Bài giảng Dự báo: Mô hình Arima - ThS. Nguyễn Văn Phong

Bài giảng Dự báo: Mô hình Arima cung cấp cho người học các kiến thức: Một số quá trình đơn giản, các công cụ, các tính chất, tính dừng của chuỗi thời gian, các ước lượng, quá trình tự hồi quy bậc 1, phương pháp Moment,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

MƠ HÌNH ARIMA Nguyễn Văn Phong UFM - 2013 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Một số trình đơn giản Xét chuỗi thời gian {Xt , t ∈ Z} Khi đó, Định nghĩa i) IID noise Xt gọi IID noise, chúng độc lập có phân phối, với trung bình 0, phương sai hữu hạn σ , ký hiệu Xt ∼ IID 0, σ ii) White noise Xt gọi White noise, chúng khơng tương quan, với trung bình 0, phương sai hữu hạn σ , ký hiệu Xt ∼ WN 0, σ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Một số trình đơn giản Xét chuỗi thời gian {Xt , t ∈ Z} Khi đó, Định nghĩa iii) Random walk Là trình ngẫu nhiên thỏa t ui , ut ∼ WN(0, σ ) Xt = Xt−1 + ut = i=1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Các cơng cụ i) Tốn tử độ trể (Lag Operation) LXt = Xt−1 Lm Xt = Xt−m ii) Trung bình µt = E (Xt ) iii) Hiệp phương sai, AVCF Autocovariance Function γ (t, s) = E [(Xt − µt ) (Xs − µs )] Var (Xt ) = γ (t, t) = E (Xt − µt )2 iv) Hệ số tương quan, ACF (Autocorrelation Function) γ (t, s) ρ (t, s) = γ (t, t) γ (s, s) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Một số tính chất i) ii) iii) iv) γ (t, s) = γ (s, t) |γ (t, s)| γ (t, t) γ (s, s) γ (t, s) = E [Xt Xs ] − E (Xt ) E (Xs ) |ρ (t, s)| Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Các công cụ v) Filter linear (Wold Decomposition) ∞ Xt = µt + ψi ut−i i=0 ut ∼ WN 0, σ ∞ ψ0 = ψi2 < ∞ i=0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Các cơng cụ vi) Phương trình sai phân cấp k k xn − xn−i = 0, xi = bi , i = 1, k − 1, ∀n ≥ k i=1 Cách giải: +) Giải phương trình đặc trưng: P (λ) = λk − k λk−i = i=1 +) Với nghiệm bội m PTĐT, ta có m nghiệm PTSP có dạng xn = nr λn , ≤ r ≤ m − +) Nghiệm tổng quát PTSP tổ hợp tuyến tính nghiệm Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Ví dụ Ví dụ Xét phương trình sau: xn + 3xn−1 − 4xn−2 = 0, x0 = 2, x1 = n≥2 Ta có, phương trình đặc trưng: λ2 + 3λ − = 0, có nghiệm bội là: λ1 = 1, λ2 = −4 Do đó, nghiệm tổng quát PTSP: xn = 1n A + (−4)n B, n ≥ Sử dụng điều kiện đầu, ta tìm nghiệm PTSP là: xn = + (−4)n 5 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Ví dụ Ví dụ Xét phương trình sau: xn − 3xn−2 − 2xn−3 = 0, x0 = 0, x1 = 1, x2 = n≥3 Ta có, phương trình đặc trưng: λ3 − 3λ − = 0, có nghiệm bội là: λ = nghiệm bội λ = −1 Do đó, nghiệm tổng quát PTSP: xn = 2n A + (−1)n B + n(−1)n C Sử dụng điều kiện đầu, ta tìm nghiệm PTSP là: 2 xn = 2n − (−1)n + n(−4)n 3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Ví dụ Ví dụ Xét phương trình sau: xn+2 + 4xn+2 + 8xn = 0, x0 = 0, x1 = n≥0 Ta có, phương trình đặc trưng: λ2 √ + 4λ + = 0, có 3π nghiệm phức là: λ = −2 ± i = 2 cos 3π + i sin Do đó, nghiệm tổng quát PTSP: √ n 3π xn = 2 M cos 3π + N sin Sử dụng điều kiện đầu, ta tìm nghiệm PTSP là: √ n 3nπ xn = 2 sin Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Quá trình trung bình trượt MA(1) Tương tự ta φ11 = ρ(1) ρ(1) φ22 = ρ(1) ρ(1) φ33 = ρ(1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) có PACF cho MA(1): ρ(1) ρ(1)2 q, γ(h) = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 34 / 47 Quá trình trung bình trượt MA(p) Định lý Quá trình MA(q) khả nghịch phương trình sau có nghiệm lớn 1 − β1 L − β2 L2 − · · · − βq Lq = Khi ta viết lại µ µ ut = − + β −1 (L)Xt = − + β(1) β(1) ∞ cj Xt−j j=0 Với hệ số cj thỏa (1 − β1 L − · · · − βq Lq ) + c1 L + c2 L2 + · · · = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 35 / 47 Q trình trung bình trượt MA(q) Ví dụ Xét q trình MA(2): Xt = ut + 0.6ut−1 − 0.1ut−2 , ut ∼ WN(0, 1) Khi đó, ta có E (Xt ) = γ(0) = (1 + β12 + β22 )σ = 1.37 γ(1) = (−β1 + β1 β2 )σ = 0.54 γ(2) = −β2 σ = −0.1 γ(h) = 0., với h > ρ(0) = 1; ρ(1) = 0.39; ρ(2) = −0.07 Để kiểm tra tính khả nghịch q trình trên, ta xét phương trình + 0.6L − 0.1L2 = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 36 / 47 Quá trình trung bình trượt MA(q) Phương trình có nghiệm L1 = −1.36, L2 = 7.36, q trình khả nghịch Khi đó, ta viết Xt = (1 + 0.6L − 0.1L2 )ut hay ut = = Xt + 0.6L − 0.1L2 + c1 L + c2 L2 + · · · Xt Với cj thỏa + 0.6L − 0.1L2 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) + c1 L + c2 L2 + c3 L3 + · · · = MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 37 / 47 Quá trình ARMA(1,1) Quá trình ARMA(1, 1) có dạng Xt = δ + αXt−1 + ut − βut−1 (11) (1 − αL)Xt = δ + (1 − βL)ut (12) hay hay Xt = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) δ − βL + ut − α − αL MƠ HÌNH ARIMA (13) UFM - 2013 38 / 47 Quá trình ARMA(1,1) Ta có − βL = ψ0 + ψ1 L + ψ2 L2 + ψ3 L3 + · · · − αL (14) Suy − βL = (1 − αL)(ψ0 + ψ1 L + ψ2 L2 + ψ3 L3 + · · · ) (15) hay − βL = ψ0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) +ψ1 L + ψ2 L2 + ψ3 L3 + · · · −αψ0 L − αψ1 L2 − αψ3 L3 − · · · MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 39 / 47 Quá trình ARMA(1,1) Đồng hai vế ta có L0 : ψ0 = L1 : ψ1 − αψ0 = −β, suy ψ1 = α − β L2 : ψ2 − αψ1 = 0, suy ψ2 = α(α − β) L3 : ψ3 − αψ2 = 0, suy ψ2 = α2 (α − β) ··· Lj : ψj − αψj−1 = 0, suy ψ2 = αj−1 (α − β) Các ψj , j ≥ 2, ta xác định cách giải phương trình sai phân sau ψj − αψj−1 = 0, ψ1 = α − β Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA (16) UFM - 2013 40 / 47 Quá trình ARMA(1,1) Khi (13) viết lại sau δ Xt = + ut + (α − β)ut−1 + α(α − β)ut−2 1−α (17) + α (α − β)ut−3 + · · · Mặt khác từ (12), ta có δ − αL ut = − + Xt − α − βL δ =− + (1 − αL)(1 + βL + β L2 + · · · )Xt 1−α δ =− + Xt + (β − α)Xt−1 + β(β − α)Xt−2 + · · · 1−α (18) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 41 / 47 Các đặc trưng ARMA(1,1) Trung bình: µ = δ/(1 − α) Hiệp phương sai ACVF: Giả sử δ = 0, từ E [Xt , Xt+h ] = E [(αXt−1 + ut − βut−1 ) Xt+h ] (19) Với h = 0, ta có γ(0) = αγ(1) + E [ut Xt ] − βE [ut−1 Xt ] (20) Với E [ut Xt ] = σ , E [ut−1 Xt ] = (α − β) σ Ta có γ(0) = αγ(1) + (1 − β (α − β)) σ , (21) với h = 1, ta có γ(1) = αγ(0) − βσ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA (22) UFM - 2013 42 / 47 Các đặc trưng ARMA(1,1) Từ (21) (22), ta tìm (α − β) (1 − αβ) + β − 2αβ σ ; γ(1) = σ γ(0) = − α2 − α2 Với h ≥ 2, ta có γ(h) = αγ(h − 1) (23) ρ(h) = αρ(h − 1) (24) hay Với ρ(1) = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) (α − β) (1 − αβ) + β − 2αβ MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 43 / 47 Các đặc trưng ARMA(1,1) φ11 = ρ(1) = φ22 = ρ(1) ρ(1) ρ(2) ρ(1) ρ(1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) = (α − β) (1 − αβ) + β − 2αβ ρ(1) ρ(1) αρ(1) ρ(1) ρ(1) MƠ HÌNH ARIMA = ρ(1) (α − ρ(1)) − ρ(1)2 UFM - 2013 44 / 47 Các đặc trưng ARMA(1,1) φ33 = ρ(1) ρ(1) ρ(1) ρ(2) ρ(2) ρ(1) ρ(3) ρ(1) ρ(2) ρ(1) ρ(1) ρ(2) ρ(1) = ρ(1) ρ(1) ρ(1) αρ(1) αρ(1) ρ(1) α2 ρ(1) ρ(1) αρ(1) ρ(1) ρ(1) αρ(1) ρ(1) , Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 45 / 47 Quá trình ARMA(p,q) Quá trình ARMA(p, q) có dạng (25) α(L)Xt = δ + β(L)ut , α (L) = − α1 L − α2 L2 − · · · − αp Lp β (L) = − β1 L − β2 L2 − · · · − βq Lp Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 46 / 47 Quá trình ARMA(p,q) Với h > p h > q, ta có γ (h) = α1 γ (h − 1) · · · + αp γ (h − p) (26) ρ (h) = α1 ρ (h − 1) + · · · + αp ρ (h − p) (27) hay Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 47 / 47 ... s)| Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 / 47 Các công cụ v) Filter linear (Wold Decomposition) ∞ Xt = µt + ψi ut−i i=0 ut ∼ WN 0, σ ∞ ψ0 = ψi2 < ∞ i=0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)... ρ(h) = 0, h ≥ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 32 / 47 Quá trình trung bình trượt MA(1) Tương tự ta φ11 = ρ(1) ρ(1) φ22 = ρ(1) ρ(1) φ33 = ρ(1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) có PACF... ρ(1) = Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) (α − β) (1 − αβ) + β − 2αβ MƠ HÌNH ARIMA UFM - 2013 43 / 47 Các đặc trưng ARMA(1,1) φ11 = ρ(1) = φ22 = ρ(1) ρ(1) ρ(2) ρ(1) ρ(1) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) =