https://www.facebook.com/ntson193 Sở GD&ĐT Hà Nội THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ Mơn Tốn – Lớp 10 Năm học 2017-2018 Thời gian làm bài: 120 phút I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (4 điểm) Câu Nếu a > b, c > d bất đẳng thức sau đúng? A ac > bd B a − c > b − d C a + b > c + d Lời giải D a + c > b + d Chọn D Cộng hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều Câu ( m2 − 1) x + m ≥ có nghiệm là: Các giá trị tham số m để bất phương trình m ∈ ¡ \ { −1} A m ∈ ¡ B m ⊂ ∅ C D m = −1 Lời giải Chọn C Khi m = ta được: x + ≥ thõa mãn Khi m = −1 ta được: x − ≥ vơ lí m m ⇒x≥ ⇒x≤ − m − m2 Khi m ≠ ±1 Vậy bất phương trình có nghiệm m ≠ −1 Câu 1− 2x ≥0 Tập hợp nghiệm bất phương trình x + 1 − ; 2 −2; A B C 1 −2; 2 1 ;2÷ D Lời giải Chọn C 1− 2x ≥ ⇔ −2 < x ≤ 4x + Chọn Câu C x − 6x + ≤ x − x + 12 < Tập nghiệm hệ bất phương trình là: 2;5] 1;6 ( 2;5] A [ B [ ] C Lời giải Chọn C D [ 1; 2] ∪ [ 5; 6] 1 ≤ x ≤ x − 6x + ≤ ⇔ ⇔ 2< x≤5 2 < x < x − x + 12 < Câu Các giá trị tham số m để bất phương trình mx − 2mx − ≥ vô nghiệm là: A m ∈∅ B m < −1 C −1 < m < D −1 < m ≤ Lời giải Chọn C GV chun luyện thi mơn Tốn Sài Gòn & Biên Hòa 1Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán https://www.facebook.com/ntson193 Áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai ta thấy f ( x) ≥ nên BPT vô nghiệm m2 + m < ∆ ' < m < ⇔ ⇔ ⇔ a < m + > ⇔ −1 < m < m < Câu Khi thống kê điểm mơn Tốn kỳ thi 200 em học sinh thấy có 36 x =5 điểm Tần suất giá trị i là: 2,5% A B 36% C 18% D 10% Lời giải Chọn C n = 36 Vì có 36 điểm nên tần số điểm i n f i = i 100 = 18% x = N Vậy tần suất giá trị i là: Câu Chọn hệ thức sai hệ thức sau: 3π tan − x ÷ = cot x sin ( 3π − x ) = sin x A B C cos ( 3π − x ) = cos x D cos ( − x ) = cos x Lời giải Chọn C Dễ thấy 3π π tan − x ÷ = tan − x ÷ = cot x 2 (vì tan tuần hồn chu kì π ) ⇒ A sin ( 3π − x ) = sin ( π − x ) = sin x (vì sin tuần hoàn chu kỳ 2π ) ⇒ B cos ( 3π − x ) = cos ( π − x ) = − cos x (vì cos tuần hoàn với chu kỳ 2π ) ⇒ C sai Câu sin α = Cho 2− π π cos α + ÷ ) = 2a + 5b Bunhiacopxki a2 + b2 ≤ ( + 25 ) ( a + b2 ) a2 + b2 = 29 a b a = = hay b ⇒ ( d ) : x + y − 26 = ⇒ Chọn D ( d ) đường thẳng qua điểm A ( 1;1) tạo với đường Câu 14 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi o ( d ) có phương trình là: thẳng có phương trình x − y + = góc 45 Đường thẳng A x + y + = B x − y = C x − y + = D x + y − = Lời giải Chọn B ( d ) : a ( x − 1) + b ( y − 1) = hay Gọi 2 ax + by − a − b = ( a + b > ) ( d ') : x − y + = uu r nd = ( a; b ) a − 3b uur ⇒ = 2 2 n = 1; − ( ) ⇔ a − 3b = a + b ⇔ a − 6ab + 9b = 5a + 5b 10 a + b Vì d ' a b = ⇒ ( d ) : x + 2y −3 = ⇔ a = −2 ⇒ ( d ) : x − y − = ⇔ ( 2a − b ) ( a + 2b ) = b ⇒ Chọn B A ( 3;0 ) B ( 0; ) Câu 15 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm Đường tròn nội tiếp tam giác OAB có phương trình là: 2 A x + y = 2 B x + y − x + = 2 C x + y = ( x − 1) D Chọn + ( y − 1) = Lời giải D GV chun luyện thi mơn Tốn Sài Gòn & Biên Hòa 4Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán https://www.facebook.com/ntson193 Tam giác OAB vuông O , OA = , OB = ⇒ AB = OA + OB + AB ⇒ SOAB = OA.OB p= =6 2 =6; SOAB =1 p ⇒ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: Tâm I giao đường phân giác ∆OAB mà A B nằm Ox Oy nên tia phân giác góc ·AOB tia phân giác góc phần tư thứ I có phương r= ( x ≥ 0) trình: y = x I ( m; m ) ( m > ) Gọi tâm đường tròn nội tiếp, ta có: d ( I , OA ) = d ( I , Ox ) = r ⇔ m = ⇔ m = ( x − 1) + ( y − 1) = Vậy phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB là: 2 P ( −3; −2 ) ( C ) : ( x − 3) + ( y − ) = 36 Câu 16 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm đường tròn 2 ( C ) , với M , N tiếp điểm Từ điểm P kẻ tiếp tuyến PM PN tới đường tròn Phương trình đường thẳng MN là: A x + y + = Chọn B x − y − = C x − y + = Lời giải D x + y − = D ( C ) có tâm I ( 3; ) Dễ thấy tứ giác IMPN hình vng nên MN nhận tuyến qua trung điểm K ( 0;1) uur IP = ( −6; −6 ) ↑↑ ( 1;1) làm vectơ pháp IP GV chun luyện thi mơn Tốn Sài Gòn & Biên Hòa 5Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán https://www.facebook.com/ntson193 Vậy MN : x + y − = II.PHẦN TỰ LUẬN (6 điểm) Câu a Giải bất phương trình sau tập số thực: 2x + + ≥ 4x x x+3 2x − − 2x −1 ≤ x2 + + 3x < b Giải hệ bất phương trình sau tập số thực: Lời giải x ≥ − 2 x + ≥ x ≤ − ≤ x≤ x + ≥ x 2 2x +1 + ≥ 4x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x≤ 2 x + < x < − x < − 2 −2 x + ≥ x x ≤ a Ta có: 2 x − ≠ ⇔ x ≠ ,x ≠ 2 b Điều kiện: x − ≠ 3 ≤x< ( x + 3) ( x − 1) − x ( x − ) ≤ ⇔ x+3 x 8x − − ≤0⇔ ≤0⇔ 2x − 2x −1 ( x − 3) ( x − 1) ( x − ) ( x − 1) x < x≤ 1 x ≤ x ≤ x + + 3x < ⇔ ⇔ ⇔ x > ⇔ x < − 3 x2 + < − 6x + 9x2 x − 3x − > x x − ( m − 1) x − m ≤ m b Tìm giá trị tham số để hệ bất phương trình: có nghiệm Lời giải ( sin x + cos x ) 2sin x cos x + 2sin x cos x sin x + cos x VP = + = = = 2 2 2 cos x − sin x cos x − sin x cos x − sin x ( sin x + cos x ) ( cos x − sin x ) cos x − sin x VT = cos x cos x − sin x ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) cos x + sin x = = = − sin x ( cos x − sin x ) cos x − sin x ( cos x − sin x ) Do ta có đpcm GV chuyên luyện thi mơn Tốn Sài Gòn & Biên Hòa 6Nhóm word hóa tài liệu & đề thi tốn https://www.facebook.com/ntson193 Câu x > x > x − x > x ≤ m ⇔ x < −1 ⇔ x < −1 x − ( m − 1) x − m ≤ x +1 x − m ≤ ( ) ( ) x ≥ m b Ta có: m < −1 Để hệ có nghiệm m > (C ) (C ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn , có phương trình lần ( x + 1) + ( y + ) = ( x − ) + ( y − ) = lượt a) Tìm tọa độ tâm, bán kính hai đường tròn chứng minh hai đường tròn tiếp xúc b) Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ tạo với đường thẳng nối tâm hai 2 2 o đường tròn góc 45 ( E ) có phương trình 16 x + 49 y = Viết phương trình đường tròn ( C ) có bán c) Cho elip kính gấp đơi độ dài trục lớn elip a) Ta thấy đường tròn I1 ( 2; ) ( E) ( C) tiếp xúc với hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) Lời giải I ( −1; − ) R =3 ( C2 ) có tâm có tâm bán kính , đường tròn ( C1 ) R = Khi = R1 + R2 = I1 I = bán kính ( + 1) + ( + 2) = ⇒ ( C1 ) tiếp xúc ( C2 ) uuur r r I1 I = ( 3; ) u = ( a; b ) ≠ b) Ta có Gọi vec-tơ phương đường thẳng cần lập ⇒ uur r = 3a + 4b 9a + 24ab + 16b = cos 45° = cos u ⇔ = I1 I , u a2 + b2 25a + 25b ( ) ( a; b ) = ( 7;1) ⇒ x + y = ⇔ ( a; b ) = ( 1; − ) ⇒ x − y = ⇔ 7a − 48ab − 7b = ⇔ 2 c) Ta có 16 x + 49 y = x2 1 ÷ 4 + y2 1 ÷ 7 =1 1 2a = = ⇒ Độ dài trục lớn ( E ) ( C) cần lập R = II1 = R1 + R = + = II = R2 + R = + = ⇒ ∆II1 I II I Khi xét ∆ ta có vng I Vậy bán kính đường tròn GV chun luyện thi mơn Tốn Sài Gòn & Biên Hòa 7Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán https://www.facebook.com/ntson193 Gọi I ( a; b ) , ta uuu r uuu r AB AB = II = có: a + b − a − = ⇔ 2 a + b − 4a − 4b − = ( a − ) ( a + 1) + ( b − ) ( b + ) = ⇔ 2 ( a − ) + ( b − ) = − 3a b = ⇔ 25a − 46a − 71 = 3a + 4b = ⇔ 2 a + b − a − = 71 22 I ; − ÷ (tm) ⇔ 25 25 I ( −1; ) ≡ I1 ( loai ) 2 71 22 ( C ) : x − ÷ + y + ÷ = 25 25 Vậy phương trình đường tròn cần lập Câu 2 Cho ba số thực a , b , c thỏa điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 1 P= + + + 8a + 8b + 8c Lời giải + 8a = Ta có: ( + a ) ( − a + 4a ) + 2a + − a + a = + 2a AM − GM ≤ 3 Tương tự cho + 8b + 8c , ta được: 1 + 2a + 2a = + − 2 9 Mặt khác: + 2a + 2a P≥ 1 + + 2 + 2a + 2b + 2c Cauchy ≥ 1 + 2a 2 − 2a − a − = + 2a 9 9 2 − 2a − 2b − 2c 15 − ( a + b + c ) 15 − 2.3 = = P≥ + + 9 9 =1 Khi a + b + c = ⇔ 1 + 2a = − 2a + 4a 1 + 2a = ( a; b; c ) = ( 1;1;1) 1 + 2a Dấu xảy vai trò a , b , c hay -HẾT - GV chuyên luyện thi môn Tốn Sài Gòn & Biên Hòa 8Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán ... + 2a = − 2a + 4a 1 + 2a = ( a; b; c ) = ( 1;1;1) 1 + 2a Dấu xảy vai trò a , b , c hay -HẾT - GV chun luyện thi mơn Tốn Sài Gòn & Biên Hòa 8Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán ... 1) + ( + 2) = ⇒ ( C1 ) tiếp xúc ( C2 ) uuur r r I1 I = ( 3; ) u = ( a; b ) ≠ b) Ta có Gọi vec-tơ phương đường thẳng cần lập ⇒ uur r = 3a + 4b 9a + 24ab + 16b = cos 45° = cos u ⇔ = I1 I , u... Câu 13 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm Giả sử ( d ) đạt giá trị lớn nhất, qua điểm B Khi kho ng cách từ A đến đường thẳng ( d ) có phương trình sau đây? đường thẳng A x − y + = B x + y