Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm DẠNG 7: MAX-MIN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐOẠN [A,B] π y = sin sin ( x ) ÷ 4 ¡ bằng Câu 188: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 − A B C −1 D Hướng dẫn giải Chọn D π π π ⇒ − ≤ sin π sin x ≤ ⇒ − ≤ sin x ≤ ÷ 4 4 Ta có: −1 ≤ sin x ≤ ∀x ∈ ¡ π y = sin sin ( x ) ÷ 4 là Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = cos2 x − sin x cos x + Câu 189: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ¡ 16 f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = A x∈¡ B x∈¡ C x∈¡ Hướng dẫn giải Chọn B f ( x ) = cos 2 x − sin x cos x + = − sin 2 x − sin x + Ta có: D f ( x ) = x∈¡ x ∈ ¡ ⇒ t ∈ [ −1;1] Đặt t = sin x Ta có g ( t ) = −t − t + t ∈ [ −1;1] Xét hàm số với 1 g ′ ( t ) = −2t − g′ ( t ) = ⇔ t = − 2, g − = 81 g ( −1) = g ( 1) = ÷ , 16 , Suy ra: f ( x ) = g ( t ) = x∈¡ t∈[ −1;1] π cos x + 0; sin x + Câu 190: Tập giá trị của hàm 2018 là: 1 1 ;2÷ ; 2 ; ÷ 2 A B C Hướng dẫn giải Chọn D cos x + y= sin x + π x ∈ 0; nên sin x ∈ [ 0;1] Do hàm 2018 cho xác định Vì y= y= 1 ; 2 D π 0; cos x + − sin x − cos x −1 ⇒ y′ = = < ∀x ∈ 0; π 2 sin x + ( sin x + 1) ( sin x + 1) , Trang 1/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm π 0; Suy hàm 2018 nghịch biến max y = y ( ) = y = π π 0; 0; Do đó: ; 2 1 ; 2 Vậy tập giá trị của hàm 2018 cho là 6 Câu 191: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x là 1 A B C Hướng dẫn giải Chọn B y = sin x + cos x = − sin ( x ) Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là sin x = D 0; 2π ] Câu 192: Hàm số y = x − 2sin x đạt giá trị nhỏ nhất [ x bằng: π A B C π Hướng dẫn giải π D Chọn A Sử dụng MTCT thay các giá trị của đáp án vào ta π π y ( ) = 0, y ÷ ≈ −0, 621, y ÷ ≈ 0, 081, y ( π ) ≈ 5,568, y ( 2π ) = 2π 6 3 x= π Rõ ràng giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt sin x + y= sin x + sin x + Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số Câu 193: Cho hàm số cho Chọn mệnh đề 3 M =m+ M =m+ M= m 2 A B C M = m + D Hướng dẫn giải Chọn C t +1 y= − ≤ t ≤ ( ) t + t +1 Đặt sin x = t , ta y′ = −t − 2t t +1 t2 + t +1 −1;1] [ t + t + Xét hàm số đoạn ta có t = (t / m) ⇔ t = −2 (loai ) Giải phương trình y′ = ⇔ −t − 2t = y= ( ) y ( −1) = y ( ) = y ( 1) = Vì ; ; nên max y = y ( ) = y = y ( −1) = [ −1;1] ⇒ M = ; [ −1;1] ⇒m=0 Trang 2/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm Vậy M = m + π π 2sin x + cos x + − ; sin x − cos x + Câu 194: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 11 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A π π − ; y Gọi là giá trị của hàm số 2 2sin x + cos x + y0 = ( 1) ⇒ Phương trình sin x − 2cos x + phải có nghiệm y= ( 1) ⇔ ( − y0 ) sin x + ( + y0 ) cos x = −1 + y0 ( − y0 ) ( 1) 2 + ( + y0 ) ≥ ( −1 + y0 ) ⇔ − ≤ y0 ≤ 2 có nghiệm max y = ⇒ y = − π π π π − ; − ; và Câu 195: Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x + cos x − là 1 A B C Hướng dẫn giải Chọn B 2 Ta có: y = sin x + cos x − = − cos x + cos x − = − cos x + cos x D ( t ∈ [ −1;1] ) Đặt t = cos x [ −1;1] Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm sớ y = −t + t Ta có: y′ = −2t + y′ = ⇔ x = y ( −1) = −2 y ( 1) = (nhận) 1 y ÷= 2 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số cho là π 0; f ( x ) = x + cos x Câu 196: Giá trị lớn nhất của hàm số đoạn là : π A π B C Hướng dẫn giải D + π Chọn A Ta có: f ( x ) = x + cos x Trang 3/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm f ′ ( x ) = − cos x sin x = (sin x + cos x ) f ′ ( x) = ⇔ cos x = sin x ⇔ x = π Khi k = nhận π π π + kπ x= π π f (0) = ; f ÷ = + ; f ÷ = 4 2 π ⇒ max f ( x) = π 0; y = cos x − cos3 x [ 0; π ] Câu 197: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 max y = max y = max y = A [ 0;π ] B [ 0;π ] C [ 0;π ] Hướng dẫn giải Chọn A ⇒ y = t − t ⇒ t ∈ − 1;1 [ ] Đặt: t = cos x −1 x = ∈ [ −1;1] ⇔ x = ∈ [ −1;1] y ' = − 4t y ' = −2 y −1 = −2 y = 2 y ( −1) = y ( 1) = ÷ ÷ 3 2 , Tính: , , Vậy: max y = [ 0;π ] D max y = [ 0;π ] 10 2 1 y = cos3 x + cos x + 4 là: Câu 198: Giá trị lớn nhất của hàm số 19 19 A B C Hướng dẫn giải Chọn C 1 y = cos3 x + cos x − 2cos x + 4 Có 1 = cos3 x + cos x − cos x + 1 f ( t ) = t + t − 2t + −1;1] Đặt t = cos x ta có hàm số xác định [ f ′( t ) = t + t − t = f ′( t ) = ⇔ t = −2 ( ∉ [ −1;1] ) 19 D Trang 4/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A f ( −1) = Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm 19 ; f ( 1) = − 6 ⇒ Max f ( x ) = Max f ( t ) = f ( −1) = [ −1;1] ¡ 19 π π − ; ÷ Câu 199: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin x − 4sin x khoảng 2 bằng: A B C −1 D Hướng dẫn giải Chọn A f ′( t ) = ⇔ t = ± ′ ⇒ t ∈ −1;1 f t = − 12 t + ( ) ( ) So sánh Cách 1: đặt sin x = t Khi ; 1 1 1 f ÷ f − ÷ f ÷= và ta thấy GTLN là sin x + sin x + sin x + Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số Câu 200: Cho hàm số cho Chọn mệnh đề 3 M= m M = m+ M = m+ A B C D M = m + Hướng dẫn giải Chọn D −t − 2t f ′(t ) = t +1 ⇒ y = f (t ) = t2 + t +1 t = sin x , − ≤ t ≤ t + t + Đặt , t = ∈ [ −1;1] f ′(t ) = ⇔ ⇒ f (0) = 1, f ( −1) = 0, f (1) = t = − ∉ − 1;1 [ ] Vậy M = 1, m = f ( x ) = sin x ( + cos x ) Câu 201: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số đoạn [ 0; π ] 3 M= ; m =1 M = 3; m = A B y= ( C M= 3 ; m=0 ) D M = 3; m = Hướng dẫn giải Chọn C f ( x ) = sin x + sin x ⇒ f ' ( x ) = cos x + cos x = cos x + cos x − Ta có π x = ± + 2k π cos x = f '( x) = ⇔ ⇔ cos x = −1 x = π + 2kπ π x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = hoặc x = π Vì π 3 f ÷= , f ( 0) = , f ( π ) = Ta có Trang 5/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy M= Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm 3 ; m=0 Câu 202: Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x đoạn π 5π − ; Tính M , m A M = , m = −2 B M = , m = −2 C M = , m = −1 Hướng dẫn giải D M = , m = −1 Chọn C π + kπ , k ∈Z π 5π π x ∈ − ; x= 6 suy ra: Với π π 5π y − ÷ = −1 y ÷ = y ÷= 6 , , m = − Vậy: M = và y′ = cos x = ⇔ x = π 3π − ; Câu 203: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + sin x đoạn là A 1+ π B π C 3π Hướng dẫn giải D −1 − π Chọn D π x= π π x ∈ − ; ⇒ π x = 3π y ′ = ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) , −π −π −π π 3π Min y = y −1 ÷= = − y = π y = π π π ÷ ÷ ÷ − ; ⇒ , 2 , Câu 204: Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x − cos x + Khi giá trị của tích M m là: 25 25 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C y = 2sin x − cos x + = ( − cos x ) − cos x + = −2 cos x − cos x + −π y y = g ( t ) = −2t − t + t ∈ [ −1;1] Đặt t = cos x ta có với g ' ( t ) = −4t − = ⇔ t = − ∈ [ −1;1] 25 g − = g ( −1) = 2; g ( 1) = 0; ÷ Mà Vậy M m = 25 = Trang 6/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm ( ) y = + sin x − cos x Câu 205: Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm sớ Khi M + m bằng A + B C + D Hướng dẫn giải Chọn B − ( + 3) ( ) ( + 3) +1 Ta có: M + m = Vậy Câu 206: Bác An có ba tấm lưới mắt cáo, tấm có chiều dài m Bác ḿn rào phần vườn của nhà bác dọc theo bờ tường (bờ tường ngăn đất nhà bác An với đất nhà hàng xóm) theo hình thang cân ABCD (như hình vẽ) để trồng rau, ( AB là phần tường không cần phải rào) Bác An rào phần đất vườn có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào nhất sau đây? A m + ≤ + sin x − cos x ≤ B 35 m C 21 m Hướng dẫn giải D 28 m Chọn C π ∀t ∈ [ 3;7 ] , f ′( t ) ( 3;7 ) , mà f ′ ( t ) liên tục [ 3;7] và f ′ ( 3) f ′ ( ) < nên phương Suy đồng biến f ′( t ) = t ∈ ( 3; ) trình có nghiệm nhất M = 3x + y − + ( x + y + 1) 27 − x − y − ( x + y ) ≤ 148 Đẳng thức xảy x = , y = Suy 4 Câu 267: Với a, b > thỏa mãn điều kiện a + b + ab = , giá trị nhỏ nhất của P = a + b bằng Trang 35/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ( A ) −1 ( B ) +1 Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm ( C Hướng dẫn giải ) +1 D ( ) −1 Chọn D 2 P = a + b = ( a + b ) − ( a.b ) = ( a + b ) − 2ab − ( ab ) 2 ⇒ P = ( − ab ) − 2ab − ( ab ) = ( − x + x 2 ) 2 − 2x2 với ab = x ⇒ x > ⇒ P = x + 16 x + + x − x − x − x = x − x + 16 x − x + 2 Ta có a + b = − ab ≥ ab ⇒ x + x −1 ≤ ⇔ ≤ x ≤ −1 ⇒ ≤ x ≤ − 2 P′ = x3 − 24 x + 32 x − Bảng biến thiên ( ) ( P = P − 2 = ) −1 P= Câu 268: Cho x , y , z là ba sớ thực dương và đạt giá trị nhỏ nhất Tính x + y + z A B − − 2 2 x + y + yz ( x + y + z ) + xz + x + y + z C Hướng dẫn giải D 3 Chọn A x + y + yz = x + y + y.2 z ≤ x + y + y + z = ( x + y + z ) 2 2 ( x + y + z ) + xz = ( x + z ) + y = ( x + z ) + y ≥ ( x + y + z ) 1 ⇒P≥ − − = − 2( x + y + z) x + y + z + x + y + z 2( x + y + z) x + y + z + Đặt t = x + y + z ⇒ t > f (t) = − 2t t + ( 0; +∞ ) Xét hàm số ( 3t − 3) ( + 5t ) f ′( t ) = − + = 2 2t ( t + 3) 2t ( t + ) f ′( t ) = ⇔ t = Ta có ; Bảng biến thiên Trang 36/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm 1 x=z= y= ⇔ x + y + z = Khi đó, và Vậy 2 Câu 269: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện ( x + y ) xy = x + y − xy Giá trị lớn P = − nhất M của biểu thức A M = 1 + x3 y là: B M = A= C M = Hướng dẫn giải D M = 16 Chọn D 2 1 x + y ( x + y )( x − xy + y ) x + y 1 A= + = 3 = = ÷ = + ÷ x y x y x3 y xy x y 2 2 Đặt x = ty Từ giả thiết ta có: ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty = (t − t + 1) y 2 1 t + 2t + t − t +1 t − t +1 A = ÷ + ÷ = y= ; x = ty = x y t − t +1 t +t t + Từ Do t + 2t + −3t + f (t ) = ⇒ f ′(t ) = t − t +1 t2 − t +1 Xét hàm số 2 ( ) x=y= Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt Câu 270: Cho x , y là các số thực thỏa mãn x + y = x − + y + Gọi M , m là giá trị lớn P = x + y + ( x + 1) ( y + 1) + − x − y nhất và giá trị nhỏ nhất của Khi đó, giá trị của M + m bằng A 41 B 42 C 43 D 44 Hướng dẫn giải Chọn C P = x + y + ( x + 1) ( y + 1) + − x − y = ( x + y ) + ( x + y ) + + − x − y Đặt t = x + y ⇒ P = t + 2t + + − t x + y = x −1 + y + Theo giả thiết ⇔ ( x + y ) = x + y + + 2 ( x − 1) ( y + 1) ≤ x + y + + ( x − 1) + y + = ( x + y ) ⇒ t ≤ 3t ⇔ t − 3t ≤ ⇔ ≤ t ≤ Xét f ( t ) = t + 2t + + − t [ 0;3] Trang 37/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 37 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm 4 − t ; f ′ ( t ) = ⇔ ( 2t + ) − t = ⇔ ( t + 1) − t = t = ⇔ ( t + 2t + 1) ( − t ) = ⇔ −t + 2t + 7t = ⇔ t = + 2 ∉ [ 0;3] t = − 2 ∉ [ 0;3] f ( ) = 18 f ( 3) = 25 ⇒ P = 18, max ( P ) = 25 Ta có ; f ′ ( t ) = 2t + − Vậy M + m = 25 + 18 = 43 2 P = ( x − y) Câu 271: Cho các số thực x , y thỏa mãn x + xy + y = Giá trị lớn nhất của biểu thức là: A max P = 16 B max P = 12 C max P = D max P = Hướng dẫn giải Chọn B 2 Xét y = thì x + xy + y = ⇔ x = ⇒ P = P x − xy + y t − 2t + x = = =u t= 2 x + xy + y t + 2t + y Xét y ≠ thì với Do ( ) t − 2t + = u t + 2t + ⇔ ( u − 1) t + ( u + 1) t + 3u − = ( 1) ⇒ t = − Nếu u = thì ( 1) ( 1) có nghiệm ( u + 1) − ( u − 1) ( 3u − 1) ≥ ⇔ −2u + 6u ≥ ⇔ ≤ u ≤ Nếu u ≠ thì P ≤ ≤ ⇔ ≤ P ≤ 12 Vậy hay max P = 12 x + y + 5xy +1 + x ( y + 1) + = 5− xy −1 + x +3 y − y Câu 272: Cho các số thực x , y với x ≥ thỏa mãn Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y + Mệnh đề nào sau là đúng? A m ∈ ( 2;3) B m ∈ ( −1; ) m ∈ ( 0;1) C Hướng dẫn giải D m ∈ ( 1; ) Chọn C 5x +3 y + 5xy +1 + x ( y + 1) + = 5− xy −1 + − 3y Ta có: ⇔ 5x +3 y − 5− x −3 y + x + y = 5− xy −1 − 5xy +1 − xy − f ′ ( t ) = 5t ln + 5− t ln + > ∀t ∈ ¡ , f ( t) ⇒ f ( x + y ) = f ( − xy − 1) ⇔ x + y = − xy − Do hàm sớ đồng biến ¡ − x −1 −2 x − ⇔ y = ⇔ x + y + = x + +1 ⇔ y ( + x) = −x −1 + x (do x ≥ nên x + ≠ ) x+3 Xét hàm số = f ( t ) = 5t − 5− t + t x +3 y có x2 + x + x+3 Trang 38/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 38 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm x2 + 6x + x2 + x + ′ g ( x) = >0 g ( x) = x + 3) ( x ≥ x + Xét hàm sớ với có , ∀x ≥ 1 g ( x) ≥ g ( 0) = x + y +1 ≥ m = ∈ ( 0;1) , ∀x ≥ hay , ∀x ≥ Vậy Do đó: x − xy + = x + y − 14 ≤ y x Câu 273: Cho , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Tính tổng giá trị lớn nhất 2 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y − xy − x + x A B 12 C Hướng dẫn giải D Chọn B Theo giả thiết ta có x − xy + = ⇒ y = x + y − 14 ≤ ⇔ x2 + x 5x2 − 4x + ≤ ⇔1≤ x ≤ x Từ bất phương trình x = xy − x3 = x y − x ⇒ 2 xy = x + xy = x y + y Mặt khác ta có x2 + = −3 ÷ + x = 5x − x P = − y + x x Thay vào ta 9 f ( x ) = 5x − 1; x Xét hàm số đoạn 9 max = f ÷ = 9 = f = − ( ) f ′ ( x ) = + ≥ 0, ∀x ∈ 1; 9 9 5 1; x 1; Ta có và Suy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng Câu 274: Cho các số thực x , y thay đổi thỏa điều kiện y ≤ , x + x = y + 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = xy + x + y + 17 bằng A 10; −6 B 5; −3 C 20; −12 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có: y = x + x − 12 Do đó: y ≤ ⇔ x + x − 12 ≤ ⇔ −4 ≤ x ≤ Mặt khác, D 8; −5 M = xy + x + y + 17 = x ( x + x − 12 ) + x + ( x + x − 12 ) + 17 = x + 3x − x − f ( x ) = x + 3x − x − Xét hàm số với −4 ≤ x ≤ f ′ ( x ) = 3x + x − f ′ ( x ) = ⇔ x = ∨ x = −3 Ta có: Do đó: f ( −3) = 20, f ( 1) = −12, f ( −4 ) = 13, f ( 3) = 20 Khi đó: max M = 20, m = − 12 Vậy 2( x − y +1) 2x + y 2018 = x + 1) P ( y x Câu 275: Xét các số thực dương , thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của P = y − 3x Trang 39/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 39 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A Pmin = B Chọn A ( ) x − y +1 2018 = Pmin = 2x + y ( x + 1) Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm Pmin = C Hướng dẫn giải ⇔ ( x − y + 1) = log 2018 Cách 1: Ta có 2 ⇔ ( x + 1) − ( x + y ) = log 2018 ( x + y ) − log 2018 ( x + 1) D Pmin = 2x + y ( x + 1) ⇔ ( x + 1) + log 2018 ( x + 1) = ( x + y ) + log 2018 ( x + y ) 2 f ( x + 1) = f ( x + y ) f ( t ) = 2t + log 2018 t ( ∀t > ) Có dạng với , f ′( t ) = + >0 f ( t ) = 2t + log 2018 t ( ∀t > ) t.ln 2018 Xét hàm sớ , , ta có f ( t) đồng biến khoảng ⇔ y = x2 + ( 0; + ∞ ) Vậy Pmin = Khi f ( x + 1) = f ( x + y ) ⇔ ( x + 1) = x + y x= ) = x + y ⇔ 20182( x ( 2018 x − y +1 ( x + 1) Cách 2: Ta có 2018 ( ) 2x + y ⇔ = 2( x + y ) 2018 ( x + 1) x +1 nên hàm số P = y − x = ( x + 1) − 3x = x − 3x + Ta có Bảng biến thiên ( ∀t > ) + x +1− x − y ( ) 2018 2x + y ) = 2x + y ⇔ = 2 2( x + y ) x + x +1 ( x + 1) 2018 ( x + 1) 20182u v = 2v u = ( x + 1) v = x + y u Đặt , với u , v > Phương trình có dạng: 2018 ⇔ u.20182u = v.20182v ( 1) với u , v > f ( t ) = t.2018t f ′ ( t ) = 2018t + t.2018t.ln 2018 > ( ∀t > ) , suy Xét hàm đặc trưng có với f ( t) ( 0; + ∞ ) Do phương trình ( 1) có dạng f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = u hàm số đồng biến P = y − x = ( x + 1) − x = x − x + ⇔ ( x + 1) = x + y ⇔ y = x + Khi có đồ thị là 3 7 I ; ÷ Pmin = x= đường cong Parabol, đỉnh là điểm thấp nhất có tọa độ Do vậy, Trang 40/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm ( ) x+ y = x−3 + y +3 Câu 276: Cho các số thực x , y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P = ( x + y ) + 15 xy A P = −91 B P = −83 C P = −63 D P = −80 Hướng dẫn giải Chọn B x ≥ Điều kiện: y ≥ −3 x+ y=2 Ta ( ) x − + y + ⇔ ( x + y ) = ( x + y ) + x − y + ≥ ( x + y ) có x + y ≥ ⇔ ( 1) x + y ≤ Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: x + y = x − + y + ≤ 2 ( x + y ) ⇔ x + y ≤ ( 2) ( Từ ( 1) x + y ∈ [ 4;8] ta có ( x + 3) ( y + 3) ≥ ⇔ xy ≥ −3 ( x + y ) − và Ta lại có ) ( 2) ( ) + 15 xy = ( x + y ) + xy ≥ 4t − 21t − 63 P == x + y Đặt t = x + y suy f ( t ) = 4t − 21t − 63 t ∈ [ 4;8] Xét hàm số , với 21 f ( t ) = f ( ) = −83 f ′ ( t ) = 8t − 21 = ⇔ t = ∉ [ 4;8] Ta có Do [ 4;8] x + y = x = ⇔ x+ y = x−3 + y +3 y = −3 Do P ≥ −83 suy P = −83 2 ( ( ) ) x + y = x −3 + y +3 Câu 277: Cho các số thực x, y thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P = ( x + y ) + 15 xy là P = − 83 A B P = −63 C P = −80 D P = −91 Hướng dẫn giải Chọn C x + y ≥ x + y = 2( x − + y + 3) ⇔ ( x + y ) = 4( x + y ) + x − y + ≥ 4( x + y ) ⇔ x + y ≤ Ta có x + y = 2( x − + y + 3) ≤ 2( x + y ) ⇔ x + y ≤ ⇒ x + y ∈ [ 4;8] Mặt khác 2 Xét biểu thức P = 4( x + y ) + 15 xy = 4( x + y ) + xy ≥ 16( x + y ) + xy = x( y + 3) + 16 y − x y +3 ≥ ⇒ P ≥ 16(4 − x ) − x = 64 − 21x y ≥ − x Mà x + y ≥ ⇒ x ∈ [ 3;7] ⇒ 64 − 21x ≥ −83 Kết hợp với Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là −83 Câu 278: Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = ( x - 1) + y + ( x +1) + y + - y Trang 41/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 41 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A Pmin = + Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm B Pmin = + C Pmin = 2 Hướng dẫn giải D Pmin = 191 50 Chọn B Áp dụng bất đẳng thức MinCopxki ta có P³ 2 ( 1- x +1- x) +( y ) + - y = + y + - y f ( y ) = + y + - y f ¢( y ) = Xét hàm sớ Ta có 2y - f ¢( y ) = Û y = 1+ y f ( y ) = + Do Pmin = + 1 0≤ x≤ 0≤ y≤ y 2, và log ( 11 − x − y ) = y + x − Xét biểu Câu 279: Cho hai số thực x , thỏa mãn P = 16 yx − x ( y + ) − y + thức Gọi m , M là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P Khi giá trị của T = ( 4m + M ) bằng bao nhiêu? A 16 B 18 C 17 D 19 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có log ( 11 − x − y ) = y + x − ⇔ ( x + y ) − log ( 11 − ( x + y ) ) − = Ta thấy 2t − log ( 11 − t ) − = ( 1) Đặt t = x + y , < t < 11 Phương trình trở thành: f ( t ) = 2t − log ( 11 − t ) − ( 0;11) Xét hàm số khoảng y′ = + > ∀t ∈ ( 0;11) f ( t) 11 − t Có , Do hàm sớ ln đồng biến ( 1) có nghiệm t = Do t = là nghiệm nhất của ( 1) Dễ thấy ( 1− y ) − 1− y 3y + − y + P = 16 y ( )( ) = y3 − y + y + Suy x = − y Khi 1 0; g ( y) = 4y − 5y + 2y + Xét hàm số , có 1 ∀y ∈ 0; g ′ ( y ) = 12 y − 10 y + > 2 , g ( y ) = g ( ) = max g ( y ) = g ( 1) = 1 0; Do đó, Suy m = , m = Vậy T = 4.3 + = 16 , 1 0; Trang 42/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 42 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm 2 Câu 280: Cho x , y là hai số thực thỏa mãn điều kiện x + y + xy + = y + x Tìm giá trị lớn nhất của P = ( x − y ) + 20 x + xy + y + 39 x biểu thức 5 A B C 100 D Hướng dẫn giải Chọn C 2 x + y + xy + = y + x ⇔ y + y ( x − ) + x − x + = ∆ = ( x − ) − ( x − x + ) = −3 x + x ≥ ⇔ ≤ x ≤ x + y + xy + = y + x ⇔ x + y + xy = y + x − P = ( x3 − y ) + 20 x + xy + y + 39 x = ( x − y ) ( x + y + xy ) + 20 x + xy + y + 39 x 2 4 4 4 ≤ −7 y + y + 27 + 12 y + 29 ÷ = −7 y − ÷ + 100 2 = 29 x − y + xy + 27 x + 12 y 3 3 3 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 100 Câu 281: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x ≥ , y ≥ , x + y = Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 biểu thức P = x + y + 3x + xy − x bằng: x=y= A C Pmax = 18 Pmax = 20 và và Pmin = 15 Pmin = 18 B Pmax = 15 và Pmin = 13 P = 20 P D max và Hướng dẫn giải = 15 Chọn D x ∈ [ 0; 2] Từ x + y = ⇔ y = − x , y ≥ nên − x ≥ ⇔ x ≤ Vậy 3 P = x + ( − x ) + 3x + x ( − x ) − x = x + x − x + 18 = f ( x ) Ta có x = ⇔ x = − ( L) f ′ ( x ) = 3x + x − f ′ ( x ) = ; f ( ) = 18 f ( 1) = 15 f ( ) = 20 ; ; Pmax = 20 Pmin = 15 Vậy và Câu 282: Xét phương trình ax − x + bx − = với a , b là các số thực, a ≠ , a ≠ b cho các nghiệm 5a − 3ab + P= a2 ( b − a ) là số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A B 11 C 12 D 15 Hướng dẫn giải Chọn C b ⇔ x3 − x + x − = a a a Ta có: ax − x + bx − = Trang 43/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm x1 + x2 + x3 = a b x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a x1 x2 x3 = a Theo định lý Vi-et cho phương trình bậc 3: c= a , ta có: x1 x2 x3 = x1 + x2 + x3 ≥ x1 x2 x3 hay ( x1 x2 x3 ) ≥ 27 x1 x2 x3 Đặt Suy c ≥ 27c ⇒ c ≥ 3 b b a2 − + ÷ 5−3 + ÷ a a 1 a a = = 5a − 3ab + c ( − 3bc + 2c ) b b a P= a − = −1 ÷ a2 ( b − a ) a a bc − Ta lại có: ( x + x + x ) ≥ ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) nên c ≥ 3bc Mà: c ( − c + 2c ) 3c ( c + ) = c ( − 3bc + 2c ) ≥ c2 c2 − P= −1 bc − Vậy 3c − 42c − 45 3c ( c + ) f ′( c) = > 0, ∀c ≥ 3 2 f ( c) = c − ( ) c − , c ≥ 3 , ta có: Xét f 3 = 12 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là y + y + x − x = − x + ( y + 1) Câu 283: Cho hai số thực x , y thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y ( A P = ) B P = 10 Chọn C y + y + x − x = − x + ( y + 1) ( ) ⇔ y − y + y − + ( y − 1) = ( − x ) − x + − x − − x ⇔ ( y − 1) + ( y − 1) = ( 1− x ) D P = C P = Hướng dẫn giải + − x ( 1) f ( t ) = 2t + t 0; + ∞ ) Xét hàm số [ f ′ ( t ) = 6t + > ⇒ f ( t) 0; + ∞ ) Ta có: với ∀t ≥ ln đồng biến [ ( 1) ⇔ y − = − x ⇔ y = + − x Vậy ⇒ P = x + y = x + + − x với ( x ≤ 1) ( −∞;1] − x −1 = g′ ( x ) = − 1− x g′( x ) = ⇒ x = 1− x Ta có: g ( x) Bảng biến thiên : Xét hàm số g ( x) = + x + 1− x Trang 44/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 44 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A g ( x) Từ bảng biến thiên của hàm số Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm suy giá trị lớn nhất của P là: max g ( x ) = ( −∞;1] ( xy + 1) ( Câu 284: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x+ y x − 2y P= − 2 6( x + y) x − xy + y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ? 5+7 7 − − A 30 B 30 C 30 Hướng dẫn giải Chọn D ( xy + 1) xy + − y ≤ − x − y ( ) ⇔ y ( xy + 1) ( ( ) xy + − y + ) ( xy + − y ( ) ) xy + − y ≤ − x − + D 30 ) ≤0 xy + − y y ( xy + 1) + xy + + y ≤ ⇔ xy + − y ≤ ⇔ xy + ≤ y ⇔ x 1 1 1 ⇔ ≤ − + = − − ÷ y y y y 2 x 1 ⇒0< ≤ x= y Dấu bằng đạt y = , x − 2y t +1 t −2 x 1 = − t= t ∈ 0; x + y ( ) t + x − xy + y ( ) với y và t −t +3 t +1 1 ≤ ( 8t + ) t ∈ 0; 4 Ta có t − t + 27 với t +1 ( 4t − 1) ( 20t + 25t + ) 1 ≤ 8t + ) ⇔ − ( t ∈ 0; ≤0 2 27 4 729 t −t +3 Thật t − t + với P= x+ y 2 − t−2 = f ( t) ( 8t + ) − 27 6t + 16 5t + 32 5t + 16 − 27 1 f ′( t ) = >0 t ∈ 0; 54 ( t + 1) 4 Khi với + 10 5 t−2 x= P≤ = f ( t ) ≤ f ÷= ( 8t + ) − 30 , dấu bằng đạt 4 27 6t + , y =2 Vậy P≤ Trang 45/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 45 y ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm ( a + b ) + ab = ( a + b ) ( ab + ) a , b ∈ ¡ a , b > Câu 285: Cho ; thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 a b a b P = + ÷− + ÷ b a b a bằng 23 −21 −23 A B −10 C D Hướng dẫn giải Chọn D a b t = + ( t ≥ 2) b a Đặt Ta có: a b 3 a b a b3 a b a b a b a b P = + ÷− + ÷ = + ÷ − + ÷ − + ÷ − b a b a b a b a b a b a b a = 4t − 9t − 12t + 18 Ta có a b ⇔ + + = a + b + 2 ( ) ÷ ÷ ( a + b ) + ab = ( a + b ) ( ab + ) b a ab a b 1 1 ⇔ + ÷+ = ( a + b ) + + ÷ b a a b Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có ( a + b ) + 1 + ÷≥ a b ( a + b ) 1 a b + ÷ = 2 + + 2÷ a b b a a b a b ⇔ + ÷+ ≥ 2 + + ÷ ⇒ a + b ≥ b a b a b a Suy a b t = + ÷≥ b a Hay Xét hàm sớ f ( t ) = 4t − 9t − 12t + 18 với t≥ 5 t = < ⇔ t = − < f ′ ( t ) = 12t − 18t − 12 f ′ ( t ) = 2 Ta có ; 5 ; +∞ ÷ f ′ ( t ) > 0, ∀t ≥ f t , nên hàm số ( ) đồng biến Ta có 23 5 f ( t ) = f ÷ = − −1; +∞ ) 2 Bởi vậy: −23 a = 2; b = hoặc a = 1; b = Hay Câu 286: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = và xy + yz + zx = Giá trị nhỏ nhất của 1 1 x3 + y + z + + ÷ x y z bằng: biểu thức P = ( A 25 ) B 15 C 35 Hướng dẫn giải D 20 Trang 46/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 46 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm Chọn A x + y = − z x + y + z = ⇔ xy + yz + zx = xy = − z ( x + y ) = − z + z Ta có: 2 2 x + y ) ≥ xy ⇒ ( − z ) ≥ − z + z ⇒ ≤ z ≤ ( Lại có: Dấu " = " xảy x = y ( Và ) ( x + y + z ) = x3 + y + z + ( x + y + z ) ( x + y ) z + 3xy ( x + y ) ( ⇒ x3 + y + z = 43 − 12 ( x + y ) z − xy ( x + y ) = 64 − ( − z ) + z ) 1 1 P = x + y + z + + ÷ = z − 12 z + 15 z + ÷ x y z z − z + 5z Ta có: 50 ≤ z ≤2⇒ ≤t ≤2 27 Đặt t = z − z + z , với 4 50 f ( t ) = 5 + 3÷ ≤t ≤2 t , với 27 Do xét hàm sớ ( Ta có Do ) ( ) −20 50 < 0, ∀t ∈ ; t 27 nên hàm số f ( t ) liên tục và nghịch biến = f ( ) = 25 đạt x = y = , z = f ′( t ) = Pmin ( ) x + − y 3xy − x + 3xy − = Câu 287: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: P = x3 + y + xy + ( 3x + 1) ( x + y − ) Tìm giá trị nhỏ nhất của 296 15 − 18 36 + 296 15 36 − 9 A B C Hướng dẫn giải Chọn B x + − y 3xy − x + 3xy − = ( −4 + 18 D ) Ta có ⇔ 27 x3 + x = ( 3xy − ) 3xy − + xy − f ( t ) = t + 2t t ∈ ( 0; +∞ ) Xét hàm với f ' ( t ) = 3t + > 0∀t ∈ ( 0; +∞ ) ( 0; +∞ ) có nên hàm sớ liên tục và đồng biến Khi ta có 3x = xy − ⇒ x ≥ và x = xy − = −5 ( l ) Với x = thì với 3 x > thì P = x + y + xy + ( x + 1) ( x + y − ) = x3 + y + xy + ( x + 3) ( x + y − ) = x3 + y + xy + ( 3xy − ) ( x + y − ) = x3 + y + 3x y + 3xy − ( x + y ) + = ( x + y) − 2( x + y) + Trang 47/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 47 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm 9x2 + 5 5 x+ y = x+ = 4x + ≥ x = t≥ 3x 3x 3x Đặt t = x + y thì Mà 5 t≥ ∀t ≥ f ( t ) = t − 2t + Khi f ′ ( t ) = 3t − > với Xét với 36 + 296 15 f ( t ) ≥ f ÷ ÷= Do 36 + 296 15 36 + 296 15 P≥ 9 Suy Vậy GTNN của P là 2 Câu 288: Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x + y + x − = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x − y − (làm tròn đến hai chữ số thập phân) A −3, 70 B −3, 73 C −3, 72 Hướng dẫn giải D −3, 71 Chọn B Theo giả thiết ta có 0 ≤ x ≤ x2 + y + x − = ⇔ y ≥ x ≥ y ≥ y = − x − 2x Suy P = x − − x − x − Xét hàm số f ′( x) = − f ( x ) = x − − x − x − 2, x ∈ [ 0;1] −1 − x > ∀x ∈ [ 0;1] f ( x) 0;1 Suy đồng biến [ ] f ( ) = − − ≈ −3, 73 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là − x − x2 Trang 48/48 - Mã đề thi 100 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 48 ... [−2 ;3] ⇔ m > max y = y ( 3) −2 ;3] Nếu m − > ⇔ m > hàm số đồng biến [ , nên [ −2 ;3] + 3m = ⇔ + 18m = 15 + 5m ⇔ 5m − 18m + = ⇔ m = 3, m = 3+ m Vậy m = y = y ( −2 ) [ −2 ;3] nên max [ −2 ;3] Nếu... Khi x∈[ 0 ;3] 3 3 3 3 x = m −1 ⇔ 36 36 y′ = ⇔ m − = ⇔ x +1 = x=− −1 ( l ) ( ) x + ( ) m m > m Nếu , m = y = y − ÷ = 12 m − m = 20 ⇔ 0< − ≤ ⇔ < m ≤ 36 xmin ∈[ 0 ;3] m m... A Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm −1 ≤ g ( ) ≤ −1 ≤ b ≤ ( 1) −1 ≤ b ≤ −1 ≤ g ( 1) ≤ ⇔ −1 ≤ + a + b ≤ ( ) ⇔ −1 ≤ + a + b ≤ −∆ −1 ≤ ≤1 32 ≤ 32 b − a ≤ 32 32 32 ≤ a − 32 b