P2 phương trình mặt phẳng

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIANPhần 2 Phương trình mặt phẳng Bài 19... Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với P.. Viết phương trình mặt phẳng P qua A và cắt các trục

HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Phần 2

Phương trình mặt phẳng

Bài 19. Cho bốn điểm A ( ) 1;1;2 , B ( 2;1;0 ) , C ( 3;1; 1 − ) và D ( 6;1;5 ) Viết phương trình các mặt phẳng

(a) ( ) P1 chứa ba điểm A B C , ,

(b) ( ) P2 đi qua D và song song với ( ABC ).

(c) ( ) P3 đi qua C và vuông với AB

(d) ( ) P4 đi qua M ( ) 1;4;1 và song song với AB và CD

(e) ( ) P5 chứa CD và cắt đoạn thẳng AB tại điểm H sao cho HA HB = 3

(f) ( ) P6 là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Bài 20 Cho hai mặt phẳng ( ) P :19 6 x − − + = y 4 27 0 z , ( ) Q : 42 8 3 11 0 x y z − + + = cắt nhau theo giao

tuyến d Viết phương trình mặt phẳng

(a) ( ) R1 đi qua A ( − 1;2;3 ) và vuông góc với ( ) P , ( ) Q .

(b) ( ) R2 đi qua A ( − 1;2;3 ) , B ( − 4;7;9 ) và vuông góc với ( ) P .

(c) ( ) R3 đi qua A ( − 1;2;3 ) và chứa d.

(d) ( ) R4 chứa d và vuông góc với ( ) P .

Bài 21. Cho mặt phẳng ( ) P x y z : + + = 3 Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q đi qua M ( 1;0; 1 − ) , chứa

giá của vectơ u r ( 2;2; 1 − ) và vuông góc với mặt phẳng ( ) P

Bài 22. Lập phương trình mặt phẳng ( ) Q qua M ( 4;9; 12 − ) và cắt các tia Ox Oy Oz , , lần lượt tại

, ,

A B C sao cho OC OA OB = + và

OC OA OB = +

Bài 23. Lập phương trình mặt phẳng ( ) P qua điểm M ( − − 4; 9;12 ) , A ( 2;0;0 ) và cắt tia Oy, Oz lần

lượt tại B, C sao cho OB = + 1 OC (B, C không trùng gốc O)

Bài 24. Cho hai điểm A ( 2;0;1 ) , B ( 0; 2;3 − ) và mặt phẳng ( ) P :2 x y z − − + = 4 0 Tìm tọa độ điểm M

thuộc ( ) P sao cho MA MB = = 3

Câu 25 (D2013) Cho điểm A ( − 1;3; 2 − ) và mặt phẳng ( ) P x : − − + = 2 y 2 5 0 z Tính khoảng cách từ A

đến ( ) P Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với ( ) P .

Câu 26 (B2012) Cho A ( 0;0;3 ) , M ( 1;2;0 ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua A và cắt các trục

,

Ox Oy lần lượt tại B C , sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM .

Bài 27 (B008) Cho ba điểmA (0;1;2), B (2; 2;1) − , C ( 2;0;1) −

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A B C , ,

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng2 2 x + + − = y z 3 0 sao cho MA MB MC = =

Bài 28. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua điểm M (1; 2;4) − sao cho ( ) P cắt 3 trục Ox Oy Oz , , lần

lượt tại A B C , , sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC

Câu 29. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua M ( 1;2;3 ) sao cho ( ) P cắt các tia Ox Oy Oz , , lần lượt

tại 3 điểm A B C , , và tứ diện OABC có thể tích lớn nhất

Bài 30. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M ( ) 1;1;1 sao cho ( ) P cắt các trục Ox Oy Oz , ,

lần lượt tại ba điểm phân biệt A B C , , sao choM là trực tâm của tam giác ABC

Bài 31. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A ( ) ( 1;1;1 , 0;2;2 B ) sao cho ( ) P cắt các trục tọa độ

,

Ox Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt M ,N sao cho OM = 2 ON

Bài 32. Cho các điểm A ( 1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ) ( B b ) ( C c ), trong đó b c , dương và mặt phẳng

( ) P y z : − + = 1 0 Xác định b và c, biết mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng ( ) P và

khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ABC ) bằng 1 3 .

Bài 33. (B2009) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A ( ) 1;2;1 , B ( − 2;1;3 ) , C ( 2; 1;1 − ) , D ( 0;3;1 ) Viết

phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A B , sao cho khoảng cách từ C đến ( ) P bằng khoảng

cách từ D đến ( ) P .

Bài 34. Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A ( 0;2;0 ) , B ( 2;0;0 ) và tạo với mặt phẳng ( ) yOz

góc 60 °

Bài 35. Cho điểm A ( 0;0;1 , 3;0;0 ) ( B ) Lập phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm A B , và tạo

với mặt phẳng ( ) Oxy góc 600

Bài 36. Cho hai mặt phẳng ( ) P x y z : + + − = 3 0và ( ) Q x y z : − + − = 1 0 Viết phương trình mặt

phẳng ( ) R vuông góc với ( ) P và ( ) Q sao cho khoảng cách từ Ođến ( ) R bằng 2.

Câu 37. Cho ba điểm A ( − 1;1;0 , 0;0; 2 , 1;1;1 ) ( B − ) ( ) C Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A B ,

sao cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ) P bằng 3

Câu 38. Cho đường thẳng

1 :

1 1 4

x y z

d = = −

và điểm A ( 0;3; 2 − ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi

qua điểm A song song với đường thẳng d và khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng

( ) P bằng 3.

Bài 39. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua 2 điểm A ( 0; 1;2 − ) , B ( 1; 1;3 − ) sao cho khoảng cách

từ điểm M ( 0;3; 1 − ) đến ( ) P đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)

Câu 40. Cho ba điểm A ( 1;2;0 , 0;4;0 , 0;0;3 ) ( B ) ( C ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa OA sao

cho khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng ( ) P bằng nhau.

Câu 41. Cho hai điểm A ( − − 1; 1; 3 ) , B ( 1; 0; 4 ) và mặt phẳng ( ) P x : + − + = 2 y z 5 0 Viết phương trình

mặt phẳng ( ) Q đi qua sao cho góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q có số đo nhỏ nhất

Câu 42. Cho ba điểm A ( 10; 2; 1 − ) , B ( 1; 0;1 ) , C ( 3;1; 4 ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A,

song song với BC và khoảng cách từ B đến ( ) P đạt giá trị lớn nhất.

Câu 43. Cho hai điểm A ( 1; 2; 2 − ) và mặt phẳng ( ) P : 2 2 x + + + = y z 5 0 Tìm điểm B thuộc Ox sao

(a) ( ) P1 chứa ba điểm A B C , ,

(b) ( ) P2 đi qua D và song song với ( ABC ).

(c) ( ) P3 đi qua C và vuông với AB

(d) ( ) P4 đi qua M ( ) 1;4;1 và song song với AB và CD

(e) ( ) P5 chứa CD và cắt đoạn thẳng AB tại điểm H sao cho HA HB = 3

(f) ( ) P6 là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Lời giải

Tác giả: Trần Thơm ; Fb: Kem LY

(a) ( ) P1 chứa ba điểm A B C , , nên nhận uuur AB = ( 1;0; 2 , − ) uuur AC = ( 2;0; 3 − ) là các vectơ chỉ

phương

⇒ ( ) P1 có vectơ pháp tuyến n r =   uuur uuur AB AC ,   = − ( 0; 1;0 ) .

Vậy ( ) P1 đi qua A ( ) 1;1;2 , có vectơ pháp tuyến n r = − ( 0; 1;0 ) nên có phương trình tổng quát:

( ) ( ) ( )

0 x − − 1 1 y − + 1 0 z − = ⇔ − = 2 0 y 1 0.

(b) ( ) P2 song song với ( ABC ) ⇒ n uuuur uuuuur( )P2 = n(ABC) =   uuur uuur AB AC ,   = − ( 0; 1;0 ) .

Vậy ( ) P2 đi qua D ( 6;1;5 ), có vectơ pháp tuyến n r = − ( 0; 1;0 ) nên có phương trình tổng quát:

( ) ( ) ( )

0 x − − 1 1 y − + 1 0 z − = ⇔ − = 2 0 y 1 0.

(c) ( ) P3 vuông với AB nên nhận uuur AB = ( 1;0; 2 − ) là vectơ pháp tuyến ( ) P3 đi qua C ( 3;1; 1 − )

nên có phương trình tổng quát:

( ) ( ) ( )

1 x − + 3 0 y − − 1 2 z + = ⇔ − − = 1 0 x 2 5 0 z .

(d) ( ) P4 song song với AB và CD nên nhận uuur AB = ( 1;0; 2 , − ) CD uuur = ( 3;0;6 ) là các vectơ chỉ phương

⇒ ( ) P4 có vectơ pháp tuyến n r =   uuur uuur AB CD ,   = − ( 0; 12;0 ) .

Vậy ( ) P4 đi qua M ( ) 1;4;1 , có vectơ pháp tuyến n r = − ( 0; 12;0 ) nên có phương trình tổng quát:

0 x − − 1 12 y − + 4 0 z − = ⇔ − = 1 0 y 4 0.

(e) ( ) P5 cắt đoạn thẳng AB tại điểm H sao cho HA HB = 3 ⇒ HA uuur uuur = 3 HB hoặc uuur HA = − 3 HB uuur

H  − 

 .( ) P5 đi qua 3 điểm C D H , , nên nhận

Do đó cũng nhận các vectơ u ur1= ( 1;0;0 , ) u uur2 = ( 7;0;12 ) làm vectơ chỉ phương.

⇒ ( ) P5 có vectơ pháp tuyến n r =   u u ur uur1, 2  = − ( 0; 12;0 ) .

Vậy phương trình của ( ) P5 là:

phương Do đó cũng nhận các vectơ u ur1 = ( 5;0; 6 , − ) u uur2 = ( 17;0;18 ) làm vectơ chỉ phương.

⇒ ( ) P5 có vectơ pháp tuyến n r =   u u ur uur1, 2  = − ( 0; 192;0 ) .

Vậy phương trình của ( ) P5 là:

Bài 20 Cho hai mặt phẳng ( ) P :19 6 x − − + = y 4 27 0 z , ( ) Q : 42 8 3 11 0 x − + + = y z cắt nhau theo giao

tuyến d Viết phương trình mặt phẳng

(a) ( ) R1 đi qua A ( − 1;2;3 ) và vuông góc với ( ) P , ( ) Q .

(b) ( ) R2 đi qua A ( − 1;2;3 ) , B ( − 4;7;9 ) và vuông góc với ( ) P .

(c) ( ) R3 đi qua A ( − 1;2;3 ) và chứa d.

(d) ( ) R4 chứa d và vuông góc với ( ) P .

Lời giải

Gọi n uurP = ( 19; 6; 4 − − ) là một véc tơ pháp tuyến của mp( ) P , n uurQ = ( 42; 8;3 − ) là một véc tơ pháp

tuyến của mp( ) Q .

(a) Gọi n ur1

là một véc tơ pháp tuyến của mp( ) R1 .

Do ( ) R1 vuông góc với ( ) P , ( ) Q nên

1 1

P Q

(b) Ta có uuur AB = − ( 3;5;6 ) Gọi n uur2

là một véc tơ pháp tuyến của mp( ) R2( ) R2 đi qua A ( − 1;2;3 ) , B ( − 4;7;9 ) và vuông góc với ( ) P nên

Khi đó chọn n uur uuur uur2 =   AB n , Q  = ( 16;102; 77 − ) .

Mà mp( ) R2 đi qua A ( − 1;2;3 ) nên phương trình mp( ) R2 có dạng:

16 x + + 1 102 y − − 2 77 z − = ⇔ 3 0 16 102 x + y − 77 43 0 z + =

c) Ta có đường thẳng d là giao tuyến của ( ) P và ( ) Q Chọn M ( ) 1;7;1 , N  0; ;3 5 2 

 thuộc đường thẳng d ; uuuur AM = ( 2;5; 2 − ) , u r = − 2 MN uuuur = ( 2;9; 4 − ).

Do mp( ) R3 đi qua A ( − 1;2;3 ) và chứa dnên mp( ) R3 nhận n uur uuuur r3 =   AM u ,   = − ( 2;4;8 ) làm véc

tơ pháp tuyến suy ra phương trình mp( ) R3 có dạng:

Khi đó chọn n uur r uur4 =   u n ; P  = − − − ( 60; 68; 183 )

Mà mp( ) R4 đi qua M ( ) 1;7;1 nên phương trình mp( ) R4 có dạng:

60 x − + 1 68 y − + 7 183 z − = ⇔ 1 0 60 68 183 719 0 x + y + z − =

trichinhsp@gmail.com , vanghhc@gmail.com

Bài 21. Cho mặt phẳng ( ) P x y z : + + = 3 Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q đi qua M ( 1;0; 1 − ) , chứa

giá của vectơ u r ( 2;2; 1 − ) và vuông góc với mặt phẳng ( ) P

Lời giải

Tác giả: Đinh Văn Vang; Fb: Tuan Vu

Ta có vectơ pháp tuyến của ( ) P là n r ( ) 1;1;1

Mặt phẳng ( ) Q chứa giá của vectơ u r ( 2;2; 1 − ) và vuông góc với mặt phẳng ( ) P có VTPT

( 1; 1;0 − ) và đi qua M ( 1;0; 1 − ) nên có phương trình : 1 ( ) ( ) ( ) x − − 1 1 y − + 0 0 z + = 1 0

Tác giả: Đinh Văn Vang; Fb: Tuan Vu

Gọi A a ( ;0;0 ) , B b ( 0; ;0 ),C ( 0;0; c ),(a b c , , > 0) Phương trình mặt phẳng ( ) Q qua A B C , , có dạng x y z 1

a b c + + = (phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn)

Bài 23. Lập phương trình mặt phẳng ( ) P qua điểm M ( − − 4; 9;12 ) , A ( 2;0;0 ) và cắt tia Oy, Oz lần

lượt tại B, C sao cho OB = + 1 OC (B, C không trùng gốc O)

Lời giải

Tác giả: Hoàng Dũng; Fb: Hoang Dung

Gọi B b ( 0; ;0 ) , C ( 0;0; c ) (b > 0; c > 0 do mặt phẳng ( ) P cắt tia Oy, Oz lần lượt tại B, C )

Khi đó phương trình mặt phẳng ( ) : 1

2

x y z P

1

b c

b c

Bài 24. Cho hai điểm A ( 2;0;1 ) , B ( 0; 2;3 − ) và mặt phẳng ( ) P :2 x y z − − + = 4 0 Tìm tọa độ điểm M

thuộc ( ) P sao cho MA MB = = 3

Lời giải

Tác giả: Hoàng Dũng; Fb: Hoang Dung

Gọi M ( x; ; y z ) , điểm M thuộc ( ) P sao cho MA MB = = 3

Câu 25 (D2013) Cho điểm A ( − 1;3; 2 − ) và mặt phẳng ( ) P x : − − + = 2 y 2 5 0 z Tính khoảng cách từ A

đến ( ) P Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với ( ) P .

1 2 3

x y z

AM = = −

−

Bài 27 (B008) Cho ba điểmA (0;1;2), B (2; 2;1) − , C ( 2;0;1) −

a Viết phương trình mặt phẳng đi qua A B C , ,

b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng2 2 x + + − = y z 3 0 sao cho MA MB MC = =

,

Mặt phẳng đi qua A B C , , có vectơ pháp tuyến là n r = ( 2;4; 8 − ) hay u r = ( 1;2; 4 − )

Suy ra phương trình mặt phẳng ( ABC ) là 1( 0) 2( 1) 4( 2) 0 x − + y − − z − = hay

Bài 28. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua điểm M (1; 2;4) − sao cho ( ) P cắt 3 trục Ox Oy Oz , , lần

lượt tại A B C , , sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC

Lời giải

Tác giả: Lưu Thị Liên; Fb: LưuLiên

Gọi A a ( ;0;0 ) , B b ( 0; ;0 ) , C (0;0; ) c với abc ≠ 0

Phương trình mặt phẳng ( ) P là a b c x y z + + = 1

M là trọng tâm của tam giác ABC suy ra

0 0

13

Câu 29. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua M ( 1;2;3 ) sao cho ( ) P cắt các tia Ox Oy Oz , , lần lượt

tại 3 điểm A B C , , và tứ diện OABC có thể tích lớn nhất

Lời giải

Tác giả: Diệp Tuân; Fb: Tuân Diệp

Giả sử mặt phẳng ( ) P cắt các tia Ox Oy Oz , , lần lượt tại các điểm khác gốc tọa độ là

a b c (1)Thể tích khối tứ diện OABC là:

1 6

⇔ = = = ⇔ = a b = c =

Vậy phương trình ( ) P : 6 3 2 18 0 x y + + − = z .

Bài 30. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M ( ) 1;1;1 sao cho ( ) P cắt các trục Ox Oy Oz , ,

lần lượt tại ba điểm phân biệt A B C , , sao choM là trực tâm của tam giác ABC

Lời giải

Tác giả: Diệp Tuân ; Fb: Tuân Diệp

Giả sử mặt phẳng ( ) P cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là

Ta có:uuuur AM = − ( 1 ;1;1 , a ) uuur BC = − ( 0; ; , b c BM ) uuuur = ( 1;1 ;1 , − b ) CA a uuur = ( ;0; − c )

Điểm M là trực tâm tam giác ∆ ABC khi và chỉ khi

( )

0 0

Bài 32. Cho các điểm A ( 1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ) ( B b ) ( C c ), trong đó b c , dương và mặt phẳng

( ) P y z : − + = 1 0 Xác định b và c, biết mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng ( ) P và

khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ABC ) bằng 1 3 .

b c = =

tpt0103@gmail.com,leminh0310@gmail.com

Bài 33. (B2009) Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A ( ) 1;2;1 , B ( − 2;1;3 ) , C ( 2; 1;1 − ) , D ( 0;3;1 ) Viết

phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A B , sao cho khoảng cách từ C đến ( ) P bằng khoảng

cách từ D đến ( ) P .

Lời giải

Tác giả: Lê Minh; Fb: Lê Minh

Giả sử ( ) P có véc tơ pháp tuyến n a b c r = ( ; ; ) ( a b c2+ + ≠2 2 0 ) .

a b

Tác giả: Lê Minh; Fb: Lê Minh

Giả sử ( ) P có véc tơ pháp tuyến n a b c r = ( ; ; ) ( a b c2+ + ≠2 2 0 ) uuur AB = − ( 2; 2;0 ) .

Mặt phẳng ( ) yOz có véc tơ pháp tuyến là i r = ( 1;0;0 ).

Vì mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm A B , nên n AB r uuur = ⇔ 0 2 2 a b − = ⇔ = 0 a b ( ) 1 .

1

c a

Bài 35. Cho điểm A ( 0;0;1 , 3;0;0 ) ( B ) Lập phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm A B , và tạo

với mặt phẳng ( ) Oxy góc 600

Lời giải

Tác giả: Lương Thị Hương Liễu; Fb: Lương Hương Liễu.

Mặt phẳng ( ) Oxy z : = 0 có véc tơ pháp tuyến n r = ( 0;0;1 )

Mặt phẳng ( ) P đi qua A ( 0;0;1 ) có véc tơ pháp tuyến v r = ( a; ;c b ) nên có dạng:

Bài 36. Cho hai mặt phẳng ( ) P x y z : + + − = 3 0và ( ) Q x y z : − + − = 1 0 Viết phương trình mặt

phẳng ( ) R vuông góc với ( ) P và ( ) Q sao cho khoảng cách từ Ođến ( ) R bằng 2.

Lời giải

Tác giả: Lương Thị Hương Liễu; Fb: Lương Hương Liễu.

Mặt phẳng ( ) P có véc tơ pháp tuyến n uurP = ( ) 1;1;1 .

Mặt phẳng ( ) Q có véc tơ pháp tuyến n uurQ = − ( 1; 1;1 ) .

Gọi n uurRlà véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) R , khi đó:

Câu 37. Cho ba điểm A ( − 1;1;0 , 0;0; 2 , 1;1;1 ) ( B − ) ( ) C Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A B ,

sao cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ) P bằng 3

Lời giải

Tác giả: Võ Tự Lực; Fb: Tự Lực

Gọi n a b c r = ( ; ; ) (đk a b c2 + + >2 2 0) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P .

Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm A ( − 1;1;0 ) và có vecto pháp tuyến n a b c r = ( ; ; )là

a x + + b y − + = ⇔ + + + − = cz ax by cz a b

Điểm B ( 0;0; 2 − ) thuộc mặt phẳng ( ) P nên − + − = ⇔ = − 2 c a b 0 b a 2 2 c ( )

Khoảng cách từ điểm C ( ) 1;1;1 đến mặt phẳng ( ) P bằng 3 nên

a c

a c

Vậy có hai phương trình mặt phẳng ( ) P cần tìm là ( ) P x y z1 : − + + = 2 0 và

( ) P2 :7 x + + + = 5 y z 2 0

Câu 38. Cho đường thẳng

1 :

1 1 4

x y z

d = = −

và điểm A ( 0;3; 2 − ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi

qua điểm A song song với đường thẳng d và khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng( ) P bằng 3.

Lời giải

Tác giả: Võ Tự Lực; Fb: Tự Lực

Gọi n a b c r = ( ; ; ) (đk a b c2 + + >2 2 0) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P .

Phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm A ( 0;3; 2 − ) và có vecto pháp tuyến n a b c r = ( ; ; ) là

3 2 0

ax by cz b c + + − + =

1 :

c b

c b

Bài 39. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua 2 điểm A ( 0; 1;2 − ) , B ( 1; 1;3 − ) sao cho khoảng cách

từ điểm M ( 0;3; 1 − ) đến ( ) P đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)

, uuuur AM = ( 0;4; 3 − ) , n r =   uuur uuuur AB AM ,   = − ( 4;3;4 )

Mặt phẳng ( ) P đi qua điểm A ( 0; 1;2 − ) và nhận n r = − ( 4;3;4 ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: − 4 ( ) ( ) ( ) x − + 0 3 y + + 1 4 z − = ⇔ − + + − = 2 0 4 3 x y 4 5 0 z .

TH2: Khoảng cách từ M đến ( ) P đạt giá trị lớn nhất.

Gọi H K ; lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng AB và trên mặt phẳng ( ) P

Ta có mp ( ) P chứa A B ; nên MK MH ≤ Do đó khoảng cách từ M đến mp ( ) P lớn nhất khi

K trùng H, hay ( ) P là mp đi qua 2 điểm A B ; và nhận MH uuuur

làm vectơ pháp tuyến

Gọi ( ) Q là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng AB

Khi đó mặt phẳng ( ) Q đi qua điểm M ( 0;3; 1 − ) và nhận uuur AB = ( ) 1;0;1 làm vectơ pháp tuyến

nên có phương trình: ( x − + 0 0 ) ( y − + + = ⇔ + + = 3 ) ( ) z 1 0 x z 1 0