Bài giảng Toán 2: Chương 6 - ĐH Bách khoa TP. HCM

Bài giảng Toán 2 - Chương 6: Các tích vectơ trong không gian R3 cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ trục tọa độ đề – các vuông góc, tích vô hướng của 2 vectơ a và b, tích có hướng của 2 vectơ a và b, tích hỗn hợp của 3 vectơ a, b, c,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 CHƢƠNG 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ – CÁC VNG GĨC * Các trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi tạo thành tam diện thuận (Khi ngƣời đứng theo hƣớng dƣơng trục Oz chân O, nhìn góc xoay hƣớng dƣơng trục Ox đến hƣớng dƣơng trục Oy x ngƣợc chiều kim đồng hồ) z O * Các vectơ đơn vị hƣớng dƣơng trục tƣơng    ứng là: i , j , k Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 y HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ – CÁC VNG GĨC (tt) * Trong khơng gian R3 lấy hai điểm M1(x1, y1, z1) M2(x2, y2, z2), ta có vectơ từ điểm M1 đến M2 là: M 1M ( x2 x1 ) i ( x2 x1 , y ( y2 y1 ) j y1 , z ( z2 z1 ) k z1 ) * Khoảng cách M1 M2 độ dài vectơ M1M2 d(M , M Toán 2 ) M 1M CuuDuongThanCong.com (x x1 ) (y y1) https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 (z z1 ) 2 TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA VECTƠ a VÀ b * Trong không gian R3, lấy hai vectơ a = (a1, a2, a2) b = (b1, b2, b3) Tích vơ hƣớng vectơ a b số đƣợc ký hiệu là: (a, b) Ở đây: (a, b) a b cos a 1b Với a2b2 a3b3 góc hợp hai vectơ (0 ) Ta có bất đẳng thức sau: + Bất đẳng thức Cauchy – Shwarz: (a, b) + Bất đẳng thức tam giác: (a a Toán CuuDuongThanCong.com b) a b b https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 TÍCH CĨ HƢỚNG CỦA VECTƠ a VÀ b * Trong không gian R3, lấy hai vectơ a = (a1, a2, a2) b = (b1, b2, b3) Tích có hƣớng vectơ a b vectơ đƣợc ký hiệu là: a b Vectơ đƣợc xác định nhƣ sau: * Có độ dài a b sin ( góc hợp vectơ a b ) * Có phƣơng vng góc với mặt phẳng chứa a b * Có hƣớng cho ba vectơ a , b a × b tạo thành tam diện thuận Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3   TÍCH CĨ HƢỚNG CỦA VECTƠ a VÀ b (tt) Chú ý:   a xb diện tích hình bình hành dựng hai * vectơ    i j k   * a b a1 a2 a3 b1 b2 b3 (a2 b3 *  a * Toán  b  (a  b  b) a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1 )  a  ( a) CuuDuongThanCong.com  b  a  ( b) https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3   TÍCH CĨ HƢỚNG CỦA VECTƠ a VÀ b (tt) Chú ý (tt):  * *  a  a (b  b  c)  b  a  a  a  b  c tỷ lệ Ví dụ 1: Trong khơng gian R3 cho ba điểm A(1,–1,2), B(–1,0,3) C(0,2,1) Tính diện tích tam giác ABC Ta có: Tốn AB ( ,1 ,1 ) AC ( 1,3 , ) AB AC CuuDuongThanCong.com ( , 3, ) https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3   TÍCH CĨ HƢỚNG CỦA VECTƠ a VÀ b (tt) Nhận xét: AB AC diện tích hình bình hành dựng hai vectơ AB AC Do đó: S ABC AB AC 50   a b Ví dụ 2: Trong không gian R3, lấy hai vectơ Biết     a b góc hai vectơ a b Tính diện  4   tích tam giác có cạnh vectơ a - b a b Ta có: S ( a b ) ( a b )  b)  (a 2 Toán CuuDuongThanCong.com  a  b sin 50 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3   TÍCH CĨ HƢỚNG CỦA VECTƠ a VÀ b (tt) Ví dụ 3: Tính diện tích tam giác đƣờng cao BD tam giác ABC Trong A(1,–1,2), B(5,–6,2), C(1,3,– 1) Ta có: Vậy: AB ( , ,0 ) AC (0 ,4 , 3) AB AC S ABC (15 ,12 ,16 ) AB AC 25 Cạnh AC tam giác có độ dài AC Đƣờng cao BD ABC Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3    TÍCH HỖN HỢP CỦA VECTƠ a, b,c (tt) Ví dụ (tt): Nhận xét thể tích tứ diện ABCD ( AB , AC , AD ) S ABC AB AC ( ,0 ,2 ) 2 Do thể tích tứ diện ABCD = diện tích đáy x đƣờng cao Đƣờng cao hạ từ đỉnh D là: h S Toán CuuDuongThanCong.com V ABC 3 2 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG a/ Đƣờng thẳng: Cho đƣờng thẳng qua điểm M0(x0,y0,z0) song  song với vectơ v (m , n, p ) Vậy bao gồm tất điểm M(x,y,z) cho  M M // v Vậy M Δ x x0 y m y0 n z z0 p Nếu ký hiệu tỷ số t, ta đƣợc phƣơng trình tham số đƣờng thẳng là: x x0 mt y y0 nt z Tốn CuuDuongThanCong.com z0 pt https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG a/ Đƣờng thẳng (tt): Khoảng cách từ điểm P đến đƣờng thẳng công thức:  v M 0P  v d đƣợc tính Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm P(2,1,3) đến đƣờng thẳng : x Ta có: Vậy Tốn  v ( , ,1 ), M 0P CuuDuongThanCong.com y z M (1 , , ) (1,3,3) https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG a/ Đƣờng thẳng (tt): M 0P d  v  i  j  k 3 M 0P  v  v ( ,14 , 11 ) 14 2 11 2 b/ Mặt phẳng: Cho P mặt phẳng qua điểm M0(x0,y0,z0) vng góc với vectơ n =(A, B, C) Khi mặt phẳng P bao gồm tất điểm M(x,y,z) có tính chất M0M n Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG b/ Mặt phẳng (tt): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = M 0M n M(x,y,z) M0(x0,y0,z0) Vậy phƣơng trình tổng quát mặt phẳng P đƣợc viết dạng: Ax + By + Cz + D = Trong đó: n= (A, B, C) pháp vectơ mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = đƣợc tính cơng thức sau: Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG b/ Mặt phẳng (tt): d Ax By A Cz B C D Ví dụ 1: Tìm phƣơng trình mặt phẳng qua M(2,3,0) song song với mặt phẳng 5x – 3y – z – = Nhận xét: Pháp vectơ mặt phẳng cần tìm pháp vectơ mặt phẳng 5x – 3y – z – = 0, tức n = (5,-3,-1) Vậy phƣơng trình mặt phẳng cần tìm là: 5(x – 2) – 3(y – 3) – 1(z – 0) = 5x – 3y – z – = Toán CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG b/ Mặt phẳng (tt): Ví dụ 2: Cho đƣờng thẳng (d): x 2 y z Tìm tọa độ H chân đƣờng vng góc hạ từ gốc O xuống (d) Gọi (P) mặt phẳng qua gốc O vng góc với (d) Vậy vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n ( , ,1 ) Phƣơng trình (P) là: 2x + 3y + z = Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG b/ Mặt phẳng (tt): Ví dụ (tt): Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng là: x 2t y 3t z t Mà H giao điểm (P) (d) 2(2 + 2t) + 3(1 + 3t) + (3 + t) = t= Vậy H , Toán CuuDuongThanCong.com 16 , 7 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 BÀI TẬP CHƢƠNG 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 Bài 1: Cho a = (1,2,1), b = (2,3,5) Tìm a b Bài 2: Trong không gian R3, cho hai vectơ a b Biết a , b , góc vectơ Tính  a  b ;  (2a  b)  (a  2b ) Bài 3: Cho tứ diện ABCD, A(1,0,2), B(3,-2,2), C(4,2,6) D(3,5,-2) Tính thể tích tứ diện Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 4: Tìm đỉnh thứ tƣ tứ diện ABCD biết A(-1,10,0), B(0,5,2), C(6,32,2), V = 29 D nằm trục Oy Bài 5: Cho điểm A(1,2,4) Từ điểm A hạ đƣờng vng góc với mặt tọa độ Tìm phƣơng trình mặt phẳng qua chân đƣờng vng góc nói Bài 6: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm A(1,7,-5) cắt trục tọa độ (Phần dƣơng) theo đoạn chắn Toán CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN Bài 1: a Bài 2:  a b = (7, -3, -1)  b  b)  (2a Hƣớng dẫn:   (a 2b )    (2a b ) (a 3  2b ) Ở ta sử dụng tính chất (2a tính chất (a b) = -(b × a)  3(a a ) = 2a a tỷ lệ Bài 3: Thể tích tứ diện V = 16 Hƣớng dẫn: V ( AB , AC , AD ) Toán CuuDuongThanCong.com  b) det 2 16 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN Bài 4: Đỉnh thứ tƣ tứ diện D(0,0,0) D(0,29,0) Hƣớng dẫn: D nằm Oy nên có tọa độ D(0,m,0) Ta có: Mà V AB (1 , , ) AC ( , 22 , ) AD (1 , m ( AB , AC , AD ) 10 , ) 12 m 174 16 m = m = 29 Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN Bài 5: Phƣơng trình mặt phẳng qua chân đƣờng vng góc là: 4x + 2y + z – = Hƣớng dẫn: Gọi M1, M2, M3 chân đƣờng vng góc hạ từ điểm A xuống mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz Ta có: M1(1,2,0), M2(1,0,4), M3(0,2,4) Phƣơng trình mặt phẳng qua M1, M2, M3 là: x y 2 z 8x 4y 2z 16 Hay viết rút gọn là: 4x + 2y + z – = Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN Bài 6: Phƣơng trình mặt phẳng cần tìm là: x + y + z – = Hƣớng dẫn: Phƣơng trình mặt phẳng cần tìm có dạng: x y z a a a Mặt phẳng qua A(1,7,-5) nên a a a a Mặt phẳng cần tìm là: x + y + z – = Toán CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 ... HƢỚNG DẪN Bài 1: a Bài 2:  a b = (7, -3 , -1 )  b  b)  (2a Hƣớng dẫn:   (a 2b )    (2a b ) (a 3  2b ) Ở ta sử dụng tính chất (2a tính chất (a b) = -( b × a)  3(a a ) = 2a a tỷ lệ Bài 3:... = t= Vậy H , Toán CuuDuongThanCong.com 16 , 7 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3 BÀI TẬP CHƢƠNG 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN R3 Bài 1: Cho a =... (2,3,5) Tìm a b Bài 2: Trong không gian R3, cho hai vectơ a b Biết a , b , góc vectơ Tính  a  b ;  (2a  b)  (a  2b ) Bài 3: Cho tứ diện ABCD, A(1,0,2), B(3 ,-2 ,2), C(4,2 ,6) D(3,5 ,-2 ) Tính thể