2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

KHÔNG CẦN PHẢI MẤT CÔNG SOẠN BÀI TẬP, HƠN 100 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ĐỦ CÁC MỨC ĐỘ VỚI LỜI GIẢI CHI TIẾT, RÕ RÀNG, TRÌNH BÀY HỢP LÝ, ĐẸP MẮT. CHỈ CẦN DOWNLOAD VÀ SỬ DỤNG NGAY. THÍCH HỢP CHO VIỆC DÙNG LÀM BÀI GIẢNG VÀ BÀI KIỂM TRA.

Hai đường thẳng vng góc HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Vectơ phương đường thẳng: a  VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng:  a//a, b//b   a, b    a ', b '  Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u, v )    a, b    Khi đó: 180    neáu 00    1800 neáu 900    1800  Nếu a//b a  b  a, b   00 Chú ý: 00   a, b   900 Hai đường thẳng vng góc:  a  b   a, b   900  Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a  b  u v   Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c Khẳng định sau đúng? A Nếu a b vng góc với c a // b B Nếu a // b c  a c  b C Nếu góc a c góc b c a // b D Nếu a b nằm mp   // c góc a c góc b c Hướng dẫn giải: Chọn B Nếu a b vng góc với c a b song song chéo C sai do: Giả sử hai đường thẳng a b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c đường vng góc chung a b Khi góc a c với góc b c 90 , hiển nhiên hai đường thẳng a b không song song Hai đường thẳng vng góc D sai do: giả sử a vng góc với c , b song song với c , góc a c 90 , góc b c 0 Do B Câu 2: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c ) B Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 3: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Tứ diện có mặt tam giác nhọn B Tứ diện có hai mặt tam giác nhọn C Tứ diện có ba mặt tam giác nhọn D Tứ diện có bốn mặt tam giác nhọn Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 4: Trong mệnh đề mệnh đề là? A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai B Trong khơng gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt D Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba vng góc với Hướng dẫn giải: Chọn A Theo lý thuyết Câu 5: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c Hai đường thẳng vng góc B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c D Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng  a, b  Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 6: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi khơng nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi d1 , d , d3 đường thẳng cắt đôi Giả sử d1 , d cắt A , d3 khơng nằm mặt phẳng với d1 , d mà d3 cắt d1 , d nên d3 phải qua A Thật giả sử d3 khơng qua A phải cắt d1 , d hai điểm B , C điều vơ lí, đường thẳng cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt Câu 7: Trong khẳng định sau, khẳng định ? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với B Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c C Cho hai đường thẳng phân biệt a b Nếu đường thẳng c vng góc với a b a , b , c không đồng phẳng D Cho hai đường thẳng a b song song, a vng góc với c b vng góc với c Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Hai đường thẳng vng góc Câu 8: Mệnh đề sau đúng? A Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 9: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 10: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Cho hai đường thẳng a, b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a,b B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c Hướng dẫn giải: Chọn D Theo định lý-sgk Hai đường thẳng vng góc DẠNG 1: TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Để tính góc hai đường thẳng d1 , d2 không gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d2 cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) d1 d'1 O d'2 d2 Từ O dựng đường thẳng d1' , d2' song song ( tròng O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d1' , d2' góc hai đường thẳng d1 , d2 Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác cos A  b2  c  a2 2bc Cách Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d2 xác định cos  d1 , d2   u1 u2 u1 u2 Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a , b , c khơng đồng phẳng mà tính độ dài góc chúng,sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a , b , c thực tính tốn Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a , IJ  a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: A Chọn C J Gọi M , N trung điểm AC , BC M Ta có: O B N I C D Hai đường thẳng vng góc 1 a   MI  NI  AB  CD  2  MINJ hình thoi   MI // AB // CD // NI Gọi O giao điểm MN IJ Ta có: MIN  2MIO a IO    MIO  30  MIN  60 Xét MIO vuông O , ta có: cos MIO  a MI 2 Mà:  AB, CD    IM , IN   MIN  60 Câu 2: Cho hình hộp ABCD ABC D Giả sử tam giác ABC ADC  có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC AD góc sau đây? A BDB B ABC D DAC  C DBB Hướng dẫn giải: A' Chọn D D' B' Ta có: AC // AC  (tính chất hình hộp) C' A   AC, AD    AC, AD   DAC (do giả thiết cho D B C DAC  nhọn) Câu 3: Cho tứ diện ABCD (Tứ diện có tất cạnh nhau) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: A Chọn D Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD Gọi E trung điểm CD  BE  CD (do BCD đều) Do AH   BCD  AH  CD B D H E C CD  BE  CD   ABE   CD  AB   AB, CD   90 Ta có:  CD  AH  Câu 17 [1H3-2] Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  Hai đường thẳng vuông góc A B C D Hướng dẫn giải: A Chọn A E Khơng tính tổng qt, giả sử tứ diện ABCD có cạnh a B Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD D H M C Gọi E trung điểm AC  ME // AB   AB, DM    ME, MD    Ta có: cos  AB, DM   cos  ME, MD   cos ME, MD  cos EMD Do mặt tứ diện tam giác đều, từ ta dễ dàng tính độ dài cạnh MED : ME  a , ED  MD  a 2 2 a a 3 a 3       ME  MD  ED       Xét MED , ta có: cos EMD    2ME.MD a a 2 Từ đó: cos  AB, DM   3  6 Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc  MN , SC  A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: Chọn D S Gọi O tâm hình vng ABCD  O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) N Ta có: SA  SB  SC  SD  S nằm trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) Từ (1) (2)  SO   ABCD Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN đường trung bình SAD )   MN , SC    SA, SC  A M D B O C Hai đường thẳng vng góc 2 2   SA  SC  a  a  2a  SAC Xét , ta có:   SAC vng S  SA  SC AC  AD  a     SA, SC    MN , SC   90 Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc  IJ , CD  A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: Chọn C S Gọi O tâm hình vng ABCD  O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) I Ta có: SA  SB  SC  SD  S nằm trục đường tròn ngoại tiếp A B hình vuông ABCD (2) O D Từ (1) (2)  SO   ABCD J C Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ đường trung bình SAB )   IJ , CD   SB, AB Mặt khác, ta lại có SAB đều, SBA  60   SB, AB   60   IJ , CD   60 Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB  CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD , AD Góc  IE, JF  A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: Chọn D A  IJ // EF // AB Từ giả thiết ta có:  (tính chất đường trung bình tam  JE // IF // CD giác) I B Từ suy tứ giác IJEF hình bình hành Mặt khác: F AB  CD  IJ  J 1 AB  JE  CD  ABCD hình thoi 2  IE  JF (tính chất hai đường chéo hình thoi)   IE, JF   90 E C D Hai đường thẳng vuông góc Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB DH ? A 45 B 90 C 120 D 60 Hướng dẫn giải: Chọn B AB  AE    AB  DH   AB, DH   90 AE // DH  Câu 8: Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Hãy xác định góc cặp vectơ AB OO ' ? A 60 B 45 C 120 D 90 Hướng dẫn giải: Chọn D Vì ABCD ABC ' D ' hình vng nên AD // BC '; AD  BC '  ADBC ' hình bình hành Mà O; O ' tâm hình vuông nên O; O ' trung điểm BD AC '  OO ' đường trung bình ADBC '  OO '// AD Mặt khác, AD  AB nên OO '  AB   OO ', AB   90o Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC  BAD  600 , CAD  900 Gọi I J trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD ? A 45 B 90 C 60 D 120 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có BAC BAD tam giác đều, I trung điểm AB nên CI  DI (2 đường trung tuyến tam giác chung cạnh AB ) nên CID tam giác cân I Do IJ  CD Câu 10: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC ASB  BSC  CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SB AC ? A 60 B 120 C 45 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: SAB  SBC  SCA  c  g  c   AB  BC  CA D 90 Hai đường thẳng vng góc 10 Do đótam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì hình chóp S ABC có SA  SB  SC nên hình chiếu S trùng với G Hay SG   ABC   AC  BG  AC   SBG  Ta có:   AC  SG Suy AC  SB Vậy góc cặp vectơ SB AC 900 Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD BAC  BAD  600 , CAD  900 Gọi I J trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ AB IJ ? A 120 B 90 C 60 Hướng dẫn giải: Chọn B Xét tam giác ICD có J trung điểm đoạn CD Ta có: I J   IC  ID  Vì tam giác ABC có AB  AC BAC  60 Nên tam giác ABC Suy ra: CI  AB Tương tự ta có tam giác ABD nên DI  AB Xét IJ AB    1 IC  ID AB  IC AB  ID AB  2 Suy I J  AB Hay góc cặp vectơ AB IJ 900 D 45 Hai đường thẳng vng góc 24 D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC P MG GA MG 2MG GA GB 3MG GA2 GB Dấu xảy M GA GB MG GC GC GA2 GC GC GB GB 3MG Vậy Pmin G cố định GA GA2 GB GB GC GC G G trọng tâm tam giác ABC GC với M Chọn đáp án A Câu 43: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  26; b  28; a  b  48 Độ dài vectơ a  b bằng? A 25 B C 616 D 618 Hướng dẫn giải:  a b  a b  2  2    a  b  2a.b  a  b  a  b    2   a  b   a  b  262  282  482  616    a  b  616 Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC BDA  600 , ADC  900 , BDC  1200 Trong tứ diện đó: A Tam giác ABD có diện tích lớn B Tam giác BCD có diện tích lớn C Tam giác ACD có diện tích lớn D Tam giác ABC có diện tích lớn Hướng dẫn giải: Đặt DA  DB  DC  a Tam giác ABD cạnh a nên diện tích S ABD a2  Tam giác ACD vuôn D nên diện tích S ACD  Diện tích tam giác BCD S BCD  a2 DA.DC  2 a2 DB.DC sin1200  mặt Hai đường thẳng vng góc 25 Tam giác ABC có AB  a, AC  a 2, BC  a nên tam giác ABC vuông A Diện tích tam giác ABC S ABC  a2 AB AC  2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn Câu 45: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  4; b  3; a.b  10 Xét hai vectơ y  a  b x  a  2b, Gọi α góc hai vectơ x , y Chọn khẳng định A cos   2 15 15 B cos   C cos   15 D cos   15 Hướng dẫn giải:      2 Ta có x y  a  2b a  b  a  b  3a.b  x   x y   y cos   2   a  2b   a  b x y  x y 2 a  2  2a.b   15 ABC có diện tích  2 AB AC  2k AB AC A k    b  4a.b   a   b   Câu 46: Cho tam giác S  S Tìm giá trị  B k = C k  1 AB AC.sin C  AB AC sin C  AB AC 1  cos C  2  2 AB AC  AB AC  thích hợp thỏa mãn: Hướng dẫn giải: S k Chọn C Câu 47: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác a) Khẳng định sau A AB CD chéo B AB CD vng góc với D k  Hai đường thẳng vng góc 26 C AB CD đồng phẳng D AB CD cắt b) Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC, BC, BD, DA Khẳng định sau nhất? Chứng minh MNPQ hình chữ nhật A MNPQ hình vng B MNPQ hình bình hành C MNPQ hình chữ nhật D MNPQ hình thoi Hướng dẫn giải: a) Đặt AB  AD  AC  a   Ta có CD AB  AD  AC AB 1  AB AD cos 600  AB AC cos 600  a.a  a.a  2 C Vậy AB  CD N M AB a  b) Ta có MN PQ AB MN  PQ  nên tứ giác 2 P B MNPQ hình bình hành D Q A  MN AB  Lại có  NP CD  MN  NP , MNPQ hình chữ nhật  AB  CD  Câu 48: Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  a BC  a Tính góc hai đường thẳng AB SC A  AB, SC   600 B  AB, SC   450 C  AB, SC   300 D  AB, SC   900 Hướng dẫn giải: S Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, AC , MN AB nên M  AB, SC    MN , SC  N φ Đặt   NMP , tam giác MNP có A B P C Hai đường thẳng vng góc 27 cos   MN  MP2  NP2 2MN MP Ta có MN  MP  PS  1 a 5a , AB2  AC  BC  ABC vuông A , PB  AP  AC  , 3a Trong tam giác PBS theo cơng thứ tính đường trung tuyến ta có 5a 3a  2 PB  PS SB 2 4  a  3a PN    4 Thay MN , MP, NP vào 1 ta cos       120 Vậy  AB, SC    MN , SC   60 Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, SA  AB SA  BC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC A  BC , SD   300 B  BC , SD   450 C  BC , SD   600 D  BC , SD   500 b) Gọi I , J điểm thuộc SB SD cho IJ BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J A  IJ , AC   900 B  IJ , AC   600 C  IJ , AC   300 D  IJ , AC   450 Hướng dẫn giải: a)  BC , SD   450 b)  IJ , AC   900 Câu 50: Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Khẳng định sau nhất? A AD  BC B AD cắt BC C AD BC chéo D Cả A, B, C b) Gọi M , N điểm thuộc đường thẳng AB DB cho MA  k MB, ND  k NB Tính góc hai đường thẳng MN BC A  MN , BC   900 B  MN , BC   800 C  MN , BC   600 D  MN , BC   450 Hướng dẫn giải: Hai đường thẳng vng góc 28 a) Gọi P trung điểm BC , tam giác A  AP  BC ABC DBC cân nên   DP  BC   Ta có BC AD  BC PD  PA  M Vậy BC  AD b)  Ta có MA  k MB  MA  k, MB ND  k NB  N B ND k NB D P MA ND  MB NB C suy MN AD   MN , BC    AD, BC   900 ( Theo câu a) Câu 51: Cho hình hộp thoi ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh a ABC  B ' BA  B ' BC  600 Tính góc hai đường thẳng AC B’D’ A  AC, B 'D'  900 B  AC, B 'D'  600 C  AC, B 'D'  450 D  AC, B 'D'  300 Hướng dẫn giải: HS tự giải Câu 52: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB  CD  2a MN  a Tính góc hai đường thẳng AB CD A  AB, CD   300 B  AB, CD   450 C  AB, CD   600 D  AB, CD   900 Hướng dẫn giải: Gọi O trung điểm AC , ta có OM  ON  a OM AB   AB, CD    OM , ON   ON CD Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OMN ta có  OM  ON  MN a  a  a  cos MON  2.a.a 2OM ON 2  A  N Vậy  AB, CD   60 O B D M C Hai đường thẳng vng góc 29 Câu 53: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c a)Khẳng định sau A đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh B đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối khơng vng góc với hai cạnh C đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc khơng vng góc với hai cạnh D A, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng AC BD a A  AC , BD   arccos A  c2  b2 M B  AC , BD   arccos 2a  c b P  B C  AC , BD   arccos D  AC , BD   arccos 2a  c 3b D  N C  a2  c2  b2 Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, CD, AD a) Do hai tam giác ACD BCD có CD chung AC  BD, AD  BC nên chúng nhau, suy MC  MD Vậy tam giác MCD cân M có trung tuyến MN nên MN  CD Tương tự MN  AB Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối lại  PM BD   BD, AC    PM , PN  b) Ta có   PN AC Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có 2 CA2  CB AB 2  b  c   a CM    4 Hai đường thẳng vng góc 30 Tương tự DM  2  b2  c2   a 2 MC  MD CD 2  b  c   a a b  c  a     , nên MN  4 2 Áp dụng định lí sin cho tam giác PMN ta có 2 b b b c a    a2  c2  PM  PN  MN     cos MPN    2.PM PN b2  b  b        Vậy  AC , BD   arccos  a2  c2  b2 Hai đường thẳng vng góc 31 DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp: Để chứng minh d1  d2 ta có phần ta thực theo cách sau:  Chứng minh d1  d2 ta chứng minh u1 u2  u1 , u2 vec tơ phương d1 d2 b c  a  b  Sử dụng tính chất  a  c   Sử dụng định lí Pitago xác định góc d1 , d2 tính trực tiếp góc  Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác  Tính tích vơ hướng… Câu 1: Cho hình hộp ABCD ABC D có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A AC   BD B BB  BD C AB  DC  D BC   AD Hướng dẫn giải: Chọn B A' D' Chú ý: Hình hộp có tất cạnh gọi hình hộp thoi B' C' A vì: A  AC   BD  AC   BD   BD // BD B sai vì: B D C  AB  AB  AB  DC  C vì:   AB // DC   BC   BC  BC   AD D vì:    B C // A D  Câu 2: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC  AC AD  AD AB AB  CD , AC  BD , AD  BC Điều ngược lại không? Sau lời giải: Hai đường thẳng vuông góc 32   Bước 1: AB AC  AC AD  AC AB  AD   AC.DB   AC  BD Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD  AD AB ta AD  BC AB AC  AD AB ta AB  CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD Mặt phẳng  P  song song với AB CD cắt BC, DB, AD, AC M , N , P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Tứ giác khơng phải hình thang Hướng dẫn giải: Chọn C  MNPQ  //AB  MQ //AB Ta có:   MNPQ    ABC   MQ Tương tự ta có: MN //CD, NP//AB, QP//CD Do tứ giác MNPQ hình bình hành lại có MN  MQ  AB  CD  Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Hai đường thẳng vng góc 33 Câu 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R trung điểm AB, CD, AD, BC AC a) Khẳng định sau nhất? A MN  RP, MN  RQ B MN  RP, MN cắt RQ C MN chéo RP; MN chéo RQ D Cả A, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng AB CD? A  AB, CD   600 B  AB, CD   300 C  AB, CD   450 D  AB, CD   900 Hướng dẫn giải: a) Ta có MC  MD  a nên tam giác MCD cân M , MN  CD Lại có RP CD  MN  RQ b) Tương tự ta có QP  AD A Trong tam giác vng PDQ ta có M  a   a 2 a QP  QD  DP   Ta có :        2 2 B a a RQ  RP        a2  QP2 2 2 P R 2 D Q N C Do tam giác RPQ vuông R , hay RP  RQ  AB RQ  Vì CD RP  AB  CD  RP  RQ  Câu 6: Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC  có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC, CB, BC C A Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành Hướng dẫn giải: B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thang Hai đường thẳng vng góc 34 Chọn B Vì M , N , P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ hình bhình hành Gọi H trung điểm AB CH  AB Vì hai tam giác ABC ABC  nên  C H  AB Suy AB  CHC Do AB  CC   PQ //AB  Ta có:  PN //CC   PQ  PN  AB  CC   Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với AB  a, AD  2a Tam giác SAB vuông can A , M điểm cạnh AD ( M khác A D ) Mặt phẳng   qua M song sog với  SAB  cắt BC, SC, SD N , P, Q a) MNPQ hình gi? A MNPQ hình thang vng B MNPQ hình vng C MNPQ hình chữ nhật D MNPQ hình bình hành b)Tính diện tích MNPQ theo a A S MNPQ  3a Hướng dẫn giải: B S MNPQ  a2 C S MNPQ  3a D S MNPQ  a2 Hai đường thẳng vng góc 35    SAB   a) Ta có  SAB    ABCD   AB  MN AB      ABCD   MN    SAB   Tương tự  SBC    SAB   SB  NP SB      SBC   NP    SAB    SAD    SAB   SA  MQ SA      SAD   MQ S Q P Dễ thấy MN PQ AB CD nên MNPQ hình bình hành D M A  MN AB  Lại có  MQ SA  MN  MQ  AB  SA  C N B Vậy MNPQ hình thang vng b) Ta có MN  AB  a , MQ  Vậy S MNPQ  SA a CD a  , PQ   2 2 1 a  a 3a MN  PQ MQ  a       2 22 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Trên cạnh DC BB ' lấy điểm M N cho MD  NB  x   x  a  Khẳng định sau đúng? a) Khẳng định sau đúng? A AC '  B ' D ' B AC’ cắt B’D’ C AC’và B’D’ đồng phẳng D Cả A, B, C b) khẳng định sau ? B A A AC '  MN B AC’ MN cắt Hướng dẫn giải: Đặt AA '  a, AB  b, AD  c C N C AC’ MN đồng phẳng D Cả A, B, C M D B' A' D' C' Hai đường thẳng vng góc 36 a) Ta có AC '  a  b  c , B ' D '  c  b nên   AC '.B ' D '  a  b  c c  b     a c  b  c  b  a2  a2   AC '  B ' D '     x   x  x   x b) MN  AN  AM  AB  BN  AD  DM   b  a  -  c  b   a  1-  b - c a   a  a   a   x   x  x   x Từ ta có AC '.MN  a  b  c [  b  a  -  c  b   a  1-  b - c] a   a  a   a  x  x 2  x a  1   b  c  x.a  1   a  a  a  a  a Vậy AC '  MN Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC  a , BD  3a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN A MN  a 10 B MN  a C MN  3a D MN  2a Hướng dẫn giải: Chọn A A Gọi E , F trung điểm AB CD  EN // AC   AC , BD    NE , NF   90  NE  NF (1) Ta có:   NF // BD M E C   NE  FM  AC Mà:  (2)  NF  ME  BD  F N B Từ (1), (2)  MENF hình chữ nhật 2 2 a 10  AC   BD   a   3a  Từ ta có: MN  NE  NF                2   2 Chọn D Câu 10: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng? A AB AC  AB2  AC  BC B AB AC  AB2  AC  2BC D Hai đường thẳng vng góc 37 C AB AC  AB2  AC  2BC D AB AC  AB2  AC  BC Hướng dẫn giải: Chọn A BC  AB2  AC  AB.AC.cos  AB, AC   AB2  AC  2.AB.AC Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG B a2 A a C a2 2 D a 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có AB.EG  AB AC , mặt khác AC  AB  AD   Suy AB.EG  AB AC  AB AB  AD  AB  AB AD  a Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB  a, BD  3a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN A MN  a B MN  a 10 C MN  2a 3 D MN  3a 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Kẻ NP//AC  P  AB  , nối MP NP đường trung bình ABC  PN  a AC  2 MP đường trung bình ABD  PM  Lại có 3a BD  2  AC, BD   PN , PM   NPM  90 suy  MNP vuông P Vậy MN  PN  PM  a 10 Câu 13: Cho tứ diện ABCD AB  , CD  , góc AB CD 60 điểm M BC cho BM  2MC Mặt phẳng  P  qua M song song với AB CD cắt BD , AD , AC M , N , Q Diện tích MNPQ bằng: Hai đường thẳng vng góc 38 A 2 B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Thiết diện MNPQ hình bình hành Ta có  AB, CD    QM , MP   QMP  60 Suy S MPNQ  QN QN sin 60 Lại có CMQ # CBA  CM MO    MQ  AB AB AQN # ACD  AQ QN    QN  AC CD Do SMPNQ  QM QN.sin 60  2.2.sin 60  Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB  4, CD  M điểm thuộc cạnh BC cho MC  BM Mặt phẳng  P  qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện  P  với tứ diện là? A B Hướng dẫn giải: Ta có  AB, CD    MN , MQ   NMQ  90 Suy thiết diện MNPQ hình chữ nhật Lại có: CMN ANP CM MN    MN  CB AB 3 AN NP ACD     MP  AC CD CBA  Suy SMNPQ  MN.NP  16 C 17 D 16 ... Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với... (hoặc b trùng với c ) B Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng Hướng dẫn giải:... A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc