Bài giảng Toán kinh tế: Mô hình giải tích nhiều biến phân tích kinh tế - Kinh doanh cung cấp cho người học các kiến thức: Công cụ toán, các bài toán kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1Nguyễn Văn Phong
Trang 21 Công cụ toán
2 Các bài toán kinh tế
Trang 3Cho f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của f là các
∂f
∂x = fx(x , y ) = lim∆x →0
f (x + ∆x , y ) − f (x , y )
∂f
∂y = fy(x , y ) = lim∆y →0
f (x , y + ∆y ) − f (x , y )
Cho hàm f (x1, x2, , xn) Khi đó, đạo hàm riêng của f theo biến thứ i , được định nghĩa là:
∂f f (x , , x + ∆x , , x ) − f (x , , x , , x )
Trang 4Bài toán cực trị hàm hai biến
Cho hàm số z = f (x , y ) Khi đó ta có các kết quả sau
Định lý (Điều kiện cần)
Nếu f đạt cực trị địa phương tại (a, b) và các đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại, thì
fx(a, b) = 0 và fy(a, b) = 0
Trang 5Định lý (Điều kiện đủ)
Nếu các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y ) tồn tại trên
N(a,b) và fx(a, b) = 0, fy(a, b) = 0 Ta đặt
∆ = fxx(a, b)fyy(a, b) − [fxy(a, b)]2 =
fxx fxy
fyx fyy
a Nếu ∆ > 0 và fxx(a, b) > 0 thì (a, b) là cực tiểu
b Nếu ∆ > 0 và fxx(a, b) < 0 thì (a, b) là cực đại
Trang 6Bài toán cực trị có điều kiện
Tìm cực trị của hàm f (x , y ) thõa mãn g (x , y ) = 0
Phương pháp nhân tử Lagrange
B1: Lập hàm Lagrange L(x , y , λ) = f (x , y ) + λg (x , y )
Lx(x , y , λ) = 0
Ly (x , y , λ) = 0
Lλ(x , y , λ) = 0
(3)
Giải (3) ta được ∃ (x0, y0, λ)
Trang 7Phương pháp nhân tử Lagrange
B3: Tính dg (x0, y0) = gx(x0, y0)dx + gy(x0, y0)dx và cho
dx và dy
Tính d2L(x0, y0) vi phân toàn phần cấp hai của L
Nếu d 2 L(x0, y0) > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu
Nếu d 2 L(x0, y0) < 0 thì (x0, y0) là cực đại
Trang 8Hàm thuần nhất bậc k
Hàm z = f (x , y ) được gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu
Công thức Euler
Hàm z = f (x , y ) là hàm thuần nhất bậc k nếu và chỉ nếu
x∂f
∂f
Trang 9Công thức đạo hàm hàm ẩn
Cho F (x , y ) = 0 Giả sử các đạo hàm riêng của F liên tục và Fy0(x , y ) 6= 0 Khi đó
∃y (x) ∈ Nx0 : y0 = y (x0), F (x , y (x )) = 0, (6)
y0(x ) = −Fx0
F0 y
(7)
Trang 10Hàm cận biên
Cho hàm số y = f (x1, x2, , xn) Khi đó hàm cận biên
Mfxi(x1, x2, , xn) = ∂f (x1, x2, , xn)
Ý nghĩa
thì y thay đổi Mfxi đơn vị
Trang 11Cho hàm số y = f (x1, x2, , xn) Khi đó hệ số co dãn
Efxi(x0) = ∂f (x0)
∂xi
x0
f (x0).
Quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Cho hàm số U = U(x , y ) Ta nói U tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần nếu
Trang 12Hiệu quả quy mô sản suất
Cho hàm sản suất Q = f (K , L) Khi đó, nếu
Q(mK , mL) > mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả tăng theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất > 1) Q(mK , mL) < mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả giảm theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất < 1) Q(mK , mL) = mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả không đổi theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất = 1)
Trang 13Cho y = f (x1, x2, , xn) Khi đó, nếu có hai biến xi, xj thay đổi và các yếu tố khác không đổi, để f không đổi
phân toàn phần của hàm f
df =
n
X
i =1
∂f
∂xidxi +
∂f
∂xjdxj
Ta suy ra
d xi
Trang 14Hệ số thay thế
Nếu d xi
d x j < 0 thì ta nói xi có thể thay thế được cho xj với tỷ lệ
d x i
d x j
Nếu d xi
d x j > 0 thì ta nói xi, xj có thể bổ sung được cho nhau với tỷ lệ
d x i
d x j
Nếu d xi
d x j = 0 thì ta nói xi, xj không thay thế được cho nhau
Trang 15Các bài toán tối ưu
Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận
Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận
Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận
Trang 16Tìm các ứng dụng khác của đạo hàm riêng, hàm thuần
các yêu cầu sau:
Phát biểu bài toán (Nêu tên nếu có)
Thiết lập mô hình
Giải, phân tích
... class="page_container" data-page="15">Các toán tối ưu
Xác định quỹ vốn lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận
Xác định cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu,... hàm thuần
các yêu cầu sau:
Phát biểu tốn (Nêu tên có)
Thiết lập mơ hình
Giải, phân tích
... Trang 6Bài toán cực trị có điều kiện
Tìm cực trị hàm f (x , y ) thõa mãn g (x , y ) =