Chuyờn toỏn 6 Trn Quc T Toán : Phân số - Hai phân số bằng nhau A. Lí thuyết. I. Kiến thức cơ bản. 1. Định nghĩa phân số: b a (a; b Z; b 0) là phân số +) a : tử số. +) b : mẫu số. 2. Hai phân số bằng nhau. b a = d c a.d = b. c 3. Mọi số nguyên a đều có thể viết dới dạng : 1 a II. Kiến thức mở rộng. 1. Khi đổi dấu cả tử và mẫu của một phân số thì phân số đó không thay đổi: b a = b a 2. Nếu phân số có mẫu là số âm ta có thể nhân cả tử và mẫu với - 1 để có mẫu số dơng. b a = b a b a = 3. Một phân số muốn là số nguyên khi tử chia hết cho mẫu. b a Z a b 4. Khi có đẳng thức a.d = b . c ta sẽ lập đợc các cặp phân số bằng nhau: b a = d c ; a b = c d ; c a = d b ; a c = b d B. Bài tập Bài 1. Trong các số sau , số nào là phân số: 7 5 ; 1 245 ; 4 1 a ; 3 9 2 a ; 3 3 5 a ; 10 2:7 a ( a Z) Giải Trong các số đã cho các số là phân số là : 7 5 ; 1 245 ; 4 1 a a 4; 3 9 2 a a Z; 3 3 5 a a Z; 10 2:7 a không phải là phân số vì 7 là số lẻ; 2a là số chẵn nên 7 : 2a Z. Bài 2. Viết các phân số sau dới dạng với mẫu là số dơng (a Z): 4 3 ; 5 17 a (a < 5) ; 1 12 2 a ; 1 13 4 a ; Giải Các phân số sau dới dạng với mẫu là số dơng là : +) 4 3 = 4 3 )1.(4 )1.(3 = +) Vì a <5 a- 5 < 0 a - 5 là một số âm 1 Chuyờn toỏn 6 Trn Quc T 5 17 a = aaa = + = 5 17 5 17 )1).(5( )1.(17 . +) - a 2 < 0 - a 2 - 1 < 0 - a 2 - 1 là số nguyên âm. 1 12 2 a = 1 12 )1).(1( )1.(12 22 + = aa (a 2 + 1 >0 a Z) +) - a 4 < 0 - a 4 - 1 < 0 - a 4 - 1 là số nguyên âm 1 13 4 a = 1 13 )1).(1( )1).(13( 44 + = aa (a 4 + 1 >0 a Z) Bài 3. Trong các cặp phân số sau , cặp phân số nào bằng nhau: a) 60 15 ; 12 3 b) 20 28 ; 5 7 c) 15 6 ; 20 28 Giải a) Xét cặp phân số: 60 15 ; 12 3 Ta có : 15 . 12 = 180 15.12 = 60 . 3 60 15 = 12 3 60 . 3 = 180 b) Xét cặp phân số: 20 28 ; 5 7 Ta có : 28 . 5 = 140 28.5 = (-20).(-7) 20 28 = 5 7 -20 . (-7) = 140 c) Xét cặp phân số: 15 6 ; 20 28 Ta có : 6 . (-20) = - 120 6 . (-20) 15 . 28 15 6 20 28 15 . 28 = 420 Bài 4. Tìm x Z biết: a) 3 117 3 111 << x b) 13 91 37 111 << x c) 9 108 3 14 84 << x Giải a) 3 117 3 111 << x 37 < x < 39 x = 38 Vậy x = 38 để 3 117 3 111 << x c) Cách 1: 9 108 3 14 84 << x - 6 < 3x < 12 3x { } 11 .;3;2;1;0;1;2;3;4;5 Vì 3 3 3x 3 b) 13 91 37 111 << x 3 < x < 7 x { } 6;5;4 Vậy x { } 6;5;4 để 13 91 37 111 << x c) Cách 2: 9 108 3 14 84 << x - 6 < 3x < 12 - 2 < x < 4 2 Chuyờn toỏn 6 Trn Quc T 3x { } 9;6;3;0;3 x { } 3;2;1;0;1 Vậy x { } 3;2;1;0;1 để 9 108 3 14 84 << x x { } 3;2;1;0;1 Vậy x { } 3;2;1;0;1 để: 9 108 3 14 84 << x Bài 5. Tìm x Z biết: a) 3 8 9 1 = x ; b) x x 9 4 = ; c) 1 18 4 + = x x ; d) 2 2 )2( 8 2 )2( = x x Giải a) 3 8 9 1 = x 3 . (x - 1) = 8 . 9 3x - 3 = 72 3x = 72 + 3 3x = 75 x = 75 : 3 = 25 Vậy x = 25 thì 3 8 9 1 = x c) 1 18 4 + = x x x ( x+ 1) = 18 . 4 x ( x + 1) = 72 = 8 . 9 = (- 9).(- 8) Vì x + 1 > x nên: Nếu x ( x + 1) = 8 . 9 x = 8 Nếu x ( x + 1) = (- 9).(- 8) x = -9 Vậy x = 8 hoặc x = - 9 để 1 18 4 + = x x b) x x 9 4 = 44 = xx x x 9 4 = x 2 = (- 4) . (- 9) x 2 = 36 x { } 6;6 Vậy x { } 6;6 để x x 9 4 = d) 2 2 )2( 8 2 )2( = x x (x - 2) 2 . (x - 2) 2 = 8 . 2 = 16 (x - 2) 4 = 2 4 = (-2) 4 (x - 2) 4 = 2 4 (x - 2) 4 = (-2) 4 x - 2 = 2 x = 4 x - 2 = -2 x = 0 . Bài 6. Tìm x, y Z biết: a) y x 9 7 = và x > y b) 5 2 y x = và x < 0 <y c) 3 4 3 4 = y x và x - y = 5; Giải a) y x 9 7 = và x > y Vì y x 9 7 = x . y = 7.9 = (-7).(-9) = 63.1 = (- 63).(- 1) = 3.21 = (-3) (-21) 3 Chuyờn toỏn 6 Trn Quc T Vì x > y nên ta có bảng sau: x 9 -7 63 - 1 21 -3 y 7 -9 1 63 3 -21 Vậy (x; y) { } )21;3();3;21();63;1();1;63();9;7();7;9( thì y x 9 7 = và x > y b) 5 2 y x = và x < 0 <y Vì 5 2 y x = (-2) . 5 = x . y x . y = (-2) . 5 = 2 . (- 5) = (-1) . 10 = 1. (-10) Vì x < 0 <y nên ta có bảng giá trị sau: x -2 -5 - 1 - 10 y 5 2 10 1 Vậy (x; y) { } 1;10();10;1();2;5();5;2( thì 5 2 y x = và x < 0 <y c) 3 4 3 4 = y x và x - y = 5; *) Cách 1:Vì 3 4 3 4 = y x 3 . (x - 4) = 4.(y - 3) 3.x - 3. 4 = 4 . y - 4 . 3 3. x - 12 = 4.y - 12 3.x = 4.y (1) Vì x - y = 5 x = 5 + y Thay x = 5 + y vào (1) ta có: 3 (5 + y) = 4 . y 15 + 3.y = 4.y 4.y - 3.y = 15 (4 - 3).y = 15 y = 15 Vì x = 5 + y mà y = 15 x = 5 + 15 = 20 Vậy x = 20; y = 15 thì 3 4 3 4 = y x và x - y = 5 *) Cách 2:Vì 3 4 3 4 = y x 3 . (x - 4) = 4.(y - 3) 3.x - 3. 4 = 4 . y - 4 . 3 3. x - 12 = 4.y - 12 3.x = 4.y 3x - 4y = 0 3x - 3y - y = 0 3. (x - y) - y = 0 3 . 5 - y = 0 (Vì x - y = 5) 15 - y = 0 y =15 x - 15 = 5 x = 15 + 5 = 20 Vậy x = 5; y = 20 để 3 4 3 4 = y x Bài 7. Tìm n Z để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên. a) A = 5 75 + n n b) B = 52 98 + n n 4 Chuyờn toỏn 6 Trn Quc T Giải a) Để A = 5 75 + n n là số nguyên 5n - 7 n + 5 Vì n + 5 n + 5 5.(n + 5) n + 5 5n - 7 - 5 . (n + 5) n + 5 5n - 7 - 5n - 25 n + 5 - 32 n + 5 n + 5 Ư (32) mà Ư (32) = { } 32;16;8;4;2;1;32;16;8;4;2;1 n { } 37;21;13;9;7;6;37;21;13;9;7;6 Vậy n { } 37;21;13;9;7;6;37;21;13;9;7;6 Để A = 5 75 + n n là số nguyên b) Để B = 52 98 + n n là số nguyên 8n - 9 2n + 5 Ta có 2n + 5 2n + 5 4.(2n + 5 ) 2n + 5 (8n - 9) - 4.(2n + 5 ) 2n + 5 8n - 9 - 8n - 20 2n + 5 - 29 2n + 5 2n + 5 Ư (-29) mà Ư (-29) = { } 29;1;29;;1 2n + 5 { } 29;1;29;;1 2n { } 34;6;24;;4 n { } 17;3;12;;2 Vậy n { } 17;3;12;;2 để B = 52 98 + n n là số nguyên Bài 8. Tim n Z để các phân số sau đồng thời có giá trị nguyên. n 12 ; 2 15 n ; 1 8 + n Giải * Ta có : n 12 là số nguyên n Ư (-12 ) mà Ư (-12 ) = { } 12;6;4;3;2;1;12;6;4;3;2;1 n { } 12;6;4;3;2;1;1;2;3;4;6;12 * Ta có : 2 15 n là số nguyên n Ư (15 ) mà Ư (15 ) = { } 15;5;3;1;15;5;3;1 n - 2 { } 15;5;3;1;15;5;3;1 n { } 13;3;1;1;17;7;5;3 n { } ;17;7;5;3;1;1;3;13 (2) * Ta có : 1 8 + n là số nguyên n Ư (8 ) mà Ư (8 ) = { } 8;4;2;1;8;4;2;1 n + 1 { } 8;4;2;1;8;4;2;1 n { } 9;5;3;2;7;3;1;0 n { } 7;3;1;0;2;3;5;9 (3) Từ (1); (2); (3) n { } 3;3;1 Vậy n { } 3;3;1 để các phân số sau đồng thời có giá trị nguyên. 5 Chuyờn toỏn 6 Trn Quc T n 12 ; 2 15 n ; 1 8 + n Bài 9. Cho A = 4 53 + n n a) Tìm n Z để A là phân số . b) Tìm n Z để a là số nguyên . Giải Ta có : A = 4 53 + n n a) Tìm n Z để A là phân số . Để A = 4 53 + n n là phân số thì n Z và n + 4 0 n Z và n - 4. Vậy n Z và n - 4 thì A là phân số b) Để A = 4 53 + n n là số nguyên 3n - 5 n + 4. Vì n + 4 n + 4 3 ( n + 4) n + 4 3n - 5 - 3 (n + 4) n + 4 3n - 5- 3n - 12 n + 4 - 17 n + 4 n + 4 Ư (- 17 ) mà Ư ( - 17 ) = { } ;17;1;17;1 n + 4 { } ;7;1;17;1 n { } ;11;5;13;3 Vậy n { } ;21;5;13;3 để A = 4 53 + n n là số nguyên Bài 10. Tìm n Z để các biểu thức sau số nguyên. a)A = 2 53 2 + n nn ; b) B = 2 29 2 + ++ n nn c) C = 3 95 2 + ++ n nn Giải a)Để A = 2 53 2 + n nn là số nguyên n 2 - 3n + 5 n - 2 Vì n - 2 n - 2 n 2 - 3n + 5 + (n - 2) n - 2 n 2 - 3n + 5 + n - 2 n - 2 n 2 - 3n + n + 5 - 2 n - 2 n. (n - 3 + 1) + 3 n - 2 n . (n - 2) + 3 n - 2 Vì n - 2 n - 2 n . (n - 2) n - 2 3 n - 2 n - 2 Ư (3) mà Ư (3) = { } ;3;1;3;1 n - 2 { } ;3;1;3;1 n { } ;1;1;5;3 Vậy n { } ;1;1;5;3 để A = 2 53 2 + n nn là số nguyên b) Để B = 2 29 2 + ++ n nn là số nguyên n 2 + 9n + 2 n + 2 Vì n + 2 n + 2 7 (n + 2) n + 2 6 Chuyên đề toán 6 Trần Quốc Tộ ⇒ n 2 + 9n + 2 - 7(n + 2) n + 2 ⇒ n 2 + 9n + 2 - 7n - 14 n + 2 ⇒ n 2 + 9n - 7n + 2 - 14 n + 2 ⇒ n. (n + 9 - 7) - 12 n + 2 ⇒ n. (n + 2) - 12 n + 2 V× n + 2 n + 2 ⇒ n. (n + 2) n + 2 ⇒ - 12 n + 2 mµ ¦ (-12 ) = { } 12;6;4;3;2;1;12;6;4;3;2;1 −−−−−− ⇒ n + 2 ∈ { } 12;6;4;3;2;1;12;6;4;3;2;1 −−−−−− ⇒ n ∈ { } 14;8;6;5;4;3;10;4;2;1;0;1 −−−−−−− VËy n ∈ { } 14;8;6;5;4;3;10;4;2;1;0;1 −−−−−−− ®Ó B = 2 29 2 + ++ n nn lµ sè nguyªn c) §Ó C = 3 95 2 + ++ n nn lµ sè nguyªn ⇔ n 2 + 5n + 9 n + 3 V× n + 3 n + 3 ⇒ 2. ( n + 3) n + 3 ⇒ n 2 + 5n + 9 - 2. ( n + 3) n + 3 ⇒ n 2 + 5n + 9 - 2n - 6 n + 3 ⇒ (n 2 + 5n -2n ) + 9 - 6 n + 3 ⇒ n . ( n + 5 - 2) + 3 n + 3 ⇒ n . ( n + 3) + 3 n + 3 V× n + 3 n + 3 ⇒ n. (n + 3) n + 3 ⇒ 3 n + 3 mµ ¦ (3 ) ∈ { } 3;1;3;1 −− ⇒ n + 3 ∈ { } 3;1;3;1 −− ⇒ n ∈ { } 6;4;0;2 −−− VËy n ∈ { } 6;4;0;2 −−− ®Ó C = 3 95 2 + ++ n nn lµ sè nguyªn === ***=== 7 Chuyờn toỏn 6 Trn Quc T Bài tập về Phân số - Hai phân số bằng nhau Bài 1. Trong các số sau , số nào là phân số: 7 5 ; 1 245 ; 4 1 a ; 3 9 2 a ; 3 3 5 a ; 10 2:7 a ( a Z) Bài 2. Viết các phân số sau dới dạng với mẫu là số dơng (a Z): 4 3 ; 5 17 a (a < 5) ; 1 12 2 a ; 1 13 4 a ; Bài 3. Trong các cặp phân số sau , cặp phân số nào bằng nhau: a) 60 15 ; 12 3 b) 20 28 ; 5 7 c) 15 6 ; 20 28 Bài 4. Tìm x Z biết: a) 3 117 3 111 << x b) 13 91 37 111 << x c) 9 108 3 14 84 << x Bài 5. Tìm x Z biết: a) 3 8 9 1 = x ; b) x x 9 4 = ; c) 1 18 4 + = x x ; d) 2 2 )2( 8 2 )2( = x x Bài 6. Tìm x, y Z biết: a) y x 9 7 = và x > y b) 5 2 y x = và x < 0 <y c) 3 4 3 4 = y x và x - y = 5; Bài 7. Tìm n Z để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên. a) A = 5 75 + n n b) B = 52 98 + n n Bài 8. Tim n Z để các phân số sau đồng thời có giá trị nguyên. n 12 ; 2 15 n ; 1 8 + n Bài 9. Cho A = 4 53 + n n a) Tìm n Z để A là phân số . b) Tìm n Z để a là số nguyên . Bài 10. Tìm n Z để các biểu thức sau số nguyên. a) A = 2 53 2 + n nn ; b) B = 2 29 2 + ++ n nn c) C = 3 95 2 + ++ n nn 8 Chuyên đề toán 6 Trần Quốc Tộ === ***=== 9 . Phân số - Hai phân số bằng nhau A. Lí thuyết. I. Kiến thức cơ bản. 1. Định nghĩa phân số: b a (a; b Z; b 0) là phân số +) a : tử số. +) b : mẫu số. 2 Trong các số sau , số nào là phân số: 7 5 ; 1 245 ; 4 1 a ; 3 9 2 a ; 3 3 5 a ; 10 2:7 a ( a Z) Giải Trong các số đã cho các số là phân số là : 7
