Trn Quc T Trng THCS Nam Hng Toán : Phép nhân hai số nguyên. A. Lí thuyết. I. Kiến thức cơ bản 1. Quy tắc nhân +) Nếu a, b cùng dấu thì a . b = |a| . |b| +) Nếu a, b khác dấu thì a . b = - (|a| . |b|) +) a. b = 0 a = 0 ; b = 0. + Nếu đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu. +)Nếu đổi dấu hai thừa số thì tích không đổi dấu. +) a n = asothuan aaa . (a z; n N) 2. Tính chất phép nhân +) a. b = b . a +) a . (b. c) = (a.b) . c +) a . (b + c) = a . b + a. c +) a . (b - c) = a . b - a. c +) a .1 = a; a. 0 = 0. +) Nếu số thừa số nguyên âm là lẻ thì tích mang dấu "-"; nếu số thừa số nguyên âm chẵn thì tích mang dấu "+". II. Kiến thức mở rộng 1. Luỹ thừa bậc chẵn của một số âm là một số dơng : (-3) 2 = 9. 2. Luỹ thừa bậc lẻ của một số âm là một số âm : (-3) 3 = - 27. 3. a b a . c b . c nếu c > 0 a b a . c b . c nếu c < 0 4. | a. b | = |a| .|b| 5. Với a Z thì a 2 0. B. Bài tập Bài 1. Thực hiện phép tính một cách nhanh chóng. a) (-14) . (-125) . (+3) .(-8) b) (-127). 57 + (-127) . 43 c) (-13) .34 - 87 . 34 d) (-25) . 68 + (- 34) . ( - 250) e) 125 . (-61) . (-2) 3 . (-1) 2n (n N * ) g) 136 . (-47) + 36 . 47 h) (-48) . 72 + 36 . (- 304) Giải a) (-14) . (-125) . (+3) .(-8) = (-125) . (- 8) (-14). (+3) = 1000 . (- 42) = - 42000 b) (-127). 57 + (-127) . 43 = (- 127) . (57 + 43) = (-127).100 = -12700 c) (-13) .34 - 87 . 34 = 34.(-13 - 87) = - 34 (13 + 87) = - 34 .100 = -3400 d) (-25) . 68 + (- 34) . ( - 250) = (-25) . 68 + (- 34) . ( - 25) . 10 = - 25 . [ 68 + (-34).10] = - 25 . [ 68 - 340] = - 25 . (-272) e) 125 . (-61) . (-2) 3 . (-1) 2n (n N * ) = 125 . (-61) . (-8) . 1 = 125 . (-8) . (-61). 1 = - 1000 . (-61) = 61 000 g) 136 . (-47) + 36 . 47 = 136 .(-1). 47 + 36 . 47 = 47. [136.(-1) + 36] = 47 . [ (-136) + 36] = 47. (-100) = - 4700 h) (-48) . 72 + 36 . (- 304) = (-48) . 72 + 36 .2 (- 152) = (-48) . 72 + 72 (- 152) = 72 . [(-48) + (-152)] = 72 . (-200) = - 14400 1 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng = 6800 Bài 2 . Tính nhanh.: a) A = 1 - 2 + 3 - 4 + + 99 - 100 b) B = 1 + 3 - 5 - 7 + 9 + 11 - - 397 - 399. c) C = 1 - 2 -3 + 4 + 5 - 6- 7 + + 97 - 98 - 99 + 100. d) D = 2 100 - 2 99 - 2 98 - - 2 2 - 2 - 1 Giải a) A = 1 - 2 + 3 - 4 + + 99 - 100 A = (1 - 2) + (3 - 4) + + (99 - 100) = (-1) + (-1) + + (-1) = 50 (-1) = - 50 b) B = 1 + 3 - 5 - 7 + 9 + 11 - - 397 - 399. NX: Từ 1 đến 399 có (399 - 1) : 2 + 1 = 200 số hạng nên có : 200 : 4 = 50 cặp 4 số. Do đó: B = (1 + 3 - 5 - 7) + (9 + 11 - 13 - 15)+ + (393 + 395 - 397 - 399). = - 8 + ( - 8) + + (-8) = - 8 . 50 = - 400. c) C = 1 - 2 -3 + 4 + 5 - 6- 7 + + 97 - 98 - 99 + 100. NX: Từ 1 đến 100 có 100 số hạng nên có 25 cặp , mỗi cặp 4 số . Do đó: C = (1 - 2 -3 + 4) + (5 - 6- 7 + 8) + + (97 - 98 - 99 + 100) = 0 + 0 + + 0 = 0. 25 = 0 d) D = 2 100 - 2 99 - 2 98 - - 2 2 - 2 - 1 D = 2 100 - (2 99 + 2 98 + + 2 2 + 2 + 1) Đặt M = (2 99 + 2 98 + + 2 2 + 2 + 1) 2M = 2. (2 99 + 2 98 + + 2 2 + 2 + 1) = 2 100 + 2 99 + 2 98 + + 2 2 + 2 2M - M = (2 100 + 2 99 + 2 98 + + 2 2 + 2) - (2 99 + 2 98 + + 2 2 + 2 + 1) M = 2 100 - 1 D = 2 100 - (2 100 - 1) = 2 100 - 2 100 + 1 = 1. Bài 3. Tìm số nguyên x biết : a) (x - 1) 2 = 0 x - 1 = 0 x = 1 b) x ( x + 3) = 0 x = 0 x = 0 x + 3 = 0 x = - 3 c) (x + 1) ( x - 2) = 0 x + 1 = 0 x = - 1 x - 2 = 0 x = 2 c) ( x - 2) ( 5 - x) = 0 x - 2 = 0 x = 2 5 - x = 0 x = 5 d) (x - 1) ( x 2 + 1) = 0 Vì x 2 0 x 2 + 1 > 0 x - 1 = 0 x = 1 Bài 4 . Thu gọn biểu thức sau: a) 7x - 19x + 6x b) -ab - ab Giải a) 7x - 19x + 6x = ( 7 - 19 + 6) x = [(- 12) + 6] x b) -ab - ab = - (ab + ab) = - 2ab 2 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng = - 6 x Bài 5.Cho A=(5m 2 - 8m 2 - 9m 2 )(- n 3 + 4n 3 ).Với giá trị nào của m và n thìA 0. Giải Ta có : A = (5m 2 - 8m 2 - 9m 2 ) (- n 3 + 4n 3 ) = [(5 - 8 - 9) . m 2 ] . [(-1) + 4] n 3 = - 12m 2 . 3n 3 = (-12) . 3 m 2 n 3 = -36m 2 n 3 A 0 -36m 2 n 3 0 . Vì m 2 0 với mọi m nên n 3 < 0 n < 0 Vậy với mọi m và với n < 0 thì A 0 Bài 6. Tìm x biết : a) -12 (x - 5) + 7(3 - x) = 5 b) 30 (x + 2) - 6(x - 5) - 24x = 100. Giải a) -12 (x - 5) + 7(3 - x) = 5 - 12 x + 60 + 21 - 7x = 5 (- 12x - 7x ) + 81 = 5 - 19x = 5 - 81 - 19x = - 76 x = (-76) : (-19) x = 4 b) 30 (x + 2) - 6(x - 5) - 24x = 100 30 x + 60 - 6x + 30 - 24x = 100 (30 x - 6x - 24x) + (60 + 30) = 100 0x = 100 - 90 0 = 10 ( vô lí ) Vậy không có giá trị nào của x để : 30 (x + 2) - 6(x - 5) - 24x = 100 Bài 7. Tìm x Z biết: a) |2x - 5| = 13 b) |7x + 3| = 66 c) |5x - 2| 13 Giải a) |2x - 5| = 13 2x - 5 = 13 2x = 13 + 5 2x - 5 = - 13 2x = - 13 + 5 2x = 18 x = 18 : 2 = 9 2x = - 8 x = (- 8) : 2 = - 4 Vậy x = 9 hoặc x = - 4 thì|2x - 5| = 13 b) |7x + 3| = 66 7x + 3 = 66 7x = 66 - 3 7x + 3 = - 66 7x = - 66 - 3 7x = 63 x = 63 : 7 = 9 7x = - 69 x = (- 69):7 =- 9,85(loại) Vậy x = 9 thì |7x + 3| = 66 c) |5x - 2| 13 |5x - 2| { } 13; .;2;1;0 5x - 2 { } 13; .;2;1;0 - 13 5x - 2 13 - 15 5x 15 -3 x 3 x { } 3;2;1;0;1;2;3 Vậy x { } 3;2;1;0;1;2;3 thì |5x - 2| 13 Bài 8. Tìm x; y Z biết: a) (x - 3) ( 2y + 1) = 7 b) (2x + 1) (3y - 2) = - 55. Giải a) (x - 3) ( 2y + 1) = 7 (x - 3) ( 2y + 1) = 1 . 7 = (-1) . (-7) Ta có bảng giá trị sau: 3 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng x - 3 1 -1 7 -7 x 4 2 10 - 4 2y + 1 7 -7 -1 1 y 3 -4 0 -1 Vậy (x, y) { } )1;4();0;10();4;2();3;4( thì (x - 3) ( 2y + 1) = 7 b) (2x + 1) (3y - 2) = - 55. (2x + 1) (3y - 2) = - 55 = (-1) . 55 = 1 . (-55) = (-5) . 11 = 5 . (- 11) Ta có bảng giá trị sau: 2x + 1 1 -1 5 -5 11 -11 55 -55 3y - 2 -55 55 -11 11 -5 5 - 1 1 x 0 -1 2 - 3 5 -6 27 -28 y loại 19 -3 loại -1 loại loại 1 Vậy (x, y) { } )1;28();1;5();3;2();19;1( thì (2x + 1) (3y - 2) = - 55. Bài 9. Tìm x Z sao cho : (x - 7) (x + 3) < 0. Giải Ta có : (x - 7) (x + 3) < 0. x - 7 và x + 3 trái dấu nhau mà x - 7 < x + 3 x - 7 < 0 < x + 3 x - 7 < 0 x < 7 - 3 < x < 7 x + 3 > 0 x > - 3 Vậy - 3 < x < 7 thì (x - 7) (x + 3) < 0. Bài 10 . Tìm x Z biết: a) (x + 1) + (x + 2) + (x + 5) + + (x + 99) = 0. b) (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 11. Giải a) (x + 1) + (x + 2) + (x + 5) + + (x + 99) = 0. Từ 1 đến 99 có 99 số hạng nên từ x + 1 đến x + 99 có 99 số hạng [ ] 2 99.)99()1( +++ xx = 0 [x + 1 + x + 99] . 99 = 0 . 2 = 0 2x + 100 = 0 : 99 = 0 2x = - 100 x = - 100 : 2 = - 50 b) (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 11. (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + + 10 = 0 ( bớt số 11 ở hai vế ). Gọi số số hạng ở vế trái là n (n 0) [ ] 2 .11)3( nx + = 0 [x - 3 + 11] . n = 0 . 2 = 0 4 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng (x + 8) . n = 0 vì n 0 nên x + 8 = 0 x = - 8. Vậy x = - 8 thì (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 11. Bài 11. Cho m , n là các số dơng: A = m m2 .642 ++++ ; B = n n2 .642 ++++ Biết A < B , hãy so sánh m và n. Giải NX: Từ 2 đến 2m có : (2m - 2) :2 + 1 = m số hạng Từ 2 đến 2n có : (2n - 2) :2 + 1 = n số hạng Ta có : A = m m2 .642 ++++ = m m mm m mm += + = + 1 2 2).1( 2 ).22( B = n n2 .642 ++++ = n n nn n nn += + = + 1 2 2).1( 2 ).22( Vì A < B 1 + m < 1 + n m < n . Vậy m < n . Bài 12. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức: a) (a + b) ( a + b) b) (a- b )(a- b) c) (a + b) ( a - b) Giải a) (a + b) ( a + b) = a. ( a + b) + b. ( a+ b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 c) (a + b) ( a - b) = a. ( a - b) + b. ( a - b) = a 2 - ab + ab - b 2 = a 2 - b 2 b) (a- b )(a- b) = a. ( a - b) - b. ( a- b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 Bài 13. Cho a = - 20; b - c = - 5. Timg A biết : A 2 = b(a - c) - c( a- b) Giải Ta có : A 2 = b(a - c) - c( a- b) = ab - bc - ac + bc = (ab - ac) + (bc - bc) = a( b - c) + 0 = a( b - c) Vì a = -20; b - c = - 5 A 2 = - 20 (- 5) = 100 A = 10 Bài 14. Biến đổi tổng thành tích: a) ab - ac + ad b) ac + ad - bc - bd Giải a) ab - ac + ad = a . ( b - c + d) b) ac + ad - bc - bd = (ac + ad) - (bc + bd) = a( c + d) - b ( c + d) = (c + d) (a - b) Bài 15. Cho a, b, c Z . Biết ab - bc - c 2 = - 1 . Chứng minh a và b là hai số đối nhau. Giải Ta có : ab - ac + bc - c 2 = - 1 (ab - ac) + (bc - c 2 ) = - 1 a( b - c) + c (b - c) = - 1 5 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng (b - c) (a + c) = - 1 Trong hai thừa số b - c và a + c có một thừa số bằng 1, thừa số kia bằng - 1 nghĩa là chúng đối nhau. Do đó: b - c = - (a + c) b - c = - a - c b = - a ( bớt cả hai vế cho - c) a và b là hai số đối nhau. Bài 16. Tìm x, y Z biết : a) xy + 3x - 7y = 21 b) xy + 3x - 2y = 11 Giải a) xy + 3x - 7y = 21 xy + 3x - 7y - 21 = 0 (xy + 3x) - (7y + 21) = 0 x( y + 3) - 7 ( y + 3) = 0 (y + 3) (x - 7) = 0 y + 3 = 0 y = - 3 x - 7 = 0 x = 7 b) xy + 3x - 2y = 11 xy + 3x - 2y - 6 = 11 - 6 (xy + 3x) - (2y - 6) = 5 x ( y + 3) - 2 ( y + 3) = 5 (x - 2) (y + 3) = 5 = 1 . 5 = (-1) . (-5) Ta có bảng giá trị sau: x - 2 1 -1 5 -5 y + 3 5 -5 1 -1 x 3 1 7 - 3 y 2 - 8 - 2 - 4 Vậy (x, y) { } )4;3();2;7();8;1();2;3( thì : xy + 3x - 2y = 11 Bài 17. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp thì bình phơng của số ở giữa hơn tích của hai số kia đúng một đơn vị. Giải Gọi 3 số nguyên liên tiếp là : a - 1; a; a + 1 Ta có : a 2 - (a - 1) ( a + 1) = a 2 - [a (a + 1) - 1(a + 1)] = a 2 - [a 2 + a - a - 1] = a 2 - [a 2 - 1] = a 2 - a 2 + 1= 1 Vậy trong 3 số nguyên liên tiếp thì bình phơng của số ở giữa hơn tích của hai số kia đúng một đơn vị. 6 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng Bài tập về Phép nhân hai số nguyên. Bài 1. Thực hiện phép tính một cách nhanh chóng. a) (-14) . (-125) . (+3) .(-8) b) (-127). 57 + (-127) . 43 c) (-13) .34 - 87 . 34 d) (-25) . 68 + (- 34) . ( - 250) e) 125 . (-61) . (-2) 3 . (-1) 2n (n N * ) g) 136 . (-47) + 36 . 47 h) (-48) . 72 + 36 . (- 304) Bài 2 . Tính nhanh.: a) A = 1 - 2 + 3 - 4 + + 99 - 100 b) B = 1 + 3 - 5 - 7 + 9 + 11 - - 397 - 399. c) C = 1 - 2 -3 + 4 + 5 - 6- 7 + + 97 - 98 - 99 + 100. d) D = 2 100 - 2 99 - 2 98 - - 2 2 - 2 - 1 Bài 3. Tìm số nguyên x biết : a)(x - 1) 2 = 0b) ( x - 2) ( 5 - x) = 0 ;c) (x + 1) ( x - 2) = 0; d) (x - 1) ( x 2 + 1) = 0 Bài 4 . Thu gọn biểu thức sau: a) 7x - 19x + 6x b) -ab - ab Bài 5. Cho A = (5m 2 - 8m 2 - 9m 2 ) (- n 3 + 4n 3 ). Với giá trị nào của m và n thì A 0. Bài 6. Tìm x biết : a) -12 (x - 5) + 7(3 - x) = 5 b) 30 (x + 2) - 6(x - 5) - 24x = 100. Bài 7. Tìm x Z biết: a) |2x - 5| = 13 b) |7x + 3| = 66 c) |5x - 2| 13 Bài 8. Tìm x; y Z biết: a) (x - 3) ( 2y + 1) = 7 b) (2x + 1) (3y - 2) = - 55. Bài 9. Tìm x Z sao cho : (x - 7) (x + 3) < 0. Bài 10 . Tìm x Z biết: a) (x + 1) + (x + 2) + (x + 5) + + (x + 99) = 0. b) (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 11. Bài 11. Cho m , n là các số dơng: 7 Trn Quc T Trng THCS Nam Hng A = m m2 .642 ++++ ; B = n n2 .642 ++++ Biết A < B , hãy so sánh m và n. Bài 12. Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức: a) (a + b) ( a + b) b) (a- b )(a- b) c) (a + b) ( a - b) Bài 13. Cho a = - 20; b - c = - 5. Timg A biết : A 2 = b(a - c) - c( a- b) Bài 15. Cho a, b, c Z . Biết ab - bc - c 2 = - 1 . Chứng minh a và b là hai số đối nhau. Bài 16. Tìm x, y Z biết : a) xy + 3x - 7y = 21 b) xy + 3x - 2y = 11 Bài 17. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp thì bình phơng của số ở giữa hơn tích của hai số kia đúng một đơn vị. ===***=== 8 . b - a. c +) a .1 = a; a. 0 = 0. +) Nếu số thừa số nguyên âm là lẻ thì tích mang dấu "-"; nếu số thừa số nguyên âm chẵn thì tích mang dấu "+" thức mở rộng 1. Luỹ thừa bậc chẵn của một số âm là một số dơng : (-3) 2 = 9. 2. Luỹ thừa bậc lẻ của một số âm là một số âm : (-3) 3 = - 27. 3. a b a . c