Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
0,95 MB
Nội dung
Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC VẤN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THAM SỐ Các phương pháp dùng đến gồm: Phương pháp Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp ép tích Phương pháp đánh giá Email: smallduck01@gmail.com Email: vanphu.mc@gmail.com Câu y − 3x + + y + x + = Biết hệ phương trình: y + − x − = x − − y với x, y ∈ ¡ có hai nghiệm ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) Tính S = 3x1 + y2 27 A 32 27 + 17 C 32 13 B 33 + 17 D 32 Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Bích,Tên FB: Bich Nguyen Chọn B y − 3x + ≥ y + 5x + ≥ x≥ y≥− Điều kiện xác định : Ta có: y − 3x + − y + x + = y − 3x + − y − x − − 8x = = −2x y − 3x + + y + 5x + y − x + + y + x + = ⇒ y − 3x + = − x y − x + − y + x + = − x thu hệ x ≤ ⇔ y = x − x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta ≤ x≤ ) x − 5x + − x − + x − x + = (điều kiện ⇔ ( ) x − x + − ( x + 1) + (2 x − x − 2) + x − x + = 1 ⇔ x2 − x + + + 1÷ = x − x + + ( x + 1) x + x − ÷ ( ) Trang 1/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC 1 + +1> ≤ x≤ 2 x + x − Do nên x − x + + ( x + 1) Suy Với Với ± 17 (TM) x2 − x + = ⇔ x = x= + 17 + 17 ⇒ y= 32 (TM) x= − 17 − 17 ⇒ y= 32 (TM) + 17 + 17 ; ÷ 32 ÷ Hệ phương trình có hai nghiệm 13 S = x1 + y2 = Vậy Câu − 17 − 17 ; ÷ 32 ÷ y − x3 + 3x = y − 16 y + x + 11 Hệ phương trình ( y + 2) x + + ( x + 9) y − x + + x + y + = có nghiệm thực? C B A D Lời giải Tác giả:Nguyễn Văn Phu,Tên FB: Nguyễn Văn Phu Chọn A x ≥ −4 (*) ĐK y − x + ≥ Cách ( Lớp 10) PT thứ tương đương với ( y − 2)3 + 4( y − 2) = ( x − 1)3 + 4( x − 1) (1) ⇔ ( y − x − 1)[ ( y − 2)2 + ( y − 2)( x − 1) + ( x − 1)2 + 4] = ⇔ y = x + 1444442444443 ≥0 Cách ( Lớp 12) Xét hàm số Suy hàm số f (t ) f (t ) = t + 4t ⇒ f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ đồng biến ¡ PT (1) có dạng f ( y − 2) = f ( x − 1) ⇔ y − = x − ⇔ y = x + Thay vào phương trình thứ hai ta được: ( x + 3) x + + ( x + 9) x + 11 + x + x + 10 = ⇔ ( x + 3)( x + − 3) + ( x + 9)( x + 11 − 4) + x + x − 35 = Trang 2/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC ⇔ ( x − 5)[ x+3 x+9 + + ( x + 7)] = x + + x + 11 + 4 4 44 4 4 43 x+3 x+9 ⇔ ( x − 5)[ ( + 1) + + ( x + 6)] = ⇔ x = x + + x + 11 + 4 4 4 44 4 4 4 43 > 0,∀x ≥−4 Với x = ⇒ y = (t/m đk (*) Vậy HPT có cặp nghiệm ( x0 ; y0 ) = (5;6) Email: lyvanxuan@gmail.com Câu Số giá trị nguyên tham số A m x + + y + = m để hệ phương trình x + y = m + có nghiệm : B C D Lời giải Tác giả:Mai Ngọc Thi,Tên FB: Mai Ngọc Thi Chọn B Điều kiện : x ≥ − ; y ≥ − u = x + Đặt v = y + , u ,v ≥ ta có hệ phương trình u + v = m u + v = m ⇔ ⇔ 2 u + v − = 2m + ( u + v ) − 2uv = m + u + v = m m − 2m − uv = S = m S = u + v m2 − 2m − P= Đặt P = uv , S ≥ P ta có hệ m ≥ m − 2m − S ≥ ⇔ ≥0 m ≥ P ≥ m2 − 2m − ⇔ 2 m ≥ Theo yêu cầu toán : S ≥ P m − 4m − ≤ ⇔ ≤ m ≤ + 10 Vậy ta có ≤ m ≤ + 10 m∈ ¢⇒ m∈ { 3,4,5} Email: nguyenthiphuong315@gmail.com Câu Hệ phương trình sau có nghiệm Trang 3/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC x3 − y + 3x + x − y + = ( x + 1) y + + ( x + ) y + = x − x + 12 y A B ( 1) ( 2) D C Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Phượng,Tên FB:Nguyễn Thị Phượng Chọn B Lớp 10 Phương trình ( x + 1) ( 1) hệ tương đương với + ( x + 1) = y + y ⇔ ( x + − y ) ( x + 1) + ( x + 1) y + y + 3 = x + 1− y = ⇔ ⇔ 2 ( x + 1) + ( x + 1) y + y + = x+1= y 2 x + ( + y) x + y + y + = ⇔ y = x + ( phương trình vơ nghiệm có ∆ = ( + y ) − ( y + y + ) = − y − 12 < 0, ∀ y ) Thế vào pt ( x + 1) ( 2) hệ ta được: x + + ( x + ) x + = x + x + 12 ⇔ ( x + 1) ( ) x + − + ( x + 6) ( ) x + − = x2 + x − x+ x+1 ⇔ ( x − 2) + ÷ = ( x − 2) ( x + 4) x+ + x+ + 3 x − = ⇔ x +1 x+6 + = x+4 x + + x+7 +3 x = ⇔ − ( x + 2) ( x+2 x+2+ ) − ( x + 6) ( x + +1 x+7 +3 ) − =0 x+2+2 Phương trình vô nghiệm vế trái âm Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = Lớp 12 Phương trình ( x + 1) ( 1) hệ tương đương với + ( x + 1) = y + y Trang 4/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC Xét hàm số f ( t ) = t + 3t f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀ t Suy phương trình Thế vào pt ( x + 1) ( 2) ¡ ¡ nên hàm số đồng biến ( 1) ⇔ x + 1= y hệ ta được: x + + ( x + ) x + = x + x + 12 ⇔ ( x + 1) ( ) x + − + ( x + 6) ( ) x + − = x2 + x − x+ x+1 ⇔ ( x − 2) + ÷ = ( x − 2) ( x + 4) x+ + x+ + 3 x − = ⇔ x +1 x+6 + = x+4 x + + x+7 +3 x = ⇔ − ( x + 2) ( x+2 x+2+ ) − ( x + 6) ( x + +1 x+7 +3 ) − =0 x+2+2 Phương trình vô nghiệm vế trái âm Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = ( dùng máy tính để chứng minh phương trình vơ nghiệm) Email: dactuandhsp@gmail.com Câu x x + y + y = x + x + x ( 1) a c x + y + x − + y ( x − 1) = ( ) ( x, y ∈ ¡ ) ; ÷, Biết hệ phương trình có nghiệm b d với a c a+ c b d phân số tối giản Tính b + d 25 A 16 25 B C 25 D Lời giải Tác giả: Nguyễn Đắc Tuấn,Tên FB: Đỗ Đại Học Chọn A x ≥ Điều kiện: y ≥ Trang 5/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC (1) ⇔ x x + y + y = x x + x + x ⇔ x( x + y − x + x) + ( y − x) = ⇔x y− x x +y+ x +x ⇔ y= x (Vì + ( y − x ) = ⇔ ( y − x )( x + y + x + x + x) = x + y + x + x + x > 0, ∀ x ≥ 1; y ≥ 0) Thay vào phương trình (2), ta có: Đặt x + x + x − + x( x − 1) = t = x + x − 1(t ≥ 0) ⇒ t = x − + x( x − 1) t = ( tm ) t + + 2t = ⇔ t + 2t − = ⇔ t = − ( l ) Phương trình trở thành: Với t = 2, ta có: 25 x ≤ ⇔ x( x − 1) = − x ⇔ ⇔ x= 16 x − x = 25 − 20 x + x x−1+ x = 25 25 a + c 2.25 25 ; ÷ = = Vậy hệ có nghiệm là: 16 16 Suy ra: b + d 2.16 16 Phản biện :Với cách hỏi trên, học sinh dễ dàng nhận hệ pt có nghiệm sử dụng máy tính cho kết nhanh khơng cần giải, nên thay đổi câu hỏi : Số nghiệm hệ là… Email: honganh161079@gmail.com Câu 3 (x + y + 2020) + x + y + 2020 = 2 Biết hệ phương trình: x + (y + 2018) + (y + 2016) x + = có hai nghiệm (x1; y1) (x2; y2 ) Khi đó, giá trị biểu thức x1.x2 bằng: A B − C D − Tác giả: Đỗ Thị Hồng Anh,Tên FB: Hong Anh Lời giải Chọn B 3 ( x + y + 2020) + =4 (1) x + y + 2020 2 x + (y + 2018) + (y + 2016) x + = (2) t4 + t3 + = ⇔ =4 Đặt t = x + y + 2020 , phương trình (1) trở thành: Suy t > t t 111 1 t3; ; ; t3 + = t3 + + + ≥ Áp dụng AM-GM cho số dương t t t , ta có: t t t t Trang 6/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC pt (1) ⇔ t3 = ⇔ t = Nên Do đó: x + y + 2020 = 1⇔ y = − x − 2019 t Thay Đặt y = − x − 2019 vào pt (2), ta có: x2 + 3x + 1− (x + 3) x2 + = t = x2 + 1, t ≥ 1, ta có phương trình: t2 − (x + 3)t + 3x = ⇔ t = x ∨ t = t = x ⇔ x2 + = x ⇔ x∈ ∅ t = ⇔ x2 + = ⇔ x2 = ⇔ x = ± 2 Vậy, x1.x2 = − Email: slowrock321@gmail.com Câu 1− y x − + x + y = (1) 1 + − x + y 3 x + x + 20 y − 13 = + ÷ 3x − − y Hệ A B (2) có nghiệm thực? C D.Vô số Lời giải Tác giả: Đỗ Minh ĐăngTên FB: Johnson Do Chọn B 0 ≤ x ≤ + Điều kiện: ≤ y < (1) ⇔ + 1− y x +x= + 1− y 1+ 1− x 1+ 1− ( 1− y ) + Xét hàm số f (t ) = f '(t ) = + Ta có t +t [ 0;1] 1+ 1− t (t + − t ) + 1t− t + > 0, ∀ t ∈ ( 0;1) ( 1+ 1− t ) Suy hàm số đồng biến ( 0;1) f (t ) > f (0) , ∀ t ∈ ( 0;1) Mà f (t ) < f (1) Suy hàm số đồng biến [ 0;1] + Mặt khác f ( x) = f (1 − y ) Suy nghiệm (1) x = − y ⇔ y = − x 1 (2) ⇔ x − 13x + = + ÷ 3 x − + Khi x Trang 7/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC + Với x ∈ ( 0;1] (2) ⇔ x3 − 13x + x = ( x + 1) 3 x − ⇔ ( x − 1) − ( x − x − 1) = ( x + 1) u = x − + Đặt v = 3x − Ta có hệ ( x + 1) ( x − 1) + ( x − x − 1) u − ( x − x − 1) = ( x + 1) v v − ( x − x − 1) = ( x + 1) u Trừ vế theo vế hệ ta được: u = v ( u − v ) ( u + uv + v + x + 1) = ⇔ 2 u + uv + v + x + = (*) + Nhận xét thấy ∆ v = u − 4u − x − = − ( x − 1) − x − = − 12 x + x − < 0, ∀ x ∈ ¡ Suy v VT(*) = u + ÷ + v + x + > 0, ∀ x ∈ ( 0;1] phương trình (*) vơ nghiệm.( Cách 2: Suy 2 (*) vô nghiệm.) x = − (l ) u = v ⇔ x − = x − ⇔ x − 15 x + x + = ⇔ + x = (n ) + Với x = 1⇒ y = + Vậy hệ có nghiệm ( 1;0 ) Cách để giải phương trình (2): Với x ∈ ( 0;1] (2) ⇔ x3 − 13x + x = ( x + 1) 3x − ⇔ x − 10 x + x − = ( x + 1) 3x − + 3x − ⇔ ( x − 1) + ( x + 1) ( x − 1) = ( x + 1) 3 x − + ( x − ) ⇔ ( x − 1) − 3x − ( x − 1) − ( x − 1) 3x − + ( x − 1) − 3 x − = ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) 3x − + VT(*) = ( ) ( ) x − + ( x + 1) = x − + ( x + 1) = (*) ( x − 1) − ( x − 1) 3x − + ( ) 3x2 − + ( x − 1) + ( x + 1) 2 1 VT(*) == ( x − 1) − 3x − + ( x − 1) + ( x + 1) > 0, ∀ x ∈ ( 0;1] Suy (*) vô nghiệm 2 Vậy ( x − 1) − 3x2 − = ( Trở lại giải trên) Email: thienhoang15122007@gmail.com Trang 8/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC Câu x + y − x = 12 − y 2 Giải hệ phương trình x y − x = 12 ta hai nghiệm ( x1 ; y1 ) ( x2 ; y2 ) Tính giá trị biểu thức T = x12 + x22 − y12 = −25 B T A T = C T = 25 D T = 50 Lời giải Tác giả:: Lê Anh Dũng,Tên FB: Dũng Lê Chọn B Điều kiện y2 ≥ x2 Từ phương trình x + y − x = 12 − y ⇒ x + x y − x + y − x = 144 − 24 y + y ⇔ x y − x = 144 − 24 y (1) Thay x y − x = 12 Thay y = vào phương trình x y − x2 = 12 vào phương trình (1) ta được: giải ta Thử lại điều kiện ta tập nghiệm hệ Ta có y = x = x = {(3;5),(4;5)} T = 32 + 42 − 52 = Email: luongthanh80tm@gmail.com Câu Gọi ( x0 ; y0 ) 32 x − x − y + − = y 3 2 với y0 > nghiệm hệ phương trình 48 x − x + 20 y + − 60 = y Gọi m giá trị nhỏ biểu thức đúng? A m Ỵ ( - 1;1) B m Ỵ P = t − x0t + y0 ( - 15;- 12) C m Ỵ với t∈ ¡ ( - 62; - 60) Khẳng định sau D m Î ( - 98;- 95) Lời giải Tác giả:: Nguyễn Lương Thành,Tên FB: Luong Thanh Nguyen Chọn C Điều kiện: x ∈ [ 0;32] 32 x − x − y + − = y 3 2 Ta có: 48 x − x + 20 y + − 60 = y Lấy ( 1) + ( 2) ( 1) ( 2) ta được: Trang 9/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC 32 x − x + 48 x − x3 + 18 y + − 62 = y 3 2 ⇔ 32 x − x + 48 x − x = ( y + 1) − 18 y + + 59 32 x − x + 48x − x3 = ⇔ ( ) y + − + 32 ( I ) Vì: 32 x − x = x ( 32 − x ) ≤ + + x + 32 − x = 16 48 x − x3 = x.x ( 48 − x ) ≤ nên: VT ( I ) ≤ 32 Mặt khác: ( x + x + 48 − x = 16 dấu “=” xảy ) y + − + 32 ≥ 32 x = 16 nên VP ( I ) ≥ 32 dấu xảy y2 + = x = 16 Do đó: x = 16 ⇔ 2 y + = y = ( I ) ⇔ Thay vào phương trình Suy ( 1) x0 = 16, y0 = 2 ta thấy thỏa mãn P = t − 16t + 2 = ( t − ) − 64 + 2 ≥ − 64 + 2 ⇒ m = − 64 + 2 Vậy m∈ ( − 62; − 60 ) * Cách khác: 32 x − x = a − 2a + ( 1) 3 2 Đặt a = y + ≥ Khi hệ phương trình trở thành: 48 x − x = 2a − 20a + 58 ( ) ( 1) ⇔ a − 2a + = x ( 32 − x ) ≤ x + 32 − x = 16 ⇔ a ∈ [ − 5;3] ( ) ⇔ 2a − 20a + 58 = x.x ( 48 − x ) ≤ a = ⇒ Suy ra: x = 16 Do đó: x + x + 48 − x = 16 ⇔ a ∈ [ 3;7 ] x = 16 y = 2 x0 = 16, y0 = 2 P = t − 16t + 2 = ( t − 8) − 64 + 2 ≥ − 64 + 2 Trang 10/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC ⇒ m = − 64 + 2 Vậy m∈ ( − 62; − 60 ) Email: diephd02@gmail.com xy − y + x + y = Câu 10 Giả sử ( x; y ) nghiệm hệ phương trình 5− x + 1− y = Khi giá trị biểu thức P = y x + − x y + − xy + 2x A ( − 17; − 15) thuộc khoảng đây? B (− 3; − 1) C (4;6) D (18;20) Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc DiệpTên FB: Nguyễn Ngọc Diệp Chọn C Điều kiện hpt: x ≤ 5, y ≤ 1, xy − y ≥ Xét trường hợp: x < ⇔ TH1 : Nếu y < Khí đó: 1 − x > − y > xy − y + x + y = ⇔ − x − xy − y − y = − ⇔ 1− x − (− y)(1− x) + (− y) = − ⇔ ( 1− x − − y) = − < ⇒ x ≥ ⇔ TH : Nếu y ≥ Hệ pt cho vô nghiệm x −1≥ y ≥ Khí đó: ( x − + y)2 = ⇔ ⇔ − x + − y = xy − y + x + y = ⇔ 5− x + 1− y = (x − 1) + (x − 1)y + y = 5− x + 1− y = x − + y = 5− x + 1− y = x − = − y x = 5− y + y ⇔ ⇒ ⇒ 1− y + y = 1⇔ y − y2 = − 3y 5− x = 1− 1− y − x = − 3− 1− y − y − 3y ≥ ⇔ ⇔ y= 2 16(y− y ) = 9y Với y = ⇒ x = Thử lại với x = 5, y = vào hpt cho thấy thõa mãn x = 5, y = ⇒ P = Chọn câu C Email: Ngkhanh4283@gmail.com Ý kiến phản biện: giải dài, ta để ý bình phương phương trình thứ hai hệ ta có biểu thức phương trình thứ nhất, nên ta biến đổi 5− x + 1− y = ⇔ ( ) 5− x + 1− y = 1⇔ 5− x − y + (5− x)(1− y) = Trang 11/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC xy = y ⇔ xy − y + (5− x)(1− y) = ⇔ ⇔ (5 − x )(1 − y ) = x = 5; y = x = y = 1(loai ) x + + ( x + 1) ( y − ) + x + = y + y − ( x, y ∈ ¡ ) ( x − ) ( y + 1) = ( y − 2) x + − Câu 11 Biết hệ phương trình x − x + có hai ( nghiệm ( x1; y1 ) ,( x2; y2 ) với x1 < x2 Biểu diễn nguyêndương, b số nguyên tố Khi đó, B 36 A 42 ) x2 + y1 = a+ b c a + b+ c = ? C 41 a,c số D 48 Lời giải Tác giả: Ngô Gia Khánh,Tên FB: Khánh Ngô Gia x + + ( x + 1) ( y − ) + x + = y + y − ( x − ) ( y + 1) = ( y − 2) x + − x − 4x + ( Điều kiện ) (1) (2) x ≥ −1; y ≥ x + = u; y − = v ( u, v ≥ ) , (1) trở thành: Đặt u + uv + u − + = ( v + ) + v ⇔ u − v + uv − v + u − v = ⇔ ( u − v ) ( + 2u + v ) = ⇔ u= v (do u, v ≥ ⇒ + 2u + v > ) ⇒ x+1= y− ⇔ y = x+ Thế vào (2) ta được: ( x − 8) ( x + ) x2 − 4x + = ( x + 1) ( ) x+1− ⇔ ( x − 8) ( x + ) ( x + 1) ( x − ) x2 − 4x + = x+1+ x = ⇔ x+4 x +1 = ( 3) x +1 + x − x + + x = ⇒ y = 11 ( thỏa mãn điều kiện) + ( 3) ⇔ ( ⇔ ( ) x + + ( x + ) = ( x + 1) ( x − x + ) )( x+1+ ) x + + 3 = ( x − ) + 3 ( x − ) + 3 (4) Trang 12/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC Xét hàm số Có f ( t ) = ( t + 3) ( t + 3) f ' ( t ) = ( t + 1) ≥ ∀t ∈ ¡ Do ( 4) ⇔ f ( t∈ ¡ với nên f ( t) đồng biến ¡ x ≥ x + = f ( x − 2) ⇔ x + = x − ⇔ x + = x − 4x + ) x ≥ + 13 ⇔ ⇔ x= ( thỏa mãn điều kiện) x − 5x + = + 13 11 + 13 ; ÷ x ; y 8;11 2 ÷ ( ) ( ) Hệ cho có nghiệm Theo giả thiết x2 = 8; y1 = 11+ 13 27+ 13 ⇒ x2 + y1 = Chọn A 2 Email: hmtuonguqn@gmail.com Câu 12 Gọi ( x0 ; y0 ) = (a + b c ; d + e c ) (với c số nguyên tố) nghiệm hệ phương trình x + y + x( y + 1) + y ( x + 1) = y = (1 − x + y )( x + y − y + 2) Tính gía trị biểu thức A P = − 16 P = a + b − e B P = − × (1) (2) C P = −2× D P = Lời giải Tác giả: Hồ Minh TườngTên FB:Hồ Minh Tường Chọn C x + 3y ≥ Điều kiện: y ≥ Ta có (1) x ( x + y ) + y ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y )( x + y + 1) = x2 + y2 + = x = −2 y * Xét x2 + y + = vô nghiệm y y y = (1 − y )( y − y + 2) +2 ÷ = − y − y * Xét x = − y vào (2) ta ( y = khơng nghiệm) Trang 13/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC y − y = − y − y + = (vn) y = − − (vn) y = 1 − y y = − + => y0 = − → x0 = − → P = − Chọn C Email:Lehoayenphong1@gmail.com Câu 13 Cho hệ phương trình ( x + y ) x − y + = x + y + ( 1) ( x − y ) x − y + = ( x + y + 1) x + y − ( ) Biết hệ có nghiệm A ( x0 ; y0 ) tổng x0 + y0 C B D Fb: Lê hoA Lời giải Chon C x − y + ≥ ⇔ x + y − ≥ Điều kiện: x ≥ y − ( *) x + y ≥ Ta có ( 1) ⇔ ( x + y ) ( ) x − y + − = −x + y + ⇔ ( x + y ) x− y−2 = − ( x − y − 2) x− y+2+2 x+ y ⇔ ( x − y − ) + 1÷ ÷= x − y + + ⇔ x = y + (do x+ y + > ∀x, y x− y+2+2 Thay vào (2) ta : = ( y + 3) thoả mãn (*)) y Đặt t = y ≥ , ta có = t + 3t ⇔ ( t − 1) ( t + t + ) = ⇔ t = ⇒ y = ⇔ y = ⇒ x = 2 1 ; ÷ Vậy hệ có nghiệm 2 Ta có x0 + y0 = suy chọn C Email: diephd02@gmail.com Câu 14 ( xóa trùng bài) Câu 15 ( xóa trùng bài) Email: thanhdungtoan6@gmail.com Trang 14/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC Câu 16 Biết hệ + x1 + + x2 + L + + x2018 = 2018.2019 − x1 + − x2 + L + − x2018 = 2017.2018 a1 a2 a2018 ; ; ; ÷ b1 b2 b2018 với S= a a1 a2 + + L + 2018 b1 b2 b2018 ? A S = B S , i = 1, 2018 bi = phân C S = 2018 số có tối D S nghiệm giản Tính tổng = 2019 Lời giải Tác giả:: Nguyễn Thanh Dũng,Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng Chọn B Điều kiện − ≤ xi ≤ 1, i = 1,2018 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2018.2019 = ( + x1 + + x2 + L + + x2018 ) ≤ ( + + L + 1) ( + x1 + + x2 + L + + x2018 ) +) ⇔ 2018.2019 ≤ 2018 ( 2018 + x1 + x2 + L + x2018 ) ⇔ x1 + x2 + L + x2018 ≥ (1) Đẳng thức xảy 2017.2018 = ( + x1 = + x2 = L = + x2018 ⇔ x1 = x2 = L = x2018 − x1 + − x2 + L + − x2018 ) ≤ ( + + L + 1) ( − x1 + − x2 + L + − x2018 ) +) ⇔ 2017.2018 ≤ 2018 2018 − ( x1 + x2 + L + x2018 ) ⇔ x1 + x2 + L + x2018 ≤ (2) Đẳng thức xảy Từ (1) (2) cho ta − x1 = − x2 = L = − x2018 ⇔ x1 = x2 = L = x2018 x1 + x2 + L + x2018 = Do hệ cho tương đương với hệ sau x1 + x2 + L + x2018 = 1 ⇔ x1 = x2 = L = x2018 = 2018 x1 = x2 = L = x2018 Vậy S = Ý kiến phản biện: Với câu hỏi không thiết phải giải bước cuối tìm nghiệm mặt khác chương trình lớp 10 khơng trình bày BĐT Bunhia tổng qt GV: PHẠM HỮU ĐẢO - FB: Hữu Hữu Đảo Trang 15/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC )( ( Câu 17 Cho hệ phương trình: ) x + x + y + y + = (1) x − x − = − y (2) có cặp nghiệm ( x1; y1 ) ( x2 ; y2 ) Tính T = x1 + x2 + y1 + y2 A C T= 12 + − 41 T= 12 − − 41 LG:ĐK y ≤ ( x+ )( B D ) x2 + y + y + = ⇔ x + x2 + = ⇔ x + x2 + = y2 +1 − y ( y2 +1 + y ⇔ x + x + = ( −2 y ) + )( ( −2 y ) y2 +1 − y T= 12 + + 41 T= 12 − + 41 y + y2 + ) +1 Đặt: t=-2y Ta ⇔ x + x2 + = t + t + CáCh 1: (Lớp 10) x + x2 + = t + t + ⇔ ( x − t ) + ( ) x2 + − t + = x2 − t x+t ⇔ ( x −t) + = ⇔ ( x − t ) 1 + =0 ÷ 2 x2 + + t + x +1 + t +1 ( x + + x) + ( t + + t ) ⇔ ( x −t) =0 x2 + + t + ⇔ x=t ( x + > x ≥ x ∀ x ∈ R ⇒ x + + x > 0; TT : t + + t > 0) x = t ⇔ x = − 2y CáCh 2: (Lớp 12) x + x + = t + t + ⇔ f ( x) = f (t ) Xét hàm số: f(z)= z + f '(z)= 1+ đó: z z2 + = z2 + z2 + + z z2 + > ∀z ∈ R Suy hàm số f(z) đồng biến R f ( x) = f (t ) ⇔ x = t ⇔ x = − y Trang 16/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC Thay: y=− x vào pt(2) ta x2 − 6x − = x + (*) CáCh 1: Casio dùng shift solve lần nhẩm nghiệm gán vào biến, Tính y theo x CáCh 2: x2 − 6x − = x + (*) ⇔ ( x − 5x − 4) − ( x − 2) + x + = Xét: để nhân liên hợp x ≥ ( x − 2) − x + = ⇔ x + = x − ⇔ ⇔ x + = x − ( ) x ≥ + 41 ⇔ x= 2 x − 5x − = Thử vào phương trình (*) khơng thỏa mãn Xét: ( x − 2) − x + ≠ ⇔ x ≠ + 41 trình (*) ( x − 2) + x + ( x − 2) − x + =0 ⇔ ( x − x − 4) − ( x − 2) − x + x2 − 5x − ⇔ ( x − x − 4) − =0 ( x − 2) − x + ⇔ ( x − x − 4) 1 − =0 ( x − 2) − x + x − 3− x + ⇔ ( x − x − 4) =0 ( x − 2) − x + − 41 − 41 + 41 x = ⇒ y = − ( loai x = ) 1 x − 5x − = ⇔ ⇔ 7+3 7+3 x − − x + = ⇒ y2 = − x2 = T= 12 + − 41 chọn đáp án A Ý kiến phản biện: Các trình bày q dài, trình bày liên hợp ngược cho đơn giản ⇔ ( x − 5x − 4) − ( x − 2) + x + = ⇔ ( x − 2)2 − ( x + 8) − ( x − 2) + x + = x+8 = 2− x ⇔ x + = x − ………… Họ tên: Nguyễn Thị Tuyết Nga Email: nAmlongkontum@gmAil.Com FB: nguyennga Trang 17/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC x + y − xy = 2 Câu 18 Tìm số nghiệm hệ phương trình x + + y + = A B C D Lời giải ĐK xy ≥ , ta thấy từ pt thứ ⇒ x + y > , x ≥ 0, y ≥ Từ ta đặt u = x ≥ 0, v = y ≥ thay vào hệ ta u + v − uv = ⇔ 4 u + + v + = ( u + v ) = + 3uv u + v + + 3u + 3v + u v + = 16 ( u + v ) = + 3uv ⇔ 2 2 ( u + v ) − 2uv − 2u 2v + u v + ( u + v ) − 2uv − 6u v + = 10 ( Đặt t = uv ⇒ ≤ t ≤ (vì + 3uv = u + v hệ vào phương trình thứ hai ta ) ≥ 4uv ⇒ uv ≤ ) Thế từ phương trình thứ ( ) ( t − 3t + 6t + 12 = t − 2t + 2 t − 3t + 6t + 12 = t − 2t + ⇔ t − 2t + ≥ ( ) ) ⇔ 3t + 4t − 34t + 60t − 33 = ⇔ ( t − 1) 3t + 7t − 27t + 33 = u + v = ⇔ ta có uv = u = ⇔ v = x = y =1 +) Nếu t = ⇔ uv = +) Nếu 3t + 7t − 27t + 33 = ⇔ 3t + 7t + + 27 ( − t ) = Kết luận nghiệm hệ vơ lí ≤ t ≤1 ( x; y ) = ( 1;1) Câu 19 ( xóa trùng bài) Họ tên: Đinh Thị Duy Phương Email: DuyphuongDng@gmAil.Com FB : Đinh Thị Duy Phương x 12 − y + y ( 12 − x ) = 12 ( 1) ( 2) Câu 20 Tìm số nghiệm hệ phương trình: x − x − = y − A B C D Lời giải Chọn A Trang 18/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC ( 1) ≤ y ≤ 12 ⇒ 12 − y 12 − x ≥ ⇒ x≥ ( ) Điều kiện: ≤ 12 − x ≤ 12 Khi ( 1) ⇔ 12 ( x + y ) − x y + x y 144 − 12 ( x + y ) + x y = 144 x + y = u Đặt x y = v Ta có: 12u − 2v + v ( 144 − 12u + v ) = 144 ⇔ v ( 144 − 12u + v ) = 72 − 6u + v ⇔ 144v − 12uv + v = 722 + 36u + v − 72.12u − 12uv + 144v với 72 − 6u + v ≥ ( * ) ⇔ 36u − 72.12u + 722 = ⇔ u − 24u + 144 = ⇔ u = 12 (thỏa (*)) Khi y = 12 − x ( ) ⇔ x3 − x − = 10 − x ⇔ ( x − 3) ( x + x + 1) = ( ) 10 − x − − x2 ⇔ ( x − 3) ( x + x + 1) = ÷ 10 − x + ( x + 3) ⇔ ( x − 3) x + x + + =0 10 − x + x = ⇔ 2 ( x + 3) x + 3x + + = ( VN x ≥ ) 10 − x + Vậy nghiệm hệ phương trình ( 3;3) Ý kiến phản biện: Phương trình (1) dùng đánh giá cho gọn x + 12 − y y + 12 − x 12 = x 12 − y + y ( 12 − x ) ≤ + = 12 ⇒ y = 12 − x 2 2 Email: haviethoa@gmail.com Câu 21 Cho Parabol ( P) : y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Trang 19/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC f ( + y ) = f ( − x ) a x° + y° = , x , y ( ) x + y = x + y Biết ° ° nghiệm hệ phương trình b a a Â; b Ơ * ; b ti gin Giá trị biểu thức P = a + b A P = B P = C P = D P = Lời giải Tác giả: Hà Việt Hòa,Tên FB: Ha Viet Hoa Chọn C f ( + y ) = f ( − x ) ( 1) + x + y = x + y ( ) x + y ≥ ( *) 2x + 3y = 2x + y ⇔ 2 x + y = x + xy + y ( 3) + ( 3) ⇔ x2 + ( y − 1) x + y − y = phương trình có nghiệm x ∆ 1′ = y − y + − y + 12 y ≥ ⇔ + y ≥ ⇔ + y ≥ + ( 3) ⇔ y + ( x − 3) y + x − x = phương trình có nghiệm y ∆ = 16 x − 24 x + − 16 x + x ≥ ⇔ − 16 x + ≥ ⇔ − x ≥ 1 1 ; +∞ ÷ ; +∞ ÷ + Xét hàm số y = f ( t ) hàm số liên tục đồng biến ⇒ f ( + y ) = f ( − 8x ) ⇔ y = − x ( 2) ⇔ − x = ⇔ x = ⇒ y = ( TM *) ⇒ a + b = Ý kiến phản biện: Bài giải phức tạp, giải toán ngắn gọn cách sử dụng tính đối xứng (P) Trang 20/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC 1 + y = − 8x ⇔ Ta có: f ( + y ) = f ( − x ) 1 + y = − + 8x ….Sử dụng phương pháp giải hệ bình thường Câu 22 ( xóa trùng bài) Email: nhung.gvtoan@gmail.com x + x − + y ( x − 5) = y + y Câu 23 Cho hệ phương trình x + y ( x − 4) = x − Biết hệ có nghiệm phân biệt A B = ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) Tính giá trị biểu thức B = x1 + x2 + y1 + y2 B B = C B = D B = Lời giải Tác giả : Nguyễn Thị Hồng Nhung.,Tên FB: Hongnhung Nguyen Chọn B x ≥ 1; y ≥ ĐK: x + x − + y ( x − 5) = y + y x − y + x − + y ( x − 5) = y ⇔ Ta có x + y ( x − 4) = x − x + y ( x − 4) = x − x − ( y + 1) = y − x − ⇔ x + y ( x − 4) = x − Nhận xét ( x; y ) = ( 1;0 ) ⇔ x − y − = (vì Thay Đặt khơng nghiệm nên: x + y + 1+ y + x−1 ( 1) ⇔ ( x − y − 1)( x + y + + >0 y + x−1 )=0 ) y = x − vào (2), ta được: x − x + = x − t = x − 1, (t ≥ 0) Ta có: ( 1) ( 2) 2t − 5t − 2t + = ⇔ (t + 1) (2t − 4t + 1) = ⇔ 2t − 4t + = B = x1 + x2 + y1 + y2 = ( t12 + 1) + ( t2 + 1) + t12 + t2 = ( t1 + t2 ) − 2t1t2 + = Email: slowrock321@gmail.com Câu 24 ( xóa trùng bài) x + y + = 2( xy − x + y) Câu 25 Gọi ( xo ; yo ) nghiệm hệ phương trình x + y + x − 12 = (12 − y ) − x Giá trị biểu thức xo + yo = a + b A.13 B 14 c (a, b, c ∈ Z ) Tính T=a+b+c C 15 D 16 Lời giải Đk: x≤ Trang 21/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC Từ Pt (1) ta có y=x+1 Thay vào phương trình (2) : x + x + 11x − = (11 − x) − x ⇔ ( x + 1)3 + 5( x + 1) = ( − x + 1)3 + 5( − x + 1)(3) a = x + 1; b = − x + , Phương trình ( 3) trở thành Đặt b 3b a + 5a = b3 + 5b ⇔ (a − b) (a + ) + + 5 = ⇔ a = b x ≥ − + 13 ⇔ x +1= 3− x +1⇔ 3− x = x ⇔ ⇔ x= x + x − = Vậy hệ có nghiệm ( xo ; yo ) tổng chúng 13 = + 13 ⇒ a + b + c = 14 Chọn B C2 Có thể dùng hàm đặc trưng từ pt ( 3) C3 Từ phương trình x3 + x + 11x − = (11 − x) − x ⇔ x3 + x + 11x − = [ (3 − x) + 8] − x ⇔ x3 + x + 11x − = t + 8t (t = − x ) ⇔ x3 + x + 11x − + 3(3 − x) = t + 8t + 3t ⇔ x3 + x + x = t + 3t + 8t Từ suy x=t , làm tương tự Email: chthom1982@gmail.com ( x0 ; y0 ) , ( < x0 < 1) Câu 26 Gọi nghiệm hệ phương trình ( ( x + 3) y y − x ( x + x ) = y y − x 2 xy − x x − y + + ( x + 1) ( y + 1) + = 32 y ( 2) Biết A x0 = ) ( 1) a a− b c , ( a, b, c nguyên dương c tối giản ) Tính giá trị biểu thức P = 120 B P = 122 C Lời giải P = 124 P = a+ b+ c D P = 126 ? Tác giả : Chu Thị Thơm,Tên FB: Thom Chu Chọn B x ≥ y ≥ +/ Điều kiện: x − y + ≥ +/ Ta có ( ( 1) ⇔ x y y − x x − y y + xy x + y y − x x = ) ( ) ( ) ⇔ x2 y y − 2x 2x − y y y − 2x 2x + y y − 2x 2x = Trang 22/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC y y − 2x 2x = ⇔ ⇔ y y − x x x − y + = x − y + = ( )( ) +/ Xét y y − x x = ⇔ ( ) ( ) y = ( x + 1) ( x + 1) + = */ x = không nghiệm ( 3) x2 − x + + */ x> 0: x ⇔ y = x vào ( ) 64 x ⇔ x − x + + x + 3x + = x x − x + x + 3x + 6 + = ⇔ x + − + 2x + + = x x x x ( 3) ⇔ t = x + − 2, t ≥ Đặt ta ( ) trở thành t + 2t + = x ( ) ⇒ x0 = [ 0;+ ∞ ) 11 + 109 ∉ ( 0;1) x = ⇔ 11 − 109 x + = 11 ⇔ x − 11x + = x = ∈ ( 0;1) x 11 − 109 ⇒ a = 11, b = 109, c = 2 ⇒ P = a + b + c = 122 */ Xét ( 4) ( 5) Giải cách bình phương vế nhận xét vế trái đồng biến nghiệm t = Với t = ( 3) x2 − y + = ⇔ y = x2 + vào ⇔ ( x + 1) ( x + ) + = 32 ( x + 3) nghiệm ( 2) ( x + 1) ( x + 4) + = 32 ( x + 3) ( x + 1) ( x + ) + ∈ ( 9;15) x ∈ ( 0;1) ⇒ ( ) Với ⇒ ( 6) 32 ( x + 3) ∈ ( 96;128) x ∈ ( 0;1) Vậy P = 122 Chọn B Email: Daothihongxuandhsphnk55b@gmail.com x − x + − − y = y − y + 11 − x − (1) Câu 27 Cho hệ sau: x y + − x = y + (2) Giả sử nghiệm hệ sau ( xi ; yi ); i = 1;2;3 ; n tổng tất hiệu bằng: A B − C Lời giải xi − yi ; i = 1;2;3 ; n D −2 Tác giả : Đào Thị Hồng Xuân,Tên FB: Hông Xuân Chọn C Trang 23/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC 3 − y ≥ x ≥ x −1≥ ⇔ −8 ≤ y ≤ Điều kiện: y + ≥ (2) ⇔ x − x y + + y + = ⇔ ( x − y + 8) = ⇔ x = y + (3) Lớp 12: (1) ⇔ ( x − 1) + + x − = (3 − y ) + + − y Xét hàm f (t ) = t + + t ; t ≥ t f '(t ) = + > 0; ∀ t > t +2 t f (t ) liên tục [0; + ∞ ) Suy hàm f (t ) [0; + ∞ ) f ( x − 1) = f (3 − y ) ⇔ x − = − y ⇔ x + y = ⇔ x = − y y + = 4− y Vì −8≤ y ≤ 3⇒ 4− y > đồng biến Thay vào (3) ta được: bình phương hai vế ta được: y =1 y + = (4 − y )2 ⇔ y − y + = ⇔ y2 = − TH1: y1 = ⇒ x1 = thay vào hệ thỏa mãn TH2: y2 = −8 ⇒ x2 = 12 thay vào hệ không thỏa mãn ( phương trình ( 2) vơ nghiệm) Phương trình có nghiệm nên tổng tất hiệu bằng: x1 − y1 = Lớp 10: (1) ⇔ x − x + − y − y + 11 = − y − x − ⇔ ⇔ x2 − x − y + y − x − x + + y − y + 11 ( x − 1) − (3 − y ) x − x + + y − y + 11 2 = − y − ( x − 1) − y + x −1 − − y − ( x − 1) =0 − y + x −1 (3 − y ) + ( x − 1) ⇔ ( x + y − 4) + =0 − y + x − x − x + + y − y + 11 (3 − y ) + ( x − 1) ⇔ x + y − = + > 0; ∀y ≤ 3, x ≥ − y + x −1 x − x + + y − y + 11 Thay x = 4− y y + = 4− y vào (3) ta được: Vì −8≤ y ≤ 3⇒ 4− y > bình phương hai vế ta được: y =1 y + = (4 − y ) ⇔ y − y + = ⇔ y2 = − TH1: y1 = ⇒ x1 = thay vào hệ thỏa mãn TH2: y2 = −8 ⇒ x2 = 12 thay vào hệ không thỏa mãn ( phương trình ( 2) vơ nghiệm) Trang 24/26 Nhóm : Strong Team Tốn VD-VDC Phương trình có nghiệm nên tổng tất hiệu bằng: Email: lntien.c3lqdon@khanhhoA.edu.vn x1 − y1 = 1 2 + = 2 y2 + x 2( x + y) + x + y 4x + y Câu 28 Giải hệ phương trình: x y − + y x − = x − y − A ( x, y) Khi P = x + y + xy P= 27 + 17 32 Điều kiện: B P= ta nghiệm nhận giá trị 27 + 17 32 P= C Lời giải 27 + 17 16 D P= 27 + 17 16 x ≥ 1; y ≥ Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 4x2 + y + y2 + x ≥ ( 4x + y ) ( y2 + x) Suy 2 2( x + y) + x + y 2 ( 4x + y ) ( y2 + x ) 2 + y ) ( y + x ) ≥ ( x + y ) + x + y ⇔ ( 4x + y ) ( y + x ) ≥ 2 ( x + y ) + x + y ⇔ 16 x y + ( x3 + y ) + xy ≥ ( x + y ) + ( x + y ) + ( x + y ) 1 ⇔ ( x − y ) + x + y + xy − ( x + y ) ≤ 4 1 2 ⇔ ( x − y ) ( x + y ) − ( x + y ) + xy + ≤ ⇒ x = y 4 ⇔2 ( 4x ≥ ( x + y) (Vì x ≥ 1; y ≥ nên Thay 1 − ( x + y ) + xy + ≥ ( x + y ) − ( x + y ) + + > 4 ) x = y vào phương trình (2) ta x x − = x3 − x − ⇔ x ( x − 1) = x − x − ⇔ x − x − = ⇔ x = ± 17 + 17 + 17 ; ÷ 8 Vậy hệ có nghiệm Trang 25/26 Nhóm : Strong Team Toán VD-VDC Email: tranquocthep@gmail.com 2x − y −1 y − y = y −1 2 3 Câu 29 Biết hệ phương trình y + x − ( x + y ) + = với x∈ ¡ , y∈ ¡ có nghiệm ( x1; y1 ) ( x2 ; y2 ) Tính P = x12 + y22 A P= B P = C P= 6+ D P= Lời giải Tác giả: Trần Quốc Thép,Tên FB: Thép Trần Quốc Chọn B Điều kiện y ≠ Với điều kiện hệ phương trình tương đương với: y − y − y + y = x − y − ⇔ 3 2 y + x − x − y + = y − y + y − x + = ⇔ 3 2 y + x − x − y + = Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta có y − y + y − x + = 0(1) x − x − y + x + = 0(2) ( y − x ) ( y + yx + x − y − x + ) = 1 2 y + x ) + ( y − 2) + ( x − 2) ≥ ( Vì y + yx + x − y − x + = dấu không xảy nên y + yx + x − y − x + >0 với x, y Suy x= y =1 y3 − y2 +1 = ⇔ ± y = y Thay vào (1) ta có Đối chiếu với điều kiện, hệ có nghiệm Khi 1+ 1+ , 2 ( x, y ) = 5 ÷÷; ( x, y ) 1− 1− = , ÷ 2 ÷ P = Trang 26/26 ... [ 0;+ ∞ ) 11 + 10 9 ∉ ( 0 ;1) x = ⇔ 11 − 10 9 x + = 11 ⇔ x − 11 x + = x = ∈ ( 0 ;1) x 11 − 10 9 ⇒ a = 11 , b = 10 9, c = 2 ⇒ P = a + b + c = 12 2 */ Xét ( 4) ( 5) Giải cách bình phương vế nhận... < (1) ⇔ + 1? ?? y x +x= + 1? ?? y 1+ 1? ?? x 1+ 1? ?? ( 1? ?? y ) + Xét hàm số f (t ) = f ''(t ) = + Ta có t +t [ 0 ;1] 1+ 1? ?? t (t + − t ) + 1t− t + > 0, ∀ t ∈ ( 0 ;1) ( 1+ 1? ?? t ) Suy hàm số đồng biến ( 0 ;1) ... x2 018 ) ⇔ x1 + x2 + L + x2 018 ≥ (1) Đẳng thức xảy 2 017 .2 018 = ( + x1 = + x2 = L = + x2 018 ⇔ x1 = x2 = L = x2 018 − x1 + − x2 + L + − x2 018 ) ≤ ( + + L + 1) ( − x1 + − x2 + L + − x2 018 ) +) ⇔ 2 017 .2 018