SKKN: Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của từng dạng bài toán và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê, yêu thích bộ môn.

Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  PHẦN I. MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề 1. Lí do lí luận Albert Einstein đã nói: “Tốn học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca   của tư duy logic”. Do vậy, có rất nhiều những thắc mắc xoay quanh việc học nhiều   tốn liệu có phi thực tế trong khi đời sống khơng cần suy nghĩ q nhiều đến những   con số? Tuy nhiên, thực tế chứng minh rằng, mọi kiến thức liên quan đến tốn học,  đều có tác dụng chung là làm cho bộ não của con người tư duy logic hơn, khoa học   hơn và sáng tạo hơn, nó giúp cho người học có khả  năng suy nghĩ trừu tượng và   trong một chừng mực nhất định nào đó nó làm cho chúng ta mạnh mẽ hơn trong mọi   quyết định.  Chính vì điều này, bản thân tơi là một giáo viên vốn ln tâm đắc trong việc   định hướng các em học tốt mơn Tốn, ln tìm tòi đổi mới để  giúp các em ngày   càng hồn thiện hơn các kiến thức tốn học. Mặc dù chương trình sách giáo khoa  hiện hành đã được chọn lọc những kiến thức rất cơ  bản, phù hợp cho mọi đối   tượng. Tuy nhiên, khơng phải bất cứ  dạng tốn nào các em cũng có thể  nắm bắt   được, trong số  đó có dạng tốn phương trình vơ tỉ, một dạng tốn phổ  biến trong   các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, đề thi vào lớp 10 và thi giải tốn trên máy  tính cầm tay Casio.  2. Lí do thực tiễn Để làm tốt việc bồi dưỡng học sinh học Tốn, tơi nhận thấy chỉ cung cấp cho  các em một số kiến thức cơ bản thơng qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập  khó mà giáo viên phân loại cấp độ từ dễ đến khó là chưa đủ, mà chúng ta phải biết  phân chia theo từng kiểu loại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng  dạng, đồng thời rèn luyện cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của   một bài tốn trên cơ sở các kiến thức đã học.  Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, tơi nhận  thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp  dạng phương trình vơ tỉ và thường có  những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh còn vướng mắc về  phương pháp  giải, q trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa đủ  điều kiện, chưa xét hết  các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững các kiến thức về phương   trình có chứa biến dưới dấu căn hay gọi là phương trình vơ tỉ. Nên khi gặp bài tốn  giải phương trình vơ tỉ,  đa  số  học sinh chưa  phân biệt và chưa  nắm  được các  phương pháp giải đối với từng dạng bài tập, có nhiều bài tốn đòi hỏi học sinh phải   biết  vận  dụng  kết hợp nhiều  kiến  thức     kĩ năng  phân  tích  biến  đổi để   đưa   phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản.  Do đó người giáo viên cần phải biết sắp xếp các dạng tốn từ  dễ  đến khó,   phân loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để  các em có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu   sâu sắc bản chất của từng dạng tốn và giải được các dạng bài tốn một cách thành  thạo. Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải tốn và tư duy sáng tạo Trang  1 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Với những lý do trên, tơi chọn đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình   vơ tỉ  dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh”  với mong muốn  được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong cơng tác giảng dạy cũng như  bồi  dưỡng học sinh giỏi để  các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự  góp ý   chân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả, hồn thiện hơn II. Mục đích nghiên cứu  Đề  tài: “Một số  giải pháp về  giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi   lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của  từng dạng bài tốn  và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học  sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu   quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong  học tập, phát triển năng lực tư  duy tốn học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy   giúp các em học sinh có được sự  tự  tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng  tạo khi giải tốn và niềm đam mê, u thích bộ  mơn. Thơng qua đề  tài này nhằm  cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải tốn, những kinh nghiệm   cụ thể trong q trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lơ­ gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải  được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính   sư  phạm. Học sinh tự  đọc có thể  giải được nhiều dạng Tốn, giúp học sinh có  những kiến thức tốn học phong phú để học tốt mơn Tốn và qua đó h ỗ trợ học sinh  học tốt các mơn học khác PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận của vấn đề  Dạng tốn phương trình vơ tỉ là dạng tốn rất quan trọng trong chương đại  số 9, đây là những bài tốn khó, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi   vào lớp 10  Các bài tốn này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học  sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập   luận và phát huy tối đa khả  năng phán đốn. Với mục đích nhằm nâng cao chất  lượng dạy và học Tốn, tơi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp   giải cho từng kiểu loại bài tập. Để  thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần   xây dựng cho học sinh những kĩ năng như  quan sát, phân tích, nhận dạng bài tốn,  lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực,   độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời   khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ mơn.  II. Thực trạng vấn đề:  Trong những năm qua, tơi đã trực tiếp tham gia giảng dạy c ũng như  bồi  dưỡng   đội   tuyển   học   sinh   giỏi       trường   THCS   Lê   Đình   Chinh       trải   nghiệm rất nhiều chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chun đề  “Một   số giải pháp giải phương trình vơ tỉ” và tơi cũng đạt được các thành tích trong cơng  tác giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi.  Tuy nhiên, khi áp dụng chun đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các   bài tốn, chưa phát huy được hiệu quả  học tập và kết quả  được thống kê lại như  sau: Trang  2 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Năm  học Lớp Tổng  Số lượng học  Số lượng học sinh  số sinh làm được làm chưa chặt chẽ Số lượng học  sinh không làm  SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 2015  9A1 30 16% 11 37% 14 47% ­ 2016 9A2 31 12% 13 42% 15 46% Qua bảng thống kê trên tơi suy nghĩ tìm cách để  học sinh nắm vững và giải  thành thạo các bài tốn về phương trình vơ tỉ thì giáo viên nên phân loại theo dạng  bài tập  từ  dễ  đến khó, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi   dạng cần có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng.  Với những ý tưởng đó tơi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp về   giải phương trình vơ tỉ giành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh”   Sau khi đưa ra tập thể tổ chun mơn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tơi nhận  thấy học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập và khi gặp dạng tốn phương   trình vơ tỉ  thì học sinh khơng chán nản mà  đam mê  phân tích nhận dạng tìm  cách  giải bài tốn, từ đó ngày càng rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải tốn có khoa   học, lập luận logic và chặt chẽ.  III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề vững Giải pháp 1: Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ  bản cần nắm   Giải pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập sử  dụng cách  giải phương trình vơ tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa Giải pháp 3: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập giải phương  trình vơ tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Vận dụng các giải pháp trên, tơi tiến hành cụ thể các bước như sau: 1. Giải pháp 1. Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần  nắm vững Các kiến thức cơ  bản tổng hợp thành bảng sau, u cầu học sinh cần nắm  vững, cụ thể: A (A 0) A A B = (B > 0)   B B A2 = A AB = A B(A 0; B 0)   A A = (A ; B > 0) B B A B = A B = (B 0)   ( ) ( Am B C A mB C = (A A − B2 A B C A B = C A−B ) (A 0; A B2 ) 0;B 0;A B) Trang  3 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  A B = A B(A 0; B 0) A (∀A R) ( A) A B = − A B(A < 0; B 0) A AB = (AB 0; B 0) B B =A AB = A B A 3A = (B 0) B 3B Các kiến thức về  giá trị  tuyệt đối, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành  nhân tử, chia đa thức cho đa thức, giải phương trình, bất trương bậc nhất một  ẩn,   bất đẳng thức Cauchy Bên canh nh ̣ ưng yêu câu trên, hoc sinh c ̃ ̀ ̣ ần nhân biêt đ ̣ ́ ược những dang c ̣ ơ ban ̉   cua ph ̉ ương trinh vô t ̀ ỉ, đông th ̀ ơi n ̀ ắm vững phương phap giai cu thê cho t ́ ̉ ̣ ̉ ưng dang ̀ ̣   bai t ̀ ập, cụ thể như sau: thừa 2. Giải pháp 2. Giải phương trình vơ tỉ  bằng phương pháp nâng lên lũy  2.1. Dạng 1: Phương trình vơ tỉ có dạng:  f (x) = m  (1) Trong đó f(x) là biểu thức chứa x và m R a) Phân tích:  Ở  dạng này u cầu học sinh cần nắm rõ vế  trái là một biểu   thức khơng âm. Nếu m  0  (3) x+ Đặt  t = x + t2 = x + =2 x+ x Cauchy x  + 1 4x −  (*) 4x x x t −1 = x + = 4x (*) 3t = 2(t2 ­ 1) ­ 7 2t − 3t − = ( t − 3) ( 2t + 3) = t = 3(nhận) −3 (loại) t= Với t = 3, suy ra:  x + x =3 2x − x + = x= Trang  16 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Kết luận: So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là:  x = Ví dụ 3. Giải phương trình sau:  x + + x − 4x + = x (4) Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức ngồi căn là x + 1, biểu thức trong căn  thức có chứa x2 + 1 ta thấy hai biểu thức này khơng liên hệ  với nhau. Nhưng nếu   1 , x + −  từ đây ta thấy hai biểu thức có  x x chia cả hai vế cho  x >  được  x + liên hệ với nhau. Đặt  t = x +   x t thì phương trình sẽ biểu diễn hết theo biến  mới t và cách giải như sau: Giải  Điều kiện: x   0  Trường hợp 1. Với x = 0 ta thấy khơng là nghiệm (vì thay vào phương trình 4 khơng   thỏa mãn) Trường hợp 2. Nếu x > 0, chia cả hai vế cho  x > (4)  x+ 1 + x + − = (5) x x Đặt:  t = x + t2 = x + x Cauchy x =2 x +2 x t2 − = x + −4 x t2 − = x + − (thay vào phương trình 5)  x (5)  t + t − = t − = − t  (Giải tương tự dạng cơ bản 2 phần 2.2 nâng lên   lũy thừa. Chú ý điều kiện phụ t   3)  t − 6t + = t − = Suy ra:  x + x t=  (nhận) 2x − x + = x=4 x= 4 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là:  x = ; x = 4  Ví dụ 3. Giải phương trình sau:  2x + 8x + + 2x − 4x + = x  (4) Phân tích: Nếu giải phương trình 4 theo phương pháp nâng lên lũy thừa thì ta  thấy lũy thừa bậc cao khơng triệt tiêu được và sẽ  gây khó khăn cho việc giải   Nhưng phần biến có liên hệ  với khau khơng? Để  ý phần hệ  số  của a, c của biểu   thức ax2 + bx + c trong hai căn thức ở vế trái đều bằng nhau là (a = 2, c = 5), nên khi  Trang  17 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  chia cả  hai vế cho  x >  thì khi đó hai biểu thức dưới dấu căn thức   vế  trái có   liên hệ với nhau. Khi đó đặt ẩn phụ để đưa bài tốn về dạng cơ bản như sau Giải Điều kiện: x   0  Ta thấy x = 0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia cả  hai vế  của  phương trình (4) cho  x , ta được:  (4) 2x + 5 + 2x ­ 4 + =   x x 5 + + 2x + − = (*) x x Đặt  t = 2x + (*)  2x + + Cauchy 2x = 10   x x t + + t − =  (Đây là dạng cơ bản 4 của phần 2.4) 2t + + t + t − = 36 ( t + 8) ( t − 4) = 16 − t (Điều kiện bổ sung t  16) ( t + ) ( t − ) = ( 16 − t ) 36t = 288 t = (TMĐK) Với t = 8, suy ra:  2x + = 8  x 2x − 8x + = x= Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là  x =   d) Nhận xét: Đơi khi bài tốn ban đầu chưa xuất hiện mối liên hệ  giữa các  biểu thức trong căn và ngồi căn nhưng khi ta nhân hoặc chia cả  hai vế  cho cùng   một biểu thức khác khơng thì xuất hiện sự liên hệ  giữa các biểu thức đó. Nên khi   làm một bài tốn chúng ta cần tìm hiểu và phân tích thật kỹ để tìm ra cách giải phù   hợp đơn giản nhất e) Bài tập tương tự: Câu 1.  ( x + ) ( x + 1) − x + 5x + = Câu 2.  x + 2x x − 3.2   = 3x + x Dạng   Câu 3.  6x + 2x + 3x + x + − 10 = Câu 4.  10 x + +   Phương   trình   3x − 13 x = x+3 vô   tỉ   dạng:  a f (x) + b g(x) + 2ab f (x)g(x) = h(x) Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa biến x Trang  18 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  a) Nhận dạng: Phương trình có dạng tổng ­ tích hoặc hiệu ­ tích b) Cách giải  Điều kiện: f(x)  0, g(x)  0, h(x)  0  Bước 1. Đặt t = tổng hoặc hiệu  f (x) ,  g(x) , suy ra t2 =   Bước 2. Giải phương trình với biến mới theo t, suy ra x c) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  + x + − x = + ( + x ) ( − x )  (1) Phân tích: Phương trình có dạng tổng ­ tích, khi đó ta đặt t =  + x + − x   0, suy ra  t = ( ) 3+ x + 6− x =9+2 ( + x ) ( − x )  đã biểu diễn biết hết theo t nên  cách giải như sau:   Giải Điều kiện:  * 3 + x  0  *  − x −3 x x Suy ra điều kiện:  −3 x Đặt  t = + x + − x ( + x) ( − x) = t2 − t = 3+ (1)  , suy ra:  t = ( 3+ x + 6− x ) = 9+2 ( 3+ x) ( − x) t2 −  Khi đó:  t − 2t − = t = −1(loại) t = 3(nhận) Với t = 3, suy ra:  + x + − x = (giải tương tự dạng cơ bản 4 phần 2.4) =9+2 ( 3+ x) ( − x) ( 3+ x) ( − x) x = −3 x=6 =0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = ­ 3; x =  Ví dụ 2. Giải phương trình sau:  2x + + x + = 3x + 2x + 5x + − 16 (2) Phân tích: Sau khi phân tích  2x + 5x + = dạng   tổng   ­   tích,     đặt t2 = ( ) ( 2x + 1) ( x + 1) thì phương trình có    t = 2x + + x + 0,   suy   ra  2x + + x + = 3x + 2x + 5x + +   thì phần biến còn lại biểu diễn được hết  theo t và có lời giải như sau: Giải Điều kiện: x   ­1 Trang  19 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Đặt   t = 2x + + x + 0,   suy     t = Khi đó: (2)  t = t − 20 ( 2x + 3) ( x + 1) 2x + + x + ) = 3x + 2x + 5x + +   t = −4 (loại) t = (nhận) t − t − 20 = Với t = 5, suy ra:  2x + + x + = ( 3x + + ( 2x + 3) ( x + 1) = 25 = 21 − 3x (điều kiện bổ sung x   7) x =3 (nhận) x = 143 (loại) x − 146x + 429 = Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 d) Nhận xét:  Đơi khi phương trình chưa có dạng tổng tích hoặc hiệu tích   ví dụ  2 trên ta cần phân tích biểu thức dưới dấu căn thành tích để  xuất hiện  dạng tổng tích hoặc hiệu tích như ví dụ 2.  e) Các bài tập tương tự Câu 1.  x + + − x + ( x + ) ( − x ) = Câu 3.  Câu 2.  x − − x + = x − − 2x + 2x + + − x = 3x + 5x − 2x + 12 − 23 Câu 4.  3x − + x − = 4x ­ 9 + 2 3x − 5x + 3.3. Dạng 3. Phương trình vơ tỉ dạng:  α n a − f (x) + β.m b + f (x) = c a) Cách giải:  Điều kiện: a ­ f(x) 0, b + f(x)  0( khi m,n là các số chẳn) Đặt  u = n a − f (x) u n = a − f (x) v = b + f (x) v m = b + f (x) m u n + vm = a + b αu + β v = c u, v x b) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  x + − 7x + =  (1) Phân tích: Bài tốn có hai căn thức như dạng 3, nên ta giải bằng cách đặt hai  ẩn phụ là 2 căn thức, tức đặt  u = x +1 u = x + 1(1) v = 7x + v3 = 7x + 6(2)  Khi đó, ta cần cân bằng  hệ số trước x, tức phương trình (1) sẽ nhân 2 vế với 7 sau đó trừ (một số bài cộng)   nhằm triệt tiêu x sẽ thu được 1 phương trình mới với ẩn là u và v là 7u 2 ­v3 = 1. Còn  phương trình thứ  2 thay u, v vào đề  bài được phương trình là: 5u ­ 2v = 4. Khi đó  giải hệ này tìm được u, v. Suy ra x Giải Điều kiện:  x + Đặt  x −1 u = x +1 u2 = x +1 7u = 7x + v = 7x + v = 7x + v = 7x + 3 7u − v3 = (2) Trang  20 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Từ phương trình (1)  5u ­ 2v = 4 (3) 7u − v3 = 5u − 2v = Từ (2), (3) suy ra hệ:  25v3 − 28v − 112v − 87 = + 2v u= v=3 , suy ra:  u=2 Với  + 2v − v3 = + 2v u= (v − 3)(25v + 47v + 29) = + 2v u= x +1 = x =3 x =3 7x + = v=3 (nhận) u=2 x = (nhận) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 Ví dụ 2. Giải phương trình sau:  x − + x + 18 = (2) Phân tích tương tự ví dụ 1 Giải Điều kiện:  x R   Đặt: u = x2 −1 u3 = x −1 v = x + 18 v3 = x + 18 u = 5−v v3 − u = 19 u+v=5 2v3 − 15v + 75v − 144 = u=2 , suy ra:  v=3 x2 −1 = x2 −1 = x + 18 = x + 18 = x2 = x= Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = ­ 3, x =   Ví dụ 3. Giải phương trình sau:  3 − x ( ) x + + = x + 1(3) Phân tích: Đối với ví dụ 3 khơng đúng dạng 3 trên. Ta cần biến đổi khéo léo   đẳng thức để đưa về dạng:  α n a − f (x) + β.m b + f (x) = c  Nên cách giải như sau Giải Điều kiện: x + 2   0  3− x ( )= x + +1  x   ­2, suy ra:  x + + >  Khi đó:  x +1 (3)   = x + +1 x + +1 cả hai vế cho số  x + + > ) ( ) x + − 12 x + +1 = ( )( x + −1 )= x + +1 x + +1 x + − (chia  − x = x + −  (phương trình đã có dạng 3 phần 3.3) Trang  21 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Đặt:  u = 3− x v= x+2 Suy ra:  u3 = − x u = v −1 v2 = x + u3 + v2 = 3− x =1 x+2 =2 3− x =1 x+2=4 u =1 (nhận) v=2 x = (nhận) Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2 c) Nhận xét: Ta thấy hình thức ở ví dụ 3 thực ra củng là dạng 3 nhưng mang  tích chất giấu mặt. Khi đó ta chỉ cần biến đổi khéo léo đẳng thức củng như sự kết  hợp tinh tế để đưa về dạng:  α n a − f (x) + β.m b + f (x) = c d) Các dạng bài tập tương tự ( ) Câu 1.  3x+7 + x − = Câu 4.  Câu 2.  5x − + 10 − 9x = Câu 5.  3 − 2x 3x − + = ( 4x − 3) ( Câu 3.  47 − 2x + 35 + 2x = 4 x −1 − ( Câu 6.  3 3x − + − x + 10 = x ) 4x − ) = 26 − 2x 3.4. Dạng 4. Phương trình vơ tỉ dạng:  a n A + b n AB + c n B2 = a) Phương pháp giải: Có 2 cách giải như sau: ­ Cách 1. Đặt 2 ẩn phụ   u = n A ,  v = n B , đưa phương trình về dạng phương   trình đẳng cấp bậc hai dạng: a.u2 + b.uv + c.v2 = 0. Giải phương trình đẳng cấp kết  hợp với đề bài suy ra u, v. Suy ra x.  ­ Cách 2. Nếu  n A    0 hoặc  n B    0. Chia trực tiếp 2 vế phương trình cho  lượng khác 0,  n A    0 hoặc  n B    0, để được phương trình bậc hai dạng:  a n A B + b n A +c =  Giải phương trình bậc hai này và kết hợp với phương  B trình đã cho suy ra A, B. Suy ra x b) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  ( x + ) − − x + 3 ( − x ) = (1) Phân tích: Nhận thấy  − x = ( + x ) ( − x )  nên phương trình (1) có dạng ( x + ) − ( + x ) ( − x ) + 3 ( − x ) =  đúng dạng 4. Nên cách giải như sau: 2 Giải Điều kiện:  x R ­ Cách 1. Đặt 2 ẩn phụ đư về phương trình đẳng cấp bậc hai.  Trang  22 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  Đặt  u = x + ,  v = − x  Khi đó (1)  4u − 7uv + 3v = (2)  Ta thấy x = 2 khơng là nghiệm của phương trình (1) nên xét x  2, suy ra:  v = − x 0 khi đó chia hai vế của phương trình (2) cho v2   0, ta được:  u v (2)  u −7 +3= v u =1 v u = v u=v 4u = 3v x+2 = 2−x Với u = v, suy ra:  x + = − x x=0 64 ( x + ) = 27 ( − x ) x = − Với 4u = 3v, suy ra:  x + = 3 − x 74 91 Kết luận: So với điều kiên, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0,  −74 91 ­ Cách 2. Chia đưa phương trình về dạng bậc hai Ta thấy x = 2 khơng là nghiệm của phương trình (1) suy ra:  − x 0 khi đó chia  hai vế của phương trình (1) cho  ( − x )    0, ta được: (1)    x+2 2−x x+2 − +3= 2−x x+2 =1 2−x x+2 = 2−x x+2 =1 2−x x + 27 = − x 64 Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0,  x=0 −74 x= 91 −74 91 Ví dụ 2. Giải phương trình sau:  ( − x ) + ( + x ) − ( + x ) ( − x ) = Phân tích: Thơng thường thì học sinh nhầm lẫn giữa ví dụ  này với ví dụ  1,  vì thấy vế phải khơng bằng 0 nên khơng thuộc dạng:  a n A + b n AB + c n B2 =  Đối  với dạng này ta chỉ giải theo cách 1 đặt hai ẩn phụ u, v rồi giải, nên cách giải như  sau Giải  Điều kiên:  x R Đặt:  u = 2−x u3 = − x v = 7+x v =7+x 3 u + v3 =  Kết hợp với đề được hệ phương trình  u + v3 = (u + v)(u − uv + v ) = u + v − uv = u + v − uv = 2 2 u+v=3 uv = u =1 u=2  hoặc  v=2 v =1 Trang  23 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  u =1 Với  , suy ra:  v=2 2− x =1 7+x = u=2 Với  , suy ra:  v =1 2−x = + x =1 − x =1 7+x =8 x =1 2−x =8 + x =1 x = −6 Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1, x = ­ 6  c) Các dạng bài tập tự luyện tương tự: Câu 1.  ( 2x+1) + 3 ( − 2x ) = 4x − Câu 3.  ( 3x − 1) + 3 ( 4x − 1) = 12x − 7x + 2 Câu 2.  ( − x ) − ( + x ) − − x =   Câu 4.  ( 3x − ) + ( 11 − 3x ) + ( 3x − ) ( 3x − 11) = 3.5. Dạng 5. Phương trình vơ tỉ dạng:  ( mx + n ) ax + bx + c = px + q   a) Cách giải: Đối với dạng nay ta có rất nhiều cách để  giải. Như  biến đổi   về dạng  A = B2  hoặc đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ b) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình sau:  ( x + ) − x − 2x + = x +  (1) Giải Điều kiện:  − x − 2x + −3 x ­ Cách 1. Đưa về dạng:  A = B2 A= B 2(x + 3) − ( x + ) − x − 2x + = (nhân hai vế của (1) với 2 và chuyển vế) (1)  ( −x − 2x + 3) − ( x + ) − x − 2x + + x + 4x + = (biến đổi về  dạng hằng đẳng  thức bình phương một hiệu) − x − 2x + − (x + 2)   − x − 2x + = x + − x − 2x + = x + x ( x ( −3 − x − 2x + −1 − x − 2x + ) ) =1 − x − 2x + − (x + 2) = − x − 2x + − (x + 2) = −1  (giải như dạng 2 phần 2.2) = ( x + 3) x − x − 2x + = x + 6x + x = ( x + 1) −3 −1 − x − 2x + = x + 2x + x −3 2x + 8x + = x −1 2x + 4x ­ 2 = Trang  24 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  x −3 x x + 4x + = −1 x x + 2x ­ 1 = −3 x = −1 (nhận) x = −3 (nhận)       x −1 x = −1 x = −1 x = −3 x = −1 x = − − 1(loai) Kết luận: Phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = ­3,  x = −1 ,  x = −   ­ Cách 2. Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 2(x + 3) − ( x + ) − x − 2x + = (1) ( −x − 2x + 3) − ( x + ) − x − 2x + + x + 4x + = (2) Đặt  t = − x − 2x + (2)  t − ( x + ) t + x + 4x + = (giải phương trình bậc hai theo ẩn t) Có:  ∆ 't = [ −(x + 2) ] − ( x + 4x + 3) =   t = x+3 t = x +1 − x − 2x + = x + − x − 2x + = x + x = −1 x = −3 x = −1 ­ Cách 3. Đặt 2 ẩn phụ u, v đưa về  dạng hằng đẳng thức: (u v)2 = k2 (k là  hằng số) Đặt  u = − x − 2x + v= x+2 u = − x − 2x + 3(1) v = x + 4x + 4(2) 2uv = 2x + 6(3) Lấy (1) + (2) ­ (3), suy ra:  ( u − v ) = u − v =1 u − v = −1 Với u ­ v = 1, suy ra:  − x − 2x + − (x + 2) = , giải tương tự cách 1 suy ra: x = ­3, x = ­1 Với u ­ v = ­ 1, suy ra:  − x − 2x + − (x + 2) = −1 x = −1 c) Các bài tập tương tự: Câu 1.  ( x + 3) −x − 8x + 48 = 28 − x Câu 3.  ( x + 3) − x − 8x +48 = x − 24 Câu 2.  ( x − ) − x + 5x ­ 4 = 5x − 20 Câu 4.  ( x + 1) 2x + 7x ­ 9 = 9x + 39 3.6. Dạng 6. Phương trình vơ tỉ  dạng:   mx + nx + p = ( ax + b ) cx + dx +e =   (*) Trang  25 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  a) Phân tích: Phương trình (*) cách giải hồn tồn tương tự    dạng 4 trên.  Để tìm hiểu kỹ dạng này, ta cùng xét các ví dụ sau: b) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:  3x − 5x − + ( x − 1) 2x − 3x +1 = (1) Giải Điều kiện:  2x − 3x +1 x  hoặc  x ­ Cách 1. Đặt 2 ẩn u, v để đưa về hằng đẳng thức:  ( u v ) = k (k hằng số) Đặt  u = x −1 u = x − 2x + 1(2) v = 2x − 3x +1 v = 2x − 3x +1(3) Thay u, v vào (1), suy ra:  3x − 5x − + 2uv = 2uv = −3x + 5x + 2(4) u+v=2 Lấy (2) + (4) + (3), suy ra:  ( u + v ) = u + v = −2 Với u + v = 2, suy ra:  x − + 2x − 3x +1 = 2x − 3x +1 = − x (giải như dạng 2 phần 2.2) x ( 2x − 3x +1 x= −3 41 ) x = ( 3− x) x 2x − 3x +1 = − 6x + x x + 3x ­ 8 =0 (nhận) Với u + v = ­ 2, suy ra:  x − + 2x − 3x +1 = −2 2x − 3x +1 = −1 − x (giải như dạng 2 phần 2.2)  −1 x ( 2x − 3x +1 ) −1 x = ( −1 − x ) 2x − 3x +1 = + 2x + x Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là:  x = ­ Cách 2. Đưa về dạng  A = B2 ( 2x (1)  ( 2x ( 2 −1 x x − 5x =0 2 −3 x = (loại) x = (loại) 41 A=B A = −B − 3x + 1) + ( x − 1) 2x − 3x +1 + x − 2x + = − 3x + 1) + ( x − 1) 2x − 3x +1 + x − 2x + = ) 2x − 3x +1 + x − = 2 2x − 3x +1 + x − = (giải tương tự cách 1) 2x − 3x +1 + x − = −2 Trang  26 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  ­ Cách 3. Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn  (1)  ( 2x − 3x + 1) + ( x − 1) 2x − 3x +1 + x − 2x − = (5) t = 2x − 3x +1 , thì (5)  t = 3− x Suy ra:  t = −x −1 t + 2(x − 1).t + x − 2x − = có  ∆ 't = 2x − 3x +1 = − x 2x − 3x +1 = − x − (giải tương tị cách 1) c) Nhận xét: Qua ví dụ trên ta nhận thấy phương trình dạng  mx + nx + p = ( ax + b ) cx + dx +e =  có rất nhiều cách giải, chẳng hạn như: Đặt ẩn  phụ khơng hồn tồn, đặt một hoặc hai ẩn phụ để đưa về dạng đẳng cấp  Vì vậy  tùy thuộc vào bài tốn mà ta chọn cách giải phù hợp d) Các dạng bài tập tương tự Câu 1.  5x + ( x − ) x  + x +1 =   Câu 2.  x − 2x − = ( x − 1) x  ­ 2x Câu 3.  2x − 6x + + ( x − ) x  ­ 2x  = Câu 4.  5x − 20x + 12 + ( x − ) x  ­ 4x + 5  =  IV. Tính mới của giải pháp Những giải pháp giải phương trình vơ tỉ  nên trên đã nên ra các phương pháp   giải cụ  thể, cách giải từng dạng trong phương pháp đó. Sắp xếp các dạng, các ví   dụ từ dể đến khó và có sự liên hệ mật thiết với nhau, có phân tích hướng dẫn cho   từng ví dụ. Sau mỗi dạng đều có bài tập tương tự giúp học sinh tự  khắc sâu kiến   thức Từ  năm học 2015 ­ 2016 tơi đã dạy một số  lớp 9 tại trường THCS Lê Đình  Chinh khi chưa sử dụng các giải pháp giải phương trình vơ tỉ này thì thấy đa số học  sinh khi gặp dạng tốn này thường khơng xác đinh được dạng của phương trình  cũng như cách giải đối với từng dạng.  Nhưng qua các năm sau đến giờ  khi tơi đã áp dụng một số  giải pháp giải  phương trình vơ tỉ vào q trình giảng dạy cũng như việc bồi dưỡng học sinh giỏi   thì thấy học sinh đã biết phân biệt các dạng và biết phương pháp giải đối với từng   dạng đó. Như vậy thực tế cho thấy kết quả học tập cũng như  kết quả  bồi dưỡng  học sinh giỏi được nâng lên.  V. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm  Trong những năm qua, tơi đã vận dụng đề  tài này vào việc giảng dạy cũng  như bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THCS Lê Đình Chinh với kết quả đạt được   như sau: Trang  27 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  1. Chất lượng giảng dạy được thể hiện qua các năm như sau: Năm học 2016 ­ 2017 2017 ­ 2018 Lớp Số lượng học  Số lượng học  Số lượng học  sinh làm  sinh làm chưa  sinh không  chặt chẽ làm được Tổng  số Số  Số  Số  lượn Tỷ lệ lượn Tỷ lệ lượn Tỷ lệ g g g 9A1 34 15 44% 14 41% 15 % 9A3 28 14 50% 10 36% 14 % 9A4 27 12 44% 11 40% 15% 2. Chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi qua các năm Năm học 2016 – 2017 có 01 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi cấp huyện   mơn Tốn Casio là Em Trần Thị Phương Mây lớp 9A3  Năm học 2018 – 2019 bản thân cũng đã và đang tiếp tục vận dụng đề tài này  vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi văn hóa mơn Tốn 9  Kết quả thu được trong kỳ  thi học sinh giỏi văn hóa cấp huyện vừa qua cũng đạt 1/2 học sinh giỏi cấp huyện   (em Nguyễn Thị Q An lớp 9A3) PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ I. Kết luận  Trên đây là những giải pháp mà tơi đúc rút được trong suốt q trình giảng   dạy tại trường THCS Lê Đình Chinh.  Khi nghiên cứu  vấn đề  về  “giải phương trình vơ tỉ” tơi thấy việc áp dụng  vào giảng dạy rất có hiệu quả, học sinh có sự hứng thú trong q trình tiếp thu kiến   thức, nắm chắc kiến thức hơn, biết phân biệt các dạng và phương pháp giải từng  dạng tương  ứng,  biết sử  dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, các kĩ năng giải  tốn đã học vào từng dạng bài tập cụ thể. Đề tài này là một trong những chun đề  khơng thể thiếu trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp mơn Tốn khối  9. Vì vậy đã được các đồng nghiệp cũng như học sinh đánh giá cao Tuy nhiên, với những dạng bài tập cũng như phương pháp đưa ra trong đề tài  này chưa phải là đầy đủ. Tơi hy vọng rằng trong thời gian tới với sự trao đổi góp ý  Trang  28 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  của q đồng nghiệp, kinh nghiệm của bản thân, tơi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn  về vấn đề này.  II. Kiến nghị  1. Đối với giáo viên  Tận tâm hơn nữa với nghề dạy học, tìm tòi các phương pháp để  truyền thụ  kiến thức đến học sinh đạt hiệu quả hơn, thường xun quan tâm đến chất lượng   học tập của học sinh, trân trọng những thành quả đạt được của học sinh dù là nhỏ  Ln tìm tòi, sáng tạo trong dạy học, tận dụng mọi cơ hội tiếp xúc với học   sinh, lắng nghe học sinh nói để tìm ra những phương pháp dạy mới phù hợp với đối  tượng học sinh từ đó nâng cao chất lượng 2. Đối với nhà trường  Tổ  chức triển khai các sáng kiến kinh nghiệm cấp trường, cấp huyện để  giáo viên có thể áp dụng các đề tài đạt giải vào thực tiễn giảng dạy 3. Đối với phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Thường xun tổ chức triển khai các chun đề về nâng cao chất lượng đại  trà và chất lượng mũi nhọn để giáo viên có điều kiện được nghiên cứu, trao đổi học  hỏi lẫn nhau, cùng đồng nghiệp tìm ra các giải pháp, biện pháp hay trong hoạt động  dạy và học Tiếp tục làm tốt cơng tác chỉ  đạo hoạt động của cụm chun mơn, cụm tổ  bộ mơn để giáo viên chúng tơi có thêm cơ hội trao đổi, học hỏi về chun mơn Mặc   dù  bản  thân  đã   rất  cố   gắng   chắc   chắn    khơng  tránh  khỏi  những thiếu sót. Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp xây dựng của các   thầy cơ giáo, các đồng nghiệp để  giúp tơi hồn thiện sáng kiến kinh nghiệm này.  Xin chân thành cảm ơn! Người viết     Nguyễn Văn Tý NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA ĐƠN VỊ Trang  29 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành  cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình  Chinh  DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO STT TÊN TÀI LIỆU TÁC GIẢ Sách giáo khoa, sách bài tập Tốn 9 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn đại số lớp 9 Vũ Hữu Bình Sách các chủ đề nâng cao Tốn 9 Huỳnh Quang Lâu Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn đại số lớp 9 Vũ Hữu Bình Sách bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn đại số lớp 9 Trần Thị Vân Anh Sách nâng cao và phát triển tốn 9 Vũ Hữu Bình Sách các chun đề chọn lọc Tốn 9 Tơn Thân  Tư  duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT ­ BPT ­ HPT   Lê Văn Đồn đại số và vơ tỉ Các bộ  đề  thi học sinh giỏi các cấp của các năm  học 10 Các tài liệu tham khảo trên mạng internet Trang  30 .. .Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh Với những lý do trên, tơi chọn đề tài:  Một số giải pháp về giải phương trình   vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh  ... Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh Năm  học Lớp Tổng  Số lượng học Số lượng học sinh số sinh làm được làm chưa chặt chẽ Số lượng học ... như bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THCS Lê Đình Chinh với kết quả đạt được   như sau: Trang  27 Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh