Bài giảng Toán 2 - Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Một số khái niệm, hệ phương trình Cramer, điều kiện tương thích của hệ, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính
Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM a/ Định nghĩa: * Hệ thống m phƣơng trình tuyến tính, n ẩn hệ thống có dạng: (1 ) a 11 x a 12 x a 1n x n b1 a 21 x a 22 x a 2n x n b2 a mn x n bm a m 1x a m 2x Trong đó: aij, bi (i=1, … , m; j=1, … , n) số cho trƣớc thuộc trƣờng k x1, … , xn ẩn hệ Toán CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) * Ma trận A a11 a12 a1 n a 21 a 22 a2n am a mn am1 đƣợc gọi ma trận hệ (1) * Ma trận AB a11 a12 a1 n b1 a 21 a 22 a2n b2 a mn bm am1 am đƣợc gọi ma trận mở rộng hệ (1) Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) b/ Chú thích: * Nếu đặt X x1 b1 x2 b2 ; B xn bm hệ (1) đƣợc viết dƣới dạng ma trận nhƣ sau: A.X = B * Nếu B = hệ (1) đƣợc gọi hệ phƣơng trình Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) b/ Chú thích (tt): * Hệ (1) đƣợc gọi hệ tƣơng thích hệ có nghiệm; ngƣợc lại hệ không tƣơng thích hệ khơng có nghiệm * Hệ AX = ln ln tƣơng thích có nghiệm X = nghiệm đƣợc gọi nghiệm tầm thƣờng Toán CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER a/ Định nghĩa: Hệ phƣơng trình Cramer hệ phƣơng trình tuyến tính có số phƣơng trình số ẩn ma trận hệ không suy biến Tức hệ có dạng: (2) a11 x1 a12 x a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x a2 n xn b2 a nn x n bn a n x1 Trong A = (aij) Tốn CuuDuongThanCong.com an x2 Mn(K) detA https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt) b/ Định lý Cramer: Hệ Cramer (2) có nghiệm cho công thức: A x i (i) ,i , , , n A Trong đó: A(i) ma trận nhận đƣợc từ A cách thay cột thứ i cột b1 B bn Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Chú thích: * Nếu B = hệ Cramer (2) có nghiệm X = * Vậy hệ AX = (Ở m = n) có nghiệm khơng tầm thƣờng detA = Ví dụ: giải hệ phƣơng trình sau Tốn CuuDuongThanCong.com x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : Ta có: detA -1 -2 -1 18 Nhận xét: detA Vậy hệ phƣơng trình Cramer nên có nghiệm cho cơng thức: A xi Tốn CuuDuongThanCong.com (i) , i 1, , A https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHƢƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình x1 x2 x3 x1 3x2 x3 x1 x2 x4 x4 x3 x4 Ma trận mở rộng hệ là: AB Toán CuuDuongThanCong.com 1 1 2 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHƢƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ (tt): h2 h3 h h1 h h1 h3 Toán CuuDuongThanCong.com h3 h2 1 4 3 1 0 0 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHƢƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ (tt): Hệ cho tƣơng đƣơng với hệ: x1 x2 x3 x2 x3 x4 x4 Ta chọn ẩn số tự x3, x4 Lúc hệ có vơ số nghiệm nghiệm tổng qt có dạng: x1 x2 Toán t1 x3 t1 x4 t2 CuuDuongThanCong.com t1 14 t 4t2 ; t , t tùy ý https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƢƠNG 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Giải hệ phƣơng trình sau a/ x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 c/ x1 b/ x1 x1 x1 Toán x2 x2 x2 x2 CuuDuongThanCong.com x1 x2 x3 x1 3x2 x3 16 x3 16 x3 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 3 x3 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 2: Giải hệ phƣơng trình sau (Tìm nghiệm tổng quát hệ nghiệm bản) a / x1 x1 b/ x1 x3 x5 x2 x4 x6 x2 x5 x6 x2 x3 x6 x1 x4 x5 x2 x1 3x2 x1 x2 Toán CuuDuongThanCong.com x3 x3 x3 3x4 x4 x4 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 3: Giải hệ phƣơng trình sau quy tắc Cramer x y 2z 2x 3y 7z 16 5x 2y z 16 Bài 4: : Giải hệ phƣơng trình sau phƣơng pháp Gauss a / x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x4 15 x1 x2 x3 x4 11 x1 x2 x3 23 x1 x2 x3 x1 x1 Toán x2 x4 CuuDuongThanCong.com b/ x3 x4 x3 x4 x4 x4 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƢƠNG (tt) Bài 5: Giải biện luận hệ phƣơng trình sau theo tham số m x1 x2 x1 x2 x3 x3 mx mx m m x1 x2 x3 mx 2m 3 x1 x2 x3 mx 3m x1 x2 x3 mx m m Bài 6: Giải hệ sau cách dùng ma trận nghịch đảo x1 x1 x2 x2 x1 x Toán CuuDuongThanCong.com x3 x3 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHẦN ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG Bài 1: Giải hệ phƣơng trình sau a/ r(A) = r(AB) = < n = Hệ có vơ số nghiệm Nghiệm tổng qt có dạng: x1 t1 x2 t2 x3 x4 ; t1 2t c/ r(A) = = r(AB) CuuDuongThanCong.com R b/ r(A) = < r(AB) = Toán t1 , t Hệ vơ nghiệm Hệ có nghiệm là: https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH x1 x2 x3 Bài 2: Hệ có vơ số nghiệm a/ r(A) = r(AB) = < n = (Có ẩn số tự do) Nghiệm tổng quát có dạng: với t1, t2, t3 tùy ý Ba nghiệm là: x Toán CuuDuongThanCong.com x1 t1 t2 x4 t1 x2 t1 t3 , x5 t2 x3 t1 x6 t3 1 1 0 , x2 , x3 0 0 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHẦN ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG Bài (tt): b/ r(A) = r(AB) = < n = (Có ẩn số tự do) x1 14 t x2 t1 x3 t1 x4 t2 Hệ có vơ số nghiệm 11 t 4t2 14 Hai nghiệm hệ là: 11 x1 , x Tốn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHẦN ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG Bài 3: detA detA detA detA (1) (2) (3) Hệ có nghiệm là: y z 2 Bài 4: a/ r(A) = r(AB) = Hệ có nghiệm là: Toán x CuuDuongThanCong.com x1 x2 x3 x4 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHẦN ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG Bài (tt): b/ r(A) = r(AB) = Hệ có nghiệm là: x1 x x3 x Bài 5: Trƣờng hợp m 0, r(A) = r(AB) = Hệ có nghiệm là: Tốn CuuDuongThanCong.com x1 m x2 x3 x4 m m https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHẦN ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG Bài (tt): Trƣờng hợp m = 0, r(A) = r(AB) = < n = Hệ có vơ số nghiệm (Có ẩn tự do) x1 x 1 , x3 x t t tùy ý Bài 6: Hệ viết lại dƣới dạng ma trận là: A.X = B Nghiệm hệ X = A-1.B, với Toán CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH PHẦN ĐÁP SỐ & HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG Bài (tt): A 1 Nghiệm hệ X Tức là: Toán x1 x2 x3 CuuDuongThanCong.com 5 11 2 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Kết thúc chƣơng - Toán Toán CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ... 0, …, tn-r = t1 = 0, t2 = 1, …, tn-r = … t1 = 0, t2 = 0, …, tn-r = Thì ta đƣợc (n – r) nghiệm là: x1, x2, …, xn - r Toán CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG... x3 x1 x2 x3 https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : Ta có: detA -1 -2 -1 18 Nhận xét: detA Vậy hệ phƣơng trình Cramer nên... , A https://fb.com/tailieudientucntt Chƣơng 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : A A (2) (1 ) 5 1 1 Vậy nghiệm hệ Toán CuuDuongThanCong.com A 18 (3) x1 x2 x3