Theo Trần Vui [12], q trình tốn học hóa đặc trưng khía cạnh sau: Xây dựng vấn đề xuất phát từ tình thực tiễn; tổ chức vấn đề dựa kiến thức toán học học; đơn giản hóa vấn đề thành tốn thơng qua q trình lập giả thiết, tổng qt hóa hình thức hóa vấn đề; giải toán chuyển lời giải toán thành vấn đề có ý nghĩa tình thực tiễn Chính vậy, để nâng cao hiểu biết tốn học vai trò tốn học sống cho học sinh, giáo viên coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học để giải vấn đề thực tiễn đặt Dạy học mơ hình hóa hay phương pháp mơ hình hóa dạy học trình giáo viên tổ chức hoạt động giúp học sinh xây dựng mơ hình tốn học để giải vấn đề thực tiễn Do vậy, quy trình dạy học mơ hình hóa tiến hành theo bước sau đây: Xuất phát từ vấn đề thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học → Trả lời cho toán thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy cách nêu định nghĩa hay định lí, cơng thức → Vận dụng vào giải toán thực tiễn khác mà tri thức cho phép xây dựng mơ hình tốn học phù hợp Do đó, tri thức cần giảng dạy hình thành từ trình học sinh khám phá vấn đề nảy sinh từ thực tiễn với tư cách kết phương tiện giải vấn đề Tuy nhiên, thực tiễn dạy học học sinh gặp nhiều khó khăn Khó khăn không dừng lại mức độ trừu tượng tốn học, hay q tải chương trình, mà bao gồm nhu cầu muốn biết mối liên hệ toán học thực tiễn không thỏa mãn Theo kết điều tra 223 học sinh số trường trung học phổ thông địa bàn tỉnh Thái Nguyên, nhận thấy q trình học tốn em có mong muốn: Được ứng dụng học vào thực tế sống; Được giảng mối quan hệ lí thuyết ứng dụng kĩ hơn; Có nhiều ví dụ sinh động từ thực tế, có thêm nhiều liên hệ với thực tiễn; Giảm bớt kiến thức, thêm tập thực tế; Có thêm nhiều hình vẽ, mơ hình, ứng dụng học lớp ngoại khóa Cụ thể, 89,69% số học sinh muốn biết ứng dụng tốn học thực tiễn; có 78,34% khơng tự tìm hiểu ứng dụng thực tiễn tốn học; 79,09% cho mơn tốn khô khan, không thấy ứng dụng nhiều sống Chúng tiếp tục tiến hành vấn 21 giáo viên dạy toán trường trên, kết cho thấy 25% số giáo viên quan tâm đến việc dạy học tăng cường mối liên hệ toán học thực tiễn; 67,86% cho cần tăng cường câu hỏi có nội dung thực tiễn; nhiên có 3,57% số giáo viên thường xuyên hướng dẫn học sinh giải tình thực tế (ngồi chương trình sách giáo khoa) Đặc biệt, hầu hết giáo viên đánh giá cao vai trò hoạt động mơ hình hóa dạy học tốn Tuy nhiên, thực tế nghiên cứu chúng tơi nhận thấy lực mơ hình hóa giáo viên học sinh yếu Khi khai thác tính liên hệ thực tiễn kiến thức toán học, đa số giáo viên sử dụng tình huống, ví dụ có sẵn sách giáo khoa Giáo viên khơng biết xây dựng tình dạy học tập mơ hình hóa xuất phát từ vấn đề thực tiễn Về phía học sinh, hầu hết em không giải trọn vẹn tập mơ hình hóa sách giáo khoa, đặc biệt kĩ thiết lập biểu diễn mơ hình tốn học Thực trạng Qi Dan Jinxing Xie làm sáng tỏ với kết điều tra tương tự giáo viên học sinh Trung Quốc [3] Vì thế, vận dụng phương pháp mơ hình hóa dạy học tốn góp phần đưa ý tưởng tốn học gắn liền với thực tiễn vào lớp học toán nhà trường Từ đó, hình thành bồi dưỡng cho học sinh lực mơ hình hóa tốn học, giúp em biết vận dụng linh hoạt kiến thức toán học nhà trường để giải vấn đề nảy sinh từ thực tiễn sống [11] 45 Nguyễn Danh Nam 2.1 Nội dung nghiên cứu Năng lực mơ hình hóa tốn học Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn Việt Nam có tương đối tốn mơ hình hóa, chiếm khoảng 2% đến 5% số lượng toán, tập Bài tốn xây dựng từ vấn đề thực tiễn từ vấn đề thuộc môn học khác Sinh học, Hóa học hay Vật lí Sau đó, cơng cụ ngơn ngữ tốn học sử dụng để thiết lập mơ hình Đây gọi q trình tốn học hóa Bài tốn sau giải kiến thức tốn học Cuối lời giải hiểu ngữ cảnh thực tế [5, 11] Theo Swetz & Hartzler (1991), quy trình mơ hình hóa tốn học gồm giai đoạn chủ yếu sau [6], [10]: - Giai đoạn (Tốn học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mơ tả diễn đạt vấn đề công cụ ngôn ngữ toán học - Giai đoạn (Giải toán): Sử dụng cơng cụ phương pháp tốn học thích hợp để giải vấn đề hay toán tốn học hóa - Giai đoạn (Thơng hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải toán tình thực tiễn (bài tốn ban đầu) - Giai đoạn (Đối chiếu): Xem xét lại giả thuyết, tìm hiểu hạn chế mơ hình tốn học lời giải toán, xem lại cơng cụ phương pháp tốn học sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mơ hình xây dựng Hình 1: Q trình mơ hình hóa dạy học tốn Có nhiều định nghĩa khác lực mơ hình hóa gồm nhiều kĩ thành phần Blomhoj Jensen định nghĩa lực mơ hình hóa khả thực đầy đủ giai đoạn q trình mơ hình hóa tình cho trước [2] Maab định nghĩa lực mơ hình hóa bao gồm kĩ khả thực q trình mơ hình hóa nhằm đạt mục tiêu xác định [9] Như hiểu lực mơ hình hóa khả thực đầy đủ giai đoạn trình mơ hình hóa nhằm giải vấn đề đặt Nhiều nhà nghiên cứu thiết kế hệ thống tình tập mơ hình hóa để xác định kĩ mà học sinh cần đạt để giải tình thực tiễn dựa theo quy trình (Hình 1) [4, 6, 7] Từ đó, nghiên cứu kĩ thành phần lực mơ hình hóa tốn học là: (1) Đơn giản giả thuyết; (2) Làm rõ mục tiêu; (3) Thiết lập vấn đề; (4) Xác định biến, tham số, số; (5) Thiết lập mệnh đề tốn học; (6) Lựa chọn mơ hình; (7) Biểu diễn mơ hình biểu đồ, đồ thị; (8) Liên hệ lại vấn đề thực tiễn 46 Năng lực mô hình hóa tốn học học sinh phổ thơng Như vậy, sử dụng phương pháp mơ hình hóa dạy học giúp học sinh phát triển kĩ toán học, đồng thời hỗ trợ giáo viên tổ chức dạy học theo phương pháp phát giải vấn đề có hiệu giúp học sinh hiểu sâu kiến thức, rèn luyện kĩ giải vấn đề [5, 6, 7, 9] 2.2 Cấp độ mơ hình hóa Các tình tập mơ hình hóa cần xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Việc học sinh tự giải tốn có ý nghĩa lớn mặt tâm lí Ngược lại, việc thất bại từ toán dễ làm cho học sinh nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho trình tổ chức hoạt động Do đó, thiết kế hệ thống tình tập mơ hình hóa, giáo viên cần ý đến cấp độ mơ hình hóa Sau cách đánh giá cấp độ mơ hình hóa dựa theo Ludwig Xu (2010) [8]: - Cấp độ 0: Học sinh khơng hiểu tình khơng thể vẽ, phác thảo hay viết cụ thể vấn đề - Cấp độ 1: Học sinh hiểu tình thực tiễn khơng cấu trúc đơn giản tình khơng thể tìm kết nối đến ý tưởng toán học - Cấp độ 2: Sau tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm mơ hình thật qua cấu trúc đơn giản hóa, khơng biết chuyển đổi thành vấn đề toán học Ở cấp độ này, học sinh cần đạt hai kĩ mơ hình hóa - Cấp độ 3: Học sinh tìm khơng mơ hình thật, mà phiên dịch thành vấn đề tốn học, khơng thể làm việc với cách rõ ràng giới toán học Ở cấp độ này, học sinh cần đạt kĩ mơ hình hóa từ đến - Cấp độ 4: Học sinh thiết lập vấn đề tốn học từ tình thực tiễn, làm việc với toán với kiến thức tốn học có kết cụ thể Ở cấp độ này, học sinh cần đạt kĩ mơ hình hóa từ đến - Cấp độ 5: Học sinh trải nghiệm q trình mơ hình hóa tốn học kiểm nghiệm lời giải tốn mối quan hệ với tình cho Ở cấp độ này, học sinh cần đạt đầy đủ kĩ mơ hình hóa Dựa kĩ cấp độ mơ hình hóa đề xuất, tiến hành nghiên cứu 68 học sinh lớp 10 thuộc hai trường học địa bàn tỉnh Thái Nguyên, Trường THPT Dương Tự Minh Trường THPT Ngơ Quyền Các tình mơ hình hóa thiết kế nhằm đánh giá lực cấp độ mơ hình hóa tốn học học sinh 2.3 Kết nghiên cứu Ví dụ (Bài tốn máy bơm nước): Một gia đình muốn mua máy bơm Có hai loại với lưu lượng bơm giờ; loại thứ giá 1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá triệu đồng Tuy nhiên, dùng máy bơm loại thứ tiền điện phải trả 1.200 đồng, dùng máy bơm loại thứ hai phải trả 1.000 đồng cho bơm Theo bạn gia đình nên chọn mua loại máy để đạt hiệu kinh tế cao? Đối với tình trên, học sinh cần lựa chọn máy bơm hai loại để mua cho hiệu kinh tế cao Như vậy, giá cả, em cần quan tâm đến hao phí sử dụng máy nghĩa chi phí cần chi trả sử dụng máy khoảng thời gian định Do đó, thơng qua hoạt động này, ta đánh giá kĩ sau đây: Thiết lập phương trình hệ phương trình hàm số bậc nhất; Biểu diễn xác định miền nghiệm hệ phương trình; Liên hệ toán học với vấn đề kinh tế tối ưu toán học 47 Nguyễn Danh Nam Giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán theo giai đoạn q trình mơ hình hóa sau: Giai đoạn (Tốn học hóa): Kí hiệu f (x) g(x) số tiền (tính nghìn đồng) phải trả sử dụng máy bơm loại thứ loại thứ hai x (bao gồm tiền điện tiền mua máy bơm) Học sinh biểu diễn f (x) g(x) dạng biểu thức x sau: Trong x số tiền phải trả sử dụng máy thứ f (x) = 1500 + 1, 2x (nghìn đồng) Số tiền trả cho máy thứ hai x g(x) = 2000 + x (nghìn đồng) Giai đoạn (Giải toán): Học sinh vẽ đồ thị hàm số y = f (x) hàm số y = g(x) hệ trục tọa độ Dựa đồ thị, học sinh nhận thấy chi phí trả cho hai máy sử dụng sau khoảng thời gian x0 nghiệm phương trình f (x) = g(x) Từ đó, học sinh giải phương trình f (x) = g(x): 1500 + 1, 2x = 2000 + x0, 2x = 500 ⇔ x = 2500 (giờ) Hình 2: Biểu diễn nghiệm phương trình f (x) = g(x) Giai đoạn (Hiểu thông dịch): Quan sát đồ thị học sinh nhận thấy sau sử dụng 2500 tức ngày dùng tiếng tương đương với khoảng thời gian khơng q hai năm máy thứ hai chi phí thấp nhiều so với máy thứ nên chọn mua máy thứ hai hiệu kinh tế cao Giai đoạn (Đối chiếu thực tế): Học sinh phân tích tốn trường hợp sau: (1) Nếu thời gian sử dụng máy hai năm mua máy thứ tiết kiệm hơn; (2) Nếu thời gian sử dụng nhiều hai năm nên mua máy thứ hai Tuy nhiên, thực tế máy bơm sử dụng thời gian dài Do vậy, trường hợp học sinh khun gia đình nên mua máy thứ hai Qua nghiên cứu, nhận thấy đa số học sinh gặp khó khăn giai đoạn tốn học hóa tốn đối chiếu toán với thực tế Kết nghiên cứu cho thấy khoảng 72% số học sinh hiểu rõ yêu cầu tốn thiết lập phương trình biểu diễn số tiền trả hai máy bơm, khoảng 60% số học sinh vẽ đọc hiểu đồ thị hàm số Chỉ có khoảng 34% số học sinh thơng dịch tốn đối chiếu với thực tế Điều có nghĩa hầu hết em đạt cấp độ q trình mơ hình hóa nhiều học sinh gặp lúng túng gặp tốn tối ưu tốn học Ví dụ (Thiết kế bãi để xe đạp): Có cơng viên khu đất trống cạnh nhà ga Nhằm đảm bảo an tồn cơng viên, thành phố xây dựng đường riêng dành cho xe đạp bãi gửi xe khu đất trống để hành khách gửi xe trước đến nhà ga Hãy thiết kế phương án giải tốn 48 Năng lực mơ hình hóa tốn học học sinh phổ thơng Đây tình mở, chưa có kiện cụ thể Do vậy, học sinh phải phân tích yếu tố có liên quan tình để đưa phương án giải tối ưu Thơng qua tốn này, ta đánh giá đầy đủ kĩ thành phần q trình mơ hình hóa học sinh Giai đoạn (Tốn học hóa): Học sinh phải đơn giản vấn đề, vẽ hình để mơ tả tình thực tiễn xác định thêm biến số liên quan (Hình 3) Hình 3: Thiết kế mơ hình bãi để xe đạp - Lập giả thuyết thu thập thêm thơng tin như: kích thước cơng viên khoảng đất trống, vận tốc trung bình người xe đạp, giới hạn vận tốc xe đạp cơng viên, mục đích thiết kế (đường ngắn nhất, tiết kiệm thời gian nhất, ) - Xác định khái niệm toán học liên quan trước thiết kế mơ hình máy tính: khoảng cách, vận tốc thời gian - Xây dựng mô hình tốn học dựa giả thuyết đưa Ví dụ thiết kế để thời gian biểu thức biểu thị thời gian mô tả sau: Tổng số thời gian T = Khoảng cách công viên/vận tốc xe đạp + Khoảng cách khoảng đất trống/vận tốc bộ; cơng viên mảnh đất có dạng hình chữ nhật; số liệu số chiều vận tốc học sinh tham khảo số liệu mạng internet Hình 4: Mơ hình hóa tình phần mềm hình học động Giai đoạn (Giải tốn): Học sinh sử dụng phần mềm hình học động để mơ hình hóa tình trên, di chuyển điểm F đến vị trí khác đo khoảng cách, lập bảng quan sát xác định vị trí điểm F cho thời gian ngắn (Hình 4) Học sinh lập hàm số biểu diễn thời gian tỉ số quãng đường vận tốc Theo định lí Pitago, hàm số biểu diễn thời 49 Nguyễn Danh Nam √ 1502 + (100 − x)2 2502 + x2 gian T cho biểu thức sau: T = + , x độ dài đoạn thẳng QF Nếu yêu cầu toán xác định giá trị x để thời gian di chuyển học sinh cần tìm giá trị nhỏ hàm số T Giai đoạn (Hiểu thông dịch): Học sinh nhận thấy giá trị x biểu thị vị trí bãi để xe đạp, AF biểu thị quãng đường xe đạp, F C biểu thị quãng đường Theo kết tính tốn máy tính, học sinh xác định thời gian mà hành khách phải di chuyển đến nhà ga xấp xỉ 285 giây, tương ứng với vị trí thiết kế bãi để xe đạp vị trí điểm F cho khoảng cách QF xấp xỉ 23 mét Giai đoạn (Đối chiếu thực tế): Sau xác định vị trí bãi để xe đạp, học sinh cần kiểm tra lại tính khả thi việc xây dựng bãi để xe tìm hiểu khó khăn khác Cụ thể: - Xem xét lại giả thuyết: Nếu cơng viên có dạng hình tròn sao? Nếu công viên hay khu đất trống đa giác khơng đều? Có phương pháp áp dụng cho tất trường hợp? Giải pháp đáp ứng nguyện vọng người dân (thời gian hay khoảng cách?) - Suy nghĩ phương pháp toán học khác? Sử dụng phần mềm toán học khác để mơ tả? - Xét đến tính liên mơn tốn này: Vật lí, Địa lí, Giao thơng, Như vậy, thơng qua tốn trên, học sinh làm quen với việc sử dụng toán học giải tình thực tiễn, mơ hình hóa máy tính để dự đốn, lập giả thuyết, xây dựng mơ hình đối chiếu với ngữ cảnh thực tế Kết nghiên cứu cho thấy khoảng 36% số học sinh không hiểu rõ yêu cầu toán cho khơng đủ “số liệu” để giải tốn Số lại xác định tham biến liên quan đến toán quãng đường, vận tốc, thời gian hầu hết em giả thiết hình dạng cơng viên bãi đất trống hình chữ nhật Chỉ có khoảng 28% số học sinh xác định yêu cầu tính thời gian thiết lập hàm số biểu diễn Tuy nhiên, nửa số học sinh dừng lại việc giải thơng dịch tốn mà không đối chiếu với thực tế Điều cho thấy hầu hết em đạt cấp độ q trình mơ hình hóa khoảng 10% số học sinh tham gia khảo sát đạt đến cấp độ Dưới bảng tổng hợp kết đánh giá lực cấp độ mơ hình hóa 68 học sinh thơng qua hoạt động mơ hình hóa thiết kế trình nghiên cứu: TT 50 Bảng 1: Đánh giá lực mơ hình hóa THPT Ngơ Quyền THPT Dương Tự Minh Kĩ thành phần N = 38 % N = 30 % Đơn giản giả thuyết 35 92,1 29 96,7 Làm rõ mục tiêu Thiết lập vấn đề 32 27 84,2 71,1 27 26 90 86,7 Xác định biến, tham số, số Thiết lập mệnh đề toán học Lựa chọn mơ hình Biểu diễn mơ hình biểu đồ, đồ thị Liên hệ lại vấn đề thực tiễn 21 16 12 55,3 42,1 31,6 21 17 11 70 56,7 36,7 13,2 16,7 5,3 6,7 Năng lực mơ hình hóa tốn học học sinh phổ thông TT Bảng 2: Đánh giá cấp độ mơ hình hóa THPT Ngô Quyền THPT Dương Tự Minh Cấp độ mô hình hóa N = 38 % N = 30 % Cấp độ 7,9 3,3 Cấp độ 13,2 10 Cấp độ 13,2 16,7 Cấp độ 15 39,5 13 43,3 Cấp độ 21,0 20 Cấp độ 5,2 6,7 Theo số liệu Bảng lực mơ hình hóa học sinh nhiều hạn chế, nhiều học sinh chưa biết cách chuyển vấn đề thực tiễn thành vấn đề toán học Do vậy, tỉ lệ số học sinh xác định biến, tham số, thiết lập mệnh đề toán học xây dựng mơ hình tốn học cho tốn mức thấp Đặc biệt kĩ biểu diễn toán học liên hệ lại vấn đề thực tiễn yếu (chỉ có khoảng từ – 7% số học sinh đạt cấp độ này) Bảng cho thấy, đa số học sinh đạt cấp độ q trình mơ hình hóa Hầu hết học sinh gặp nhiều lúng túng gặp toán mở toán thiết kế bãi để xe đạp trên, cụ thể em chưa biết cách thu thập số liệu thực tế, thiết lập giả thuyết khác đối chiếu với tình thực tiễn Kết luận Qua phân tích kết nghiên cứu chúng tơi nhận thấy lực mơ hình hóa tốn học học sinh nhiều hạn chế, có lực ứng dụng toán học để giải vấn đề nảy sinh thực tiễn Điều cho thấy chương trình tốn học phổ thơng chưa đề cập đến lực mơ hình hóa lực tốn học cốt lõi Do vậy, dạy học giáo viên cần tăng cường tập mơ hình hóa, đặc biệt toán liên hệ với thực tế dạng “mở” nhằm bồi dưỡng lực giải vấn đề Kết nghiên cứu mối tương quan lực cấp độ mơ hình hóa với lực hiểu biết tốn học học sinh sở cho quan điểm tăng cường tình mơ hình hóa vấn đề thực tiễn chương trình sách giáo khoa phổ thơng sau 2015 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga, 2011 Mơ hình hóa tốn học tượng biến thiên dạy học nhờ hình học động dự án nghiên cứu Mira Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 56, 55-63 Blomhoj, M., Jensen, T., 2007 What’s all the fuss about competencies? In W Blum, P L Galbraith, H Henn, M Niss, (Eds.): Modelling and Applications in Mathematics Education (ICMI Study 14), 45-56, Springer Qi Dan, Jinxing Xie, 2011 Mathematical modelling skills and creative thinking levels: An experimental study In G Kaiser et al (eds.), Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling, International Perspectives in the Teaching and Learning of Mathematical Modelling Spinger 51 Nguyễn Danh Nam [4] Jensen, T H., 2007 Assessing mathematical modelling competency In C Haines, P Galbraith, W Blum and S Khan (Eds.): Mathematical Modelling Education, Engineering and Economics (ICTMA12), 141-148, Horwood [5] Houston, K., Neill, N., 2003 Investigating students’ modeling skills In Q Ye, W Blum, S K Houston, & Q Jiang (Eds.): Mathematical modelling in education and culture (ICTMA 10), 54-66, Horwood [6] Richard Lesh, Peter Galbraith, Christopher Haines, Andrew Hurford, 2010 Modeling students’ mathematical modeling competences Springer [7] Lingefjăard, T., Holmquist, M., 2005 To assess students’ attitudes, skill and competencies in mathematical modeling Teaching Mathematics and Its Applications, 24(2-3), 123-133 [8] Ludwig, M., Xu, B., 2010 A comparative study of modelling competencies among Chinese and German students Journal for Didactics of Mathematics, 31, 77-97 [9] Maab, K., 2006 What are modelling competencies? The International Journal on Mathematics Education, 38(2), 113-142 [10] Nguyễn Danh Nam, 2013 Phương pháp mơ hình hóa dạy học tốn trường phổ thơng Kỉ yếu Hội thảo khoa học cán trẻ trường sư phạm toàn quốc, Nhà xuất Đà Nẵng, 512-516 [11] Danh Nam Nguyen, Trung Tran, 2013 Recommendations for mathematics curriculum development in Vietnam Proceedings of the 6th International Conference on Educational Reform, 26-32 [12] Trần Vui, 2009 Sử dụng tốn học hóa để nâng cao hiểu biết định lượng cho học sinh trung học phổ thơng Tạp chí Khoa học Giáo dục, 43, 23-26 ABSTRACT High School Students’ Mathematical Modeling Competency In this paper, the author has investigated on high school students’ mathematical modeling competency, focusing on assessing modeling levels in solving mathematical problems, especially real-life situations It was found that most Vietnamese students had very low level modeling competency This could be due to the fact that Vietnamese mathematics curriculum and textbooks overlooks the application of mathematics in solving real world problems This research confirms that modeling methods in teaching mathematics would improve students’ mathematical modeling competency More importantly, it would help students use mathematical tools and languages to connect school mathematics with real life Keywords: Model, modeling, mathematization, modeling competency 52 ... thấy lực mơ hình hóa tốn học học sinh nhiều hạn chế, có lực ứng dụng toán học để giải vấn đề nảy sinh thực tiễn Điều cho thấy chương trình tốn học phổ thơng chưa đề cập đến lực mơ hình hóa lực. . .Năng lực mơ hình hóa tốn học học sinh phổ thơng Khả xây dựng mơ hình tốn học từ tình thực tiễn coi sở việc “tốn học hóa tình thực tiễn” Thuật ngữ “tốn học hóa có nghĩa sử dụng ngơn ngữ tốn học. .. tốn học; (6) Lựa chọn mơ hình; (7) Biểu diễn mơ hình biểu đồ, đồ thị; (8) Liên hệ lại vấn đề thực tiễn 46 Năng lực mô hình hóa tốn học học sinh phổ thơng Như vậy, sử dụng phương pháp mơ hình hóa