Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán kinh tế: Mô hình giải tích nhiều biến phân tích kinh tế - Kinh doanh cung cấp cho người học các kiến thức: Công cụ toán, các bài toán kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Mơ hình giải tích nhiều biến PHÂN TÍCH KINH TẾ - KINH DOANH Nguyễn Văn Phong nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Nội dung Cơng cụ tốn Các tốn kinh tế nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Cơng cụ tốn Đạo hàm riêng Cho f hàm hai biến, đạo hàm riêng f hàm hai biến fx fy định nghĩa sau: f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) ∂f = fx (x, y ) = lim (1) ∆x→0 ∂x ∆x ∂f f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) = fy (x, y ) = lim (2) ∆y →0 ∂y ∆y Cho hàm f (x1 , x2 , , xn ) Khi đó, đạo hàm riêng f theo biến thứ i, định nghĩa là: ∂f f (x1 , , xi + ∆xi , , xn ) − f (x1 , , xi , , xn ) = lim ∆xi →0 ∂xi ∆xi nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Cơng cụ tốn Bài tốn cực trị hàm hai biến Cho hàm số z = f (x, y ) Khi ta có kết sau Định lý (Điều kiện cần) Nếu f đạt cực trị địa phương (a, b) đạo hàm riêng cấp f tồn tại, fx (a, b) = fy (a, b) = nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Cơng cụ tốn Định lý (Điều kiện đủ) Nếu đạo hàm riêng cấp hai f (x, y ) tồn N(a,b) fx (a, b) = 0, fy (a, b) = Ta đặt ∆ = fxx (a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]2 = fxx fxy fyx fyy a Nếu ∆ > fxx (a, b) > (a, b) cực tiểu b Nếu ∆ > fxx (a, b) < (a, b) cực đại c Nếu ∆ < (a, b) điểm yên ngựa nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Công cụ tốn Bài tốn cực trị có điều kiện Tìm cực trị hàm f (x, y ) thõa mãn g (x, y ) = Phương pháp nhân tử Lagrange B1: Lập hàm Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y ) B2: Tìm điểm dừng thõa Lx (x, y , λ) = Ly (x, y , λ) = (3) L (x, y , λ) = λ Giải (3) ta ∃ (x0 , y0 , λ) nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Cơng cụ tốn Phương pháp nhân tử Lagrange B3: Tính dg (x0 , y0 ) = gx (x0 , y0 )dx + gy (x0 , y0 )dx cho dg (x0 , y0 ) = Ta tìm biểu thức liên hệ dx dy B4: Kiểm tra điều kiện cực trị Tính d L(x0 , y0 ) vi phân toàn phần cấp hai L Nếu d L(x0 , y0 ) > (x0 , y0 ) cực tiểu Nếu d L(x0 , y0 ) < (x0 , y0 ) cực đại nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Công cụ toán Hàm bậc k Hàm z = f (x, y ) gọi hàm bậc k ∀t, f (tx, ty ) = t k f (x, y ) (4) Công thức Euler Hàm z = f (x, y ) hàm bậc k ∂f ∂f x +y = kz (5) ∂x ∂y nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Cơng cụ tốn Công thức đạo hàm hàm ẩn Cho F (x, y ) = Giả sử đạo hàm riêng F liên tục Fy (x, y ) = Khi ∃y (x) ∈ Nx0 : y0 = y (x0 ), F (x, y (x)) = 0, F y (x) = − x Fy nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH (6) (7) / 15 Các toán kinh tế Hàm cận biên Cho hàm số y = f (x1 , x2 , , xn ) Khi hàm cận biên f theo xi xác định Mfxi (x1 , x2 , , xn ) = ∂f (x1 , x2 , , xn ) ∂xi Ý nghĩa Khi yếu tố khác không đổi, xi thay đổi đơn vị y thay đổi Mfxi đơn vị nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 15 Các toán kinh tế Hệ số co dãn Cho hàm số y = f (x1 , x2 , , xn ) Khi hệ số co dãn f theo xi x0 ∈ Rn xác định Efxi (x0 ) = ∂f (x0 ) x0 ∂xi f (x0 ) Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Cho hàm số U = U(x, y ) Ta nói U tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần Uxx < Uyy < 0, ∀(x, y ) nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 10 / 15 Các toán kinh tế Hiệu quy mô sản suất Cho hàm sản suất Q = f (K , L) Khi đó, Q(mK , mL) > mQ(K , L) sản suất có hiệu tăng theo quy mô (ứng với cấp > 1) Q(mK , mL) < mQ(K , L) sản suất có hiệu giảm theo quy mơ (ứng với cấp < 1) Q(mK , mL) = mQ(K , L) sản suất có hiệu khơng đổi theo quy mô (ứng với cấp = 1) nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 11 / 15 Các toán kinh tế Hệ số thay Cho y = f (x1 , x2 , , xn ) Khi đó, có hai biến xi , xj thay đổi yếu tố khác khơng đổi, để f khơng đổi hai biến thay đổi theo tỷ lệ nào? Từ biểu thức vi phân toàn phần hàm f n df = i=1 ∂f ∂f ∂f dxi ⇒ = dxi + dxj ∂xi ∂xi ∂xj Ta suy d xi ∂f /∂xj =− d xj ∂f /∂xi nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH (8) 12 / 15 Các toán kinh tế Hệ số thay Nếu d xi d xj với tỷ lệ Nếu d xi d xj < ta nói xi thay cho xj d xi d xj > ta nói xi , xj bổ sung cho với tỷ lệ d xi d xj Nếu dd xxji = ta nói xi , xj khơng thay cho nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 13 / 15 Các toán kinh tế Các toán tối ưu Bài tốn tối đa hóa lợi nhuận Bài toán người tiêu dùng Xác định quỹ vốn lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận Xác định cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận Xác định quỹ vốn lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TỐN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 14 / 15 Vận dụng Tìm ứng dụng khác đạo hàm riêng, hàm nhất, đạo hàm hàm ẩn, phân tích kinh tế Với yêu cầu sau: Phát biểu toán (Nêu tên có) Thiết lập mơ hình Giải, phân tích nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TỐN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 15 / 15 ... nói xi , xj khơng thay cho nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 13 / 15 Các toán kinh tế Các toán tối ưu Bài toán tối đa hóa lợi nhuận Bài tốn người tiêu dùng Xác định... TRỊ - KINH DOANH 14 / 15 Vận dụng Tìm ứng dụng khác đạo hàm riêng, hàm nhất, đạo hàm hàm ẩn, phân tích kinh tế Với yêu cầu sau: Phát biểu tốn (Nêu tên có) Thiết lập mơ hình Giải, phân tích nv.phongbmt@ufm.edu.vn... quy mô (ứng với cấp < 1) Q(mK , mL) = mQ(K , L) sản suất có hiệu không đổi theo quy mô (ứng với cấp = 1) nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 11 / 15 Các toán kinh tế