Trn Quc T Trng THCS Nam Hng Tính chất chia hết trên tập số nguyên A. Lí thuyết 1. Tính chất chia hết trong tập số nguyên . +) a b a b +) a m và b m a . b m . n +) a a a Z ( a 0) +) a b; b a a = b (a, b 0) +) a b; b c a c (b, c 0) +) a b a . m b (m Z) +) a m ; b m a b m +) a m a n m n ( n N; n 0) +) a . b m và UCLN (a; m) = 1 b m +) a m và a n ; UCLN (m,n) = 1 a m . n +) a. b m và m là nguyên tố thì a m hoặc b m . 2. Chú ý :Trong tập Z: - Một số chia cho 3 d 1; d 2 đợc biểu diễn bởi biểu thức : 3k + 1; 3k + 2 hoặc 3k - 1 , viết gọn 3k 1 (k Z) - Một số lẻ viết dới dạng 2k + 1 hoặc 2k - 1 (k Z) - Một số chẵn viết dới dạng 2k . B. Bài tập. Chứmg minh A(n) k * Phơng pháp 1: Ta xét mọi trờng hợp về số d của A(n) khi chia cho k Bài 1: Chứng minh rằng 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. Giải Gọi 2 số nguyên liên tiếp là a; a + 1 tích của hai số nguyên liên tiếp là a(a + 1) - Nếu a 2 thì a(a + 1) 2 (1) - Nếu a 2 d 1 a = 2k + 1 (k Z) a + 1= 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2( k + 1) mà2 2 2 (k + 1) 2 a + 1 2 a(a + 1) 2 (2) Từ (1) và (2 ) tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. *Phơng pháp 2: A(n) k phân tích thành hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 2. Chứng minh rằng 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Giải Gọi 3 số nguyên liên tiếp là a; a + 1; a + 2 tích của ba số nguyên liên tiếp là a(a + 1)(a + 2) Vì a(a + 1)(a + 2) 6 a(a + 1)(a + 2) 2 và 3 vì UCLN (2,3) = 1 +) Ta chứng minh a(a + 1)(a + 2) 2 - Nếu a 2 thì a(a + 1)(a + 2) 2 (1) - Nếu a 2 d 1 a = 2k + 1 (k Z) a + 1= 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2( k + 1) mà 2 2 2 (k + 1) 2 a + 1 2 a(a + 1)(a + 2) 2 (2) Từ (1) và (2 ) a(a + 1)(a + 2) 2 (3) +) Ta chứng minh: a(a + 1)(a + 2) 3 - Nếu a 3 thì a(a + 1)(a + 2) 3 (4) - Nếu a 3 d 1 a = 3k + 1 (k Z) a + 2= 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3( k + 1) 1 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng mà 3 3 3 (k + 1) 3 a + 2 2 a(a + 1)(a + 2) 2 (5) - Nếu a 3 d 2 a = 3k + 2 (k Z) a + 1 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3( k + 1) mà 3 3 3 (k + 1) 3 a + 2 2 a(a + 1)(a + 2) 2 (6) Từ (4) và (5 ) ; (6) a(a + 1)(a + 2) 3 (7) Từ (3) và (7) a(a + 1)(a + 2) 2 và 3 a(a + 1)(a + 2) 6 Vậy 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. * Phơng pháp 3 : Tách A(n) thành tổng nhiều số hạng , rồi Chứng minh số hạng chia hết cho k Bài 3. Chứng minh n Z thì n 3 - 13n 6 Giải Ta có: n 3 - 13n = n ( n 2 - 13 ) = n ( n 2 - 1 - 12) Ta có n 2 - 1 = n 2 - n + n - 1 = n ( n - 1) + ( n - 1) = (n - 1) ( n+ 1) n 3 - 13n = n [(n - 1) ( n+ 1) - 12] = n (n - 1) ( n+ 1) - 12 =(n - 1) n ( n+ 1) - 12n Ta thấy n -1 , n , n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp (n - 1) n ( n+ 1) 6 (theo bài 2) (n - 1) n ( n+ 1) - 12n 6 mà 12 6 12n 6 n 3 - 13n 6 * Phơng pháp 4 : Dùng các dấu hiệu chia hết Bài 4. Chứng minh rằng : a) 4 44 .444 sochun không chia hết cho 8 b) 181 11 .111 sochu chia hết cho 81 c) 1100 11 .111 sochu 2100 22 .222 sochu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Giải a) 4 44 .444 sochun không chia hết cho 8 Vì số chia hết cho 8 có 3 ch số tận cùng chia hết cho 8 mà số 4 44 .444 sochun có tận cùng là 444. Vì 444 không chia hết cho 8 nên 4 44 .444 sochun không chia hết cho 8. b) 181 11 .111 sochu chia hết cho 81 181 11 .111 sochu = 10 .01 .0 .01.0 .01.1 .11 0 .1008 181818 19 so sochusochusochu sochu Tổng các chữ số của số 181 11 .111 sochu là : 1 + 1+ + 1 = 1 . 9 = 9 Vì 9 9 181 11 .111 sochu 9 181 11 .111 sochu = 9 .k (k Z) (1) Tổng các chữ số của số 10 .01 .0 .01.0 .01.1 .11 0 .1008 181818 19 so sochusochusochu sochu là : 2 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng 10 01 .0 01 8 88 +++++++++ cap soso = 1 . 8 + 1 = 9 Vì 9 9 10 01 .0 01 8 88 +++++++++ cap soso 9 10 .01 .0 .01.0 .01.1 .11 0 .1008 181818 19 so sochusochusochu sochu 9 10 .01 .0 .01.0 .01.1 .11 0 .1008 181818 19 so sochusochusochu sochu = 9 n (n Z) (2) Từ (1) và (2) 181 11 .111 sochu = 9k . 9n = 81 kn Vì 81 81 81kn 81 181 11 .111 sochu 81 c) 1100 11 .111 sochu 2100 22 .222 sochu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Ta có : 1100 11 .111 sochu 2100 22 .222 sochu = 1100 11 .111 sochu 0100 00 .000 sochu + 2100 22 .222 sochu = 1100 11 .111 sochu . 1 0100 00 .000 sochu + 1100 11 .111 sochu .2 = 1100 11 .111 sochu . (1 0100 00 .000 sochu +2) = 1100 11 .111 sochu . 1 200 .000 099 sochu = 1100 11 .111 sochu . 3. 433 .33 399 sochu = 3100 33 .333 sochu . 433 .33 399 sochu Vậy 1100 11 .111 sochu 2100 22 .222 sochu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Bài 5. Chứng minh : 2 5 + 3 5 + 5 5 5 Bài 6. Cho N = dcba . Chứng minh : a) N 4 (a + 2b) 4 b) N 8 (a + 2b + 4c) 8 c) N 16 a + 2b + 4c + 8d 16 Bài 7. Cho a, b N . Chứng minh : a) Nếu a + 4b 13 thì 10a + b 13 và ngợc lại . b) 2a + b 7 3a 2 + 10ab - 8b 2 49 Bài 8 . Chứng minh rằng trong 5 số nguyên tuỳ ý bao giờ cũng có tổng 3 số cho 3 .Bài 9 . Bạn A viết một số có 2 chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14 . Bạn A đem chia số đó cho 8 thì đợc số d là 4.Khi chia cho 12 đợc số d là 3. a) Chứng minh bạn A làm sai ít nhất 1 phép chia. b) Nếu phép chia thứ 1 cho 8 là đúng thì phép chia cho 12 đơc số d là bao nhiêu? Bài 10 . Tìm các giá trị x; y nguyên dơng bé hơn 10 sao cho: 3x - 4y = - 21. Giải Ta có : 3x - 4y = - 21 (1) 3 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng Thấy 3x 3 ; - 21 3 mà 3x - 4y = - 21 4y 3 mà ƯCLN (4;3) = 1 y 3 y = 3k Bài 11. Chứng minh rằng trong 5 số nguyên tuỳ ý bao giờ cũng có tổng 3 số chia hết cho 3. Giải - Trong 5 số nguyên đó nếu có 1 số chia hết cho 3; 4 số còn lại chia cho 3 d 1 thì tổng 3 số chia cho 3 d 1 3 (1) - Nếu có 1 số chia hết cho 3; 4 số còn lại chia cho 3 d 2 thì tổng 3 số chia cho 3 d 2 3 (2) - Nếu trong 5 số đó có cả số chia cho 3 d 1, có cả số chia cho 3 d 2 và cả số cha cho 3 thì tổng 3 số chia hết cho 3 ; chia cho 3 d 1; chia cho 3 d 2. (3) - Nếu trong 5 số đó có cả số chia cho 3 d 1 ; chia cho 3 d 2 thì tổng 3 số chia cho 3 d 1 hoặc tổng 3 số chia cho 3 d 2 chia hết cho 3 (4) Từ (1); (2); (3); (4) trong 5 số nguyên tuỳ ý bao giờ cũng có tổng 3 số chia hết cho 3. Bài 12. Chứng minh 2 5 + 3 5 + 5 5 5 Giải Ta có : 2 5 + 3 5 + 5 5 = )5 .()3 .()2 .( ++ = )5 .()5 .( + = )0( . Vì )0( . 5 2 5 + 3 5 + 5 5 5 Vậy 2 5 + 3 5 + 5 5 5 Bài 13. Bạn A đã viết một số có 2chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14.Bạn A đem chia số đó cho 8 thì đợc số d là 4.Nhng khi chia cho 12 thì đợc số d là 3. a) Chứng minh bạ A làm sai ít nhất một phép chia. b) Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia cho 12 đợc số d là bao nhiêu? Giải Gọi số có hai chữ số mà bạn A đã viết là ab (a, b N; 0 < a 9; 0 < b 9) Theo đề bài ta có : a + b = 14. a) Cách 1. Gọi thơng của phép chia ab cho 12 d 3 là q ab = 8q + 4 Gọi thơng của phép chia ab cho 12 d 3 là r ab = 8r + 3 Bài 13. Chứng minh rằng với số nguyên a không chia hết cho 12 và 3 là r thì: ab = 8q + 4 4a 2 + 3a + 5 6 Giải Vì 4a 2 + 3a + 5 6 4a 2 + 3a + 5 2 và 3 4 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng Tính chất chia hết trên tập số nguyên A. Lí thuyết 1. Tính chất chia hết trong tập số nguyên . +) a b a b +) a m và b m a . b m . n +) a a a Z ( a 0) +) a b; b a a = b (a, b 0) +) a b; b c a c (b, c 0) +) a b a . m b (m Z) +) a m ; b m a b m +) a m a n m n ( n N; n 0) +) a . b m và UCLN (a; m) = 1 b m +) a m và a n ; UCLN (m,n) = 1 a m . n +) a. b m và m là nguyên tố thì a m hoặc b m . 2. Chú ý :Trong tập Z: - Một số chia cho 3 d 1; d 2 đợc biểu diễn bởi biểu thức : 3k + 1; 3k + 2 hoặc 3k - 1 , viết gọn 3k 1 (k Z) - Một số lẻ viết dới dạng 2k + 1 hoặc 2k - 1 (k Z) - Một số chẵn viết dới dạng 2k . B. Bài tập. Chứmg minh A(n) k * Phơng pháp 1: Ta xét mọi trờng hợp về số d của A(n) khi chia cho k Bài 1: Chứng minh rằng 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. *Phơng pháp 2: A(n) k phân tích thành hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 2. Chứng minh rằng 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. * Phơng pháp 3 : Tách A(n) thành tổng nhiều số hạng , rồi Chứng minh số hạng chia hết cho k Bài 3. Chứng minh n Z thì n 3 - 13n 6 * Phơng pháp 4 : Dùng các dấu hiệu chia hết Bài 4. Chứng minh rằng : Bài 5. Chứng minh : 2 5 + 3 5 + 5 5 5 Bài 6. Cho N = dcba . Chứng minh : a) N 4 (a + 2b) 4 b) N 8 (a + 2b + 4c) 8 c) N 16 a + 2b + 4c + 8d 16 5 . trong 5 số nguyên tuỳ ý bao giờ cũng có tổng 3 số cho 3 .Bài 9 . Bạn A viết một số có 2 chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14 . Bạn A đem chia số đó cho. tổng 3 số chia cho 3 d 1 3 (1) - Nếu có 1 số chia hết cho 3; 4 số còn lại chia cho 3 d 2 thì tổng 3 số chia cho 3 d 2 3 (2) - Nếu trong 5 số đó có cả số