CĐtoán6-số-p5

Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng Chuyên đề số chính phơng I. Một số kiến thức cơ bản. 1. Định nghĩa: Số chính phơng là số bằng bình phơng của một số tụ nhiên 2. Các tính chất: - Số chính phơng chỉ có chữ số tận cùng là 0 ; 1; 4; 5; 6; 9. - Không có số chính phơng nào có tận cùng là 2; 3; 7; 8. - Khi phân tích số chính phơng ra thừa số nguyên tố thì chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. VD: CM: A = a x . b y . c z (a; b ; c là các nguyên tố) + Chứng minh x, y, z là số chẵn. Giả sử A = k 2 = (a x . b y . c z ) 2 ( k = a x . b y . c z ) = a 2x . b 2y . c 2z - Số chính phơng chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. - Số chính phơng chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. - Số chính phơng chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 - Số chính phơng chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. - Số chính phơng có số ớc là số lẻ. - Số tự nhiên có số ớc là lẻ thì số đó là số chính phơng . 3.Dạng tổng quát của số chính phơng . - Số chính phơng chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1(n N), k hông có số chính phơng nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N) - Số chính phơng chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1 ( n N), k hông có số chính phơng dạng 3n + 2 (n N) II. Các dạng toán về số chính phơng và phơng pháp giải. 2.1 Phơng pháp 1: Sử dụng địng nghĩa: Ví dụ 1: CMR : tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phơng Giải Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1 , n + 2, n + 3 Ta có: n(n + 1) ( n + 2) (n + 3) + 1 = (n 2 + 3n) ( n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2 ( n 2 + 3n) + 1= (n 2 + 3n +1) 2 (đpcm) * Nhận xét: Khai triển tích n(n+1) (n+2) (n+3) cần phải nhân nvới (n+3) nhân (n+1) với (n+2) thì sẽ có phần giống nhau là (n 2 +3n) Ví dụ 2. Cho S = 1.2.3+ 2.3.4.5 + . + n(n+1) (n+2) CMR: 4S +1 là csp. 1 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng Giải: Lập tổng: S = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + . + n( n+1) (n+2) ( n+3) Ta có S - 4S = 1.2.3 + 2.3.4.5 + . + (n-1) n( n+1) (n+2) S - 4s = S - n(n+1) (n+2) (n+3) 4S +1 = n(n+1) (n+2) (n+3) +1 =(n 2 +3n+1) 2 theo ví dụ 1 * Nhận xét: - Cách giải trên sáng tạo ở chỗ dựa vào đặc điểm của tổng S, 4S lập ra tổng S từ đò tính đợc 4S + 1 và áp dụng ngay kết quả của ví dụ 1. - Khi gặp tích: (x+a) (x+b) (x+c) (x+d) với a + b = c + d ta khai triển ( x + a ) ( x+ b) và ( x+ c ) ( x+ d) để đợc x 2 + ( a+ b) x = x 2 + ( c + d ) x. Ví dụ 3. CMR. a) A = 11 .1 x 100 .05 + 1 là số chính phơng 2003 số 1 2002 số 0 b) B = 11 .1 + 44 .4 + 1 là số chính phơng. 2n số1 n số 4 Giải: a) Đặt 11 .1 = K 99 .9 = 9K 2003 số 1 2002 số 9 10 2003 = 9K + 1 do đó A = 11 .1 x ( 10 2003 + 5 ) + 1 = K (9K + 1 + 5 ) +1 2003 số 1 = 9K 2 + 6K + 1 = ( 3k + 1 ) 2 mà 3K + 1 N A là số chính phơng. b) 9 110 2 n + 4 9 110 n + 1 = 9 4110.410 2 ++ nn = 2 ) 3 210 ( + n = (33 .34) 2 B là số chính phơng. *Nhân xét: Cách giải trên dựa vào đặc điểm các chỉ số, tách các chữ số một cách thích hợp sẽ đa đợc về dạng hằng đẳng thức bình phơng của tổng hay bình phơng của hiệu ( dạng biểu thức của số chính phơng). * bài tập áp dụng chứng minh rằng: CMR. M = ( x + y ) ( x+ 2y ) ( x+ 3y ) ( x= 4y) + y 4 là số chính phơng. P = 11 .11 x 22 .225 là số chính phơng n số 1 n + 1 Q = 44 .44 + 22 .22 + 88 .88 + 7 là số chính phơng 2n n + 1 n 2 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng 2.2 Phơng pháp 2: Phơng pháp loại trừ: Ví dụ 1: Tìm n để 1! + 2! + 3! + .+ n! = 33 + 5! . + n! Là số chính phơng Giải: Với n 5 thì n! 10 khi đó: 1! + 2! + 3! + .+ n! = 33 + 5! . + n! Có tân cùng là 3 mà số chính phơng không có tân cùng là 3 cho nên n < 5 => n = 1 hoặc n = 3 Ví dụ 2: Tìm một số có hai chữ số biết nó bằng lập phơng của một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó bằng bình phơng của mỗi số tự nhiên. Giải Gọi số đó là ab ta có: ab = k 3 và a + b = k 2 (K N) Do 1 < a + b 18 => 1 K 2 18 => 1 K 4 mà ab 10 =>K 3 10 => K 3 => K = 3 Vậy ab = 27 2.3 Phơng pháp 3: Sử dụng tính chẵn lẻ. Ví dụ 1: CMR: số chính phơng có dạng Ab 2 = (10A + b) 2 (A N, b 9) Ab 2 = 100A 2 + 20Ab + b 2 = 20A (5A + b) + b 2 Chữ số hàng chục của 20A (5A + b) là chẵn lên theo giả thiết Chữ số hàng chục của b 2 phải lẻ , từ đó => b = 4; 6 Khi đó b 2 16,36 nên chữ số hàng đơn vị của Ab 2 luôn bằng 6 Ví dụ 2: Tìm tất cả các số tự nhiên x, y để 2 x + 57 là số chính phơng Giải Giả sử 2 x + 2 y = K 2 (K N) Nếu x = 0 thì 1 + 5 y = K 2 do đó K chẵn => K 2 4 nhng 1 + 5 y 2( mod 4) Vậy x 0, từ 2 x + 2 y = K 2 => K lẻ và K 5 * Xét hai trờng hợp: a) Với y = 0 thì 2 x + 1 = K 2 = (2m + 1) 2 => 2 x = 4m ( m + 1) m = 1, khi đó x = 3 , y = 0 b) Với y 0 vì K 5 nên K 2 1(mod5) Từ 2 x + 2 y = K 2 => 2 x 1 (mod 5) => x chẵn Đặt x = 2n khi đó 5 y = ( K + 2 n )(K 2 n ) 3 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng K + 2 n = 5 a K - 2 n = 5 b Với a + b = y (a > b; a, b N) => 2 n + 2 = 5 b ( (5 a - b 1) => 5 b = 1 => b = 0 , a = y lúc đó 2 n + 1 = 5 y 1 Nếu y = 2t thì 2 n + 1 = 5 2t 1 3 vô lý. Vậy y lẻ khi đó : 2 n + 1 = 5 y 1 = 4(5 y - 1 + 5 y 2 + . + 5 + 1) Nếu y > 1 thì = 5 y - 1 + 5 y 2 + . + 5 + 1 là số lẻ , vô lý. Vậy y = 1 khi đó n = 1 ; x = 2; y = 1. * Nhận xét: Bài tập trên là bài tập khó và rất hay . Nó đòi hỏi khả năng lựa chọn, đánh giá , sáng tạo cao . Để giải đợc bài toán cần huy động nhiều kiến thức nh tính chẵn lẻ , chia hết , đồng d công thức khai triển a n b n . *Bài tập áp dụng: Bài 1: CMR mọi số chính phơng lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn. Bài 2: CMR số chính phơng lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì số hàng trăm của nó là số chẵn. 2.4 Phơng pháp 4: Sử dụng tính chất: a. Nếu A,B là số chính phơng và (A,B) = 1 thì A, B đều là số chính phơng. b. Nếu có số nguyên n sao cho n 2 < A 2 < (n + 1) 2 thì A không là số chính phơng. c. Nếu m 2 < A 2 < ( M + K) 2 với M,K N * Thì = A= M + i với i = 1, 2, 3 . k - 1 Ví dụ 1: CMR: Nếu a, b Z thoả mãn 2a 2 + a = 3b 2 + b thì a b và 2a + 2b + 1 là những số chính phơng Giải Ta có : 2a 2 + a = 3 b 2 + b 2(a 2 b 2 ) + (a b) = b 2 (a b) (2a +2b + 1) = b 2 (1) Gọi d là ớc của a b và 2a + 2b + 1 Thì d là ớc của hiệu 2a + 2b + 1 2( a + b) = 4b + 1 Mặt khác từ (1) ta có : 2 2 b d => b d => d = 1 => (a b ; 2a +2b + 1 ) = 1 (2) 4 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng Từ (1) và (2) => a b và 2a + 2b + 1 là số chính phơng ( theo tính chất a) * Nhận xét: Từ giả thiết ta cũng có: (a b )( 3a +3b + 1 ) = a 2 và (a b ; 3a +3b + 1 ) = 1 => a b ; 3a +3b + 1 là số chính phơng. Ví dụ 2: CMR: Số 4n 4 + 4n 3 + 6n 2 + 3n + 2 ( n Z) không thẻ là số chính phơng. Giải Ta có : n 2 + n + 1 = (n + 2 1 ) 2 + 4 3 > 0 => 3n 2 + n + 2 = 3(n + 6 1 ) 2 + 12 23 > 0 => (4n 4 + 4n 3 + 6n 2 + 3n + 2) (n 2 + n + 1) < 4n 4 + 4n 3 + 6n 2 + 3n + 2 < (4n 4 + 4n 3 + 6n 2 + 3n + 2) + ( 3n 2 + n + 2) => ( 2n 2 + n + 2) 2 < A < ( 2n 2 + n + 2) 2 => A không là số chính phơng (tính chất b) * Nhận xét: Dựa vào hệ số , số mũ của các số hạng trong tổng A , ta đánh giá đợc ( 2n 2 + n + 2) 2 < A < ( 2n 2 + n + 2) 2 .Đây là sự sáng tạo , sự linh hoạt , cái đẹp của toán học. Giáo viên cần củng cố hằng đẳng thức bình phơng của tổng nhiều số hạng, rèn luyện kỹ năng biến đổi thành thạo thông qua các bài toán tơng tự. Ví dụ 3. Tìm các số nguyên tố P sao cho tổng tất cả các ớc tự nhiên của p 4 là một số chính phơng Giải Các ớc tự nhiên của p 4 là 1; p ; p 2 ; p 4 ta có : Giả sử : 1 + p + p 2 + p 3 + p 4 = n 2 => 4p 4 + 4p 3 + p 2 < 4n 2 < 4p 4 + p 2 + 4 + 4p 3 4p + 8p 2 => (2p 2 + p) 2 < (2n) 2 < ( 2p 2 + p + 2) 2+ => 2n = 2p 2 + p + 1 => p 2 2P - 3 = 0 => p = 3 * Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho n số tự nhiên, d là ớc nguyên dơng của 2n 2 CMR: n 2 + d không là số chính phơng. Bài 2: CMR tích của 8 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phơng. 5 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng Bài 3: Tìm n Z để n 4 + 2n 3 2n 2 + n + 7 là số chính phơng. 2.5. Phơng pháp 5: Sử dụng k chia hết và chia có d: Ví dụ1 : Tìm số chính phơng có 4 chữ số chia hết cho 33 Giải Đặt abcd = A 2 ta có A 2 33=> A 2 3 và A 2 11 => A 3 và A 11 => A 2 9 và A 2 121 mà (9,21) = 1 => A 2 1089 ( do 9121 = 1089) => A 2 = 1089 . t 2 (t N) Mặt khác : 1000 abcd 1999 => 1 t 2 9 => t 2 = 1; 4 ; 9. Vậy abcd là 1089; 4356; 9801 Ví dụ 2: Tìm a N để a 2 + a + 1589 là số chính phơng Giải Đặt a 2 + a + 1589 = K 2 ( K N) => (2a + 1) 2 + 6355 = 4K 2 => ( 2K + 2a + 1) (2k 2a - 1) = 6355 Do 2K + 2a + 1 và 2 k 2a - 1 là số lẻ và 2K + 2a + 1 > 2k 2a - 1 Ta có : (2K + 2a + 1) (2k 2a - 1) = 6355 . 1 = 1271 . 5 = 205 . 31 = 155 . 41 a = 1588; 316; 43 ;28 Ví dụ 3: Tìm một hình vuông có số đo diện tích là một số tự nhiên gồm 4 chữ số mà hai chữ số đều giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau. Giải Gọi số đo diện tích phải tìm có dạng aabb , với a,b N : 1 a 9 và 0 b 9 => aabb = K 2 ; k N 32 < K < 100 (K là cạnh hình vuông) =>11( 100a + b) = k 2 do đó : k 2 11 = > k = 11t => 100a + b = 11t 2 với 3 t 9 (1) => a + b = 11 (2) => do a, b N và 1 a 9; 0 b 9 ta có 1 a + b 18 (3) Từ (2) và (3) => a + b = 11; từ (1) => 9a + 1 = t 2 t 2 1 = 9a (4) => t 2 1 9 => (t + 1)(t 1) 3 mà ( t + 1) ( t 1) = 2 => t + 1 và t 1 không đồng thời chia hết cho 3 + Nếu t + 1 3 thì từ (4) => t + 1 9 mà 3 t 9 => t + 1 = 9 => t = 8 => a = 7 => b = 4. Vậy aabb = 7744 6 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng + Nếu t 1 3 thì từ (4) => t 1 = 9 (loại) * Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm một số có hai chữ số biết hiệu bình phơng của số đó và viết theo thứ tự ngợc lại là số chính phơng. Bài 2: Tìm các số chính phơng có 5 chữ số và chia hết cho 54. Bài 3: Tìm một số chính phơng co 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của hai số đó có tổng các chữ số là một số chính phơng. 2.6. Phơng pháp 6: Sử dụng tính chất a) Một số tự nhiên có số ớc là số lẻ thì số đó là số chính phơng b) Số chính phơng có số ớc là số lẻ Chứng minh: a) Gọi số tự nhiên là A ; Khi phân tích A ra thừa số nguyên tố sẽ có dạng: A = 1 1 y x . 2 2 y x . n y n x với y i N; x i N; i = 1,2,3 Ta có số ớc của A = (y 1 + 1)(y 2 + 1) .(y n + 1) là số lẻ Ví dụ : Viết liên tiếp từ 1 đến 12 đợc số A= 1234 .101112, số A có thể có 81 ớc số đ- ợc không? Giải Số A có 81 ớc là số lẻ nên A là số chính phơng (1) Mặt khác tổng các chữ số của A bằng 51 nên A 3 nhng A 9 do đó A không là số chính phơng (2) mâu thuẫn với (1). Vậy A không thể có 81 ớc số. Trên đây là 6 phơng pháp cơ bản , thờng hay dùng để giải các bài tập về số chính phơng. 7 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng C. Bài tập. Bài 1. Các tổng sau có là số chính phơng hay không? a) A = 3 + 3 2 + 3 3 + + 3 30 . b) B = 11 + 11 2 + 11 3 c) C = 10 10 + 8 d) D = 10 100 + 10 80 + 1 Giải a) A = 3 + 3 2 + 3 3 + + 3 30 . b) B = 11 + 11 2 + 11 3 = 11 + 11 + = 3 B không phải là số chính phơng . c) C = 10 10 + 8 = 880 =+ C không phải là số chính phơng . d) D = 10 100 + 10 80 + 1= 1 .01 .10101000100 0800100 =++ sochusochu D có tổng các chữ số là : 1 + 1+ 1 = 3 3 nhng k 9 nên D không phải là số chính phơng . Bài 2. Tìm số nguyên tố ab biết ab - ba là số chính phơng (a>b>0) Giải Ta có : ab - ba = 10.a + b - ( 10b + a) = 10.a + b - 10.b - a = 9a - 9b = 9 ( a - b) = 3 2 . (a- b) Vì ab - ba là số chính phơng nên a - b là số chính phơng . Vì a > b> 0 1 a - b 8 a - b { } 8;;2;1 mà a - b là số chính phơng a - b { } 4;1 - Nếu a - b = 1 và a>b>0 thì: ab { } 98;87;76;65;54;43;32;21 mà a - b là số nguyên tố nên ab = 43. - Nếua - b = 4 và a>b>0 thì: ab { } 95;84;73;62;51 mà a - b là số nguyên tố nên ab =73. Vậy ab = 43 hoặc ab = 73 thì ab - ba là số chính phơng (a>b>0) Bài 3. Tìm số chính phơng có 4 chữ số đợc viết bởi các chữ số 3; 6; 8; 8. Giải Gọi n 2 là số chính phơng phải tìm . Số chính phơng không có tận cùng là 3; 8 , do đó n 2 có tận cùng là 6. Số có tận cùng bằng 86 chia hết cho 2 , không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phơng . Do đó n 2 có tận cùng là 36 . Số chính phơng đó là 8836 = 94 2 . Bài 4. Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho nếu cộng nó với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngợc lại thì đợc số chính phơng . Giải Gọi số phải tìm là ab (a; b N; a, b là các chữ số) Khi viết theo thứ tự ngợc lại của số ab thì đợc số ba Theo đầu bài ta có : ab + ba = n 2 ( n 2 là số chính phơng, n N ) a . 10 + b + b. 10 + a = n 2 11.a +11.b = n 2 8 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng 11. (a + b) = n 2 a + b = 11. Ta có bảng sau: a 9 2 3 8 7 4 5 6 b 2 9 8 3 4 7 6 5 ab 92 29 38 83 74 47 56 65 Vậy ab { } 92;65;56;47;38;29 Bài 5. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phơng Giải * Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là : n 10 n 99 20 2n 98 21 2n + 1 99 Vì 2n là số chẵn nên 2n +1 là số lẻ mà 2n + 1 là số chính phơng , do đó : 2n + 1 { } 169;121;81;49;25 2n { } 168;120;80;48;24 n { } 84;60;40;24;12 * Vì n { } 84;60;40;24;12 3n n { } 252;180;120;72;36 3n + 1 { } 253;181;121;73;37 Vì 3n + 1 là số chính phơng mà trong các số 37; 73; 121; 181; 253 chỉ có số 121 là số chính phơng ( 121= 11 2 ). nên 3n + 1 = 121 3n = 120 n = 40 Vậy n = 40 thì 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chính phơng Bài 6. Tìm số chính phơng có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau. Giải Gọi số phải tìm là aabb (a, b là các chữ số, a khác 0) Ta có: aabb = 1000a + 100a + 10b + b =1100a + 11b = 11(100a + b) = 11. (99a + a+ b) Vì 11. (99a + a + b) là số chính phơng nên 9 9a + a+ b 11 a + b 11 mầ; b là các chữ số. mà 99a 11 a + b = 11 thay vào biểu thức ta có : aabb = 11. (99a + 11) = 11. ( 11.9 a + 11) = 11 2 (9a+ 1) 9a + 1 là số chính phơng mà a là các chữ số a = 7 mặt khác a + b = 11 7 + b = 11 b = 4. Vậy số phải tìm là 7744. Bài 7. Chứng tỏ rằng tổng sau không phải là số chính phơng A = cbabcaabc ++ A = (100a + 10b + c) + ( 100b + 10c + a) + ( 100c +10a + b) = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c) Giả sử A là số chính phơng 111(a+b+c) = (3.37) 2 . k 2 (k N * ) a + b + c = 3 . 37 . k 2 9 Trần Quốc Tộ Trờng THCS Nam Hồng Ta thấy 3. 37. k 2 11 (k N * ) mà a + b + c 27 (a, b, c là các chữ số) a + b + c 111 (vô lí ) điều giả sử là sai A không phải là số chính phơng . Bài 8. Tìm số chính phơng có 4 chữ số sao cho 3 chữ số cuối giống nhau. Giải Gọi số chính phơng phải tìm là abbb (a, b là các chữ số) abbb = k 2 ( k 2 là số chính phơng, k N * ) Nếu b là số lẻ thì chữ số hàng chục của số abbb là số chẵn thì abbb mới là số chính phơng b không là số lẻ b là số chẵn b { } 6;4;0 - Nếu b = 0 abbb = 000a k 2 (loại b = 0) - Nếu b = 4 abbb = 444a mà a { } 9;;3;2;1 chỉ có a = 1 thì 444a = 1444 = 38 2 - Nếu b = 6 abbb = 666a chia hết cho 2 nhng không chia hết cho 4 nên abbb không là số chính phơng . (loại b = 6) Vậy số phải tìm là 1444. Bài 9 Tìm các số chính phơng có 5 chữ số và chia hết cho 54. Giải Gọi số chính phơng là A 2 (A N; A 2 là số có 5 chữ số) Theo đầu bài ta có: A = 54 .k (k N * ) Vì số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên : k = 3. 2. n 2 (n N) Ta thấy 5 < n < 18 vì : - Nếu n = 5 thì k = 3. 2 . 5 = 150 A 2 = 8100 là số có 4 chữ số (loại) - Nếu n = 18 thì k = 3. 2 . 18 = 1994 A 2 = 104876 là số có 6 chữ số (loại) Vậy n { } 17;16;;8;7;6 , ta có bảng sau: n k A 2 6 216 11664 7 294 15876 8 384 20736 9 486 26244 10 600 32400 11 726 39204 12 864 46656 13 1014 54756 14 1176 63504 15 1350 72900 16 1536 82944 17 1734 93636 Vậy số phải tìm là : 11664; 15876; 20736; 26244; 32400; 39204; 46656; 63504; 72900; 82944; 93636 Bài 10. Tìm các số chính phơng có 4 chữ số chia hết 147 và có tận cùng là 9. Giải Gọi số phải tìm là 9abc = A 2 10