3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

KHÔNG CẦN PHẢI MẤT CÔNG SOẠN BÀI TẬP, HƠN 100 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐỦ CÁC MỨC ĐỘ VỚI LỜI GIẢI CHI TIẾT, RÕ RÀNG, TRÌNH BÀY HỢP LÝ, ĐẸP MẮT. CHỈ CẦN DOWNLOAD VÀ SỬ DỤNG NGAY. THÍCH HỢP CHO VIỆC DÙNG LÀM BÀI GIẢNG VÀ BÀI KIỂM TRA.

Đường thẳng vng góc với mặt phẳng ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG A – NỘI DUNG LÝ THUYẾT Định nghĩa d  (P)  d  a, a  (P) Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng a, b  (P), a  b  O  d  (P)  d  a, d  b Tính chất  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a b    (P)  b (P )  a a  b    a b a  (P), b  (P) (P )  (Q)    a  (Q) a  (P ) (P)  (Q)    (P) Q) (P)  a,(Q)  a a  (P)   ba b  ( P ) a  ( P )   a  P) a  b,(P)  b Định lí ba đường vng góc Cho a  (P), b  (P) , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a Góc đường thẳng mặt phẳng    Nếu d  (P) d ,( P ) = 900    Nếu d  (P) d ,( P ) =  d , d '  với d hình chiếu d (P)   Chú ý: 00  d ,( P )  900 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng B – BÀI TẬP Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng P , a P Mệnh đề sau sai? A Nếu b P b // a C Nếu b // a b B Nếu b // P b P D Nếu b a a b // P Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng  điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với  cho trước? A B C D Vô số Hướng dẫn giải: Chọn D Qua điểm O dựng vơ số đường thẳng vng góc với  , đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với  Câu 3: Mệnh đề sau sai? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song D Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song Hướng dẫn giải: Chọn C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song ba đường thẳng đồng phẳng Câu 4: Khẳng định sau sai? A Nếu đường thẳng d    d vng góc với hai đường thẳng   B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm   d    Đường thẳng vng góc với mặt phẳng C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm   d vng góc với đường thẳng nằm   D Nếu d    đường thẳng a //   d  a Hướng dẫn giải: Chọn B Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm   d    hai đường thẳng cắt Câu 5: Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Mặt phẳng vng góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB Hướng dẫn giải: Chọn A Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực Câu 6: Trong không gian cho đường thẳng với điểmO Qua O có đường thẳng vng góc cho trước? A Vơ số B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 7: Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước? A B Vô số C D Hướng dẫn giải: Theo tiên đề qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  Chọn đáp án A Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng  không nằm mp  P  , đường thẳng  gọi vuông góc với mp  P  nếu: A vng góc với hai đường thẳng phân biệt nằm mp  P  Đường thẳng vng góc với mặt phẳng B vng góc với đường thẳng a mà a song song với mp  P  C vng góc với đường thẳng a nằm mp  P  D vng góc với đường thẳng nằm mp  P  Hướng dẫn giải: Đường thẳng  gọi vng góc với mặt phẳng  P   vng góc với đường thẳng mặt phẳng  P  (ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) Vậy đáp án D Câu 9: Cho a, b, c đường thẳng khơng gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Nếu a  b b  c a / / c B Nếu a vng góc với mặt phẳng   b / /   a  b C Nếu a / / b b  c c  a D Nếu a  b , b  c a cắt c b vng góc với mặt phẳng  a, c  Hướng dẫn giải: a  b Nếu  a c trùng nên đáp án A sai b  c Câu 10: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Hướng dẫn giải: Qua điểm cho trước kẻ vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Vậy chọn đáp án D Câu 11: Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Nếu a   P  b  a b  P B Nếu a  P a b b  P Đường thẳng vng góc với mặt phẳng C Nếu a  P b  a b   P  D Nếu a  P b   P  b  a Câu 12: Cho hai đường thẳng a, b mp  P  Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu a//  P  b  a b//  P  B Nếu a//  P  b   P  a  b C Nếu a//  P  b  a b   P  D Nếu a   P  b  a b//  P  Hướng dẫn giải: Câu A sai b vng góc với a Câu B a//  P   a   P  cho a //a , b   P  b  a Khi  a  b Câu C sai b nằm  P  Câu D sai b nằm  P  Vậy chọn B Câu 13: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Hai đường thẳng chéo vng góc với Khi có mp chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B Qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng  cho trước C Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước D Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Câu 14: Tập hợp điểm cách đỉnh tam giác đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác qua: A Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B Trọng tâm tam giác C Tâm đường tròn nội tiếp tam giác D Trực tâm tam giác Câu 15: mệnh đề mặt phẳng sau: A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải:: Đáp án A sai hai đường thẳng chéo Đáp án B sai hai mặt phẳng cắt Đáp án C sai hai đường thẳng trùng Chọn đáp án D Câu 16: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Cho hai đường thẳng vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mp song song với C Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc với mp D Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Vì qua đường thẳng dựng vô số mặt phẳng Câu 17: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P đường thẳng b vng góc với a b vng góc với mặt phẳng P B Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b b song song với mặt phẳng P a song song nằm mặt phẳng P C Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng P a vng góc với b D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Giả sử xét hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' hình vẽ có A ' B '/ / ABCD B 'C ' A' B ' B ' C '/ / ABCD Chọn đáp án A Câu 18: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC tam giác ABC vuông B Vẽ SH   ABC  , H   ABC  Khẳng định sau đúng? A H trùng với trọng tâm tam giác ABC B H trùng với trực tâm tam giác ABC C H trùng với trung điểm AC D H trùng với trung điểm BC Hướng dẫn giải: Chọn C Do SA  SB  SC nên HA  HB  HC Suy H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Mà ABC vng B nên H trung điểm AC Câu 19: Cho hình chóp S ABC thỏa mãn SA  SB  SC Tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc S lên mp  ABC  Chọn khẳng định sai khẳng định sau? A  SBH   SCH   SH B  SAH   SBH   SH C AB  SH D  SAH    SCH   SH Hướng dẫn giải:  SBH   SCH    SBC  Chọn A Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên Đường thẳng vng góc với mặt phẳng SA  SB  SC  SD Gọi H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau sai? A HA  HB  HC  HD B Tứ giác ABCD hình bình hành C Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D Các cạnh SA , SB , SC , SD hợp với đáy ABCD góc Hướng dẫn giải: Chọn B Vì hình chóp S ABCD có cạnh bên SA  SB  SC  SD H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy HA  HB  HC  HD Nên đáp án B sai Câu 21: Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) tam giác ABC không vuông, gọi H , K trực tâm tam giác ABC SBC Các đường thẳng AH , SK , BC thỏa mãn: A Đồng quy B Đôi song song C Đôi chéo D Đáp án khác Hướng dẫn giải: Gọi AA đường cao tam giác ABC  AA '  BC mà BC  SA nên BC  SA ' Câu 22: Cho hình chóp S ABC có mặt bên tạo với đáy góc Hình chiếu H S ( ABC ) là: A Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC B Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C Trọng tâm tam giác ABC D Giao điểm hai đường thẳng AC BD Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P hình chiếu S lên cạnh AB, AC, BC Theo định lý ba đường vuông góc ta có M , N , P hình chiếu H lên cạnh AB, AC, BC Đường thẳng vng góc với mặt phẳng  SMH  SNH  SPH  SMH  SNH  SPH  HM  HN  NP  H tâm dường tròn nội tiếp ABC Câu 23: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đa giác đáy B Tất cạnh hình chóp C Đáy hình chóp miền đa giác D Các mặt bên hình chóp tam giác cân Hướng dẫn giải: Hình chóp có cạnh bên cạnh đáy KHƠNG nên đáp án B sai Câu 24: Tính chất sau khơng phải tính chất hình lăng trụ đứng? A Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình bình hành B Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật C Các cạnh bên hình lăng trụ đứng song song với D Hai đáy hình lăng trụ đứng có cạnh đơi song song Hướng dẫn giải: Chọn A Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 10 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: * Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Muốn chứng minh đương thẳng d    ta dùng mơt hai cách sau Cách Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt   d  a d  b   a      a    , b    a  b  I Cách Chứng minh d vng góc với đường thẳng a mà a vng góc với    d a  d         a Cách Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P) * Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d  a, ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng định lí ba đường vng góc  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Câu : Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD ABC vuông B , AH đường cao SAB Khẳng định sau sai? A SA  BC B AH  BC Hướng dẫn giải: Chọn C Do SA   ABC  nên câu A Do BC   SAB  nên câu B D C AH  AC D AH  SC Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 53 A M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2  BC B M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2 BA2  BC C M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2  BC D M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2  BC Hướng dẫn giải:  AB  BM a) Ta có AB      suy tam giác ABM  AB  BC A K ABC vuông B  MC  MB  MC   ABM  Tiếp theo ta có   MC  AB  MC  AM hay tam giác ACM vuông M H C B M  BH  AM  BH   ACM  b) Ta có   BH  MC  BH  AC Vậy AC  BH    AC   BHK  AC  BK  c) Dễ thấy BK cố định BHK  900 nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK Từ ta có tập hợp điểm M đường tròn đường kính BK d) MA2  AB2  BM mà AB không đỏi nên AM lớn MB lớn  BM  BC  M  C e) Ta có S BHK BH  HK BK  BH HK   khơng đổi nên 4 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 54 max SBHK  Ta có BK BK  BH  HK , lúc HBK vuông cân H nên BH  1 1 1   ;   2 2 BH BA BM BK AB BC  1 1  nên         2 2 BA BM BA BC  BA BC  BM  MB  BA.BC BA2  BC Vậy max SBHK BK BA.BC  M giao điểm đường tròn đường kính    MB  BA2  BC BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2  BC Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, BC  a , mặt bên SBC tam giác vuông B , mặt bên SCD vuông D SD  a a) Tính SA A SA  a B SA  2a C SA  3a D SA  4a b) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt CB, CD I , J Gọi H hình chiếu A SC Gọi K , L giao điểm K , L SB,SD với  HIJ  Khẳng định sau nhất? A AK   SBC  , B AL   SCD C AK  SC D Cả A, B, C Hướng dẫn giải: a) SBC vuông B  BC  SB mà BC  AD  BC   SAB   BC  SA S Tương tự ta có SA  CD nên SA   ABCD Ta có K SC  DS  DC  a A D  SB  SC  BC  a J B I L H C Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 55  SA  SB2  AB2  a Vậy SA  a  IJ  AC  IJ   SAC   IJ  SC b) Do   IJ  SA Lại có AH  SC   HIJ   SC  AK  SC Dế thấy BC   SAB   BC  AK 1 2  Từ 1 ,  2 suy AK   SBC  Lập luận tương tự ta có AL   SCD Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  a, SA  a SA   ABC  Gọi M điểm cạnh AB AM  x   x  a  , mặt phẳng   qua M vng góc với AB Giả sử thiết diện hình chóp S ABC với   tứ giác MNPQ a) Hỏi tứ giác MNPQ hình A Hình chữ nhật B hình vng C hình thang D hình bình hành b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn A x  a B x  a C x  3a D x  a Hướng dẫn giải:     AB Ta có   SA   SA  AB Do    M   SAB           SAB   MN SA Tương tự  SA   SAB    SA       AB  BC    BC  AB S P   N C A Q M B Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 56  M      ABC    BC   ABC    BC        ABC   MQ BC , Q  AC  N   SBC           SBC   NP BC , P  SC  BC   SBC    BC   Thiết diện tứ giác MNPQ b) Ta có MN SA, PQ SA  MN PQ MQ BC, NP BC  MQ NP nên MNPQ hình bình hành  MN SA  Mặt khác  NP BC  MN  NP Vậy MNPQ hình chữ nhật  SA  BC  b) Ta có MQ  AM  x , SMNPQ MN MB MB.SA  a  x  a   MN    a  x SA AB AB a a2  MN MQ   a  x  x  3[ max SMNPQ  a a2   x   ] 2  a a2 x  Câu 18: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với  ABCD lấy điểm S Biết góc SA  ABCD  có số đo 45 Tính độ dài SO A SO  a B SO  a C SO  Hướng dẫn giải: Chọn B Do SO   ABCD    SA,  ABCD    SAO  45 Do SAO vuông cân O nên SO  AO  a Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB  a, BC  b, CD  c Độ dài AD : a D SO  a Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 57 A a2  b2  c2 B a2  b2  c2 C a2  b2  c2 a2  b2  c2 D Hướng dẫn giải:: Ta có: BC  CD  BD  BC  CD2  b2  c2  AB  BC  AB   BCD   AB  BD Mặt khác:   AB  CD AD  AB2  BD2  a2  b2  c2 Vậy chọn đáp án A Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD SA  a Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng   qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện A S  a2 B S  a2 2 C S  a2 3 D S  4a 2 Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu A SC K    Trong  SAC  gọi I  SO  AK Ta có BD  SA    BD   SAC  BD  AC   BD  SC , mặt khác    SC nên BD    I      SBD   Vậy  BD   SBD    BD   S K      SBD  HL BD, H  SD, L  SB SC 2a   a 2 B A O  HL BD  HL  AK  S AHKL  AH KL b) Do   BD  AK  AK  I H Thiết diện tứ giác AHKL Ta có SA  AC  a  SAC L cân tại., mà D AK  SC nên K C trung điểm SC Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 58 HL BD  HL SH SI 2 2a     HL  BD  BD SD SO 3 Vậy S AHKL  2a a 2 a  3 Câu 21: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , đường cao SO  2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA ' tam giác ABC Xét mặt phẳng   qua M vuông góc với AA ' Đặt AM  x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt   Giả sử tính diện tích thiết diện theo a x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn A x  a B x  3a C x  3a D x  3a Hướng dẫn giải: S Vì S ABC hình chóp nên SO   ABC  ( O tâm tam giác ABC ).Do SO  AA1 mà   AA1  SO K   Tương tự ta có BC   A C J I M O Trường hợp x  thiết diện điểm A A1 B a Trường hợp  x  M thuộc đoạn AO  M  A Ta có :  M   ABC           ABC   IJ BC , I  AB, J  AC  BC   ABC    BC    M      SAA1        SAA1   MK SO, K  SA Tương tự  SO   SAA1    SO   Thiết diện tam giác KIJ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 59 Trường hợp a a M thuộc đoạn x S OA M  0; M  A F Tương tự trường hợp ta có:  M   ABC       BC   ABC    BC   A J O I      ABC   IJ BC , I  AB, J  AC B  M      SAA1        SAA1   MN SO, N  SA1  SO   SAA1    SO    N      SBC        SBC   EF IJ , N  EF  BC   SBC    BC   Thiết diện tứ giác IJEF Trường hợp x  a thiết diện đoạn BC b) Xét trường hợp: x   Std  , x  0 x a  Std  a , S IJK  IJ MK Ta có IJ BC  Tương tự IJ AM x 2x    IJ  BC AA1 a 3 MK AM x    MK  x SO AO a 3 Vậy S IJK  N E 2x x  x M A1 C Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 60 a a , dễ thây IJEF hình thang nên S IJEF   IJ  EF  MN x 3 IJ  x EF SN OM ,    BC SA1 OA1 a 3  EF  x  a a x  a x MN MA1    MN  3a  x SO OA1 a  Vậy S IJEF      x  3a 3a  x Xét trường hợp ta thấy S td lớn trường hợp x  3a a a max S IJEF  x 3a Câu 22: Cho tam giác ABC C có cạnh huyền nằm mặt phẳng  P  cạnh góc vng tạo với  P  góc  ,  Giả sử  độ lớn góc đường cao CK với  P  Khẳng định sau nhất? A sin   2sin   2sin  C sin   sin   sin  B sin   sin   sin  D sin   sin   sin  Hướng dẫn giải: Kẻ CH   P  CKH góc CK  P  dễ thấy  CA,  P   CAH   , CB,  P   CBH   Đặt CH  h , ta có CA  h h , CB  sin  sin  C h2 h2 AB  CA  CB   sin  sin  2  1   h2     sin  sin   A P H K B Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 61 Xét tam giác ABC có CK AB  CA.CB  CK  CA.CB  AB  h sin   sin  Ta có sin CKH  h h sin  sin   sin   sin     h2  sin  sin   CH  sin   sin  CK Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O SO   ABCD  , đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng  ABCD   SBC  góc Gọi H hình chiếu A  SBC  a)Tính SA HB  A a a B a C a D a b) Tính góc đường thẳng SA với  ABCD  A   arctan B   arctan C   arctan D   arctan Hướng dẫn giải: a) Dễ thấy  SA,  ABCD    SAO   nên SO  SA cos  1 OI  BC  BC   SIO  Gọi I trung điểm BC ta có   SO  BC S Kẻ OK  SI OK  BC nên OK   SBC  D K H I O A C B Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 62   AH CK Kẻ At OK cắt CK H , ta có   AH   SBC  nên  SA,  SBC    SAH    CK   SBC  AH  SA cos  2 Từ 1 ,  2 ta có AH  SO Khi BH  a a a tam giác vng HAB có AH  AB  HB  a     2 2 2 a 3 a 2 a a  SO  AH   SA  SO  OA2        2     a SO 3 b) tan        arctan OA a 2 2 Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD , SC  a Góc đường thẳng SC với mặt phẳng  ABCD   SAB    a) Tính SA A SA  a sin  B SA  a cos  C SA  a tan  D SA  2a sin  b) Tính AB A a cos     cos     C 3a cos     cos     B 2a cos     cos     D a cos     cos     Hướng dẫn giải: a) Do SA   ABCD    SA,  ABCD   S  SAC    BC  AB  BC   SAB  Tương tự   BC  SA β A   SC ,  SAB    SBC   α D C B Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 63 SA  SC sin   a sin  b) SB  SC sin   a sin  AB  SB2  SA2  a sin   a sin   cos 2  cos 2  2 a  a cos     cos     Câu 25: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H trực tâm tứ diện Gọi A, B, C ba góc tương ứng tam giác ABC Đặt   AOH ,   BOH ,   COH Khẳng định sau nhất? A sin  sin  sin    sin A sin B sin C B sin 2 sin 2 sin 2   sin A sin 2B sin 2C C sin 2 sin 2 sin 2   sin A sin B sin C D sin  sin  sin    sin A sin 2B sin 2C Hướng dẫn giải: ( HS tự giải) Câu 26: Cho tứ diện ABCD có BDC  90 Hình chiếu H D mặt phẳng ABC trực tâm tam giác ABC a) Tính CDA A CDA  600 B CDA  900 C CDA  450 D CDA  300 b)Khẳng định sau   B DA2  DB  DC   AB  BC  CA   D DA2  DB2  DC   AB  BC  CA A DA2  DB  DC   AB  BC  CA C DA2  DB  DC   AB  BC  CA     Hướng dẫn giải: D  BC  DH  BC   ADH  a) Vì   BC  AH  BC  DA 1 Tương tự ta có  BDH   AC  DB  AC , A B H N C M Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 64  DB  DC  DB   ACD    DB  AC  DB  DA  2 Từ 1 ,  2 suy DA   BCD  DA  DC CDA  900 b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có cạnh DA, DB, DC đơi vng góc Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có  AB  BC  CA   AB  BC  CA2   AB  DA2  DB  Mà  BC  DB  DC nên  AB  BC  CA  DA2  DB2  DC CA2  DA2  DC    Đẳng thức xảy AB  BC  CA  ABC đều, kết hợp với chân đường cao D trùng với tâm đáy ta D ABC hình chóp đỉnh D Câu 27: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc M điểm thuộc miền tam giác ABC a) Tìm giá trị nhỏ T  A T  MA2 MB2 MC   OA2 OB2 OC B T  C T  D T  b) Gọi H trực tâm tam giác ABC  ,  ,  góc gữa đường thẳng OH với đường thẳng OA, OB, OC Tìm giá trị lớn A  cot  cot  cot  A max A  c) Tìm GTNN S  A S  Hướng dẫn giải: B max A  C max A  D max A  cos   cos  cos   cos  cos   cos    cos  cos  cos  B S  C S  D S  Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 65 a) N  AM  BC , Gọi kẻ MM1 OA ta có O OA   OBC    MM1   OBC     MM1 OA A1 kẻ MA1  OA, A1  OA Khi A M1 B AM  AA  MA  AA  MO  OA 2 2  OM   AA1  OA1  AA1  OA1  M  OM  OAOA  2OA1  N C  OM  OA2  2OA.OA1 2OA1 AM OM  1 Suy 1 2 OA OA OA Tương tự gọi B1 , C1 điểm tương tự A1 ta có 2OB1 MB OM  1 2 OB OB OB  2 2OC1 MC OM  1 2 OC OC OC  3 1   OA1 OB1 OC1   Từ 1 ,  2 , 3 ta có T  OM     2   3 2   OA OB OC   OA OB OC  Gọi H trực tâm tam giác ABC ta biết kết quen thuộc 1 1 OM  OA OB OC1      2   nên T  3 2 2 OA OB OC OH OH  OA OB OC  Mặt khác OA1 NM SMBC   OA NA S ABC Tương tự OA1 OB1 OC1 OB1 SMAC OC1 SMAB   1 nên  ,  OA OB OC OB S ABC OC S ABC Do T  OM   OM  OH OH Vậy T  M  H Cách Đặt OA  a, OB  b, OC  c Do A, B, C, M đồng phẳng nên tồn x, y, z cho OM  xOA  yOB  zOC  x  y  z  1 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 66 Ta AM  OM  OA   x  1 a  b  c , có AM   x  1 a  y 2b2  z 2c  bình phương vô MA2 y 2b z c 2  x      OA2 a2 a MB2 x a z 2c MC x a y 2b2 2    y  1  ,     z  1 Tương tự 2 OB b b OC c c  1  Vì T       a x2  b2 y2  c2 z2   a b c  1  1   ax  by  cz    ( Theo Cauchy-Schwarz) b c  a Vậy T  b) Dễ thấy   AOH ,   BOH ,   COH 2 1 1  OH   OH   OH  Ta có          1 2 2 OA OB OC OH  OA   OB   OC   cos2   cos2   cos2   1 Lại có  tan x  1 cot x  cos x   cos2 x  tan x  cot x * Áp dụng CT (*) cho x nhận giá trị  ,  ,  kết hợp với 1 thu cot  cot  cot    1  cot   cot   cot  Đặt x  cot  , y  cot  , z  cot  Cho x, y, z  thỏa Ta có   x, y, z  0 tốn trỏ thành x y z    Chứng minh xyz  1 x 1 y 1 z x y z x y z     1   2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 2 1 x yz 1  y 1  z  yz  2 1  y 1  z  Tương tự ta có : 2 1 y xz 2  3 1 z 1  x 1  z  xy 1  x 1  y   4 hướng ta Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 67 Nhân theo vế BĐT  2 , 3 4 ta xyz  c) Tương tự câu b) ta có S   dpcm  ... mặt phẳng P C Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P đường thẳng b vng góc với mặt phẳng P a vng góc với b D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc với mặt phẳng. .. góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng B Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mp song song với C Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc. .. Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt