- T ấ m tròn chịu tải trọng ph ân bố V í d ụ 5.1. Xác định độ võng và ứng suất trong tấ m tròn có chu vi đặt trên gối tựa và chịu tải trọng phàn b ố đều (hình 5.5).
G iải. Sử d ụ n g m ặ t cắt trụ bán kính r, tác h một p h ầ n tấm đê xét.
Từ điều ki ện câ n bằng củ a phần tấm ta có:
Q.27TX = qrcr2 h a y Q = —
Đ ưa trị số đó vào c ô n g thức (5.9), ta có được biểu thức của góc xoay:
c 2 q r
0 = c , r + (a) Hình 5.5
r 16D
Do tính chất đối xứng, nên góc xoay tại tâm của tấm phải bằng không.
Do đó hằn g số C2 = 0, nếu không, góc x o a y 0 sẽ lớn vô cùng. Phương trình góc x o a y thu gọn lại:
0 = C,I' (b)
1 16D
H an g s ố c , xác định n h ờ vào điều kiện m ô m e n u ốn M r ở chu vi dật trên gốc tựa b ằ n g k hông. T h e o còng thức (5.2) khi r = R, ta có:
f d0 — + V- Gì _ n = 0
nếu kể đến (b): C,
de 0
—- + V —
dr r
3 q R2
16D + V c qR2 \
hay: qR
16D = 0
C , ( ] + v ) - ^ — (3 + v) = 0 16D
trục
đều
a ) p
R ú t ra: c , = qR 3 + v
16D 1 + v T h a y vào (b), ta được:
0 = 16D
3 + V 1 + v
T-) 2 _ 3
R r - r (c)
Đ ộ v õ n g tính th eo công thức (5.10):
W = c , - J 16D
3 + v
1 + v R : r - r dr = c ,
16D
3 + v R 2 r r
1 + v 2 4
4 A
H à n g số c , được xác định nhờ vào độ võng tại chu vi bằng k h ông, có n g h i ệ m khi r = R.
w („ R) = o = c 3
16D Rút ra: c , = q 5 + VR4
64D 1 + V
V ậ y p hươ ng trình của dộ võng sẽ là:
w = q
6D i . l ± X R 4 _ I . l ± l R V + I r 4
4 l + v 2 1 + v 4
Đ ộ v õ n g lớn nh ất tại tâm c ủa tấm:
w „ = w 1=0 max = 5 + V q R4
1 + V 64D
T h a y (c) và o (5.2), ta tính được các thành phần m ô m c n uốn:
M . = - ^ ( - 1 + v ) ( R = - r ! ) M, = — (3 + v)
16 ’
(d)
R .2 •
3 + v
Biểu đồ m ô m e n uốn được biểu diễn trên hình 5.5b, c. Q u a các biểu đồ nà y ta n h ậ n thấy m ô m e n uốn lớn nhấ t ớ tâm củ a tấm. Tại tâ m củ a tấm, nếu gọi A là đ iể m ớ mặt trên và B là đ iể m ở m ậ t dưới thì trạng thái ứng suất tại các đ i ể m đ ó được tính theo công thức (5.6):
Tại A: ơ, = —q
6 q R : h2 16
(3 + v ) = “ (3 + v}-q R
3 R2
Tại B: ơ, = ơ2 = ơ r = ơ , = ^ ( 3 + v ) — r ; ơ , = 0
V í d ụ 5.2. Đ á y của. một th ù n g (hình 5.6) ch ịu áp s u ấ t p = 2 . 10fiN / m2 là m ộ t t ấ m tròn. Xác định bề d à y củ a tấm đ á y và độ v õ n g lớn nhất. Cho biết ứng suất ch o phép:
[ơ]i
k
15.107 N/m 2; a = ^ = 0,81 E = 2.10" N /m 2; V = 0,28, R = 0,2m a no
(Bỏ q u a sự uốn cúa thành).
G iải. Do bỏ qua sự uốn của thành th ù n g , fiên ta có thể coi đáy th ùn g như m ộ t tấ m tròn bị n g à m ở ch u vi và chịu lực tác d ụ n g ph ân bố đều p.
T ư ơ n g tự ví dụ trên, ta có phương
tr ìn h góc x o a y như sau: a)
e = C , r - J £ - n T ■ ■ ■ I
1 6 0 'Ả \
H ằ n g s ố c, dược xác định theo b> -/ <//■/} ỵ}
đi ề u kiên góc xoay ở n g à m bằng ^ - k h ô n g , co n g h ĩa khi r = R ta có: V
p R ’ c) -:
B R D
V I ©
16 0(r=R) 0 = C ,R -
16D Rút ra:
Do đó
c, =
e =
PR_
16D
16D
T h e o (5.2) ta tính được M r và M t:
M = R 2( l + v ) - r ’ ( 3 + v ) ] M, = ^ [ R I ( l + v ) - r 2 ( l + 3 v ) ]
16
Biểu đồ M, và M, được biểu diễn trên hình vẽ (5.6 c, d). Ta tính ứng s uấ t tại cá c đ iể m A, B, c, D.
Tại đ i ể m A: ơị = - p
ơ =
6 M ,(,=())_ 3 , \ p R --- y ^ = - - ( ] + V
h 8 ’ h
Vỡ l ơ , I ô la-,1, nờ n theo thuyết bền M ta cú:
ơ ld 0 - 0 , 8 3 / \ pR - - 1+ v
8 h = 0 ,3 8 4 pR
T ại đ i ể m B: ơ , = ơ , = + — (l + v)-*—ị - ; ơ , = 0
8 ' h
Tại đ i ể m C: ơ = 3 8 6M
pRỈ ' \ 4 8 pR r(r=R) _ 3 pR
h 6M
4 ' h ’ ,(,■ R) 3^ pl<
4 h2 Vỡ ơ3 ô ƠJ, n ờ n ta cú:
<7U| — (71 CX(71 —- 4 li 3 p R2
— \ ; ---
3 pR
9 - = ---9
4 h 4 h
Vậy: ơ ul = - 0,8 ' 3 p R2 ^
4 h2 = 0,6^ - h
So s á n h các ứng suất lương đương, ta thấy tại đ iể m c ứng suất tương đươn g là lớn nhất.
hay:
Đ i ề u ki ện biên: ơjj “ M k
° - 75Í£ s K
R ú t ra: h , =0,02m
w 15.107
Đ ộ võn g lớn nhấ t tại tâm của tấm:
p R4 p R4
w
64D , , Eh ' 64
346.10 6m 12 l - v = )
- T ấ m tr ò n c h ịu tả i tr ọ n g p h á n bỏ tr ê n m ộ t p h ầ n tấ m
V í d ụ 5.3. M ột tấ m tròn chịu tải trọng p h â n b ố đểu trên một diện tích hình tròn bán kính b, đ ồ n g tâm với tấm. T ính độ võng ở tâ m của tấm (hình 5.7).
/-( • 0ằ
G iai
a) Đối với vùng chịu tải trọng 0 < r < b, ta có:
hay:
Q,..27tr = p.nứ Q ....
° 2
/ p
&
Vậy ta có phương trình góc xoay và đạo hà m c ủ a nó:
3
(a)
7A Q.(i:
G = c , r + — pj'
e; = c,
r c
16D 3p r2
1 1 r 16D (b) I UZZZZZZl7ZZZZZZZZ
b) Đối với vùng không chịu tải trọng b < r < a:
Q,(2r 2rtr = p.Ttr2 p b2
Qr(2)
Hình 5.7
h a y : Qr(2, =
2r
Vậy: e 2 = c 'l r + ~ ^ r ( 2 1n r - l )
0'. = c \ r
8D C ' pb2 ,
r 8D v ’
M r<2> = D 0'. V0 / \ / \ 1 (l + v ) p b : ( l - v ) p b2
= DC', w 1 + v ) - D C ' , ì 2V1- v ; r 2 4 — l n r — —8 (c)
( d)
(e)
hay:
c) Xác định h ằ n g số tích phân:
- Khi r = 0 thì 0 1(r=O) = 0, suy ra: C2 = 0
- Khl I = b thì 0 1(r=h) ~ ® 2 ( r = h ) í 6 l(r= h ) = 0 2(r=b)
C1b - - ^ - = C ’1b + ^ - pb-
1 16D 1 b 8 D
(2 1n b - l ) (g)
c 3pb C' c
1 16D
- K h i r = a, [ M r(2)],. = a = 0
„ (2 1n b + l)
8D v ’
2
. . / \ 1 (l + v ) p b2 ( l - v ) p b2 hay: D C ', ( l + v ) - D C ' , ( l - v ) . - y - - --- l n a - ^ --- = 0
Giả i hệ ba p hươ ng trình (g), (h), (i), ta được:
p b4 c
16D
c . = i í l l „ a - pb! * - v
4 D 2 f
16D 1 + V
c, = pb 2 + 4 ln — + V 2 a2 - b2 ^
V b 1 + V
1 16D
d) X á c đ ịn h độ võng:
W, = c , ~ jO,dr = C , - Ị c , r pr 16D dr
2
= C \ - C , - - + Pr
2 64D (n)
2 1 2
w, = C ' . - C ' 1 - C ' 2 2 l n r + ^ — r2 ( l n r - l ) 8D
Khi r = 0 thì w Khi r = a thì w
1(1 = 0) = cv-3 2(r 0 hay:
■ 2 h 2 2
C ' , - C c ' . . — - C ' l n a + ^ - ( l n a - l ) = 0
3 1 2 8D ’
Khi r = b, W 1(r = b, = w 2(r = h)
hay: c , - C . = C ' - C \ — + C’2 l n b + ^ - ( l n b - l )
1 2 6 4 D 1 2 2 8D '
C , = c X pb
(h)
(i)
(k)
(1)
(m)
(o)
(p)
(q)
Giả i hai p hư ơ ng trình (p) và (q), ta được:
+ C , . — + C2l n a - ^ - ( L n a - l ) - C , — - C2l n b + ^ ( l n b - l )
2 64D 1 2 8D 7 ‘ 2 8D
T h a y (k), (1), (m) vào biểu thức cuối, ta được độ võng ở tâm của tấm:
C, = w pb
16D
3 + v 2 7 + 3 v 2 2 a
— — a 7— 7 b - b ln —
1 + v 4(1 + v ) b
V í dụ 5.4. V ẽ biểu đồ nội lực và độ võng của tấ m tr ò n bị n g à m ở chu vi và chịu tải trọng phân bố đề u dọc theo chu vi đ ườ ng tròn bán k ín h b.
đồ ng tâm với tấm. Tính độ võng ở tâ m (hình 5.8).
Cho biết: v = - ; E = 1,9.10 fi N / c m2
6
Bề dà y h = 12cm, a = 140cm; b = 70cm; q = 20 0 N /c m . G iải. H ợ p lực c ủ a tải trọng phân bố:
p = q .2rcb
a) Đối với phần trong tấm (phần ở tâm) (0 < oc < p, trong đó a = — và p =
Q r ( l ) = 0
a
0J = CịUa +
0', = c , a
a a c a a M„ = D
a
a
C , a ( l + v ) - ^ ( l - v ) . - L
a a
C , a ( l + v ) + S . ( l - v ) . - L
a oc
b) Đối với ph ần ngoài tâm (P < a < 1):
F p 1
Qri = — = —
2t í ĩ 2 n a a
9, = C', a a + — ^--- ^ - a ( 2 1n a - l) 0 ' , = C ' . a C '2
a a 8tĩD Pa
a a 8ĩrDa ( 2 In a + l)
M D
C', a ( l + v ) - — y ( l - v ) - - ^ - ( l - v ) - - ^ - ( l + v ) 2 1 n a
a a 8tiD 8ttD
m 12= - a
C ' p ., p .,
C'j a ( l + v ) + -—y (l - v ) --- ( l + v) . 2 In a 4--- — (] - v) a a
w 2 = C ' , - a a 2 C' C', a — + In a
8nD Pa
8nD
8tiD
a (in a - 1)
hay:
Các h ằ n g số tíc h ph ân xác định như sau:
Kh i a = 0, 0ị = 0 suy ra c2 = 0
Khi a = p; 0, = 0 2. 0 ’, = e \ và W, = W2 C ' , Pa C ,a p = C ' 1 ap
c , a = c 1, a +
ap 8tcD
c \ Pa
P ( 2 1 n P - l )
aị32 8tiD(2 1nP + l ) c , - a
/ p2 X c , a —
V 2
= C ' , - a C ' , a Ể - + ^ l n P - — p2 ( l n p - l )
2 a 8ttD
(a)
(b)
(c)
Khi: a = 1, 02 = 0 và W2 = 0 hay: C ' , a + - + - ^ - = 0
1 a 8tĩD C ' , - a V ' c , a. — + —1 Pa
V 2 8ttD
Giải hệ p h ư ơ n g trình (a), (b), (c). (d), (e), ta rút ra:
Pa
= 0
(d)
(ẹ)
c . a =
c , a =
c \
8ttD Pa 8rcD
Pa(3
( P“ - 2 1 n P - l )
(p2- ' )
c , =
C 1, =
( l + 2p2l n p - p 2)
(■ + p2)
a 871D
P a 2 16D
P a 2 16D
T h a y các h ằ n g số vào phương trình ban đầu , ta được
— Đối vói phần trong (0 < a < P) Qui, - °
qa
r Ị q ( N / c m )
b b \
a a r \
0 . 0 2 5 2 3 Ể
/ D
" is * - ' 0 . 1 8 7 5 q a
m 3 ^ 0 9 3 q a ^
'
0.031 q a 0 . 0 9 3 q a
A
0 , 5 q
n ^ T rm
Hình 5.8
M,, = M „ = - ^ p ( l + v ) ( l - p2+ 21n[5)
0. = qa 4 D
w, = - ^ - p [ l - p 2+ 2p2 l n p + ( l - p 2+ 21n p a ) 8D
p a ( l - p 2 + 2 1 n p )
6M
ơ r l = ( 7 .1 =
ở tâm : W , „ x = | r P ( l - P i + 2 | ỉ ỉ l n p ) Đ ố i với p h ầ n n g o à i:
Q * - 4 r - r2nd a M , = - f p
M l2= - ạ p
2- ( l - v ) £ - - ( l + v ) ( p2- 21n a )
2v + ( l - v ) - ^ y - ( l + v ) Ị p2 - 21n a j
e , = ^ p a p 2 [ 1- - ụ - 21n a
4 D [ i a /
W2= ^ p r ( l + p2) ( l - a 2 ) + 2 ( p2+ a > a
o ư L
T h a y b ằ n g số:
P a = 2° - 0,5
a 140 K h i 0 < a < p , ta có:
W , = (0 ,0 2 5 2 - 0 , 0 3 9 8 a 2) — M rl = M „ = 0 ,0 9 2 8 q a
Q r l = 0
Khi p < a < 1, ta oó:
W2 = ( 0 , 0 7 8 - 0 , 0 7 8 a 2 + 0,0313 l n a + 0 , 1 2 5 a 2l n a ) —
M , , = 0 , 1 2 3 5 0 ,0 2 6
+ 0 , 2 9 1 7 In a a
qa
Ml2 = - q a 0,0052 0,025
+ 0,29171noc a
Q, 2 = 0,5 —
a
Bảng dưới đây cho kế t quả một số giá trị tính củ a w , M r, M t và Q, phụ th u ộ c vào a = —.
B ả n g 5.1. K ết q u ả m ộ t s ô g iá tr ị tín h c ủ a w , M r, M t và Q r
a w Mr M, Qe
0 3
q a 0,0252
D
0,0928 qa 0 ,0 9 2 8 qa 0
0 ,25 0,0227 " 0,0928 " 0 ,0 9 2 8 " 0
0 ,50 0,0152 " 0,0928 " 0 ,0 9 2 8 " 0
0 ,5 0 0,0152 M 0,0928 " 0,0 9 2 8 " q
0 ,75 0,0049 " 0,0833 " 0,0 3 2 4 " . 0 ,6 6 6 7 q
1,00 0 - 0 , 1 8 7 5 " - 0 ,0312 " 0,5 q
Đ ộ võng ớ tâm:
^ 2 0 0 .1 4 0 ' , nr.
W, max = 0 , 0 2 5 2 -ỉ— = 0 ,0 2 5 2 — — —----- — = 1,95 cm
D 1,9.10 .12
12
36 V í d ụ 5.5. Tính ứng s uất pháp lớn
nhất ở ch u vi trong của tấ m hình vành k h ă n (hình 5.9) chịu tải tr ọn g phân bố đều trẽn mặt.
2 Z
G iải
Lực cắt:
Góc xoay:
Hình 5.9
Q =
q i t ( r 2 - b 2 ) _ q a /
27TĨ 2 a - p : a
0 = c , a a + — a ( a 2 - 4 p 2 l n a + 2[32 )
a a 16D v '
0' = c , a c qa
a a 16D ( 3 a 2 - 4 p 2 l n a - 2 p 2) M ô m e n uốn:
M, = — C,a(l + v ) - - % ( l - v ) - - ^ l ( 3 + v ) a 2 +
cl ~a a ' 16D
+ - ^ —4(1 + v ) p2 l n a + ^ - ( l - v ) 2p2= 0
16D v ; 16D ’
Khi a = 1 (r = a) thì M r = 0, tức là:
C j d i l + v ) —— (1 - ( 3 + v ) + - ^ — (1 - v)2[32 = 0
' v 7 a v ’ 16D ’ 16D ’
Giải hai phương trình (a), (b) trên và đặt:
K = p 2[3 + V + 4(1 + v ) p 2lnp]
(a)
(b)
ta được: c.
a ( 1 - v ) = K. q a _ I6 D
C , a ( l + v ) = K V ( 3 + v ) q a ’ ( l - v ) 16D
Từ đó ta có các m ô m e n uốn sau:
16D 16D .2ỊV
M = qa
M. = 16 qa
(3 + v ) ( l - a 2) + K ( 1 ^ ) + K ' - 2 / l a /
+ 4(1 + v ) p 2 I n a
16
í 1 ^
2 ( l - v ) ( l - 2 p 2) + ( l + 3 v ) ( l - a 2) + K l + - y + 4 ( l + v ) p 2 I n p
V a J
Khi a = p thì M, M
ơ max = G . =I i ( a = P )
M,(a = (i), do đó:
3 q a2
[ 3 + v + p 4 ( l - p ) - 4 p 2] = 4 ( l + v ) p 2 111p h 2 4 h 2 ( l - p 2)
- T ả i tr ọ n g p h ả n bỏ bậc n h ấ t
V í d ụ 5.6. Vẽ biểu đồ c ủ a độ võng và nội lực trong tấ m tròn ch ịu tải trọng phân bố bậc nh ất (hình 5.10). T ính ứng uất p h á p lớn nhất.
Cho biết: bề d à y của tấm h = 3cm.
bán kính củ a tấ m a = 80cm; hệ số P o á tx ô n g V = —; m ô đ u n đ à n hổi:
E = 2,1.1 o 4 k N / c i n 2 Tải trọng: p() = 20 N / c m 2 G ia i
Tại m ặ t cắt bán kính r:
p = p„(l - a ) T r o n g đó a = —
a
Xét sự cân bàng của phần tấm ỡ tâm, ta có:
f1r fU1LUw (u n lu .
Qr
Pna"
Q I ,.2nr = pxcr +2 . P„ZÌV
R út ra:
Q, = p„a a ( 3 - a ) (a)
0 .030 8 - 2 -
0.1121 p 0a 2
X ỊỊỊỊỊỊỊ | | | Ị | Ị p F
0 .03 89 p na 2 0.1121 p 0a
ÍTTTTĩnTTTtíTTTTTTTTD
V ậ y phươ ng trình của góc xoay có dạng:
c , l 0 = c , r +
= c . a a + C 2 a
- j ( r j ọ rd r ) d r = J ( a | Q rd a ) c a a D a
Khi r = 0, tức là a = 0 thì 0 = 0, do vậy C2 = 0.
Nên: G = c , a a a
D a j(oc j ọ , d a ) d a
T h a y (a) vào phương trình trên rồi lấy tích phân, ta được:
0 = c , a a p„a 720D
và đO
d a = c,a m :
720D
( 4 5 a 1 - 1 6 a 4 j
( l 3 5 a 2 - 6 4 a 3) Ta biết rằng:
M. = D d e 0
— + V —
dr r
D a
dO 0
—- + V —
d a a (b)
V ậ y , khi r = a hay a = 1 ta có M, = 0, có n g h ĩa là:
de 0
—- + V —
d a a = 0
hay: c,a Poa (135-64)+ v
720D
p a 1 71 + 29v
c,a p„a
720D (45a2- 1 6 a
Suy ra: c.a = _ .
72 0 D 1 + v
Vậy ph ươ ng trình góc xo ay và đạ o h à m c ủ a nó có dạng:
0 = - ^ - c x 7 2 0 D d8 = p„a3 d a 72 0D
' / 71 + 29v x
1 + v
45cr + 1 6 a ‘ ' 7 1 + 29V 2 ^ '
--- — ---- 1 3 5 a + 6 4 a
V 1 + v
T h a y (c), (d) vào (b), ta được phương trình củ a m ô m e n uốn:
D a 2 r
M, = £ 2 = - 71 + 2 9 v - 4 5 ( 3 + v ) a 2 + 1 6 ( 4 + v ) a 3 ' ™ _ D
và: M. = —
720 0 do ì p a 2
— + V— - = -^7—
a d a ) 720 71 + 2 9 v - 4 5 ( l + 3 v ) a 2 + 16(l + 4 v ) a 3 Phương trình củ a độ võng có d ạ n g sau:
w = c , - j b d r - c , - Ja d c t
w = c ,
= c ,
p„a 720D
Poa
71 + 29V a a
— — — — 45 — + 16 —
1 + v 2 4 5
5
/
= 0
14400D
710 + 290 v 2 ^ c . 4 , ^ . 5 --- ---a - 2 2 5 a + 6 4 a
1 + V Khi r = a ha y a = 1, ta có w = 0 do đó:
c , = p..a 14400D
710 4- 290v '
---— --- 225 + 64 1 + v
p a 3 ( 1 8 3 + 4 3 v )
14400D 1 + v
Vậy phươ ng trình độ võn g có dạng:
w = Poa
14400D
3 ( l 8 3 + 43 v ) 10(71 + 2 9 v )
1 + V 1 + v a = 225 - 6 4 a
(c)
(d)
(e)
(g)
(h) T h a y giá trị bằ ng số và o (a), (e), (g), (h), ta được:
Q r = p „ a ( 0 ,5 a - 0 , 3 3 3 a 2)
M, = p,,a2( 0 ,l 121 - 0 , 2 0 8 5 a 2 + 0 , 0 9 6 4 a - ) M, = p,,a2( 0 , 1121 - 0 , 1 2 5 1 a 2 + 0 , 0 5 1 9 a ’)
w = ( 0 ,0 3 0 8 - 0 , 0 4 2 0 a 2 + 0 , 0 2 5 6 a 4 - 0 , 0 0 4 4 a 5) C h o a = 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1, ta được kết quả ghi ở bảng sau:
B ả n g 5.2 r
p = a
w Mr M, Qr
0
Ị-) 4
p a 0 , 0 3 0 8 - il—
D
0 ,1 1 2 1 p Qa 2 0 ,1 1 2 1 p 0a 2 0
0,25 0,0213 " 0 , 1 0 0 6 " 0 ,1 0 5 1 " 0 , 1 0 4 2 p 0a 0 , 5 0 0 , 0 2 1 1 " 0 , 0 7 2 0 " 0 , 0 8 7 2 " 0 , 1 6 6 7 "
0 , 7 5 0 ,0 1 1 1 " 0 , 0 3 5 5 " 0 , 0 6 3 6 " 0 , 1 8 7 5 "
1 ,0 0 0 0 0 , 0 3 8 9 " 0 , 1 6 6 7 "
trong đó: p„a = 20.80 = 1600 N/cm 2 - 2 0 . 8 0 2 = 128000 N p..a
p„a4 20.80'. 12.8
= 15,35cm D 2 ,1 .107. 3 \9
V ậy độ võng và ứng suất pháp lớn nhất:
= 0,0308. 15,35 = 0 , 4 7 5 c m M,
ơ .
w , ..T ma;
M lmaẪ = 0,1121 p0a2 = 0,1121. 128000 = 14348,8 N c m / c m
= 6 -Mai*. = 6 i 4-348’8 = 9566 N / e m 2 - T ấ m có g à n c h ịu tả i tr ọ n g p h â n bô đ ề u
V í d ụ 5 .7. V iế t phương trình m ô m e n uốn và độ võn g của tấm có gân đồn g tâ m và trên cả bề mặt của tấm chịu tải trọng phân bô đều p (hình 5.11).
đ ê u
b h
a
Hình 5.11
G iải
Đ ặt p = — hay b = Pa a
Đ ố i với p h ần trong tấm (r < b), ta có:
c 2 p r 2
0, = c , r +
0 ', =c,
r 16D
c 2 3 pr2
1 1 r 2 16D
W , = C , - % l - C í l n ' + pr<
2 ' a 64D
Đ ố i với phần n g oài tấm (r > b), ta có:
1 3
c 2 pr
Q2 = C \ r +
0 ’. =c
r 16D
C ' 3 pr2
2 1 r 2 16D
C ’, r 2 , _ r , p r 4 W, = c \ ---— c , ln —+
2 2 2 a 6 4 D
Các h ằ n g số tích phân xác định tlico các đ iề u k iệ n biên sau:
1) Khi 1 = 0 , 0, = 0 2) Khi r = a, 0 2 = 0
3), 4) Khi r = h, 0, = 02 = 0
5) K hi r = a, W 2 = 0 6) K hi r = b, Wj = W 2
T ro n g đó 0 là góc xoay củ a m ặt c ắt n g a n g c ủ a th an h cong (gân của tấm ) c ù n g biến d ạ n g với tấm (hình 5.12a).
Bây giờ ta tính góc 0.
Xét một hình vành khăn chịu mômen phân bố đều có cường độ (hình 5.12b):
m = M r2 - M rl
T a tưởng tượng xél m ộ t nửa v àn h (hình 5.12c)
Do đối xứng, trên m ặ t cắt ngang chỉ có m ô m e n uốn đ ố i với trục x:
M u = m b = (M r2 - M rl). Pa
ứ n g su ất tại đ iể m A (hình b) trên m ặt cắt n g a n g bất k ì là:
ơ =
max
_ M u _ 6 p a ( M , 3 - M fl)
= \ v h H 2
V ậy biến d ạ n g tỉ đối theo phương chu tu yến vành ở A là:
ơ „,„ _ 6 Pa ( M , : ~ M r,)
E E h H 2
M ặt khác, ta biết chu vi củ a phần dưới vành (ở A ) trước b iến d ạn g là
27Tb, sau biến d ạ n g là: 2 n (b + Ab). V ậy biến d ạn g tỉ đối ở A theo phương vuôn góc với dườ ng k ín h vành là:
8 = 2 n ( b + Ab) - 2ĩĩb Ab
2 n b ~ b
Vì í: = e', nên ta có:
ò í t i a l 2
Ab = 6 ( p a ỵ ( M r J - M rl) E h H 2
rừ đó ta có góc xoay:
0 _ Ab 12(fta)2 (Mr2 - Mrl)
H 2
E h l ỉ '
(Ị3a)2 ( M r2 - M rl) EJ
T ừ đó ta có: M r2 - M , - — — .6 (P a ) T r o n " đó: o J =X h i r
12
(a)
(b) b)
My = mb
Mu = mb
a' ______ I____ __ e\ [
^ 1 ) - ± 3 z ặ !
A b b h
yMr 2
Hình 5.12
T ừ điều k iện biên 1), ta suy ra C 2 = 0 T ừ ba điều k iện biên 2, 3 và 4 ta có:
c , a + —^C ' pa C '
hay:
16D C ' . a p - C ' . a p -
ap ( P a ) 2 ( M r2- M rl)
0 (c)
EJ = e
hay:
Í M
EJ
.D C '
c \ - 2 3 pb
r 3 Pb\ /
c . ----f V
b 2 16 D 2 >
+ V C ' pb
V
16 D
pb
hay: c (1 + v ) EJ
D pa
1 16D - C ' , ( l + v )
b 2 16D
3
= c,b pb
16D
1 - v c , = p p a E J
( H
2 2
16D - K h i r = a, w '2fr =
C ’
c
..) = 0 h a y :
1
CMU
p a 4
2 64 D
b) = ^2(r=b) hay:
C , ( P a ) 2.
P ' 4-
2 3
C , ( M + C '
Giải hệ các phương trình (b), (c), (d), (e) và (g) ta được:
p a 2 [ 2 p a D + p 2 ( l - p 2) E J x]
1 6 D [ 2 p a D + ( l - p 2) E J xl p a 2 [2|3aD + p 2 ( l - p 4 ) E J x]
c . =
c \ =
1 6 ũ [ 2 p a D + ( l - p2 )H J x p a 4p 2 ( p 2 - l ) E J x
c , =
16D
4
pa 64D
4
c \ =
2paD + ( l - p 2)E J 4 p 2 ( l - p 2) e Ẫln P 2Ị3aD + ( l - p 2) E J x 1 2 P 2 ( 1 - P 2) E J X 64 2paD + ( l - p 2 ) E J x
( d )
(c)
(g)
C uối c ù n g ta được phương trình của m ô m e n uốn và độ võng n h ư sau:
M rI = pa
M u = 16 Pa ' 16
2 p a D + p 2 1 -Ị 3 2 ) E Jx
( 1 + v ) — V ’ ~ ( 3 + v ) ' 2paD + ( l - p - ) E J x v '
2ị3aD + p : (1 - p 2 )EJ
(1 + V - - Y ~ ( l + 3v)
2 p aD + ( l - p 2) E J x v ’
/ \ 2 _ r U y
/ \2~
r
v a J
w
h 3 =
- 5 L 4p2( l - p 2)EJxlnp 2 2paD+ p2 Ị 1 - p2 j EJX "
r o 2 1{ \ r 4 64D 2 ị3 a D + (l-p 2) B 2 p a D + ( l- p 2)EJx
—
Và) V.4 )
M,2 = 16 pa3
(1 + v ) + ( l - v )
W =
16 pa 64D
2 p a D + ( l - p 4)EI
2 p a D + ( l - p 2)EJx ' v* ' ; 2 |3 a D + (l-p 2) e 2 p a D + ( m ‘ )EI, | Í ( 1 - P 2) H , l + v --- ^ --- l - v --- --- 2PìiD + ( 1 - P 2)EJx 2 p a D + ( l- p 2)EJ
' - Ĩ - ( 3 + v ) n2 vay
í Ỹ í 'N2
- ( l + 3 v / r va /
1 + 2P2( 1 -í32)HJ 2 [ 2 P a D + ( l- p 4)]EI 2 p a D + ( l - p 2) B x 2 p a D + ( l- p 2)ẼJx
r \ 2 r VàJ
+
4P2( 1 - P 2
. l n - + 2 P a D + ( l - p 2) B x a í r>
4
Kd J
V í d ụ 5.8. Xác định m ô m e n uốn c ủ a m ộ t tấ m trong xvlanh biểu d iễ n trên h ìn h 5.13.
G iải. C ường độ của lực cắt p hân bố được xác định theo công thức sau:
Q = 7rr2p - p
N hưng:
D o vậy:
2nr p = n R 2p
p ( r - - R 2 )
Hình 5.13
Q = 2r
M ang g iá trị Q vâo phương trình tính góc x o a y (5.9), ta đựợc:
1 rf
= c , r
= c , r
c , r 4
hay: 0 = c . r 4
r Dr J
rl
I 1 í
1
Dr J
rl
I C 2 1 j
Dr J
rl
| C > 1 V
Dr J
rl
I C 2 1 Í
Dr J
4Ì
, c 2 p
I
Jp ( r 2 - R ! )
2r dr
r —
Í 2
p r dr
dr
dr r r r, p R 2 1
2 . ' 2
2, r r r In — - —
r, 2
r 16D
r 3 - 2 ư , 2 + i r
+ p R J
1■1
ị*-1 1 1GU|1
4D r, 2 2r
Các h ằn g sô C| và C2 được xác định nhờ vào điều k iệ n biên:
Khi r = r,, 0 = 0 r = r2, 0 = 0 có nghĩa: o = c , r , + c
0 = c , r 2
r2 16D
4 ' 3 ^ 2 , r i
r2 - 2 r 2r, + —
r2.
+ pR
4D r, 2 2r2
(a)
Giải hệ hai phương trình này, ta được c, và Q . Nếu lấy R = r2 và — = a , r) thì các hằng số C|, c2 sẽ là:
n r2 \ A a A l n a - 3 a 4 + 4 a 2 - l i
(b)
c
„ - 2
Pri 4 a 4 l n a - 3 a 4 + 4 a 2 - l j 16D
pr 4 |^4a4 l n a - 3 a 4 + 4 a 2 - 1 16D
Đ ể tính M r, M, ta phải tính — . T h eo (a), ta có:d 0 dr
0 ' = c, c 2
r 2 16D
.2 „ 2 r i
3r - 2 r , pR
4D
1 r 1 In — + —
2 2r' (c)
T h a y (a), (c) vào (5 .2 ) và k ể đ ế n (b), ta được:
5 + v 1 + V 3 + v X 1 +v
—-— + — l n x --- — T + ——
16 4 16 a 8
1 2a lna 2 i__A , - ^4a2 lna
2 a
1 - v
(l + v ) l n x + v l + 3v X2
4 16 V
1+v 1 + a 2y
a2 -1
a lna
16x v a2- l
16 4(a2-l) 1+v
1—V 1—V
16x: