Luận án tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh

Luận án gồm có 3 chương được trình bày như sau: Kiến thức cơ sở; Chỉ số chính quy của tập s điểm béo không nằm trên một (r−1)- phẳng với s ≤ r + 3; Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập s điểm kép trong P n với 2n + 1 ≤ s ≤ 2n + 2.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HUẾ - NĂM 2019 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Văn Thiện HUẾ - NĂM 2019 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, hướng dẫn PGS.TS Phan Văn Thiện Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Trần Nam Sinh ii LỜI CÁM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm PGS.TS Phan Văn Thiện Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đưa hướng nghiên cứu, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin gửi lời cám tới GS TSKH Ngô Việt Trung với góp ý, hướng dẫn cho việc trình bày luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Tốn học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, - Bộ môn Khoa học bản, Trường Cao đẳng Phương Đông-Đà Nẵng, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Trần Nam Sinh iii MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Kiến thức sở 11 1.1 Chỉ số quy tập điểm béo 11 1.2 Một số kết cần dùng 15 1.3 Kết luận chương 18 Chỉ số quy tập s điểm béo không nằm (r − 1)phẳng với s ≤ r + 2.1 19 Chỉ số quy tập s điểm béo vị trí tổng quát nằm r-phẳng với s ≤ r + 20 2.2 Chỉ số quy s điểm béo đồng bội không nằm (r − 1)-phẳng với s ≤ r + 23 2.3 Kết luận chương 38 Chặn Segre cho số quy tập s điểm kép Pn với 2n + ≤ s ≤ 2n + 3.1 39 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép cho khơng có n+1 điểm nằm (n−2)-phẳng Pn 40 3.2 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép khơng suy biến khơng có n + điểm nằm (n − 2)-phẳng Pn 54 3.3 Kết luận chương 65 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 66 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương [a] Phần nguyên số hữu tỷ a k Trường đóng đại số k Pn := Pnk Khơng gian xạ ảnh n-chiều trường k R := k[x0 , , xn ] Vành đa thức theo biến x0 , , xn trường k Z(T ) Tập không điểm tập T ⊂ R phần tử R I(Y ) Iđêan tập điểm Y ⊂ Pn ℘ Iđêan nguyên tố xác định điểm P ∈ Pn dim B Chiều (Krull) vành B Ann(M ) Annihitor môđun M Md Tổng trực tiếp nhóm Md HM (t) Hàm Hilbert môđun phân bậc M PM (t) Đa thức Hilbert môđun phân bậc M Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Tập điểm béo Z reg(Z) Chỉ số quy Z reg(A) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford vành tọa độ d A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt không gian xạ ảnh Pn := Pnk , với k trường đóng đại số Gọi ℘1 , , ℘s iđêan nguyên tố vành đa thức R := k[x0 , , xn ] tương ứng với điểm P1 , , Ps Cho m1 , , ms số nguyên dương Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps lược đồ chiều không xác định iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘sms gọi Z := m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn Chú ý iđêan I tập điểm béo tập gồm hàm đại số nội suy tập điểm P1 , , Ps triệt tiêu với số bội m1 , , ms Đề tài tập điểm béo nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác Ví dụ giả thuyết Nagata chặn cho bậc hàm nội suy đến chưa giải (xem [13]) Trong luận án này, quan tâm đến số quy Castelnuovo-Mumford vành R/I Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định iđêan I, vành tọa độ Z A := R/I Vành A = ⊕t≥0 At vành phân bậc s Cohen-Macaulay 1-chiều có bội e(A) := i=1 mi +n−1 n Hàm Hilbert Z xác định HA (t) := dimk At , tăng chặt đạt số bội e(A), dừng Chỉ số quy Z định nghĩa số nguyên bé t cho HA (t) = e(A) ký hiệu reg(Z) Chỉ số quy reg(Z) số quy Castelnuovo-Mumford reg(A) vành tọa độ A Vấn đề tìm chặn cho số quy reg(Z) nhiều người quan tâm có nhiều kết Năm 1961, Segre (xem [19]) chặn cho số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps cho khơng có ba điểm chúng nằm đường thẳng P2 : reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, với m1 ≥ · · · ≥ ms m1 + · · · + ms , Cho tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + · · · + ms Ps P2 Năm 1969, Fulton (xem [12]) đưa chặn cho số quy Z sau: reg(Z) ≤ m1 + · · · + ms − Chặn mở rộng cho tập điểm béo tùy ý Pn Davis Geramita (xem [9]) Họ chứng minh dấu xảy tập điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn gọi vị trí tổng quát khơng có j + điểm P1 , , Ps nằm j -phẳng với j < n Năm 1991, Catalisano (xem [6], [7]ta ln tìm siêu phẳng Lj chứa Gj tránh Pi0 Ta có m2n+1 n+3 L · · · L t ∈ ℘m n+3 ∩ · · · ∩ ℘2n+1 ∩ ℘2n+2 Hơn nữa, HH ∈ ℘21 ∩ · · · ∩ ℘2n+1 i−cn−1 M ∈ ℘i−c n+3 ∩ · · · ∩ ℘2n+1 , nên HHL1 · · · Lt M ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + (3 − i) + i = ≤ TZ • Nếu u ≥ 2, có n + − u điểm, giả sử Pi1 , , Pin+2−u ∈ H1 \H Do u ≥ nên n + − u ≤ n Hơn nữa, Pi1 , , Pn+2−u nằm vị trí tổng qt H1 nên có (n − u)-phẳng π, qua Pi2 , , Pn+2−u tránh Pi1 Chọn / π, nên ta tìm Pi0 = Pi1 = (1, 0, , 0), ℘i0 = (x1 , , xn ) Do Pi0 ∈ siêu phẳng L chứa π tránh Pi0 Ta có HHLL ∈ J nên HHLLM ∈ J với đơn thức M = xc11 · · · xcnn , c1 + · · · + cn = i, i = 0, Theo Nhận xét 1.2.3 ta có reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ + i ≤ ≤ TZ Chứng minh Mệnh đề 3.2.1 hoàn thành Từ Mệnh đề 3.1.1, Mệnh đề 3.1.2 Mệnh đề 3.2.1 ta có hệ sau Hệ 3.2.2 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm phân biệt cho khơng có n + điểm X nằm (n − 2)-phẳng Pn Cho Y = {Pi1 , , Pis } với ≤ s ≤ 2n + tập X Gọi ℘i iđêan nguyên tố tương ứng với Pi , i = 1, , 2n + Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 63 Đặt Tj = max (2q + j − 2) j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng , TZ = max Tj j = 1, , n Khi đó, tồn điểm Pi0 ∈ Y cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ , ℘2i J= Pi ∈Y \{Pi0 } Kết phần thể qua định lý sau Định lý 3.2.3 Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập không suy biến gồm 2n + điểm phân biệt cho khơng có n+1 điểm X nằm (n−2)-phẳng Pn Xét tập điểm kép Z = 2P1 + · · · + 2P2n+2 Đặt TZ = max Tj j = 1, , n , Tj = max 2q + j − j Pi1 , , Piq nằm j -phẳng Khi đó, reg(Z) ≤ TZ Chứng minh Trước tiên, ta có nhận xét sau: Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập điểm Pn Y = {Pi1 , , Pis } tập X, ≤ s ≤ 2n + Khi reg(R/Js ) ≤ TZ , ℘2i Js = Pi ∈Y 64 Ta chứng minh nhận xét quy nạp theo số điểm Y Nếu s = Gọi ℘1 iđêan nguyên tố xác định P1 Đặt J1 = ℘21 , A = R/J1 Khi reg(R/J1 ) = ≤ TZ Giả sử nhận xét với tập tập Y X có số điểm bé s − Cho Y = {Pi1 , , Pis } Theo Hệ 3.2.2 tồn điểm Pi0 ∈ Y cho reg(R/(Js−1 + ℘2i0 )) ≤ TZ , (1) ℘2i Chú ý rằng, Js−1 iđêan giao tập gồm s − Js−1 = Pi ∈Y \{Pi0 } điểm kép Y Theo giả thiết quy nạp ta có reg(R/Js−1 ) ≤ TZ (2) Theo Bổ đề 1.2.1 ta có reg(R/Js ) = 1, reg(R/Js−1 ), reg(R/(Js−1 + ℘2i0 )) (3) Từ (1), (2) (3) ta có reg(R/Js ) ≤ TZ Ta chứng minh xong nhận xét Bây giờ, ta chứng minh Định lý 3.2.3: Cho X = {P1 , , P2n+2 } tập gồm 2n + điểm Pn Theo Mệnh đề 3.2.1 tồn điểm Pi0 ∈ X cho reg(R/(J + ℘2i0 )) ≤ TZ (4) ℘2i Chú ý J iđêan giao tập gồm 2n + điểm J = Pi ∈X\{Pi0 } kép X Vì theo nhận xét với s = 2n + ta có reg(R/J) ≤ TZ (5) Theo Bổ đề 1.2.1 ta có reg(R/I) = 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘2i0 )) , (6) ... hợp tập 2n + điểm kép không suy biến cho không tồn n + điểm chúng nằm (n − 2)-phẳng không gian xạ ảnh Pn (Định lý 3.2.3) 66 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Luận án quan tâm đến số quy tập điểm béo không gian. .. PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHƠNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Văn... KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 66 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Z Tập số nguyên Z+ Tập