KHÔNG CẦN PHẢI MẤT CÔNG SOẠN BÀI TẬP, HƠN 100 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐỦ CÁC MỨC ĐỘ VỚI LỜI GIẢI CHI TIẾT, RÕ RÀNG, TRÌNH BÀY HỢP LÝ, ĐẸP MẮT. CHỈ CẦN DOWNLOAD VÀ SỬ DỤNG NGAY. THÍCH HỢP CHO VIỆC DÙNG LÀM BÀI GIẢNG VÀ BÀI KIỂM TRA.
Đường thẳng vng góc với mặt phẳng ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG A – NỘI DUNG LÝ THUYẾT Định nghĩa d (P) d a, a (P) Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng a, b (P), a b O d (P) d a, d b Tính chất Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a b (P) b (P ) a a b a b a (P), b (P) (P ) (Q) a (Q) a (P ) (P) (Q) (P) Q) (P) a,(Q) a a (P) ba b ( P ) a ( P ) a P) a b,(P) b Định lí ba đường vng góc Cho a (P), b (P) , a hình chiếu a (P) Khi b a b a Góc đường thẳng mặt phẳng Nếu d (P) d ,( P ) = 900 Nếu d (P) d ,( P ) = d , d ' với d hình chiếu d (P) Chú ý: 00 d ,( P ) 900 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng B – BÀI TẬP Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng P , a P Mệnh đề sau sai? A Nếu b P b // a C Nếu b // a b B Nếu b // P b P D Nếu b a a b // P Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với cho trước? A B C D Vô số Hướng dẫn giải: Chọn D Qua điểm O dựng vơ số đường thẳng vng góc với , đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với Câu 3: Mệnh đề sau sai? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song D Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song Hướng dẫn giải: Chọn C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song ba đường thẳng đồng phẳng Câu 4: Khẳng định sau sai? A Nếu đường thẳng d d vng góc với hai đường thẳng B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm d Đường thẳng vng góc với mặt phẳng C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm d vng góc với đường thẳng nằm D Nếu d đường thẳng a // d a Hướng dẫn giải: Chọn B Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm d hai đường thẳng cắt Câu 5: Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Mặt phẳng vng góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB Hướng dẫn giải: Chọn A Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực Câu 6: Trong không gian cho đường thẳng với điểmO Qua O có đường thẳng vng góc cho trước? A Vơ số B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 7: Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước? A B Vô số C D Hướng dẫn giải: Theo tiên đề qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng Chọn đáp án A Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng không nằm mp P , đường thẳng gọi vuông góc với mp P nếu: A vng góc với hai đường thẳng phân biệt nằm mp P Đường thẳng vng góc với mặt phẳng B vng góc với đường thẳng a mà a song song với mp P C vng góc với đường thẳng a nằm mp P D vng góc với đường thẳng nằm mp P Hướng dẫn giải: Đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng P vng góc với đường thẳng mặt phẳng P (ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) Vậy đáp án D Câu 9: Cho a, b, c đường thẳng khơng gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Nếu a b b c a / / c B Nếu a vng góc với mặt phẳng b / / a b C Nếu a / / b b c c a D Nếu a b , b c a cắt c b vng góc với mặt phẳng a, c Hướng dẫn giải: a b Nếu a c trùng nên đáp án A sai b c Câu 10: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Hướng dẫn giải: Qua điểm cho trước kẻ vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Vậy chọn đáp án D Câu 11: Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Nếu a P b a b P B Nếu a P a b b P Đường thẳng vng góc với mặt phẳng C Nếu a P b a b P D Nếu a P b P b a Câu 12: Cho hai đường thẳng a, b mp P Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu a// P b a b// P B Nếu a// P b P a b C Nếu a// P b a b P D Nếu a P b a b// P Hướng dẫn giải: Câu A sai b vng góc với a Câu B a// P a P cho a //a , b P b a Khi a b Câu C sai b nằm P Câu D sai b nằm P Vậy chọn B Câu 13: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Hai đường thẳng chéo vng góc với Khi có mp chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B Qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước C Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước D Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Câu 14: Tập hợp điểm cách đỉnh tam giác đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác qua: A Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B Trọng tâm tam giác C Tâm đường tròn nội tiếp tam giác D Trực tâm tam giác Câu 15: mệnh đề mặt phẳng sau: A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải:: Đáp án A sai hai đường thẳng chéo Đáp án B sai hai mặt phẳng cắt Đáp án C sai hai đường thẳng trùng Chọn đáp án D Câu 16: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Cho hai đường thẳng vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mp song song với C Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc với mp D Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Vì qua đường thẳng dựng vô số mặt phẳng Câu 17: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P đường thẳng b vng góc với a b vng góc với mặt phẳng P B Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b b song song với mặt phẳng P a song song nằm mặt phẳng P C Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng P a vng góc với b D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Giả sử xét hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' hình vẽ có A ' B '/ / ABCD B 'C ' A' B ' B ' C '/ / ABCD Chọn đáp án A Câu 18: Cho hình chóp S ABC có SA SB SC tam giác ABC vuông B Vẽ SH ABC , H ABC Khẳng định sau đúng? A H trùng với trọng tâm tam giác ABC B H trùng với trực tâm tam giác ABC C H trùng với trung điểm AC D H trùng với trung điểm BC Hướng dẫn giải: Chọn C Do SA SB SC nên HA HB HC Suy H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABC vng B nên H trung điểm AC Câu 19: Cho hình chóp S ABC thỏa mãn SA SB SC Tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc S lên mp ABC Chọn khẳng định sai khẳng định sau? A SBH SCH SH B SAH SBH SH C AB SH D SAH SCH SH Hướng dẫn giải: SBH SCH SBC Chọn A Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên Đường thẳng vng góc với mặt phẳng SA SB SC SD Gọi H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau sai? A HA HB HC HD B Tứ giác ABCD hình bình hành C Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D Các cạnh SA , SB , SC , SD hợp với đáy ABCD góc Hướng dẫn giải: Chọn B Vì hình chóp S ABCD có cạnh bên SA SB SC SD H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy HA HB HC HD Nên đáp án B sai Câu 21: Cho hình chóp S ABC có SA ( ABC ) tam giác ABC không vuông, gọi H , K trực tâm tam giác ABC SBC Các đường thẳng AH , SK , BC thỏa mãn: A Đồng quy B Đôi song song C Đôi chéo D Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi AA đường cao tam giác ABC AA ' BC mà BC SA nên BC SA ' Câu 22: Cho hình chóp S ABC có mặt bên tạo với đáy góc Hình chiếu H S ( ABC ) là: A Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC B Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C Trọng tâm tam giác ABC D Giao điểm hai đường thẳng AC BD Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P hình chiếu S lên cạnh AB, AC, BC Theo định lý ba đường vuông góc ta có M , N , P hình chiếu H lên cạnh AB, AC, BC Đường thẳng vng góc với mặt phẳng SMH SNH SPH SMH SNH SPH HM HN NP H tâm dường tròn nội tiếp ABC Câu 23: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đa giác đáy B Tất cạnh hình chóp C Đáy hình chóp miền đa giác D Các mặt bên hình chóp tam giác cân Hướng dẫn giải: Hình chóp có cạnh bên cạnh đáy KHƠNG nên đáp án B sai Câu 24: Tính chất sau khơng phải tính chất hình lăng trụ đứng? A Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình bình hành B Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật C Các cạnh bên hình lăng trụ đứng song song với D Hai đáy hình lăng trụ đứng có cạnh đơi song song Hướng dẫn giải: Chọn A Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 10 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: * Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Muốn chứng minh đương thẳng d ta dùng mơt hai cách sau Cách Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt d a d b a a , b a b I Cách Chứng minh d vng góc với đường thẳng a mà a vng góc với d a d a Cách Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P) * Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d a, ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a Sử dụng định lí ba đường vng góc Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Câu : Cho hình chóp S ABCD có SA ABCD ABC vuông B , AH đường cao SAB Khẳng định sau sai? A SA BC B AH BC Hướng dẫn giải: Chọn C Do SA ABC nên câu A Do BC SAB nên câu B D C AH AC D AH SC Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 53 A M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2 BC B M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2 BA2 BC C M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2 BC D M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2 BC Hướng dẫn giải: AB BM a) Ta có AB suy tam giác ABM AB BC A K ABC vuông B MC MB MC ABM Tiếp theo ta có MC AB MC AM hay tam giác ACM vuông M H C B M BH AM BH ACM b) Ta có BH MC BH AC Vậy AC BH AC BHK AC BK c) Dễ thấy BK cố định BHK 900 nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK Từ ta có tập hợp điểm M đường tròn đường kính BK d) MA2 AB2 BM mà AB không đỏi nên AM lớn MB lớn BM BC M C e) Ta có S BHK BH HK BK BH HK khơng đổi nên 4 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 54 max SBHK Ta có BK BK BH HK , lúc HBK vuông cân H nên BH 1 1 1 ; 2 2 BH BA BM BK AB BC 1 1 nên 2 2 BA BM BA BC BA BC BM MB BA.BC BA2 BC Vậy max SBHK BK BA.BC M giao điểm đường tròn đường kính MB BA2 BC BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2 BC Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, BC a , mặt bên SBC tam giác vuông B , mặt bên SCD vuông D SD a a) Tính SA A SA a B SA 2a C SA 3a D SA 4a b) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt CB, CD I , J Gọi H hình chiếu A SC Gọi K , L giao điểm K , L SB,SD với HIJ Khẳng định sau nhất? A AK SBC , B AL SCD C AK SC D Cả A, B, C Hướng dẫn giải: a) SBC vuông B BC SB mà BC AD BC SAB BC SA S Tương tự ta có SA CD nên SA ABCD Ta có K SC DS DC a A D SB SC BC a J B I L H C Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 55 SA SB2 AB2 a Vậy SA a IJ AC IJ SAC IJ SC b) Do IJ SA Lại có AH SC HIJ SC AK SC Dế thấy BC SAB BC AK 1 2 Từ 1 , 2 suy AK SBC Lập luận tương tự ta có AL SCD Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB a, SA a SA ABC Gọi M điểm cạnh AB AM x x a , mặt phẳng qua M vng góc với AB Giả sử thiết diện hình chóp S ABC với tứ giác MNPQ a) Hỏi tứ giác MNPQ hình A Hình chữ nhật B hình vng C hình thang D hình bình hành b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn A x a B x a C x 3a D x a Hướng dẫn giải: AB Ta có SA SA AB Do M SAB SAB MN SA Tương tự SA SAB SA AB BC BC AB S P N C A Q M B Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 56 M ABC BC ABC BC ABC MQ BC , Q AC N SBC SBC NP BC , P SC BC SBC BC Thiết diện tứ giác MNPQ b) Ta có MN SA, PQ SA MN PQ MQ BC, NP BC MQ NP nên MNPQ hình bình hành MN SA Mặt khác NP BC MN NP Vậy MNPQ hình chữ nhật SA BC b) Ta có MQ AM x , SMNPQ MN MB MB.SA a x a MN a x SA AB AB a a2 MN MQ a x x 3[ max SMNPQ a a2 x ] 2 a a2 x Câu 18: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với ABCD lấy điểm S Biết góc SA ABCD có số đo 45 Tính độ dài SO A SO a B SO a C SO Hướng dẫn giải: Chọn B Do SO ABCD SA, ABCD SAO 45 Do SAO vuông cân O nên SO AO a Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB a, BC b, CD c Độ dài AD : a D SO a Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 57 A a2 b2 c2 B a2 b2 c2 C a2 b2 c2 a2 b2 c2 D Hướng dẫn giải:: Ta có: BC CD BD BC CD2 b2 c2 AB BC AB BCD AB BD Mặt khác: AB CD AD AB2 BD2 a2 b2 c2 Vậy chọn đáp án A Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA ABCD SA a Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện A S a2 B S a2 2 C S a2 3 D S 4a 2 Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu A SC K Trong SAC gọi I SO AK Ta có BD SA BD SAC BD AC BD SC , mặt khác SC nên BD I SBD Vậy BD SBD BD S K SBD HL BD, H SD, L SB SC 2a a 2 B A O HL BD HL AK S AHKL AH KL b) Do BD AK AK I H Thiết diện tứ giác AHKL Ta có SA AC a SAC L cân tại., mà D AK SC nên K C trung điểm SC Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 58 HL BD HL SH SI 2 2a HL BD BD SD SO 3 Vậy S AHKL 2a a 2 a 3 Câu 21: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , đường cao SO 2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA ' tam giác ABC Xét mặt phẳng qua M vuông góc với AA ' Đặt AM x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt Giả sử tính diện tích thiết diện theo a x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn A x a B x 3a C x 3a D x 3a Hướng dẫn giải: S Vì S ABC hình chóp nên SO ABC ( O tâm tam giác ABC ).Do SO AA1 mà AA1 SO K Tương tự ta có BC A C J I M O Trường hợp x thiết diện điểm A A1 B a Trường hợp x M thuộc đoạn AO M A Ta có : M ABC ABC IJ BC , I AB, J AC BC ABC BC M SAA1 SAA1 MK SO, K SA Tương tự SO SAA1 SO Thiết diện tam giác KIJ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 59 Trường hợp a a M thuộc đoạn x S OA M 0; M A F Tương tự trường hợp ta có: M ABC BC ABC BC A J O I ABC IJ BC , I AB, J AC B M SAA1 SAA1 MN SO, N SA1 SO SAA1 SO N SBC SBC EF IJ , N EF BC SBC BC Thiết diện tứ giác IJEF Trường hợp x a thiết diện đoạn BC b) Xét trường hợp: x Std , x 0 x a Std a , S IJK IJ MK Ta có IJ BC Tương tự IJ AM x 2x IJ BC AA1 a 3 MK AM x MK x SO AO a 3 Vậy S IJK N E 2x x x M A1 C Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 60 a a , dễ thây IJEF hình thang nên S IJEF IJ EF MN x 3 IJ x EF SN OM , BC SA1 OA1 a 3 EF x a a x a x MN MA1 MN 3a x SO OA1 a Vậy S IJEF x 3a 3a x Xét trường hợp ta thấy S td lớn trường hợp x 3a a a max S IJEF x 3a Câu 22: Cho tam giác ABC C có cạnh huyền nằm mặt phẳng P cạnh góc vng tạo với P góc , Giả sử độ lớn góc đường cao CK với P Khẳng định sau nhất? A sin 2sin 2sin C sin sin sin B sin sin sin D sin sin sin Hướng dẫn giải: Kẻ CH P CKH góc CK P dễ thấy CA, P CAH , CB, P CBH Đặt CH h , ta có CA h h , CB sin sin C h2 h2 AB CA CB sin sin 2 1 h2 sin sin A P H K B Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 61 Xét tam giác ABC có CK AB CA.CB CK CA.CB AB h sin sin Ta có sin CKH h h sin sin sin sin h2 sin sin CH sin sin CK Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O SO ABCD , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng ABCD SBC góc Gọi H hình chiếu A SBC a)Tính SA HB A a a B a C a D a b) Tính góc đường thẳng SA với ABCD A arctan B arctan C arctan D arctan Hướng dẫn giải: a) Dễ thấy SA, ABCD SAO nên SO SA cos 1 OI BC BC SIO Gọi I trung điểm BC ta có SO BC S Kẻ OK SI OK BC nên OK SBC D K H I O A C B Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 62 AH CK Kẻ At OK cắt CK H , ta có AH SBC nên SA, SBC SAH CK SBC AH SA cos 2 Từ 1 , 2 ta có AH SO Khi BH a a a tam giác vng HAB có AH AB HB a 2 2 2 a 3 a 2 a a SO AH SA SO OA2 2 a SO 3 b) tan arctan OA a 2 2 Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA ABCD , SC a Góc đường thẳng SC với mặt phẳng ABCD SAB a) Tính SA A SA a sin B SA a cos C SA a tan D SA 2a sin b) Tính AB A a cos cos C 3a cos cos B 2a cos cos D a cos cos Hướng dẫn giải: a) Do SA ABCD SA, ABCD S SAC BC AB BC SAB Tương tự BC SA β A SC , SAB SBC α D C B Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 63 SA SC sin a sin b) SB SC sin a sin AB SB2 SA2 a sin a sin cos 2 cos 2 2 a a cos cos Câu 25: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H trực tâm tứ diện Gọi A, B, C ba góc tương ứng tam giác ABC Đặt AOH , BOH , COH Khẳng định sau nhất? A sin sin sin sin A sin B sin C B sin 2 sin 2 sin 2 sin A sin 2B sin 2C C sin 2 sin 2 sin 2 sin A sin B sin C D sin sin sin sin A sin 2B sin 2C Hướng dẫn giải: ( HS tự giải) Câu 26: Cho tứ diện ABCD có BDC 90 Hình chiếu H D mặt phẳng ABC trực tâm tam giác ABC a) Tính CDA A CDA 600 B CDA 900 C CDA 450 D CDA 300 b)Khẳng định sau B DA2 DB DC AB BC CA D DA2 DB2 DC AB BC CA A DA2 DB DC AB BC CA C DA2 DB DC AB BC CA Hướng dẫn giải: D BC DH BC ADH a) Vì BC AH BC DA 1 Tương tự ta có BDH AC DB AC , A B H N C M Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 64 DB DC DB ACD DB AC DB DA 2 Từ 1 , 2 suy DA BCD DA DC CDA 900 b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có cạnh DA, DB, DC đơi vng góc Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có AB BC CA AB BC CA2 AB DA2 DB Mà BC DB DC nên AB BC CA DA2 DB2 DC CA2 DA2 DC Đẳng thức xảy AB BC CA ABC đều, kết hợp với chân đường cao D trùng với tâm đáy ta D ABC hình chóp đỉnh D Câu 27: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc M điểm thuộc miền tam giác ABC a) Tìm giá trị nhỏ T A T MA2 MB2 MC OA2 OB2 OC B T C T D T b) Gọi H trực tâm tam giác ABC , , góc gữa đường thẳng OH với đường thẳng OA, OB, OC Tìm giá trị lớn A cot cot cot A max A c) Tìm GTNN S A S Hướng dẫn giải: B max A C max A D max A cos cos cos cos cos cos cos cos cos B S C S D S Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 65 a) N AM BC , Gọi kẻ MM1 OA ta có O OA OBC MM1 OBC MM1 OA A1 kẻ MA1 OA, A1 OA Khi A M1 B AM AA MA AA MO OA 2 2 OM AA1 OA1 AA1 OA1 M OM OAOA 2OA1 N C OM OA2 2OA.OA1 2OA1 AM OM 1 Suy 1 2 OA OA OA Tương tự gọi B1 , C1 điểm tương tự A1 ta có 2OB1 MB OM 1 2 OB OB OB 2 2OC1 MC OM 1 2 OC OC OC 3 1 OA1 OB1 OC1 Từ 1 , 2 , 3 ta có T OM 2 3 2 OA OB OC OA OB OC Gọi H trực tâm tam giác ABC ta biết kết quen thuộc 1 1 OM OA OB OC1 2 nên T 3 2 2 OA OB OC OH OH OA OB OC Mặt khác OA1 NM SMBC OA NA S ABC Tương tự OA1 OB1 OC1 OB1 SMAC OC1 SMAB 1 nên , OA OB OC OB S ABC OC S ABC Do T OM OM OH OH Vậy T M H Cách Đặt OA a, OB b, OC c Do A, B, C, M đồng phẳng nên tồn x, y, z cho OM xOA yOB zOC x y z 1 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 66 Ta AM OM OA x 1 a b c , có AM x 1 a y 2b2 z 2c bình phương vô MA2 y 2b z c 2 x OA2 a2 a MB2 x a z 2c MC x a y 2b2 2 y 1 , z 1 Tương tự 2 OB b b OC c c 1 Vì T a x2 b2 y2 c2 z2 a b c 1 1 ax by cz ( Theo Cauchy-Schwarz) b c a Vậy T b) Dễ thấy AOH , BOH , COH 2 1 1 OH OH OH Ta có 1 2 2 OA OB OC OH OA OB OC cos2 cos2 cos2 1 Lại có tan x 1 cot x cos x cos2 x tan x cot x * Áp dụng CT (*) cho x nhận giá trị , , kết hợp với 1 thu cot cot cot 1 cot cot cot Đặt x cot , y cot , z cot Cho x, y, z thỏa Ta có x, y, z 0 tốn trỏ thành x y z Chứng minh xyz 1 x 1 y 1 z x y z x y z 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 2 1 x yz 1 y 1 z yz 2 1 y 1 z Tương tự ta có : 2 1 y xz 2 3 1 z 1 x 1 z xy 1 x 1 y 4 hướng ta Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 67 Nhân theo vế BĐT 2 , 3 4 ta xyz c) Tương tự câu b) ta có S dpcm ... mặt phẳng P C Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P đường thẳng b vng góc với mặt phẳng P a vng góc với b D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc với mặt phẳng. .. góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng B Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mp song song với C Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc. .. Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt