Bài tập đàn hồi ứng dụng dùng cho các trường đại học, cao đẳng khối kỹ thuật và học viên cao học

ứng suất chính, phương chính của tenxơ ứng suất Mặt phảng trên đó chỉ có thành phần ứng suất pháp, khô n g có ứng suất tiếp, gọi là m ặt chính, ú n g suất pháp của mặt chính gọi là ứng s

PGS TS NHỮ PHƯƠNG MAI ( C h ủ b i ê n ) PGS.TS NGUYỄN NHẬT THĂNG

BÀI TẬP

DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐAI HỌC KỸ THUẬT VÀ HỌC VIÊN CAO HỌC

( T á i b ả n l ầ n t h ứ b a - cỏ c h í n h l ý v à b ổ s u n g )

Công ty cổ phần sách Đại học - Dạy nghề - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyển công bố tác phẩm.

0 4 - 2 0 0 9 / C X B / 4 0 4 - 2 1 1 7 /G D M ã s ố : 7 K 5 8 5 y 9 - D A I

Bạn đ ọc có th ể tham khảo thêm cuốn “ L ý thuyết Đàn h ồ r của N hà xuất bản Giáo dục V iệt N am (tác giả P G S T S Nhữ P hương M a i) để bổ s u n g và h o àn thiện thêm kiến thức về mồn học này.

N hóm tác giả xin chân thành cảm ơn Nhà x u ấ t bản G iá o dục V iệ t N a m đã tạo điều kiện thuận lợi để cuốn sách được tiếp tục ra m ắ t bạn đọc Đ ồ n g th ờ i xin chân thành cảm ơn cá c bạn đổng nghiệp đã động viên và g iú p đỡ cho việc hoàn thiện cuốn sách này.

Mọi ý kiến góp ý xin gửi về địa chỉ: Cồng ty cổ phần S á c h Đ ại học - Dạy nghề, 25 Hàn T h u y ê n , Hà Nội, h oặc Bộ môn Sức bền v ậ t liệu, V iệ n C ơ khí, Trư ờng Đại học Bách khoa Hà Nội, s ố 1 Đ ại c ổ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội.

Hà Nội, th á n g 7 /2 0 0 9

C Á C T Á C G IẢ

TR Ạ N G TH Á I ỨNG S U Ấ T - TRẠNG TH Á I BIÊN DẠNG■ ■ ■

Chưong 1

1.1 TENXƠ ÚNG SUẤT

ứ n g su ất tại m ộ t đ iể m bất kì trong vật rắn biến d ạ n g được x á c đ ịn h bởi còng thức:

xú c dưới tá c dụng của các dạng tải trọng khác nhau Chính vì v ậ y Lý thuyết đàn hồi có tính ứng dụng cao và được đưa vào giảng dạy ở hầu hết cá c trường Đại học Kỹ th u ậ t, là m ôn cơ sở c h u yên ngành cho khối C ơ khí, C ơ học kỹ thuật

và bổ s u n g kiến thức c h o m ột số ch uyên ngành khác (Lý thuyết tấm vỏ, Kết cấu hàng không, Kết cấu tàu thủy ).

Cuốn sách “Bài tập Đàn hồi ứng dụng” được xuất bản lần đầu năm 2003,

do nhóm tá c giả là giả n g viên lâu năm của Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

biên soạn, dựa trên những kiến thức cơ bản nhất của Lý thuyết đàn hồi. Nội

dung gồ m 6 c h ư ơ n g (tương ứng với thời lượng 3 tín chỉ th e o c h ư ơng trình khung của Bộ G iá o d ụ c và Đ ào tạo), trong đó trình bày tóm tắ t lý thuyết, cá c ví dụ, bài tập tự giải và được chọn lọc từ các vấn đề đặc trưng nhất và có tính ứng dụng rộng rãi tro n g thực tế.

- Các chương 1, 2, 3 (bao gồm cả bài tập), mục 4.3 và 4.4 của chương 4;

bảng 5.4 và c á c biểu đồ chuyển vị và nội lực của tấm tròn; các bài tập từ số

4.15 đến 4.20; từ 5 1 1đến 5.20 và từ 6.6 đến 6.12 do PGS.TS Nhữ Phương Mai

thực hiện.

- C á c phần còn lại do PGS.TS N gu y ễ n N hật T h ă n g thực hiện.

T ro n g lần tái bản thứ ba, cuốn sách đã được chỉnh lý và bổ sung th ê m một

số phần tro n g ch ư ơ n g 4, 5, nhằm giúp người đọc có th ể ứng dụng dễ dàng các kết quả về c h u y ể n vị, nội lực của tấm tròn với điều kiện biên và tải trọng khác

n hau để tính to á n độ bền và thiết kế kết cấu m ột cách hợp lý.

C uố n sách có th ể dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên cá c trường Đại học kỹ thuật, c á c học viên Cao học, nghiên cứu sinh ngành C ơ học V ậ t rắn biến dạng, và là tài liệu th a m khảo cho các kỹ sư Cơ khí.

Công thức (1.4') viết theo quy ước "chỉ số câm " của A n h x tan h Gọi 1, m,

n là c ô sin chỉ phương củ a véctơ V, ta có:

ơ ij = ơ ji

1.1.2 ứng suất chính, phương chính của tenxơ ứng suất

Mặt phảng trên đó chỉ có thành phần ứng suất pháp, khô n g có ứng suất tiếp, gọi là m ặt chính, ú n g suất pháp của mặt chính gọi là ứng suất chính Phương pháp tuyến của mặt chính gọi là phương chính Khi đó tcnxơ ứng suất sẽ trở thành dạng:

Tliay lần lượt a ị, ơ 2, ơ_, vào (1.8) ta sẽ tìm được các côsin chỉ phương

tương ứng với từng phương chính

Các phương chính vuông góc với nhau từng đói một và:

1.2 TENXƠ BIẾN DẠNG

1.2.1 Hệ thức Côsi giữa biến dạng và chuyên vị

V éctơ P P ' Ịx' - x; y' - y; z' - z} hay P P ' {u ; V ; wỊ gọi là vectơ

:n v ị củ a đ iể m p trong hệ tọa đ ộ Đềcác u, V , w g ọ i là các thành phần

chuyển vị theo phương X, y, z tương ứng (hình 1.2a)

Biến dạng dài tỉ đối theo các phương X, y, z xác định theo hệ thức Côsi (hình 1.2b):

Nếu gọi véctơ chỉ phương của đoạn AB ở trạng thái trước khi biến dạng

là V ; véctơ chỉ phương của BC là Ị.I, thì sự thay đổi góc giữa 2 véctơ đó sau khi biến dạng được xác định theo công thức:

Ỵ = 2s,jVjfj.l (i, j = 1,3 lấy tổng theo i và j) (1.11)hoặc:

Y = 2 (e ,v ,m + EyVjfij + e ,v ,n ,) + yxv( v lti 2 + V2H,) ++ Yy/(v2R, + v 3fi2) + y j v , m + v 3|i,) (1.11')

C ông thức trên có thể thu được bằng cách nhân m a trận 2s,j với cácvéctơ V và jl (nhân thứ tự theo quy tắc nhân ma trận)

1.2.2 Biến dạng chính - Phương chính của tenxư biến dạng

Các phương của mặt cắt trên đó chí có biến dạng dài, k h ông có biến

d ạ n g góc gọi là phương chính biến dạng; tenxơ biến dạng trở thành:

T =

0 s 2 0

; 8|, e2, e, gọi là biến dạng chính

Phương trình xác định e2, E, có dạng tương tự (1.6'):

( £x - £ ) 1 + ^Yxym + 2 ^ n = 0

2Yxy1 + ( Sy “ 8 ) m + 2 y >-n = 0

| Y xzl + ^ Y yzm + (Ez - E ) n = 0

(1.14)

Các p h ư ơ n g c h ín h biến d ạn g c ũ n g vuông góc với nhau từ ng đ ô i m ột

T h í d ụ 1 Các th àn h phần ten x ơ ứng suất tại đ iểm p củ a vật thể đ àn hồi

ứng suất tại m ột điểm bất

kì của vật thê đàn hồi

được biểu diễn bới tenxơ

tại điểm P (2 ,l,-s /3 ) trên

mặt tiếp tuyến với m ặt trự

Véctư ứng suất tại điểm p xác định theo (1.5) có dạng:

Pv = | ỉ + 3 j + V 3k

T h í d ụ 3 T enxơ ứng suất tại điểm p có các thành phần sau:

T

\ 1 2 0a) Xác định ứng suất chính và phương chính của te n x ơ ứng suất;

V ậy các ứng suất chính là: ơị = 4; ơ 2 = 1; ơ , = - 2

(Trạng thái ứng suất có 3 ứng suất chính * 0 nên là trạng thái ứng suất khối) Phương chính tương ứng với ơ | = 4 xác định từ hệ phương trình:

( 3 - 4 ) l + m + n = 0 f - l + m + n = 0

l + ( 0 - 4 ) m + 2n = 0 hay • 1 - 4 m + 2n = 0

1 + 2 m + (0 - 4 ) n = 0 [l + 2 m - 4 n = 0Giải (**) kết hợp điều kiện l2 + m 2 + n2 = 1 ta được:

21'+ m '+ n' = 0

<Ị l ' - m ' + 2 n ' = 0

r + 2 m ' - n ' = 0l'2 + m ,: + n ’2 = ]

ta thu được phương chính thứ 2:

Ta thu được phương chính thứ ba: v 3 = |o;-j=;

b) ứng suất tiếp lớn nhất là: Tma a , - ơ = 3

T h í d ụ 4 Cho trường chuyển vị của vật thể đàn hồi có dạng:

X' = X + A y

y ' = y + Az với A = const ^ 0

z ' = z + Axa) Tim ten x ơ biến dạng

b) Tính độ dài của các cạnh OA, OB o c của hình chữ nhật OABC sau khi biến dạng (hình 1.4)

Hình 1.4

Vị trí mới của các điểm o A, B, c là:

O' (0, 0, 0); A' (0 + A dy ; dy + A.o ; 0 + A.0) = (A dy ; dy; 0)

Giải, a) Các th à n h phần c ủ a biến dạng dài tương đối theo hư ớ n g V được xác đ ịnh iương tự theo c ô n g thức (1.5):

Vậy Ev - \ l Elx + e ỉy + E W - V9 + 9 + 18 - 6

b) Trước khi b iến d ạn g , góc giữa hướng V và |J bằng:

=0

V ậ y sau khi biến d ạ n g v f vẫn vuông góc với 1 1

*

BÀI TẬP Tự GIẢI

1.1 H ãy c h ứ n g m in h rằng c ác véctơ ứng suất Pv v à Pv tại đ iể m p

tương ứng trên h ai m ặ t p h ẳn g có p h á p tuyến V và V c ó tín h chất: hình chiếu c ủ a Pv trên phương V bằng hình chiếu c ủ a p v trên p h ư ơ n g V

1.2 C h o các th àn h phần ứng suất P | , p 2, p 3 trên các m ặt tọa đ ộ vu ô n ggóc H ãy c h ứ n g m in h rằn g tổng bình phương m ô đ u n của c á c v é c tơ đ ó k h ô n g phụ thuộc vào hệ tọ a độ

1.3 T rạn g thái ứng suất tại đ iể m p được biểu d iễn bởi:

D X—

Hình 1.5

H ãy x á c đ ịn h

véctơ ứng suất tại

đ iểm p trên tiết diện

Hãy xúc định a, b c sao cho ứng suất bằng không trên m ặt phắng nghiêngđều một g ó c với các trục tọa độ?

1.6 C h o te n x ơ ứng suất tại một điểm nào đó của vật thể:

1.7 T ra n g thái ứng suất tại điểm bất kì cho bởi tenxơ ứng suất

c) X ác định các ứng suất chính, ứng suất tiếp cực đại?

1.8 Xác định ứng suất chính, phương chính của tenxơ ứng suất:

1.10 ứ n g su ấ t chính, tại điểm p có g iá trị nh ư nhau: ƠJ = 12; ơ 2 = 3;

ơ 3 = - 6 Hãy xác định véctơ ứng suất và thành phần ứng suất pháp tại tiết diện có pháp tuyến đơn vị cách đều các phương chính đi qua điểm đó?

Ị Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A H À N Ộ ! I

1 R U N G ỈAỈVi T H O N G Ĩ Ỉ N Ĩ HLÍ V l c N

1.11 Cho trường c h u y ể n dịch tại điểm bất kì xác đ ịn h bởi véctơ:

u = ( x - z ) 2i + (y + z ) 2j - x y k

H ãy tìm tenxơ biến dạng tại điểm P(0; 2; - 1 ) ?

1.12 Cho tenxơ biến dạng tại điểm M của vật thể đ àn hồi:

T =

1

2 1

1 2a) Xác định biến dạng chính và phương chính biến dạng?

b) Tràng thái biến dạng tại M là gì?

1.13 Cho trường biến

1.15 Trường di chuyển của vật thể cho bởi phương trình:

u = (3x2 - 4 x 3)e, +(2Xj - x 3)e2 + ( 4 x 2 - X , )e,Tìm vị trí mới của véctơ nối hai phần tử A ( l , 0, 3) và B(3, 6, 6)

1.16 Trường di chuyển của môi trường cho bời q u y luật:

x ', = x ,

X \ = x 2 + A x 3 với A = const.

x ' 3 = x 3 + Ax2

a) T im các thành phần của tenxơ biến dạng.

b) T ìm chuyển vị của các cạnh trong hình lập phương (hình 1.7)

1.17 C ho trường chuyển dịch:

u = ( x 2 + x 1)2e 1 + ( x , + x 3)2e 2 + ( X j + x 2)2e í Tính chuyển dịch tương đối giữa điểm A ( l , 2, 2), đ iểm B ( - l , 1, 2) với điểm C(2, 1, —3)

1.18 C ho trường chuyển vị theo quy luật:

u = AxC| + (A z + By)e2 + A y e , ; với A, B = const

a) Xác định thành phần tenxơ biến dạng

b) Tìm liên hệ giữa A & B đê biến dạng thể tích tỉ đối bằng không

c) Với giá trị tìm được giữa A & B ở câu trên, hãy xác định trạng thái biến dạng của vật thể là trạng thái gì?

Chương 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH c ơ BẢN C Ủ A L Í TH U Y Ế T

Đ À N HỔI ỨNG DỤNG■

2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHẢN CÂN BẰNG TĨNH HỌC - ĐIỂU KIỆN BIÊN

Xét phân tố hình hộp tách ra từ vật thể đàn hồi; các m ặt của phân tố song song với các mặt tọa độ (hình 2.1)

Trên mặt 1234 có các thành phần ứng suất: ơ x, Txy; Ty/.

ỠxỔT

ổyỔT

ổz+ Y = 0

Khi giải h ệ (2 1 ) ta c ẩn bổ sung điều kiện biên c ủ a bài toán G iả sử lực

m ặt tác d ụ n g lên m ộ t đơn vị diện tích bề m ặt c ủ a vật thể là p {Xv, Y v, Z v}, khi đ ó các th à n h p h ầ n c ủ a lực m ặt phải thỏa m ãn phương trình:

x v = ơ s l + Tyxm + T/xn

Yv = x xv.l + ơ ym + T/yn

z = X 1 + X Ill • CT 11

h a y p vj = CTjjVi (i, j = 1,3 lấy

tổ n g th eo i) với V, là cô sin chỉ

yx* T = T ’ wxz /X ’ *'y/ * T = Xv/y*

Đó chính là định lưật đối ứng của ứng suất tiếp

2.2 PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG SA IN T -V E N A N T

Các thành phần của tenxơ biến dạng S j j phải thỏa mãn diều kiện liên tục của vật thể đàn hồi, gọi là điều kiện tương thích biến dạng:

Ba phương trình đầu của (2.4) biểu diễn điều kiện liên tục về biến dạng

độ cong của các thớ trong lòng vật thể ba phương trình cuối biểu diễn sự liên tục về góc xoay tương đối của các thớ đó

v e !3 J

N ếu /ật liệu là đ ả n g hướng, te n x ơ các hằng số đàn h ồ i chỉ có hai hằng

số độc lập Ằ v à Ị.I, gọi là h ằ n g số L a m ê , khi đó:

h ay dưới iạ n g k h a i triển:

ƠJ, = A.e + 2*ie„ ; ơ|2 = M-Y12

ơ 22 = 2f-lS22 i ơ 23 = M Y23CT„ = Ầ0 + 2 (as„ ; ơ,3 = M-Y13

(2.6')

E(1+ v ) ( l - 2 v ) ’ 2 ( 1 + v)Tron> đó: E - m ỏđun đàn hồi; V - hệ số Poátxông; G - m ỏđun trượt

ƠI1 v ( ơ 22 ) J ’^ £ 12 y 12 Q

e 22 = -^-[ơ22 - v ( c r ll + C T „ )];2 e 23 = y 23 =

e 33 = - ơ 33 “ v ( ơ ll +.ơ 2 2 )];2 e n =Y|J =

G13

(2 7 ’)

B iếi d iễ n c á c th àn h p h ầ n ứng suất q u a b iến d ạ n g n h ờ đ ịn h luật H úc(2.6) r ổ i b iể u d iễ n biến d ạn g q u a c h u y ể n vị n h ờ h ệ thức Côsi (1 1 0 ) và th ay vào pliưcng trìn h cân b ằn g tĩnh học (2.1), ta có:

Trong đó: u, là các thành phần chuyên vị, 0 là biến d ạn g thể tích tỉ đối;

F, là các thành phần Rình chiếu của lực khối

Điều kiện biên biểu diễn thành phầri lực mặt qua chuyển vị:

2.5 PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH B lỂ U DIÊN QUA T H À N H PHẨN TENXƠ ÚNG SUẤT

Sử dụr.g phương trình tương thích Saint - Venant, biểu diễn các thành phần biến dạng qua ứng suất nhờ định luật Húc rồi thay vào phương trình cân bằng tĩnh học (2.1), ta có:

Với ơ = ơ x + ơ y + ơ/, X, Y, Z: thành phần hình chiếu của lực khối

Phương till h (2.1 Oa, b) gọi là phương trình B e n tra m i-M is e n và có thể viết gọn dưới ckng:

u,j - kí hiệu Kronecker; F, - thành phần lực khối

Như vậy hệ phương trình tổng quát của lí thuyết đàn hồi ứnc dụng gồm

15 phương tình [3 phương trình cân bằng tĩnh học, 6 phương trình định luật Húc,

6 phương trhh của hệ thức Côsi, đối vỏ'i các ẩn số là ơịj, 8ịj và u, (i, j = 1,3)].Tùy theo bài toán cho biết điểu kiện biên trên bề m ặt vật thể là lực mặt hay chuyển vị, ta có thể chọn ẩn là ứng suất hay chuyển vị và sử dựng hộ phương trim tổng quát ớ trên kết hợp vói đicu kiện biên tương ứng để giải:

- Nếu bài toán cho biết các thành phần chuyển vị trên bề mặt, ta áp dụng phương trình L am ê (2.8), điều kiện biên (2.9), sau đó xác định trường biến dạng nhờ hệ thức Côsi (1.10) rồi áp dụng định luật Húc (2.6) để tìm trường ứng suất.

- Nếu bài toán cho biết lực mặt trên biên, ta chọn ẩn số là ứng suất, giải

hệ phương trình Bentrami - M isen (2.11) kết hợp điều kiện biên (2.3), sau

đó áp dụng định luật Húc (2.7) để tìm trường biến dạng rồi nhờ hệ thức Côsi (1.10) tìm các thành phđn chuyển vị

Đ ể giải các hệ phương trình trên, ta có thể sừ dụn g n h iều phương pháp k h á c nhau:

a) Phương pháp trực tiếp (Direct method): Tích phân trực tiếp hệ phương

trình theo ứng suất hoặc chuyển vị, áp dụng các điều kiện biên tưcmg ứng Phương pháp này gặp rất nhiều khó khăn về mặt toán học và chỉ áp dụng cho một số bài toán đơn giản

b) Phương pháp ngược (Inverse method): Cho biết trường ứng suất hoặc

chuyển vị thoả m ãn hệ phương trình của bài toán Xác định các đặc trưng hình học, điều kiện biên và tải trọng tác dụng lên vật thể Phương pháp này cũng khó áp dụng đối với các bài toán thực tế

c) Phương pháp nứa ngược (Semi-Inverse method): Cho biết m ột phần

trường chuyển vị, hoặc m ột phần truờng ứng suất, xác định các thành phần còn lại nhừ tích phân hệ phương trình tương ứng và điều kiện biên

Có thể sử dụng các thuật toán khác nhau để giải các bài toán trên: phương

pháp giải tích (khai triển thành chuỗi hàm lũy thừa, chuỗi Fourier ); phương

pháp gần đúng (phương pháp biến phân, phương pháp Ritz); hoặc phương pháp

số (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, plurơng pháp phần lừ biên )

T h í d ụ 1 Trạng thái ứng suất tại một điểm nào đó được biểu diễn bởi

Thay vào phương trình cân bằng (2.1) ta có:

ơ 3 - I ,ơ 2 - I2Ơ - I-, = 0 (*)

Các biến dạng chính xác định từ ứng suất chính theo định luật Húc:

Vậy trạng thái biến dạng cũng là phẳng (hoặc ta có thể n h ận xét từ dạng

của tenxơ T E chi khác T ơ bởi hằng số — )

Hòi hàm số (p có phải là hàm số bất kì đối với X, y hay k h ô n g ?

Giải T hay các thành phần biến dạng vào phương trinh tương thi' h

S ain t-V en an t (2.4) ta có:

ỡ y 2 ỡx2 õ x õ y ' ' ổ y 4 5 x 4 ỡx2ổ y 2

5 phương trình tiếp theo của (2.4) tự thỏa mãn Vậy h à m cp k h ô n g phải

là bất kì m à phải thỏa m ãn phương trình:

ổ 4(p ỡ 4cp ỡ 4(p

ỡ x4 + ỡ x 2ỡ y ’ + ã /

= 0

ơ , = ẢO + 2 ị.ií:, = Ằ( 3y2 + 2z) + 4 |ÌZ

Tvy = Y\y- M = M(6xy + 2z);

h) H ã y tìm đ iề u k iện đối với các h à m tp, (i = 1,3 )• C h ứ n g m in h rằn g c ó

thể n h ậ n dược n g h iệ m trên của phương trìn h cân bằng n ếu x u ấ t ph át từ biểu thức sau c ủ a c h u y ể n vị:

Giải, a) T hay các thành phần ứng suất vào phương trình cân bằng:

d ~ > , | d > 2 d '( p 2 _ 0

ÕXịÔxị ÕXịÕxị Õ x ^ x ị ÕXyÕxị

Tương tự hai phương trình cân bằng còn lại cũng thỏa mãn

b) Đ ạo hàm (**) lần lượt theo X ị , x2, X , ta có:

Lây (a) trừ đi (b) và (c) ta có:

2 jj.(S i, - s22 - e33) = Acpj - Acp2 - A(p, + 2 ơ

Với A là toán tử Laplace

Do t í n h c h ấ t đ ố i x ứ n g c ủ a cp1? cp2, (p, n ê n ta c ó t ừ (d):

A(Pị — A(p2 — À(p3 = 2 p (S |! — s22 — £33) — 2 ơ

A(p2 — Acpj - Acp, = 2fj.(e22 - e M - e 33) - 2 ơ

Acp3 - A(Pi ~ A(P2 = 2 m(s 33 - £ 11 - £ 22 ) - 2 ơ

Từ định luật H úc (2.7) ta có:

1 rí:l 1

1 + v ( ơ u •+• Ơ22 + 0

Trên biên OB: v 2 = ( - 1 , 0 , 0);

Ơ I3 = ơ 23 = ơ 'v- = 0 do trạng thái ứng suất là phẳng Vậy:

X v = ơ n ( - l ) + ơ 12.0 + ơ 13.0 = q ux 2

Y = ơ 21 ( - l ) + ơ 22.0 + a 23.0 = 0

= 0Giải hệ trên ta tìm được: ơ n = - q ()x2; ơ 22 = 0; ơ 12 = Ơ21 = 0

BÀI TẬP Tự GIẢI

2.1 H ãy xét xem các thành phần biến dạng sau có thể lập thành trạng thái biến dạng không:

a) s x = k(x2 + y 2); s y = k y 2; Ỵxy = 2kxy; e, = Yy/ = yx/ = 0

b) 8X = kz(x2 + y 2); 8y = ky2.z; yxy = 2kxyz;

Trong đó c p là hàm số củ a X , y Hãy tìm điều kiện đối với hàm (p Các hệ

số E, ỊICÓ ánh hướng gì dến (p không?

2.4 Trường ứng suất của môi trường xác định bởi tenxơ:

a) Sự phân bố lực khôi, nếu phương trình cân bằng thỏa mãn

b) ứ n g suất chính tại điểm p (a, 0, 2 Vã ) với a = const > 0 T rạng thái ứng suất và trạng thái biến dạng tại p là gì?

c) ứ n g suất tiếp cực đại?

2.5 C h o các thành phần biến dạng:

e, = A xy + D; cy = B y ' + Fxy;

Y x y = - C y 2; e , = Y y/ = y „ = 0

Tim các hệ số A B, c D, F sao cho có trạng thái biến dạng (hãy kiểm

tra đ iều k iện lương thích, tìm thành phần ứng suất và k iể m tra đ iều k iện cân

bằng lĩnh học) Biết lực khối bằng không, trạng thái ứng suất phảng

2.6 C ho tcnxơ ứng suất tại điểm bất kì:

Hãy xác định lực khối để phương trình cân bằng tinh học thỏa mãn Xác định thành phần cùa lenxơ biến dạng, biết E, V.

2.7 Hãy viết phương trình cân bằng tĩnh học củ a phân tò hình hộp vô cùng bé tách ra từ vật thế, chịu tác dụng của lực hấp dẫn từ khối lượng M đặt

tại điểm ( ị, r\, ọ (hình 2.4).

2.8 Viết phương trình cân bằng tĩnh học của phân tố hình hộp vô cùng

bé nằm trên bề mặt Trái Đất, chịu tác dựng của trọng lực Cho biết:

g = k2M /r2 = 980,616 c m /m 2: gia tốc trọng trường Trái Đất; k2 = 6,67.10 cmVg.s2: hằng số hấp dẫn;

H ãy xác đ ịn h th àn h phần biến dạng, ứng su ấ t và k iể m tra đ iề u kiện tương th íc h S a in t-V e n a n t.

2.10 T rư ờ n g c h u y ể n vị c ủ a bán k h ô n g gian đ à n hồi chịu tác d ụ n g của lực tập tru n g p v u ô n g góc với m ặt phẳng biên là:

2.14 Hãy tìm dạng của phương trình B en tram i-M isen trong trường hợp

lưc khối có th ế [nghĩa là F = —— , với (p(Xị, x 2, X,) là hàm số của X,)]

' 0 0 - C x 2

T = 0 0 Cx, với c = c o n st > 0

- C x , Cx, 0 yGiả sử vật rắn là hình trụ tròn, hãy xác định các lực bề m ặt phù hợp với những ứng suất nói trên (hình 2.6)

BÀI TO ÁN PHANG t r o n g t ọ a • đ ộ ■ đ ề c á c

Chưong 3

3.1 BÀI TOÁN ÚNG SUẤT PHANG - BÀI TOÁN BIÊN DẠNG PHANG

3.1.1 Bài toán ứng suất phẳng

õx õy + Y = 0