Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán 2 - Chương 4: Hạng của một ma trận & ma trận nghịch đảo cung cấp cho người học các kiến thức: Các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận, định nghĩa ma trận bậc thang, định nghĩa hạng của một ma trận, ma trận nghịch đảo.
CHƢƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 1 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN Ta gọi phép biến đổi sơ cấp ma trận A Mmxn(K) phép biến đổi có dạng sau: a/ hi ↔ hj (Ci ↔ Cj) (Đổi chỗ hàng hay cột với nhau) b/ hi → α.hj (Ci → α.hi), α ≠ (Nhân hàng hay cột với 01 số khác không) c/ hi → hi + βhj (Ci → Ci + βCj) (Thêm vào hàng hay cột bội số hàng khác cột khác) Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt) Ký hiệu: A → B để ma trận B nhận đƣợc từ ma trận A sau số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp A Ví dụ: A Toán CuuDuongThanCong.com h2 h3 Chƣơng 4: MA TRẬN h3 h3 https://fb.com/tailieudientucntt 10 12 Slide ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG Cho ma trận A Mmxn(K) Ma trận A đƣợc gọi có dạng bậc thang nhƣ: a/ Các hàng khác khơng (có phần tử nằm hàng khác khơng) nằm hàng không b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không hàng dƣới nằm bên phải cột chứa phần tử khác không hàng Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) Ví dụ: A 0 0 2 0 0 0 0 0 B Là ma trận bậc thang Chú ý: Mọi ma trận đƣa dạng bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp Ta minh họa ví dụ sau: Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) 4 1 0 1 1 5 2 11 h2 h4 A h2 h4 h3 h4 Toán h3 1 0 h2 h4 1 0 0 h4 1 0 0 0 CuuDuongThanCong.com h1 h1 h4 Chƣơng 4: MA TRẬN h2 https://fb.com/tailieudientucntt Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN a/ Định nghĩa: Cho ma trận A Mmxn(K) Ta nói ma trận A có hạng p (ký hiệu r(A) = p) nhƣ A chứa ma trận cấp p có định thức khác khơng, định thức cấp p+1 khơng Nói cách khác, hạng ma trận A cấp cao định thức khác khơng * Ta quy ƣớc ma trận có hạng Tốn CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng ma trận có tính chất sau: r(A) = r(AT) r(Amxn) ≤ min{m,n} r(A+B) ≤ r(A) + r(B) r(A.B) ≤ min{r(A),r(B)} Cho ma trận A Mmxn(K) X Mn(K), detX ≠ Y Mm(K), detY ≠ Khi đó: r(A) = r(A.X) = r(Y.A) Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng ma trận có tính chất sau (tt): Nếu A → B (Ma trận B nhận đƣợc từ A qua số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp) Khi đó: r(A) = r(B) Nếu A Mn(K) thì: + r(A) = n detA ≠ + r(A) < n detA = Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) c/ Định lý: Cho A Mmxn(K) ma trận bậc thang có p hàng khác khơng Khi đó: r(A) = p Nhận xét: Từ định lý ta thấy, để tìm hạng ma trận, ta biến đổi sơ cấp ma trận cho để đƣa dạng bậc thang Khi ta dễ dàng suy hạng ma trận Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 10 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Vậy A -1 detA PA e/ Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp hàng Ta có thuật tốn khác để tìm A–1 qua phép biến đổi sơ cấp hàng nhƣ sau: (A | I) PB ĐBĐ hàng (I | A ) Chú ý: Phƣơng pháp tiện cho việc tính A–1 mà ma trận A có cấp cao Tốn CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 19 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 3: Cho Ta viết 3 Tìm A–1 0 0 h2 h3 Toán A CuuDuongThanCong.com h2 h3 h1 h1 0 0 Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 20 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ (tt): h2 h1 h3 Toán h2 h1 h3 h3 h2 h2 CuuDuongThanCong.com 0 1 1 1 1 1 0 Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 21 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ (tt): h1 h2 A Toán h1 h3 h2 h3 CuuDuongThanCong.com 0 0 4 Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 22 BÀI TẬP CHƢƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 1: Tìm hạng ma trận a / A 2 2 5 1 2 1 7 10 b / A 1 2 10 18 c/ A Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 23 BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 2: Cho ma trận A 1 2 1 m m 2 m 1 Tìm điều kiện m để r(A) = Bài 3: Cho ma trận A 1 0 0 1 0 1 1 0 0 a Hãy biện luận r(A) theo tham số a Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 24 BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 4: Cho ma trận 1 1 1 2 m A Tìm điều kiện m để A khả nghịch Bài 5: Cho ma trận A 1 2 2 m m Tìm điều kiện m để A khả nghịch Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 25 BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 6: Cho ma trận A 3 Tìm A–1 Bài 7: Giải phƣơng trình ma trận A 3 X 10 10 Bài 8: Cho A Mn(K), detA = Hãy tính detA–1, det(A.AT) Tốn CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 26 BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 9: Tìm A–1 phép biến đổi sơ cấp theo hàng a / A b/ Toán CuuDuongThanCong.com A 1 1 0 1 1 1 1 1 Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 27 ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG Bài 1: Tìm hạng ma trận a/ r(A) = b/ r(A) = c/ r(A) = Bài 2: Để r(A) = điều kiện m ≠ m ≠ – Bài 3: r(A) = 5, a Hƣớng dẫn: Do detA ≠ không phụ thuộc vào a Bài 4: Để ma trận A khả nghịch điều kiện Hƣớng dẫn: A khả nghịch detA ≠ 13 m m 13 7 Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 28 ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 5: Không tồn m để ma trận A khả nghịch Hƣớng dẫn: Đặt B 2 4 C 1 2 m m Ta có: A = B.C detA = detB.detC Mà detB = (Do ma trận B có hàng tỷ lệ) Vậy detA = 0, m Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 29 ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 6: A Hƣớng dẫn: detA = ≠ 0, tồn A-1 Ta có: PA Mà A 1 det A Toán CuuDuongThanCong.com P A A Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 30 ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 7: X 2 3 Hƣớng dẫn: Ta có A.X = B A-1.A.X = A-1.B X = A-1.B Mà A -1 (Đã làm 6) X Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN A B 2 3 https://fb.com/tailieudientucntt Slide 31 ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 8: detA -1 , det(A.AT) = 16 Hƣớng dẫn: Ta có: A.A-1 = In det(A.A-1) = detIn = detA.detA-1 = detA -1 1 det A Ta có: det(A.AT) = detA.detAT Mà detAT = detA Do det(A.AT) = 16 Tốn CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide 32 ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 9: Tìm A-1 phép biến đổi sơ cấp theo hàng Hƣớng dẫn: a/ A 0 Toán CuuDuongThanCong.com 1 0 b/ A 1 Chƣơng 4: MA TRẬN 1 2 2 2 https://fb.com/tailieudientucntt Slide 33 ... Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt Slide ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) 4 1 0 1 1 5 2 11 h2 h4 A h2 h4 h3 h4 Toán h3 1 0 h2 h4 1 0 0 h4 1 0 0 0 CuuDuongThanCong.com h1 h1 h4 Chƣơng... sau theo tham số a 4 5 6 a A h2 h3 h4 A h3 h2 h3 h4 h4 Toán 2 4 0 0 0 h1 h1 h1 CuuDuongThanCong.com a a 0 0 16 0 h3 h4 h3 h4 h2 h2 a Biện luận: a = r(A) = a ≠ r(A) = Chƣơng 4: MA TRẬN https://fb.com/tailieudientucntt... 30 ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 7: X 2 3 Hƣớng dẫn: Ta có A.X = B A-1.A.X = A-1.B X = A-1.B Mà A -1 (Đã làm 6) X Toán CuuDuongThanCong.com Chƣơng 4: MA TRẬN A B 2 3 https://fb.com/tailieudientucntt