Hình chiếu của điểm A1 lên ABC trùng với trung điểm của BC, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°.. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng..
Trang 133 bài tập - Thể tích khối lăng trụ (Phần 2) - File word có lời giải chi tiết Câu 1 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của điểm 1 1 1 A lên 1 ABC
trùng với trọng tâm tam giác ABC, 1 2 3
3
a
AA Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là: 1 1 1
A
1 1 1
3
6 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
6 6
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
3 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
3 4
ABC A B C
a
Câu 2 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 1 1 a 3, cạnh bên có độ dài bằng
2a Hình chiếu của điểm A lên 1 ABC trùng với trung điểm của BC Thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1
là:
A
1 1 1
3
3 21 8
ABC A B C
a
1 1 1
3
21 24
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
14 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
14 8
ABC A B C
a
Câu 3 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 1 1 a 3 Hình chiếu của điểm A1
lên ABC trùng với trung điểm của BC, cạnh bên hợp với đáy một góc 60° Thể tích khối lăng trụ
1 1 1
ABC A B C là:
A
1 1 1
3
3 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
8
ABC A B C
a
3
9 8
ABC A B C
a
3
27 8
ABC A B C
a
Câu 4 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 1 1 a 3 Hình chiếu của điểm A1
lên ABC trùng với trung điểm của BC, mặt A AB hợp với mặt đáy một góc 1 thỏa mãn tan 2
3
Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là: 1 1 1
3
3 24
ABC A B C
a
3
8
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
6 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
6 9
ABC A B C
a
Trang 2Câu 5 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a 1 1 1 Hình chiếu của điểm A lên 1 ABC trùng với trung điểm của 1 1 2
, AA C C 2
AC S a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1
là:
3
2
ABC A B C
a
3
6
ABC A B C
a
3
2 3
ABC A B C
a
3
2 6
ABC A B C
a
Câu 6 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a 1 1 1 Hình chiếu của điểm A lên 1 ABC trùng với trung điểm của AC, cạnh A B hợp với đáy một góc 45° Thể tích khối1
lăng trụ ABC A B C là: 1 1 1
3
3 2
ABC A B C
a
3
3 6
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
2 6
ABC A B C
a
1 1 1
3
2 4
ABC A B C
a
Câu 7 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a 1 1 1 Hình chiếu của điểm A lên 1 ABC trùng với trung điểm của AC, mặt A AB hợp với đáy một góc 60° Thể tích1 khối lăng trụ ABC A B C là: 1 1 1
A
1 1 1
3
3 4
ABC A B C
a
1 1 1
3
3 6
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
6 6
ABC A B C
a
1 1 1
3
6 9
ABC A B C
a
Câu 8 Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Chân đường vuông góc kẻ từ 1 1 1 1 1
A lên ABCD trùng với giao điểm của 2 đường chéo đáy, mặt AA B B hợp với đáy một góc 60° Thể1 1 tích khối lăng trụ ABCD A B C D là: 1 1 1 1
A
1 1 1 1
3
3 3
ABCD A B C D
a
1 1 1 1
3
3 2
ABCD A B C D
a
3
6 2
ABCD A B C D
a
3
6 6
ABCD A B C D
a
Câu 9 Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 1 1 1 1 BAD 120 Biết A ABC là1 hình chóp đều và A D hợp với đáy một góc 45° Thể tích khối lăng trụ 1 ABCD A B C D là: 1 1 1 1
Trang 3A
1 1 1 1
3
3 3
ABCD A B C D
a
V B V ABCD A B C D. 1 1 1 1 a3
3
3
ABCD A B C D
a
1 1 1 1
3
6 12
ABCD A B C D
a
Câu 10 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C cạnh đáy ' ' ' a , biết diện tích tam giác '4 A BC bằng 8.
Thể tích khối lăng trụ ABC A B C bằng: ' ' '
Câu 11 Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác cân tại A, ' ' ' ABAC2a, CAB 120 Góc giữa AB C và ' ABC là 45° Thể tích khối lăng trụ là:
A 3
3
3 3
3
3 2
a
Câu 12 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' ' '
A BC bằng ' 6
2
a
Khi đó thể tích lăng trụ bằng:
3
3 3
3
3
3 2
a
Câu 13 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của ' ' ' ' A lên ABC
trùng với trung điểm của AB Biết góc giữa AA C C và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối lăng trụ bằng:' '
3
2
Câu 14 Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a tâm O Khi đó thể tích khối tứ diện ' ' ' ' ' A A BO là:
A
3
8
a
B
3
9
a
C
3 2 3
a
D
3
12
a
Câu 15 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc ' ' ' của 'A xuống mặt phẳng ABC là trung điểm của AB Mặt bên AA C C tạo với đáy một góc 45°.' ' Tính thể tích khối lăng trụ
A
3
3
32
a
B
3
3 4
a
C
3
3 8
a
D
3
3 16
a
Câu 16 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là ' ' ' 3
a và hợp với đáy ABC một góc 60° Tính thể tích lăng trụ.
Trang 4A
3
8
a
B Đáp án khác C
3
2 9
a
D
3
8
a
Câu 17 Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng
Diện tích của một mặt bên bằng S Thể tích hình hộp đã cho là:
A sin
2
2dS D dScos 2
Câu 18 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có thể tích là V Gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh ' ' ' '
AA và BB Khi đó thể tích của khối đa diện ' ABCIJC bằng:'
A 3
4
3
2
3V
Câu 19 Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy là hình chữ nhật với ' ' ' ' AB 3,AD 7 Hai mặt bên
ABB A và ' ' ADD A lần lượt tạo với đáy những góc 45° và 60° Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh' ' bên bằng 1
Câu 20 Khối lăng trụ ABC A B C có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng ' ' ' đáy bằng 30° Hình chiếu của đỉnh 'A trên mặt phẳng đáy ABC trùng với trung điểm của cạnh BC Thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
A
3
3
4
3 3
3 12
3 8
a
Câu 21 Cho hình hộp ABCD A B C D Tỉ số thể tích của khối tứ diện ' ' ' ' ACB D và khối hộp' '
' ' ' '
ABCD A B C D bằng:
A 1
1
1
1 4
Câu 22 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C mà mặt bên 1 1 1 ABB A có diện tích bằng 4 Khoảng cách1 1
giữa cạnh CC và mặt phẳng 1 ABB A bằng 7 Khi đó thể tích khối lăng trụ 1 1 ABC A B C là: 1 1 1
28
Câu 23 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C , M là trung điểm của ' ' ' AA Mặt phẳng ' MBC' chia khối lăng trụ thành hai phần Tỷ số của hai phần đó bằng:
A 5
1
2 5
Trang 5Câu 24 Cho hình lăng trụ ABC A B C có thể tích là V Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. ' ' ' Khi đó thể tích của khối chóp 'C AMN là:
A
3
V
B
12
V
C
6
V
D
4
V
Câu 25 Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh ' ' ' BB và ' CC Mặt'
phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số ' ' '.
.
A B C NMA
A BCNM
V
A 1
1
Câu 26 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của ' ' ' ' A lên ABC trùng
với trung điểm của BC Thể tích của khối lăng trụ là
3 3 8
a
, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là:
2
a
D a 6
Câu 27 Đáy của khối lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy ' ' ' của lăng trụ là 30° Hình chiếu vuông góc của 'A xuống đáy ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC. Thể tích của khối lăng trụ là:
A
3
2
3
a
B
3
3 8
a
C
3
2 12
a
D
3
3 4
a
Câu 28 Cho hình hộp ABCD A B C D O là giao điểm của AC và BD Tỷ số thể tích của khối chóp ' ' ' ',
' ' ' '
O A B C D và khối hộp ABCD A B C D là: ' ' ' '
A 1
1
1
1 4
Câu 29 Cho hình lập phương ABCD A B C D , I là trung điểm của ' ' ' ' BB Mặt phẳng ' DIC chia khối' lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A 1
7
4
1 2
Câu 30 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C có thể tích bằng V Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ' ' ' '
BB và CC Thể tích của khối ABCMN bằng:'
A
2
V
B
3
V
C 2
3
V
D
4
V
Trang 6Câu 31 Cho hình lập phương ABCD A B C D Mặt phẳng ' ' ' ' BDC chia khối lập phương thành 2 phần'
có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A 1
1
1
1 4
Câu 32 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có thể tích là V Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ' ' ' ' ' '
A B và ' ' B C thì thể tích khối chóp ' D DMN bằng:
A
2
V
B
16
V
C
4
V
D
8
V
Câu 33 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, ' ' ' ' A A A B ' A C' , cạnh 'A A tạo
với mặt đáy một góc 60° Tính thể tích lăng trụ
A
3
3
3
3 2
3 4
a
Trang 7HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC
Ta có: 2 3 3
4
Do đó
1 1 1
ABC A B C ABC
Gọi H là trung điểm của BC khi đó 3 3 3
Mặt khác
2
4
1 1 1
2
3
ABC A B C ABC
Gọi H là trung điểm của BC khi đó 3 3 3
3 3
2
a
1 1 1
2
3
3 3 3 3 27
ABC A B C ABC
Trang 8Câu 4. Chọn đáp án B
Gọi H trung điểm của BC khi đó 3 3 3
Dựng HK AB lại có A H1 AB do đó A KH1 AB
Suy ra A KH1 Lại có 3 3
Do đó 1
3 2
4 3 2
1 1 1
2
3
ABC A B C ABC
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A H1 ABC AC a; 2
Khi đó A H1 AC S ACC A1 1 A H AC a1 2 2 A H1 a
Do vậy 1 1 1
ABC A B C ABC
Gọi H là trung điểm của AC, ta có
Khi đó A BH1 A B ABC1 , 45
Do vậy 1 1 1
ABC A B C ABC
Trang 9Câu 7. Chọn đáp án A
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A H1 ABC AC a; 2
Dựng HK AB lại có A H1 AB do đó AKH AB
Do vậy 1 1 1
ABC A B C ABC
Gọi O là tâm mặt đáy ABCD
Do đó A HO1 A AB1 , ABC 60
Suy ra 1 tan 60 tan 60 3
Do đó
1 1 1 1
3 2
ABCD A B C D ABCD
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC đều
Khi đó A H1 ABC (do A ABC là khối chóp1
đều)
Ta có: A DH1 A D ABC1 , 45 A H1 HD
1
a
Trang 10Do đó V ABCD A B C D 1 1 1 1 S ABCD.A O1 2S ABC.A H1
2
3
3 2 3
a
Trang 11Câu 10. Chọn đáp án B
Gọi M là trung điểm của BC suy ra '
'
2
A BC
2
a
Suy ra
2 ' ' '
4 3
4
ABC A B C ABC
Dựng BH AC lại có BB'AC suy ra B AB' AC
Do đó AB C' , ABC B AB ' 45
Lại có BAH 180 120 60 BH ABsin 60 a 3
2
ABC
ABC A B C ABC
Gọi H là trung điểm của BC suy ra AH BC
Lại có AA'BC suy ra A AH' BC
Dựng AF A H' AF A BC' khi đó 6; 3
2
a
Mặt khác 1 2 1 2 12 ' 3
' ' '
4
ABC A B C ABC
a
Trang 12Câu 13. Chọn đáp án C
Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Kẻ d đi qua H và vuông góc với AC tại
Suy ra AA C C' ' , ABC A K HK' , A KH' 60
Thể tích khối lăng trụ là
3 2
' ' '
ABC A B C ABC
3 2
Đặt AA'x, tam giác 'A AC vuông tại A A C' x216
Và 'A BA C' A BC' cân tại 'A
Gọi M là trung điểm của BC A M; BC
2 '
A BC
Thể tích khối lăng trụ là
2
4 3
4
ABC
Gọi H là hình chiếu của ' A trên mặt phẳng ABC
AH
là hình chiếu của AA trên mặt phẳng ' ABC
Trang 13
AA ABC', AA AH', A AH' 60
Tam giác 'A AH vuông tại H, có sin ' ' ' sin 60 3 3
AA
Thể tích khối lăng trụ là
' ' '
ABC A B C ABC
Gọi hình hộp đứng là ABCD A B C D với ABCD là hình thoi, ' ' ' ' ABC ,AC d Diện tích một mặt bên là AA B B có diện tích S và ' ' AA'h
Gọi cạnh của hình thoi là x S x h h S
x
Diện tích hình thoi là S ABCD x2.sin
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, có AC2 AB2BC2 2.AB BC .cosABC
2
d
Gọi K là trung điểm của ' . 1 ' ' '
2
ABC IJK ABC A B C
ABCIJC ABC IJK C IJK ABC A B C ABC A B C
Kẻ A H' ABCD HM, AB HN, AD
(định lý ba đường vuông góc)
ABB A' ' , ABCD A MH' 45
Và ADD A' ' , ABCD A NH' 60
Trang 14Đặt 'A H x Khi đó
2
'
3 3
x
HM x x x
' ' ' '
3
7
ABCD A B C D
Gọi H là trung điểm của BC A H' ABC
AH
là hình chiếu của 'A A trên mặt phẳng ABC
AA ABC', A A AH' , A AH' 30
Tam giác 'A AH vuông, có ' ' '
2
AH
Thể tích lăng trụ là
ABC
Ta có ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
4 6
ABCD A B C D A A B D C B C D B ABC D ADC ACB D ABCD A B C D ACB D
' '
' ' ' '
ACB D ABCD A B C D ABCD A B C D ACB D ACB D ABCD A B C D
ABCD A B C D
V
V
Ta có CC1/ / ABB A 1 1
Bài ra S ABB A1 1 4 S A AB1 2
ABC A B C A ABC C A AB
1
Trang 15Lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' '
'
và ABC đều
Đặt AB BC CA x và 'A A h
Kẻ BPAC P AC
1
Lại có
2 2
' ' '
' sin 60
ABC A B C ABC
x h
' ' '
'
1
A B C BM
A B C BM ABC A B C B ACC M
B ACC M
V
V
Chọn C
Nhận xét
Bản chất là như vậy, ta có thể tư duy nhanh như sau:
1
3
1 ', ' ' 3
Rõ ràng với lăng trụ tam giác đều ABC A B C thì ' ' '
' ' '
1
B ACC M
C A B BM
A B BM ACC M
V
AMN ABC C AMN C ABC
V
Trang 16Ta có
1
3
A BCNM A BCM M ABC B ACB ABC A B C
2 3
A B C NMA ABC A B C A CNM ABC A B C
1 2
2
V V
Gọi H là trung điểm của cạnh BC A H' ABC
3 2
' ' '
' ' sin 60
ABC A B C ABC
a
3 '
2
a
A H
Trang 17Câu 27. Chọn đáp án B
3
A H
AH
3 2
' ' '
' ' ' '
1
3
3 , ' ' ' '
ABCD A B C D
V
Mặt phẳng IDC cắt AB tại N, với NA NB'
Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD A B C D bằng a. ' ' ' '
Ta có
C DAB IN C ADN C ANIB ADN ANID
Mà
2
1
ADN
2
1
2 2 2 8
IBN
2
3 1
Phần còn lại
2
2
V
Trang 18Câu 30. Chọn đáp án B
3
A BCNM A BCM M ABC B ABC
V
Ta có
C BDC BCD B C D ABCD A B C D
Phần còn lại 2 5 ' ' ' '
6 ABCD A B C D
Tỉ số cần tìm bằng 1
5.
Ta có
MNB A B C A C D
NC D B C D A C D
MA D A B D A C D
D D MN D A C D
V V
Kẻ A P' ABC tại P.
Mà 'A A A B ' A C' P là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
AP
Trang 19' 3 3
3
AB
3 2
' ' '
' sin 60
ABC A B C ABC
a