Vấn đề 1 khối chóp , lăng trụ phần 2

Mail: congnhangiang2009@gmail.com Câu 53 Cho hình hộp chữ nhật điểm ABCD A′ B′C ′D′ có AB = a, AD = a 2, AA′ = a BD′ , mặt phẳng ( P ) qua G cắt tia AD′, CD′, D′B′ Gọi G trung tương ứng ba điểm 1 + + 2 phân biệt H , I , K Tìm giá trị nhỏ biểu thức D'H D'K D'I2 4 T= T= T= T= A B C D 3a a 3a 12a T= Họ tên: Hoàng Nhàn, fb: Hoàng Nhàn Lời giải Chọn C D′H D′I D′K = x, = y, =z Đặt D′A D ′C D′B′ uuuur uuuur uuur uuuur uuuur D′G = D′B = D′A + D′C + D′D ta có 2 2 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur ⇒ D′H = D′D + D′A ′ ′ ′ ′ Ta có D H = xD A = x D D + D A x uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur D′I = yD′C = y D′D + D′C ′ ⇒ y D′I = D′D + D′C ′ uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur D′K = zD′A = z D′A′ + D′C ′ ⇒ D′K = D′A′ + D′C ′ z uuuur uuuur uuur uuuur ⇒ D′G = D′H + D′I + D′K 4x 4y 4z 1 uuur uuuur uuur uuur + + =1 Do DG , DH , DI , DK không đồng phẳng nên x y z D′A D′C D′B ⇒ + + =4 D′H D′I D′K ( ( ( ) ) ) 1   D′A D′C D′B   ⇒ = + + ≤ + + D′A2 + D′C + D′B′2 ) ÷ 2 ÷(  D′H D′I D′K   D′H D′I D′K  16 16 ⇒T≥ = = D′A2 + D′C + D′B′ 12a 3a 2 Email: Tanbaobg@gmail.com Câu 54 Gọi V thể tích khối chóp tứ giác có cạnh bên 4b3 A b3 B b Tìm giá trị lớn V ? 2b3 D b3 C 12 Lời giải Họ tên: Đỗ Tấn Bảo Tên FB: Đỗ Tấn Bảo Chọn A Giả sử hình chóp S.ABCD có O tâm hình vng ABCD Suy Đặt SO ⊥ ( ABCD ) OD = x ⇒ SO = b − x ,0 < x < b VS ABCD = x b − x Do thể tích S.ABCD Đặt t = b − x ,0 < t < b 2 VS ABCD = 2 (3 b − t ) t = 23 f ( t ) với f ( t ) = b2t − t Cách Dùng bất đẳng thức Cosi (Cô Lưu Thêm) 2 2  x + x + 2b2 − x  4b3 V = x2 b2 − x = x (b − x ) ≤ =  ÷ 3  Ta có  4b3 Vmax = Vậy Cách Dùng hàm số Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên VS ABCD 2 2b3 4b3 Vmax = Max f ( t ) = = 3 3 nhỏ (ddvtt) ( 0;b ) Phương án B đốn tam giác SOD vng cân Phương án C đốn góc cạnh bên với đáy Phương án D nhầm lẫn x= 600 b Email: chuviettan@gmail.com Câu 55 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD AB = AD = DC = a ( a > ) Mặt bên SBC phẳng ( α ) qua điểm hình thang cân tam giác Biết SD ( AD //BC ) BC = 2a , vng góc với AC Mặt BD ( M khác B, D ) song song với hai đường thẳng SD AC Thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng ( α ) có diện tích lớn 3 a A M thuộc đoạn 3 a B C 2a D a Lời giải Tác giả : Chu Viết Tấn,Tên FB: Chu Viết Tấn Chọn A Lời giải ABCD hình lục giác cạnh a Kẻ DT song song AC ( T thuộc BC ) Suy CT = AD = a DT Ta có: DT = AC = a · = 1200 ⇒ ST = a Xét tam giác SCT có SC = 2a, CT = a, SCT Dễ thấy đáy SDT có DT = a , ST = a ⇒ SD = 2a M thuộc đoạn OD Xét tam giác vng TH1: vng góc  SD AC cắt AD , DC N , P Qua M , N , P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K , J , Q Thiết diện ngũ giác NPQKJ Qua M Ta có: kẻ đường thẳng song song với NJ , MK , PQ vng góc với NP 1 ( NJ + MK ) MN + (MK + PQ )MP dt ( NPQKJ ) = dt ( NMKJ ) + dt ( MPQK ) = 2 = ( NJ + MK ).NP (do NJ = PQ ) Đặt MD = NP MD AC.MD x.a = ⇒ NP = = = 3x a a AC OD OD 0< x< = OD Ta có: x,  a  2a  − x÷ NJ AN OM SD.OM  = = ⇒ NJ = =  = 2(a − x 3) a SD AD OD OD ( ) KM BM SD.BM 2a a − x = ⇒ KM = = = (a − x) SD BD BD a 3 1  2(a − x 3) + (a − x) ÷3 x = 2(3a − x) x  Suy ra: dt ( NPQKJ ) =   TH2: M thuộc đoạn OB M Qua M Qua kẻ đường thẳng song song với cắt SB, SA, SC AC cắt AB, BC N , P K Thiết diện tam giác NPK S NPK = MK NP Ta có: MK vng góc với NP nên a  x∈  ;a ÷ Đặt MD = x nên   Ta có: ( ) ( NP MB AC.MB a a − x a − x = ⇒ NP = = = AC BO BD 2a 3 ( ) ) KM BM SD.BM 2a a − x = ⇒ KM = = = (a − x) SD BD BD a 3 ( a − x ) dt NPK = ) Suy ra: ( Vậy diện tích thiết diện  2(3a − x) x  f ( x) =  3  ( 3a − x) S(x)=   a 3 x ∈  0; ÷   a  x ∈  ;a ÷   3 a x= a Từ bảng biến thiên ta có diện tích thiết diện lớn Email: dmathtxqt@gmail.com Câu 56 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích SC Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB SD V Điểm P M trung điểm N Gọi V1 thể V1 tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ V A B C D Lời giải Tác giả: Lê Cảnh Dương,Tên FB: Cảnh Dương Lê Chọn A Đặt x= SM SN y= SB , SD , ( < x, y ≤ 1) V1 VS AMP + VS ANP = VS AMP + VS ANP =  SM SP + SN SP  = = x + y) 2VS ABC 2VS ADC  SB SC SD SC ÷ ( Ta có V (1) V V1 VS AMN + VS PMN = VS AMN + VS PMN =  SM SN + SM SN SP  = = xy 2VS ABD 2VS CBD  SB SD SB SD SC ÷ (2) Lại có V V x x x + y ) = xy ⇒ y= ≤1 ( Suy 4 ⇒ x + y = 3xy 3x − Từ điều kiện < y ≤ , ta có 3x − , V1 x = x≥ hay Thay vào (2) ta tỉ số thể tích V 3x −  x = ( L) 3x − x f ′ ( x ) = ⇔  x 1  f ′ ( x) = x = f ( x) = , x ∈  ;1 (N ) ( 3x − 1) , Đặt 3x −    , ta có 2 V 2 1  2 = f ( x ) f  ÷ = f ( 1) = f  ÷= = f  ÷= 1  V x∈  ;1 ,   ,  2  3 2  Email: chuviettan@gmail.com Câu 57 Trong hình chóp tứ giác ngoại tiếp hình cầu bán kính a , thể tích khối chóp nhỏ 32 a A 16 a D 10 3 a C B 10a Lời giải Tác giả : Chu Viết Tấn,Tên FB: Chu Viết Tấn Chọn A Giải: SH M cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN cắt hình cầu theo đường tròn tâm O bán kính a nội tiếp tam Xét mặt phẳng qua đường cao hình chóp trung điểm giác SMN Đặt · = t , SH = x ta có HN = x cot t , MN = x cot t SNH V = MN SH = x cot t Thể tích khối chóp 3 SH = OH + SO ⇔ x = a + a a ⇔ cos t = cos t x−a 2 a2  a  x − 2ax sin t = − cos t = −  ,cot t = ÷ = x − a   x − a x( x − a) ( ) Ta có 2 4a x V= ( x − 2a ) Vậy Ta xét hàm số rõ ràng x > 2a thể tích tồn 4a x f ( x) = ( x − 2a ) f '( x ) = 32a Vậy khối chóp tích nhỏ 4a x ( x − 4a ) ( x − 2a ) x = 4a cạnh đáy 2a Câu 58 Email: mhiepHD@gmail.com Câu 59 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 1, mặt bên tam giác có góc đỉnh S Cho A’ trung điểm SA, C’ thuộc cạnh SC cho Mặt phẳng (P) qua A’, C’ cắt cạnh SB, SD B’, D’ Số gần với giá trị nhỏ chu vi tứ giác A’B’C’D’ A 1.79 B 3.3 C 2.05 D 1.3 Lời giải Tác giả: Vương Mạnh Hiệp.,Tên FB: HiepVuong Chọn A Từ giả thiết tốn ta có: (1) Trải phẳng mặt bên hình chóp ghép lại cho thu nủa lục giác với cạnh SA tách thành SA SA’ đặt vào hệ Oxy(hình vẽ) Khi ta có: Chu vi cần A’B’C’D’ Dấu “=” xẩy Email: nvthang368@gmail.com Câu 60 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có mặt bên SAB tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy, đáy hình thang vng số dương cho trước khơng đổi, tích tồn phần hình chóp C, D S ABCD A B , AD + BC = 2b , với a, b là điểm thay đổi Gọi m giá trị nhỏ diện (diện tích tồn phần tổng diện tích tất mặt 4m 2 hình chóp) Khi giá trị a có dạng: x.a + y b + z a + t b , với nguyên dương Tính tổng A 16 x, y, z, t số x+ y+ z+ t B C 14 18 D 13 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Thắng; FB: Nguyễn Thắng Chọn B Gọi E, F trung điểm AB, CD ⇒ Ta có SE đường cao hinh chóp EF đường trung bình hình thang vng ABCD Hạ EI ⊥ CD ta chứng minh CD ⊥ (SEI ) ⇒ SI ⊥ CD Ta chứng minh SA ⊥ AD, SB ⊥ BC a a2 SE = ; EF = b SSAB = ; SABCD = ab; SSAD + SSBC = ab Ta tính ; SSCD = SI CD Và: Vì tổng SSAB + SABCD + SSAD + SSBC S ABCD đạt GTNN ⇔ SSCD khơng đổi nên diện tích tồn phần hình chóp đạt GTNN Gọi · =ϕ IFE thì: EI = EF sinϕ = bsinϕ 3a + 4b2 sin2 ϕ SI = SE2 + EI = Kẻ ⇒ DK / / AB ⇒ SSCD Theo ĐL Pytago ta tính được: a sinϕ DK = AB = a ⇒ CD = a 1 3a2 2 = 3a + 4b sin ϕ = a + 4b2 2 sinϕ sin ϕ ⇒ SSCD đạt GTNN ⇔ sinϕ = 1⇔ ϕ = 90 GTNN SSCD a 3a2 + 4b2 bằng: 4m a2 = a + 8b + 3a2 + 4b2 m= + 2ab + a 3a2 + 4b2 Vậy ⇒ a 4 ⇒ x = 3, y = 8, z = 3, t = ⇒ x + y + z + t = 18 tongtuetam2112@gmail.com Câu 61 Cho hình chóp tam giác SB = a Gọi α tích khối chóp A sin α = S ABC , SA ⊥ ( ABC ) Đáy ABC góc hai mặt phẳng S ABC ( SCB ) tam giác vuông cân đỉnh ( ABC ) Xác định giá trị sin α B, để thể lớn B sin α = C sin α = D sin α = Lời giải Tác giả : Tống Tuệ Tâm, FB: Tâm Tâm Tuệ Chọn A  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC  ⇒ BC ⊥ SB  BC ⊥ AB  ⇒ Ta có :  BC ⊥ SA · ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = α = SBA A B 6 C 24 D 16 Lời giải Người giải : Lê Hồng Phi,Tên FB: Lê Hồng Phi Chọn A Cách Gọi x, y, z Diện tích tất mặt Độ dài đường chéo Suy ( x + y + z ) Từ ( 2) ta có AB , AD , AA′ độ dài cạnh Stp = ( xy + yz + zx ) = 36 ⇔ xy + yz + zx = 18, ( 1) AC ′ = x + y + z = ⇔ x + y + z = 36 = x + y + z + ( xy + yz + zx ) = 72 ⇔ x + y + z = 2, ( ) y + z = − x Do đó, kết hợp với ( 1) ( ta ) yz = 18 − x ( y + z ) = 18 − x − x = x − x + 18 Ta ln có ( y + z) ( ≥ yz, ∀ y, z nên ) ( ) − x ≥ x − x + 18 ⇔ 3x − 12 x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Thể tích khối hộp chữ nhật ( ) V = xyz = x x − x + 18 = x3 − x + 18 x Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x ) = x3 − x + 18 x đoạn  x = ∈  0;4    f ′ ( x) = ⇔   x = ∈  0;   Ta có f ′ ( x ) = 3x − 12 x + 18   Ta tính ( ) f ( ) = 0; f = 2; f ( ) = 2; f ( ) =  y + z =  x; y; z ) ∈ Với x =  yz = Như ( {( )( )} 2;4 2; , 2; 2;4  0;4     y + z = 2  Với x =  yz = Như ( x; y; z ) = 2; 2; ( Vậy thể tích khối hộp chữ nhật lớn ) ( x; y; z ) = ( 2;4 2; ) hoán vị Cách Gọi x, y, z độ dài cạnh Diện tích tất mặt Độ dài đường chéo Suy ( x + y + z) Stp = ( xy + yz + zx ) = 36 ⇔ xy + yz + zx = 18, ( 1) , ( 2) ( 3) ( 1) AC ′ = x + y + z = ⇔ x + y + z = 36 = x + y + z + ( xy + yz + zx ) = 72 ⇔ x + y + z = 2, ( ) Thể tích khối hộp chữ nhật Từ AB , AD , AA′ suy V = xyz, ( 3) x, y, z nghiệm phương trình X − X + 18 X − V = ⇔ V = X − X + 18 X , ( ) Bảng biến thiên hàm số f ( X ) = X − X + 18 X Dựa vào bảng biến thiên, giá trị lớn phân biệt) khoảng ( 0;6 ) Vậy thể tích khối hộp chữ nhật lớn V ( 0;6 ) sau để phương trình ( 4) ( x; y; z ) = ( có nghiệm (khơng cần 2;4 2; ) hốn vị Mail: hunglxyl@gmail.com Câu 102 Cho hình chóp song song với S ABCD ( ABCD) tích cắt đoạn V , đáy ABCD SA , SB , SC , SD hình bình hành Mặt phẳng tương ứng ( P) M , N , E, F (M , N , E, F khác S vng góc ( ABCD) ) Các điểm H , K , P , Q tương ứng hình chiếu M , N , E , F lên ( ABCD) Thể tích lớn khối đa diện MNEFHKPQ khơng nằm V A V B V C V D 27 Lời giải Tác giả: Lê Xuân Hưng,Tên FB: Hưng Xuân Lê Chọn A Đặt k= Ta có Suy SM SA , ( < k