Trn Quc T Trng THCS Nam Hng chứng minh đẳng thức số nguyên A. Lí thuyết 1. Đẳng thức. Hai số , hai biểu thức bằng nhau, nối với nhau bởi dấu bằng gọi là một đẳng thức. VD: 3 = 3; a ( b + c) = ab+ ac. - Biểu thức nằm bên trái dấu " = " gọi là vế trái (viết tắt : VT) - Biểu thức nằm bên phải dấu " = " gọi là vế phải (viết tắt : VP) 2. Các tính chất của đẳng thức: a) Mọi số đều bằng chính nó: a = a b) a = b b = a c) a = b a + c = b + c d) a = b; b = c a = c e) a = b a . c = b . c ( c 0). 3. Cách chứng minh một đẳng thức. Để chứng minh một đẳng thức A = B ta có thể +) Cách 1: Biến đổi A về B hoặc biến đổi B về A. +) Cách 2: Biến đổi A, B về cùng một biều thức C * Chú ý : Thông thờng khi chứng minh một đẳng thức ta biến đổi vế nào cồng kềnh , phức tạp hơn. B. Bài tập. Bài 1 . Chứng minh đẳng thức: - ( - a + b + c ) + ( b + c - 1) = ( b - c + 6) - ( 7 - a + b ) + c Giải * Cách 1: Ta có : - ( - a + b + c ) + ( b + c - 1) = ( b - c + 6) - ( 7 - a + b ) + c (1) a - b - c + b + c - 1 = b - c + 6 - 7 + a - b + c a + ( b - c) + ( c - c) - 1 = (b - b) + (c - c) + a + (6 - 7) a - 1 = a - 1 luôn đúng Vậy đẳng thức (1) đợc chứng minh. * Cách 2: Ta có : VT = - ( - a + b + c ) + ( b + c - 1) = a - b - c + b + c - 1 = a + ( b - c) + ( c - c) -1 = a - 1 (1) VP = ( b - c + 6) - ( 7 - a + b ) + c = b - c + 6 - 7 + a - b + c = (b - b) + (c - c) + a + (6 - 7) = a - 1 (2) Từ (1) và (2) VT = VP 1 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng Vậy đẳng thức đợc chứng minh Bài 2. Cho A = a + b - 5; B = - b - c + 1 C = b - c - 4 D = b - a Chứng minh : A + B = C - D Giải Ta có : A + B = a + b - 5 + ( - b - c + 1) = a + b - b - c + 1 - 5 = a - c - 4 (1) C - D = b - c - 4 - ( b - a) = b - c - 4 - b + a = ( b - b) + a - c - 4 = a - c - 4 (2) Vậy A + B = C + D Bài 3. Cho A = a - b + c + 1 B = a + 2 với a; b; c Z Biết A = B . Chứng minh b và c là hai số nguyên liên tiếp. Giải Ta có : A = a - b + c + 1 ; B = a + 2 với a; b; c Z A = B a - b + c + 1 = a + 2 - b + c + 1 = 2 ( bớt 2 ở hai vế) c = b + 2 - 1 c = b + 1 Vậy b, c là hai số nguyên liên tiếp. Bài 4. Chứng minh rằng a)(x - y) (x + y ) = x 2 - y 2 ; b) (x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2 ; c) (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 Giải a) Ta có : VT = (x - y) (x + y ) = (x- y ). x + (x- y) y = x 2 - xy + xy - y 2 = x 2 - y 2 (1) VP = x 2 - y 2 (2) Từ (1) và (2) VT = VP Vậy đẳng thức đã đợc chứng minh. b) Ta có : VT = (x + y) 2 = (x+ y ).(x + y) = x (x + y) + y(x + y) = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 + 2xy + y 2 (1) VP = x 2 + 2xy + y 2 Từ (1) và (2) VT = VP Vậy đẳng thức đã đợc chứng minh. 2 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng c) (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 Ta có : VT = (x - y) 2 = (x- y ).(x - y) = x (x - y) - y(x - y) = x 2 - xy - xy + y 2 = x 2 - 2xy + y 2 (1) VP = x 2 - 2xy + y 2 (2) Từ (1) và (2) VT = VPVậy đẳng thức đã đợc chứng minh. Bài 5. Chứng minh: ( 1 + 2 + 3 + + n ) 2 = 4 )1( 22 + nn Giải Ta có : ( 1 + 2 + 3 + + n ) 2 = 4 )1( 22 + nn Ta có : VT = ( 1 + 2 + 3 + + n ) 2 = ( 2 ).1( nn + ) 2 = 4 .)1( 22 nn + (1) VP = 4 )1( 22 + nn (2) Từ (1) và (2) VT = VP ( 1 + 2 + 3 + + n ) 2 = 4 )1( 22 + nn Bài 6. Cho A = a(2a + b - c) - b ( c + a - b) + c(a + b) B = 2 ( a 2 +b - 2c) - b(c + b - 2) + c ( b + 2) a) Chứng minh B = A + 4b - 2c - 2b 2 b) Cho a, b, c Z . Chứng minh A + B 2 Giải a) A = a (2a + b - c) - b ( c + a - b) + c(a + b) = 2a 2 + ab - ac - bc - ab + b 2 + ac + bc = 2a 2 + b 2 + (ab - ab) + (ac - ac) + (bc - bc) = 2a 2 + b 2 A + 4b - 2c - 2b 2 = 2a 2 + b 2 + 4b - 2c - 2b 2 = 2a 2 + 4b - 2c + (b 2 - 2b 2 ) = 2a 2 + 4b - 2c - b 2 (1) B = 2 ( a 2 +b - 2c) - b(c + b - 2) + c ( b + 2) = 2a 2 + 2b - 4c - bc - b 2 + 2b + bc + 2c = 2a 2 + (2b + 2b) + (bc - bc) + ( 2c - 4c) - b 2 = 2a 2 + 4b - 2c - b 2 (2) Từ (1) và (2) B = A + 4b - 2c - 2b 2 b) A + B = 2a 2 + b 2 + 2a 2 + 4b - 2c - b 2 = (2a 2 +2a 2 ) + (b 2 - b 2 ) + 4b - 2c = 2a 2 + 4b - 2c = 2(a 2 + b - c) Vì 2 2 2(a 2 + b - c) 2 A + B 2 với a; b Z. Bài 5. Cho x = a 2 + 2ab + b 2 ; y = a 2 - 2ab + b 2 Chứng minh rằng: 2y - x - { } x)]-(5y -3x [y -y -2x + = 4ab Giải Ta có : VT = 2y - x - { } x)]-(5y -3x [y -y -2x + = 2y - x -{2x - y- [y + 3x - 5y + x]} = 2y - x -{2x - y - [4x - 4y ]} = 2y - x -{2x - y - 4x + 4y} 3 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng = 2y - x - {- 2x + 3y } = 2y - x + 2x - 3y = (2x - x) + (2y - y ) = x - y mà x = a 2 + 2ab + b 2 ; y = a 2 - 2ab + b 2 VT = (a 2 + 2ab + b 2 ) - (a 2 - 2ab + b 2 ) = a 2 + 2ab + b 2 - a 2 + 2ab - b 2 = (a 2 - a 2 )+ (2ab + 2ab) + (b 2 - b 2 ) = 4ab (1) VP = 4ab (2) Từ (1) và (2) VT = VP. Vậy đẳng thức đợc chứng minh. Bài 8. Có tồn tại hay không số tự nhiên n thoả mãn n 2 + 1 = 199510 1995 .19951995 so Giải Giả sử có số tự nhiên n thoả mãn : n 2 + 1 = 199510 1995 .19951995 so Ta có : 199510 1995 .19951995 so có tổng các chữ số là : (1 + 9 + 9 + 5) + (1 + 9 + 9 + 5) + + (1 + 9 + 9 + 5) = 24 . 10 = 240 Vì 240 3 199510 1995 .19951995 so 3 n 2 + 1 3 n 2 chia cho 3 d 2 mà n 2 là số chính phơng, số chính phơng khi chia cho 3 d 0;1 điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n 2 + 1 = 199510 1995 .19951995 so Bài 7. Hai lần của một số tự nhiên lẻ có thể là hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên đợc không? Giải Gọi số tự nhiên lẻ là : 2k + 1 Hiệu bình phơng của hai số tự nhiên: a 2 - b 2 Giả sử hai lần của một số tự nhiên lẻ là hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên: Ta có : 2 (2k + 1) = a 2 - b 2 Theo bài 4 , ta có : a 2 - b 2 = (a - b) (a + b ) 2 (2k + 1) = (a - b) (a + b ) Vì a;b N a - b ; a + b cùng tính chẵn lẻ. +) Nếu a - b; a + b cùng là một số lẻ mà 2 (2k + 1) là số chẵn 2 (2k + 1) = (a - b) (a + b ) vô lí (1) +) Nếu a - b; a + b cùng là một số chẵn thì (a - b)(a + b) 4 mà 2 (2k + 1) 2 2 (2k + 1) = (a - b) (a + b ) vô lí. (2) Từ (1) và (2) điều giả sử là sai Vậy hai lần của một số tự nhiên lẻ không thể là hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên . Bài 8. Cho a, b, c, d Z và a + b = c + d. Biết ab là số liền sau của tích cd, chứng minh: a = b. Giải Từ a + b = c + d d = a + b - c (1) Vì ab là số liền sau cd nên: ab - cd = 1 (2) Từ (1) và (2) ab - c(a + b - c) = 1 ab - ac - bc + c 2 = 1 (ab - bc) - (ac - c 2 ) = 1 4 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng b . ( a - c) - c ( a - c) = 1 (a - c) (b - c) = 1 = 1. 1 = (-1). (-1) a - c = 1 a = c + 1 a = b b - c = 1 b = c + 1 a - c = -1 a = c - 1 a = b b - c = -1 b = c - 1 Vậy a = b . chứng minh đẳng thức số nguyên A. Lí thuyết 1. Đẳng thức. Hai số , hai biểu thức bằng nhau, nối với nhau bởi dấu bằng gọi là một đẳng thức. VD: 2 = 3; a ( b + c) = ab- ac. - Biểu thức nằm bên trái dấu " = " gọi là vế trái (viết tắt : VT) - Biểu thức nằm bên phải dấu " = " gọi là vế phải (viết tắt : VP) 2. Các tính chất của đẳng thức: a) Mọi số đều bằng chính nó: a = a b) a = b b = a c) a = b a + c = b + c d) a = b; b = c a = c e) a = b a . c = b . c ( c 0). 3. Cách chứng minh một bất đẳng thức. Để chứng minh một bất đẳng thức A = B ta có thể +) Cách 1: Biến đổi A về B hoặc biến đổi B về A. +) Cách 2: Biến đổi A, B về cùng một biều thức C * Chú ý : Thông thờng khi chứng minh một đẳng thức ta biến đổi vế nào cồng kềnh , phức tạp hơn. B. Bài tập. Bài 1 . Chứng minh đẳng thức: - ( - a + b + c ) + ( b + c - 1) = ( b - c + 6) - ( 7 - a + b ) + c Bài 2. Cho A = a + b - 5; B = - b - c + 1 C = b - c - 4 D = b - a Chứng minh : A + B = C - D Bài 3. Cho A = a - b + c + 1 B = a + 2 với a; b; c Z Biết A = B . Chứng minh b và c là hai số nguyên liên tiếp. Bài 4. Chứng minh rằng a)(x - y) (x + y ) = x 2 - y 2 ; b) (x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2 ; c) (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 Bài 5. Chứng minh: ( 1 + 2 + 3 + + n ) 2 = 4 )1( 22 + nn Bài 6. Cho A = a(2a + b - c) - b ( c + a - b) + c(a + b) B = 2 ( a 2 +b - 2c) - b(c + b - 2) + c ( b + 2) 5 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng a) Chứng minh B = A + 4b - 2c - 2b 2 b) Cho a, b, c Z . Chứng minh A + B 2 Bài 5. Cho x = a 2 + 2ab + b 2 ; y = a 2 - 2ab + b 2 Chứng minh rằng: 2y - x - { } x)]-(5y -3x [y -y -[2x + = 4ab Bài 6. Có tồn tại hay không số tự nhiên n thoả mãn n 2 + 1 = 199510 1995 .19951995 so Bài 7. Hai lần của một số tự nhiên lẻ có thể là hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên đợc không? Bài 8. Cho a, b, c, d Z. Biết ab là số liền sau của tích cd, chứng minh: a = b. ===***=== 6 . của một số tự nhiên lẻ có thể là hiệu các bình phơng của hai số tự nhiên đợc không? Giải Gọi số tự nhiên lẻ là : 2k + 1 Hiệu bình phơng của hai số tự nhiên:. n 2 chia cho 3 d 2 mà n 2 là số chính phơng, số chính phơng khi chia cho 3 d 0;1 điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n 2 + 1