Bài giảng Toán kinh tế: Mô hình giải tích phân tích kinh tế - Kinh doanh cung cấp cho người học các kiến thức: Công cụ toán, các mô hình kinh tế, các bài toán kinh tế, vận dụng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Mơ hình giải tích PHÂN TÍCH KINH TẾ - KINH DOANH Nguyễn Văn Phong nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Nội dung Công cụ tốn Các mơ hình kinh tế Các tốn kinh tế Vận dụng nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TỐN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Công cụ toán Định nghĩa đạo hàm Cho số f : (a, b) → R x0 ∈ (a, b) Khi đó, đạo hàm f x0 , xác định ∆f f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x f (x0 ) = lim (1) Đạo hàm cấp n f xác định f (n) (x0 ) = f (n−1) nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) (x0 ) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH (2) / 22 Cơng cụ tốn Ý nghĩa đạo hàm Tính xấp xỉ giá trị hàm f điểm x0 cho trước thông qua f (x) ∼ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) (3) Cho biết x0 , x thay đổi đơn vị f thay đổi f (x0 ) đơn vị Khảo xát cực trị hàm số nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Cơng cụ tốn Tích phân Nguyên hàm: F (x) nguyên hàm f (x) F (x) = f (x) (4) Ký hiệu f (x)dx = F (x) + C vớ C : số Tích phân xác định: Tích phân xác định f [a, b] b f (x) dx = lim a nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) n→∞ n i=1 TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH f (xi∗ )∆xi (5) / 22 Cơng cụ tốn Phương trình vi phân tuyến tính cấp Có dạng: y + p(x)y = q(x) (6) Có nghiệm tổng quát là: y (x) = e − nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) p(x)dx q(x)e p(x)dx TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH dx + C (7) / 22 Các mơ hình kinh tế Hàm sản suất Q (L) = αLβ (8) Q (K , L) = αK β Lγ (9) đó, K : Vốn, L : Lao động (9) gọi hàm Cobb-Douglas Hàm chi phí C = C (Q1 , Q2 , , Qn , L) (10) đó, Q : Sản lượng, L : Lao động nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Các mô hình kinh tế Hàm doanh thu - Lợi nhuận R (Q1 , Q2 , , Qn , L) π (Q1 , Q2 , , Qn , L) = R − C (11) (12) Chi tiêu - Tiết kiệm - Cung - Cầu C (Y ) = aY + b, (0 < a < 1, b > 0) S = S(Y ) QS = S(P) QD = D(P) (13) (14) (15) (16) đó, Y : Thu nhập, P : Giá bán nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Các mơ hình kinh tế Hàm lợi ích (thỏa dụng) TU = TU(x1 , x2 , , xn ) (17) đó, x1 , x2 , , xn : lượng mặt hàng hay dịch vụ nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Các toán kinh tế Hàm cận biên Cho hàm số y = f (x) Khi hàm cận biên f xác định Mf (x) = df (x) = f (x) dx (18) Cho biết : Khi x thay đổi đơn vị y thay đổi Mf (x) đơn vị nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Các toán kinh tế Hệ số co dãn Cho hàm số y = f (x) Khi hệ số co dãn f theo x x0 xác định Efx (x0 ) = ∆f (x0 ) x0 ∆x f (x0 ) (19) Cho biết : Khi x thay đổi 1% y thay đổi Efx (x0 ) % nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 10 / 22 Các toán kinh tế Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Cho hàm số U = U(x) Khi U tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần (MU(x)) = U (x) < 0, ∀x nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH (20) 11 / 22 Các toán kinh tế Hàm bình quân Cho hàm số y = f (x) Khi hàm bình qn xác định Af (x) = f (x) ,x > x (21) Af (x) đạt cực trị ∃x0 cho (Af ) (x0 ) = nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) Mf (x0 ) − Af (x0 ) =0 x0 TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH (22) 12 / 22 Các toán kinh tế Các toán tối ưu Cho hàm số y = f (x) Khi f đạt cực trị x0 f (x0 ) = (23) f đạt cực đại x0 f (x0 ) < (24) f (x0 ) > (25) cực tiểu nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 13 / 22 Các toán kinh tế Xác định hàm tổng biết hàm cận biên Cho hàm cận biên My = Mf (x) với điều kiện y0 = f (x0 ) Khi hàm tổng f (x) xác định f (x) = Mf (x)dx y0 = f (x0 ) nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH (26) 14 / 22 Các toán kinh tế Xác định thặng dư Cho hàm cung QS = S(P) hàm cầu QD = D(P) Khi thặng dư nhà sản suất xác định Q0 PS = P0 Q0 − S −1 (Q)dQ (27) thặng dư người tiêu dùng xác định Q0 CS = D −1 (Q)dQ − P0 Q0 (28) P0 thỏa S(P) = D(P) Q0 = D(P0 ) = S(P0 ) nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 15 / 22 Các toán kinh tế Xác định lãi kép Gọi V0 : giá trị (PV); r : lãi suất; Vt : giá trị tương lai (FV) Khi đó, ta có Vt = V0 (1 + r )t Nếu năm có n lần tính lãi với lãi suất lần tính rn = r /n Khi đó, Vt = V0 (1 + rn )nt = V0 (1 + r /n)nt Nếu n → +∞ Vt = lim V0 (1 + r /n)nt = V0 e rt n→∞ gọi lãi suất liên tục nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 16 / 22 Các toán kinh tế Đánh giá hiệu đầu tư Gọi C : chi phí triển khai dự án tại; B : số tiền mà dự án đem sau t năm; r : lãi suất Khi đó, để đánh giá hiệu dự án ta dùng số giá trị ròng, NPV NPV = B(1 + r )−t − C Nếu NPV > dự án chấp nhận nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 17 / 22 Các toán kinh tế Xác định hàm cầu từ hệ số co dãn Từ định nghĩa hệ số co dãn cầu theo giá bán DP = D (P) P dD(P) P = × · D dP D (29) Từ (29), tích phân hai vế ta có dD = D nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) εDP dP → ln (D (P)) = P TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH DP dP P 18 / 22 Các toán kinh tế Điều chỉnh giá thị trường Giả sử cung cầu loại hàng hóa QD = a − bP, a, b > QS = −c + dP, c, d > (30) (31) Nếu thời điểm t = mà P(0) = P0 (giá cân bằng) thị trường đạt cân Tuy nhiên P(0) = P0 phải sau thời gian điều chỉnh thị trường tiếng tới trạng thái cân Trong khoảng thời gian P, QD , QS thay đổi theo t nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 19 / 22 Các toán kinh tế Vấn đề đặt có đủ thời gian để điều chỉnh liệu thị trường có tiến tới trạng thái cân không? nghĩa P(t) → P0 , t → ∞ (32) Để trả lời câu hỏi này: Chúng ta cần thiết lập hàm P(t) Với giả thuyết sau: Giả thuyết dP = δ (QD − QS ) dt nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH (33) 20 / 22 Các toán kinh tế Tốc độ biến thiên giá tỷ lệ thuận với lượng chênh lệch cung cầu, QS − QD Với δ > hệ số điều chỉnh dP = QD − QS Thay (30) (31) vào Chú ý dt (33) ta dP + δ (a + c) P = δ (a + c) (34) dt Phương trình (34) phương trình vi phân tuyến tính Giải (34) ta P(t) = [P(0) − P0 ] e −δ(b+d )t + P0 (35) Do δ(b + d ) > nên t → ∞ P(t) → P0 nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 21 / 22 Vận dụng Tìm ứng dụng khác tích phân phương trình vi phân phân tích kinh tế Với yêu cầu sau: Phát biểu toán (Nêu tên có) Thiết lập mơ hình Giải, phân tích nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH 22 / 22 ... khác tích phân phương trình vi phân phân tích kinh tế Với yêu cầu sau: Phát biểu tốn (Nêu tên có) Thiết lập mơ hình Giải, phân tích nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TỐN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH. .. Cobb-Douglas Hàm chi phí C = C (Q1 , Q2 , , Qn , L) (10) đó, Q : Sản lượng, L : Lao động nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Các mơ hình kinh tế Hàm doanh thu -. ..Nội dung Cơng cụ tốn Các mơ hình kinh tế Các toán kinh tế Vận dụng nv.phongbmt@ufm.edu.vn (BMT-TK) TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH / 22 Cơng cụ tốn Định nghĩa đạo hàm Cho số