CĐtoán6.số.p15

Trn Quc T Trng THCS Nam Hng Bội và ớc của một số nguyên A. Lí thuyết 1. Bội và ớc của một số nguyên * Định nghĩa: Cho a, b Z và b 0 . Nếu có một số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói : +) a chia hết cho b +) a là bội của b hay b là ớc của a +) a chia b đợc q và viết a : b = q 2. Tính chất chia hết trong tập số nguyên . +) a b; b c a c (b, c 0) +) a b a . m b (m Z) +) a m ; b m a b m B. Bài tập. * Dạng 1 .Tìm số ớc Bài 1. Tìm số ớc của các số sau: 54; - 196; - 100 Giải * Ta có : 54 = 1.54 = 2 .27 = 3.18 = 6 .9 = (-1) . (-54) = (- 2) .(-27) = (-3).(-18) = (-6) .(- 9) Ư (54) = { } (-6) ; (-18)(-3); ; (-27)2); (- (-54); (-1);; ;9 6 3;18; 2;27; 1;54; Vậy 54 có 16 ớc. *Ta có : - 196 = 1. (-196) = 2.(- 98) = 4 .(- 49) = 14 .(-14) = 7 . (-28) = = (-1). 196 = (-2). 98 = (- 4) .49 = 7 . (-28) = (-14) .(14) Ư (-196) = { } 28;-28(14);7;-7;; (-14); 4);49 (- 98; (-2); (-1);196; (-14);; 14 49); (-; 4 98); (-2; ; (-196) 1; Vậy - 196 có 18 ớc. * Ta có: 100 = 1 . 100 = 2 . 50 = 4 . 25 = 5 . 20 = 10 . 10 Vì số lợng ớc của - 100 khi phân tích ra số tự nhiên có 9 ớc nên khi phân tích ra số nguyên sẽ có 9 . 2 = 18 ớc. Cách 2. a) 54 = 2. 3 3 54 có số ớc tự nhiên là : (1 + 1) ( 3+ 1) = 2 . 4 = 8 ớc Số 54 có số ớc trên tập nguyên là : 8 .2 = 16 ớc. b) Ta có : - 196 = -2 2 . 7 2 -196 có số ớc tự nhiên là : (2 + 1) ( 2 + 1) = 3 . 3 = 9 ớc - 196 có số ớc trên tập nguyên là : 9 . 2 = 18 ớc . c) 100 = 2 2 .5 2 - 100 có số ớc tự nhiên là : (2 + 1) ( 2 + 1) = 3 . 3 = 9 ớc 1 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng - 100 có số ớc trên tập nguyên là : 9 . 2 = 18 ớc . Bài 2. Tìm số ớc của các số sau: - 111; 121; - 300 Giải * Số - 111. Ta có : 111 = 3 . 37 số - 111 có số ớc là số tự nhiên là : (1+1)(1+1) = 2 . 2 = 4 (ớc) số - 111 có số ớc trên tập Z là 4 . 2 = 8 (ớc) Vậy số - 111 có 8 ớc. * Số 121. Ta có: 121 = 11 . 11 số 121 có số ớc tự nhiên là : (1+1)(1+1) = 2 . 2 = 4 (ớc) số 121 có số ớc trên tập Z là 4 . 2 = 8 (ớc) Vậy số 121 có 8 ớc. * Số -300. Ta có : 300 = 2 2 . 3 . 5 2 số - 300 có số ớc tự nhiên là : (2 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 18 (ớc) số - 300 có số ớc trên tập Z là 18 . 2 = 36 (ớc) * Dạng 2 : tìm x, y Z sử dụng toán chia hết. Bài 3. Tìm x; y Z biết: a) xy + 3x - 7y = 21 b) xy + 3x - 2y = 11 Giải a) xy + 3x - 7y = 21 (1) xy + 3x - 7y - 21= 0 x(y + 3) - 7(y + 3) = 0 (y + 3) (x - 7) = 0 y + 3 = 0 x - 7 = 0 y = - 3 x = 7 Vậy x = 7 ; y = 3 thì xy + 3x - 7y = 21 b) xy + 3x - 2y = 11 xy + 3x - 2y - 11 = 0 xy + 3x - 2y - 6 - 5 = 0 (xy + 3x) - (2y + 6) - 5 = 0 x (y + 3) - 2(y + 3) = 5 (y +3) ( x - 2) = 5 y + 3; x - 2 là cặp ớc của 5 mà Ư (5) = { } 5;1;5;1 nên ta có bảng giá trị sau: x - 2 - 5 - 1 1 5 x - 3 1 3 7 y + 3 - 1 - 5 5 1 y - 4 - 8 2 - 2 Vậy(x;y) { } )2;7();2;3();8;1();4;3( Bài 4. Cho A = 75. (4 1993 + 4 1992 + + 4 2 + 4 + 1) + 25. Chứng minh A 100. Giải * Cách 1: A = 75 . (4 1993 + 4 1992 + + 4 2 + 4 + 1) + 25. 2 Trần Quốc Tộ Trường THCS Nam Hồng = 75 . (4 1993 + 4 1992 + … + 4 2 + 4) + 75 + 25. = 75 . 4. (4 1992 + 4 1991 + … + 4 1 + 1) + 100. = 300 . (4 1992 + 4 1991 + … + 4 1 + 1) + 100. V× 300  100 ⇒ 300 . (4 1992 + 4 1991 + … + 4 1 + 1) + 100  100 100  100 VËy A  100 * C¸ch 2: A = 75 . (4 1993 + 4 1992 + … + 4 2 + 4 + 1) + 25. = 25 . 3. (4 1993 + 4 1992 + … + 4 2 + 4 + 1) + 25. = 25 . [3. (4 1993 + 4 1992 + … + 4 2 + 4 + 1) + 1]. = 25 . [3. (4 1993 + 4 1992 + … + 4 2 + 4) + 3 + 1]. = 25 . [3.4 (4 1992 + 4 1991 + … + 4 1 + 1) + 4]. Ta cã : 25  25 vµ [3.4 (4 1992 + 4 1991 + … + 4 1 + 1) + 4]  4 ⇒ 25 . [3.4 (4 1992 + 4 1991 + … + 4 1 + 1) + 4]  100 VËy A  100. Bµi 5. T×m n ∈ Z biÕt: a) 5n - 7  n + 2 b) 8n - 9  2n + 5 c) n 2 + n - 17  n + 5 Gi¶i a) 5n - 7  n + 2 Ta cã n + 2  n + 2 ⇒ 5 (n + 2)  n + 2 ⇒ 5(n + 2) - (5n - 7)  n + 2 mµ 5n - 7  n + 2 ⇒ 5n + 10 - 5n + 7  n + 2 ⇒ 17  n + 2 ⇒ n + 2 ∈ ¦ (17) mµ ¦ (17) ∈ { } 17;1;17;1 −− ⇒ n + 2 ∈ { } 17;1;17;1 −− ⇒ n ∈ { } 15;1;19;3 −−− V©y n ∈ { } 15;1;19;3 −−− th× 5n - 7  n + 2 b) 8n - 9  2n + 5 Ta cã 2n + 5  2n + 5 ⇒ 4 (2n + 5)  2n + 5 ⇒ 8n - 9 - 4(2n + 5)  2n + 5 mµ 8n - 9  2n + 5 ⇒ 8n - 9 - 8n - 20  2n + 5 ⇒ - 2 9  2n + 5 ⇒ 2n + 5 ∈ ¦ (-29) mµ ¦ (- 29) ∈ { } 29;1;1;29 −− ⇒ 2n + 5 ∈ { } 29;1;1;29 −− ⇒ 2n ∈ { } 24;4;6;34 −−− V©y n ∈ { } 12;2;3;17 −−− th× 8n - 9  2n + 5 c) n 2 + n - 17  n + 5 Ta cã : n + 5  n + 5 mµ n 2 + n - 17  n + 5 3 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng n 2 + n - 17 - (n + 5) n + 5 n 2 + n - 17 - n - 5 n + 5 n 2 - 22 n + 5 n 2 + 5n - 5n - 25 + 3 n + 5 (n 2 + 5n) - (5n + 25) + 3 n + 5 n(n + 5) - 5.(n + 5) + 3 n + 5 (n + 5)(n - 5) + 3 n + 5 Vì n + 5 n + 5 (n + 5)(n - 5 n + 5 3 n + 5 n + 5 Ư (3) mà Ư (3) { } 3;1;3;1 n + 5 { } 3;1;3;1 n { } 2;4;8;6 Vậy n { } 2;4;8;6 thì n 2 + n - 17 n + 5 Bài 6. Với n Z các số sau là chẵn hay lẻ: a) A = (n - 4) (n - 15) b) B = n 2 - n - 1 Giải a) A = (n - 4) (n - 15) - Nếu n là số chẵn thì n - 4 là số chẵn (n - 4) (n - 15) là số chẵn (1) - Nếu n là số lẻ thì n - 15 là số chẵn (n - 4) (n - 15) là số chẵn. (2) Từ (1) và (2) A = (n - 4) (n - 15) Vậy n Z thì A = (n - 4) (n - 15) b) B = n 2 - n - 1 = n . n - n - 1 = n .(n - 1) - Vì n(n - 1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích của hai sốn.(n - 1) là số chẵn n .(n - 1) - 1 là số lẻ Vậy với n Z thì B = n 2 - n - 1 là số lẻ . Bài 7. Chứng tỏ A, B là các số nguyên. a) A = 3 210 94 + ; b) B = 9 810 94 + Giải a) A = 3 210 94 + Ta có : 10 94 = 094 0 .100 sochu 10 94 + 2 = 094 0 .100 sochu + 2 = 093 2 .100 sochu Số 093 2 .100 sochu có tổng các chữ số là : 1 + 0 + + 0 + 2 = 3 Thấy 3 3 093 2 .100 sochu 3 10 94 + 2 3 3 210 94 + 3 A 3 Vậy A là số nguyên . 4 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng b) B = 9 810 94 + Ta có : 10 94 = 094 0 .100 sochu 10 94 + 2 = 094 0 .100 sochu + 8 = 093 8 .100 sochu Số 093 8 .100 sochu có tổng các chữ số là : 1 + 0 + + 0 + 8 = 9 Thấy 9 9 093 8 .100 sochu 9 10 94 + 8 9 9 810 94 + 9 B 9 Vậy B là số nguyên . Bài 8. Cho S = 1 - 3 + 3 2 - 3 3 + + 3 98 - 3 99 . a) Chứng minh S là bội của - 20. b) Tính S , từ đó suy ra 3 100 chia cho 4 d 1 Giải Ta có : S = 1 - 3 + 3 2 - 3 3 + + 3 98 - 3 99 . a) Từ 0 đến 99 có : (99 - 0): 1 + 1= 100 số hạng nên có 100 : 4 = 25 nhóm có 4 số hạng. Do đó: S = 1 - 3 + 3 2 - 3 3 + + 3 98 - 3 99 = (1 - 3 + 3 2 - 3 3 ) + (3 4 - 3 5 + 3 6 - 3 7 ) + +(3 96 - 3 97 + 3 98 - 3 99 ) = (1 - 3 + 3 2 - 3 3 ) + 3 4 .(1 - 3 + 3 2 - 3 3 ) + + 3 96 (1 - 3 + 3 2 - 3 3 ) = (1 - 3 + 3 2 - 3 3 ) (1 + 3 4 + + 3 96 ) = (1 - 3 + 9 - 27) (1 + 3 4 + + 3 96 ) = - 20 (1 + 3 4 + + 3 96 ) Thấy 20 (- 20) - 20 (1 + 3 4 + + 3 96 ) (-20) S 20. b) Tính S , từ đó suy ra 3 100 chia cho 4 d 1. ta có : S = 1 - 3 + 3 2 - 3 3 + + 3 98 - 3 99 3.S = 3 - 3 2 + 3 3 - 3 4 + + 3 99 - 3 100 3S + S = 1 - 3 100 4S = 1 - 3 100 S = 4 31 100 Vì S là số nguyên 4 31 100 là số nguyên 1- 3 100 4 hay 3 100 - 1 4 3 100 chia cho 4 d 1. Bài 9. Tìm số nguyên n sao cho n + 2 là ớc của 111 còn n - 2 là bội của 11. Giải Ta có n + 2 Ư (111) Vì Ư (111) { } 111;37;3;1;1;3;37;111 n + 2 { } 111;37;3;1;1;3;37;111 Ta có bảng giá trị sau: n + 2 -111 -37 -3 -1 1 3 37 111 n - 113 - 39 - 5 - 3 - 1 1 35 109 Vì n - 2 là bội của 11 n - 2 = 11. k (k Z) k = 11 2 n Ta có bảng giá trị sau: 5 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng n - 113 - 39 - 5 - 3 - 1 1 35 109 k = 11 2 n 11 115 11 41 11 7 11 5 11 3 11 1 3 11 107 Vì k Z k = 3 n = 35 thì n - 2 là bội của 11. Vậy với n = 35 thì n + 2 là ớc của 111 còn n - 2 là bội của 11. Bài 10. Tìm n Z để : a) 4n - 5 n; b) - 11 là bội của n - 1 c) 2n - 1 là ớc của 3n + 2 Giải a) 4n - 5 n Ta có 4n n và 4n - 5 n 5 n n Ư (5) mà Ư (5) { } 5;1;5;1 n { } 5;1;5;1 b) - 11 là bội của n - 1 Vì - 11 là bội của n - 1 n - 1 Ư (-11) mà Ư (-11) { } 11;1;1;11 Ta có bảng giá trị sau: n - 1 -11 - 1 1 11 n - 10 0 2 12 Vậy n { } 2;0;10;12 thì - 11 là bội của n - 1. c) 2n - 1 là ớc của 3n + 2 Vì 2n - 1 là ớc của 3n + 2 3n + 2 2n - 1 Ta có 2n - 1 2n - 1 3 ( 2n - 1) 2n - 1 6n - 3 2n - 1 3n + 2 2n - 1 2(3n + 2) 2n - 1 6n + 4 2n - 1 6n - 3 - (6n + 4) 2n - 1 6n - 3 - 6n - 4 2n - 1 - 7 2n - 1 2n - 1 Ư (- 7) mà Ư (- 7) { } 7;1;1;7 Ta có bảng giá trị sau: 2n - 1 -7 - 1 1 7 n - 3 0 1 4 Vậy n { } 4;1;0;3 thì 2n - 1 là ớc của 3n + 2. Bài 11. Tìm n Z sao cho n - 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n - 1. Giải Vì n - 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n - 1 nên n - 1 và n + 5 là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. Vì n - 1 < n + 5 n - 1 = - (n + 5) n - 1 = - n - 5 n + n = - 5 + 1 = - 4 6 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng 2n = - 4 n = - 4 : 2 = - 2 Vậy n = - 2 thì n - 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n - 1 . Bài 12. Tìm n Z để: a) n 2 - 7 là bội của n + 3. b) n + 3 là bội của n 2 - 7. Giải a) n 2 - 7 là bội của n + 3. Ta có n 2 - 7 = n 2 + 3n - 3n - 9 + 2 = (n 2 + 3n) - (3n + 9) + 2 = n ( n + 3) - 3 (n + 3) + 2 = (n + 3) (n - 3) + 2 Vì n 2 - 7 n + 3 (n + 3) (n - 3) + 2 n + 3 Vì n + 3 n + 3 (n + 3) (n - 3) n + 3 2 n + 3 n + 3 Ư (2) = { } 2;1;1;2 Ta có bảng giá trị : n + 3 -2 - 1 1 2 n - 5 - 4 - 2 - 1 Vậy n { } 1;2;4;5 thì n 2 - 7 là bội của n + 3. *) Cách 2: n 2 - 7 là bội của n + 3 n 2 - 7 n + 3 Ta có n + 3 n + 3 3 (n + 3) n + 3 n 2 - 7 + 3(n + 3) n + 3 n 2 - 7 + 3n + 9 n + 3 (n.n + 3n) - (7 - 9) n + 3 n . (n + 3) + 2 n + 3 Vì n + 3 n + 3 n. (n + 3) n + 3 2 n + 3 n + 3 Ư (2) mà Ư (2) = { } 2;1;1;2 Ta có bảng giá trị : n + 3 -2 - 1 1 2 n - 5 - 4 - 2 - 1 Vậy n { } 1;2;4;5 thì n 2 - 7 là bội của n + 3. b) n + 3 là bội của n 2 - 7. Ta có : n + 3 là bội của n 2 - 7 n + 3 n 2 - 7 (n + 3)(n - 3) n 2 - 7 n 2 - 9 n 2 - 7 n 2 - 7 - 2 n 2 - 7 Vì n 2 - 7 n 2 - 7 - 2 n 2 - 7 n 2 - 7 U (- 2) { } 2;1;1;2 Ta có bảng giá trị : n 2 - 7 -2 - 1 1 2 n 2 5 6 8 9 n loại loại loại 3 Vậy n = 3 thì n + 3 là bội của n 2 - 7 7 Trần Quốc Tộ Trường THCS Nam Hồng ===***=== Bµi tËp Béi vµ íc cña mét sè nguyªn * D¹ng 1 .T×m sè íc Bµi 1. T×m sè íc cña c¸c sè sau: 54; - 196; - 100 Bµi 2. T×m sè íc cña c¸c sè sau: - 111; 121; - 300 * D¹ng 2 : t×m x, y ∈ Z sö dông to¸n chia hÕt. Bµi 3. T×m x; y ∈ Z biÕt: a) xy + 3x - 7y = 21 b) xy + 3x - 2y = 11 Bµi 4. Cho A = 75(4 1993 + 4 1992 + … + 4 2 + 4 + 1) + 25. Chøng minh A  100. Bµi 5. T×m n ∈ Z biÕt: a) 5n - 7  n + 2 b) 8n - 9  2n + 5 c) n 2 + n - 17  n + 5 Bµi 6. Víi n ∈ Z c¸c sè sau lµ ch½n hay lÎ: a) A = (n - 4) (n - 15) b) B = n 2 - n - 1 Bµi 7. Chøng tá A, B lµ c¸c sè nguyªn. a) A = 3 210 94 + ; b) B = 9 810 94 + Bµi 8. Cho S = 1 - 3 + 3 2 - 3 3 + … + 3 98 - 3 99 . a) Chøng minh S lµ béi cña - 20. b) TÝnh S , tõ ®ã suy ra 3 100 chia cho 4 d 1. Bµi 9. T×m sè nguyªn n sao cho n + 2 lµ íc cña 111 cßn n - 2 lµ béi cña 11. Bµi 10. T×m n ∈ Z ®Ó : a) 4n - 5  n; b) - 11 lµ béi cña n - 1 c) 2n - 1 lµ íc cña 3n + 2 Bµi 11. T×m n ∈ Z sao cho n - 1 lµ béi cña n + 5 vµ n + 5 lµ béi cña n - 1. Bµi 12. T×m n ∈ Z ®Ó: a) n 2 - 7 lµ béi cña n + 3. b) n + 3 lµ béi cña n 2 - 7. ===***=== Bµi tËp Béi vµ íc cña mét sè nguyªn 8 Trần Quốc Tộ Trường THCS Nam Hồng * D¹ng 1 .T×m sè íc Bµi 1. T×m sè íc cña c¸c sè sau: 54; - 196; - 100 Bµi 2. T×m sè íc cña c¸c sè sau: - 111; 121; - 300 * D¹ng 2 : t×m x, y ∈ Z sö dông to¸n chia hÕt. Bµi 3. T×m x; y ∈ Z biÕt: a) xy + 3x - 7y = 21 b) xy + 3x - 2y = 11 Bµi 4. Cho A = 75(4 1993 + 4 1992 + … + 4 2 + 4 + 1) + 25. Chøng minh A  100. Bµi 5. T×m n ∈ Z biÕt: a) 5n - 7  n + 2 b) 8n - 9  2n + 5 c) n 2 + n - 17  n + 5 Bµi 6. Víi n ∈ Z c¸c sè sau lµ ch½n hay lÎ: a) A = (n - 4) (n - 15) b) B = n 2 - n - 1 Bµi 7. Chøng tá A, B lµ c¸c sè nguyªn. a) A = 3 210 94 + ; b) B = 9 810 94 + Bµi 8. Cho S = 1 - 3 + 3 2 - 3 3 + … + 3 98 - 3 99 . a) Chøng minh S lµ béi cña - 20. b) TÝnh S , tõ ®ã suy ra 3 100 chia cho 4 d 1. Bµi 9. T×m sè nguyªn n sao cho n + 2 lµ íc cña 111 cßn n - 2 lµ béi cña 11. Bµi 10. T×m n ∈ Z ®Ó : a) 4n - 5  n; b) - 11 lµ béi cña n - 1 c) 2n - 1 lµ íc cña 3n + 2 Bµi 11. T×m n ∈ Z sao cho n - 1 lµ béi cña n + 5 vµ n + 5 lµ béi cña n - 1. Bµi 12. T×m n ∈ Z ®Ó: a) n 2 - 7 lµ béi cña n + 3. b) n + 3 lµ béi cña n 2 - 7. ===***=== 9 . có số ớc trên tập nguyên là : 9 . 2 = 18 ớc . Bài 2. Tìm số ớc của các số sau: - 111; 121; - 300 Giải * Số - 111. Ta có : 111 = 3 . 37 số - 111 có số. là số tự nhiên là : (1+1)(1+1) = 2 . 2 = 4 (ớc) số - 111 có số ớc trên tập Z là 4 . 2 = 8 (ớc) Vậy số - 111 có 8 ớc. * Số 121. Ta có: 121 = 11 . 11 số