TOÁN NÂNG CAO (CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO)

LỤC MỤC LỤC MỤC PHẦN MỤC TRANG LỤC CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Chuyên đề Tính tổng dãy số tự nhiên 1.1 Tính tổng số tự nhiên liên tiếp 1.2 Tính tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp 1.3 Tính tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp 10 1.4 Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + · · · + (n − 1).n 12 Chuyên đề Tính tổng dãy số lũy thừa 14 2.1 Tính tổng lũy thừa có số mũ liên tiếp 14 2.2 Tính tổng lũy thừa có số mũ chẵn liên tiếp 19 2.3 Tính tổng lũy thừa có số mũ lẻ liên tiếp 20 Chuyên đề Tổng bình phương lập phương 22 3.1 Tính tổng bình phương số tự nhiên 22 3.2 Tính tổng bình phương số tự nhiên chẵn 24 3.3 Tính tổng bình phương số tự nhiên lẻ 25 3.4 Tính tổng lập phương số tự nhiên 27 Nhóm LATEX TEX hóa sách hình học PHẦN PHẦN CÁC TIỂU CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO MỤC LỤC CHUYÊN CHUYÊN CHUYÊN ĐỀ ĐỀ ĐỀ TÍNH TỔNG DÃY SỐ TỰ NHIÊN TÍNH TỔNG DÃY SỐ LŨY THỪA 14 TỔNG BÌNH PHƯƠNG VÀ LẬP PHƯƠNG 22 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG DÃY SỐ TỰ NHIÊN 1.1 Tính tổng số tự nhiên liên tiếp Giả sử cần tính tổng S = k + (k + 1) + · · · + n với k, n ∈ N∗ < k < n Thực theo bước sau Số số hạng tổng n − k + Tổng cho ( k + n).( n − k + 1) · Ví dụ 1.1.1 Tính tổng sau a) S = + + + · · · + 19; b) S = 27 + 28 + 29 + · · · + 97; c) S = 59 + 60 + 61 + · · · + 309; d) S = 327 + 328 + 329 + · · · + 1050 GIẢI a) Số số hạng dãy 19 − + = 17 Tổng S = + + + · · · + 19 = (3 + 19).17 = 187 b) Số số hạng dãy 97 − 27 + = 71 Tổng S = 27 + 28 + 29 + · · · + 97 = (27 + 97).71 = 4402 c) Số số hạng dãy 309 − 59 + = 251 Tổng S = 59 + 60 + 61 + · · · + 309 = (59 + 309).251 = 43239 d) Số số hạng dãy 1050 − 327 + = 724 Tổng S = 327 + 328 + 329 + · · · + 1050 = (1050 + 327).724 = 498474 Ví dụ 1.1.2 Tính diện tích hình sau cách Nhóm LATEX Chun đề Tính tổng dãy số tự nhiên GIẢI Giả sử diện tích (hình) vng nhỏ (đơn vị diện tích) Cách Ghép hai khối hình lại ta hình chữ nhật có chiều dài ô chiều rộng ô Vậy diện tích hình cho 8.7 = 56 (đơn vị diện tích) Cách Từ hình vẽ ta nhận thấy phần hình giống hình dạng kích thước nên ta cần tính diện tích phần hình bên trái sau nhân đơi phần diện tích cần tìm Xét phần hình bên trái Dễ thấy hàng có vng, hàng có vng, hàng có vng nên tổng diện tích hình bên trái S trái = + + + + + + = Vậy tổng diện tích cần tìm S = 2.Strái = 2.28 = 56 ĄĄĄĄĄǸ (1 + 7).7 = 28 BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ Tính tổng sau a) S = + + + · · · + 21; c) S = 59 + 60 + 61 + · · · + 1009; b) S = 27 + 28 + 29 + · · · + 73; d) S = 100 + 101 + 102 + · · · + 900 Hướng dẫn a) Số số hạng dãy 21 − + = 15 (7 + 21).15 = 210 b) Số số hạng dãy 73 − 27 + = 46 (73 + 27).46 = 2350 Tổng S = 27 + 28 + 29 + · · · + 73 = c) Số số hạng dãy 1009 − 59 + = 951 (59 + 1009).951 Tổng S = 59 + 60 + 61 + · · · + 1009 = = 507834 d) Số số hạng dãy 309 − 59 + = 801 (900 + 100).801 = 400500 Tổng S = 100 + 101 + 102 + · · · + 900 = Tổng S = + + + · · · + 21 = Tính diện tích hình sau cách TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO n k Hướng dẫn Gọi diện tích (hình) vng nhỏ a2 (đơn vị diện tích) Cách Ghép hai khối hình lại ta hình chữ nhật chữ nhật có n hàng k + ( k + n − 1) = k + n − cột Vậy diện tích hình cho n.(2 k + n − 1) (đơn vị diện tích) Cách Từ hình vẽ ta nhận thấy phần hình giống hình dạng kích thước nên ta cần tính diện tích phần hình bên trái sau nhân đơi phần diện tích cần tìm Xét phần hình bên trái Dễ thấy • Hàng có k + vng • Hàng có k + vng • Hàng n có k + n − vng Khi tổng diện tích hình bên trái ( k + k + n − 1).n (2 k + n − 1).n = 2 Vậy tổng diện tích cần tìm S = 2.Strái = (2 k + n − 1).n S trái = ( k + 0) + ( k + 1) + · · · + k + n − = Bạn A tâm tập thể dục để tăng cường sức khỏe Bạn A lên kế hoạch ngày đầu tập liên tục phút, ngày tăng lên phút Cho đến ngày hôm bạn A tập liên tục 10 phút Hỏi bạn A tập tổng cộng phút (kể từ ngày đầu tiên)? Hướng dẫn Theo đề số ngày A tập 10 − + = ngày Tổng thời gian tập S = + + · · · + 10 = (5 + 10) = 45 phút Bạn A tâm tập thể dục để tăng cường sức khỏe Bạn A lên kế hoạch ngày đầu tập liên tục phút, ngày tăng lên phút Hỏi sau 30 ngày bạn A tập tổng cộng phút? Hướng dẫn Số phút ngày bạn A tập số hạng dãy số 5, 6, 7, Số phút bạn A tập ngày thứ 30 số hạng thứ 30 dãy Sử dụng Nhóm LATEX Chun đề Tính tổng dãy số tự nhiên công thức Số số hạng = Số hạng cuối − Số hạng đầu + Khoảng cách Ta suy Số hạng cuối = Số số hạng.Khoảng cách + Số hạng đầu − Cách Theo đề số phút bạn A tập ngày thứ 30 30.1 + − = 30 + − = 34 phút Tổng thời gian tập S = + + · · · + 34 = (5+34).30 = 585 phút Cách Theo đề ngày A lấy phút tập làm sở, ngày thứ tăng phút, ngày thứ tăng phút, ngày thứ tăng phút, ngày thứ 30 tăng 29 phút Khi ta có tổng thời gian tập S = 5.30 + (0 + + · · · + 29) = 150 + (0 + 29) 30 = 585 phút Bạn B thách đố bạn A đặt viên bi vào ô bàn cờ vua cho thứ có bi, ô tăng ô bi so với trước Hỏi bạn A cần viên bi để hoàn thành hoàn thành thách đố B? Hướng dẫn Theo đề số ô bàn cờ vua 64 ô thứ 64 cần 64 bi Tổng số bi cần cho thách đố S = + + · · · + 64 = (1+64).64 = 2080 bi Bạn A muốn trồng 630 hưởng ứng việc bảo vệ môi trường khu đất trống gần trường Bạn A lên kế hoạch ngày đầu trồng con, ngày tăng lên Hỏi bạn A cần tổng cộng ngày để hoàn thành kế hoạch? Hướng dẫn Gọi n với (n > 0) số ngày A cần để trồng đủ 630 Khi ngày thứ n trồng n Tổng số (1 + n) n ⇔ n.( n + 1) = 1260 ⇔ n.( n + 1) = 35.36 ⇔ n = 35 ngày S = + + · · · + n ⇔ 630 = Bạn A muốn trồng 2500 hưởng ứng việc bảo vệ môi trường khu đất trống gần trường Bạn A lên kế hoạch ngày đầu trồng con, ngày tăng lên Hỏi bạn A cần ngày để hoàn thành kế hoạch? Hướng dẫn Gọi n với (n > 0) số ngày A cần để trồng 2500 Khi ngày thứ n trồng n (1 + n) n ⇔ n.( n + 1) = 5000 Dễ thấy 54.55 < 5000 < 55.56, A cần 55 ngày để thực kế hoạch Tổng số S = + + · · · + n ⇔ 2500 = Trong hội thảo có 50 đại biểu, đại biểu bắt tay với đại biểu khác lần Hỏi có bắt tay thực Tìm số tự nhiêu k biết k + k + + k + + · · · + k + 10 = 165 TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 1.2 Tính tổng số tự nhiên chẵn liên tiếp Giả sử cần tính tổng S = 2k + 2(k + 1) + · · · + n với k, n ∈ N∗ < k < n Chúng ta dùng cách sau Đưa tổng số tự nhiên liên tiếp Đặt làm thừa số chung: S = k + (k + 1) + · · · + n Suy S = ( k + n).( n − k + 1) = ( k + n).( n − k + 1) Xác định số số hạng dùng công thức tổng dãy số cách Số số hạng dãy (2n − 2k) : + = n − k + Tổng dãy số S = (2 k + n).( n − k + 1) = ( k + n).( n − k + 1) Ví dụ 1.1.3 Tính tổng sau a) S = + + + · · · + 50; b) S = 12 + 14 + 16 + · · · + 300; c) S = 68 + 70 + 72 + · · · + 608; d) S = 102 + 104 + 106 + · · · + 1000 GIẢI a) S = + + + · · · + 50 Cách Đưa tổng số tự nhiên liên tiếp S = + + + · · · + 50 = (1 + + + · · · + 25) (25 + 1).(25 − + 1) = 2 = (25 + 1).(25 − + 1) = 650 Cách Dùng công thức tổng dãy số cách Ta có số hạng đầu 2, số hạng cuối 50, khoảng cách hai số 2, số số hạng tổng 50 − + = 25 số hạng Khi ta áp dụng cơng thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng (50 + 2).(25) S = + + · · · + 50 = = 2 = 650 b) S = 12 + 14 + 16 + · · · + 300 Ta có số hạng đầu 12, số hạng cuối 300, khoảng cách hai số 2, số số hạng tổng 300 − 12 + = 145 số hạng Áp dụng công thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng S = 12+14+16+· · ·+300 = = (300 + 12).145 = 22620 c) S = 68 + 70 + 72 + · · · + 608 Ta có số hạng đầu 68, số hạng cuối 608, khoảng cách hai số 2, Nhóm LATEX Chuyên đề Tính tổng dãy số tự nhiên số số hạng tổng 608 − 68 + = 271 số hạng Áp dụng công thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng S = 68+70+72+· · ·+608 = = (608 + 68).271 = 91598 d) S = 102 + 104 + 106 + · · · + 1000 Ta có số hạng đầu 102, số hạng cuối 1000, khoảng cách hai số 2, số số hạng tổng 1000 − 102 + = 456 số hạng Áp dụng cơng thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng (1000 + 102).456 S= = 2 = 251256 Ví dụ 1.1.4 Cho dãy số 2, 4, 6,· · · Tìm số hạng cuối dãy để dãy cho có tổng 2550 GIẢI Gọi dãy cần lập 2, 4, 6, · · · , n Theo đề tổng dãy 2550 nên + + + · · · + n = 2550 Áp dụng công thức tính tổng, ta có ( n + 2) 2+4+6+···+ n = ( n + 2).n n−2 +1 ( n + 2).n = · Do tổng đề cho 2550 nên = 2550 hay n( n + 2) = 10200 Từ ta tìm n = 100 (vì 100.102 = 2100) Vậy dãy số cần tìm 2, 4, , 100 ĄĄĄĄĄǸ BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ Tính tổng sau a) S = + + + · · · + 200; c) S = + + 12 + · · · + 404; b) S = 100 + 102 + 104 + · · · + 220; d) S = 1002 + 1004 + 1006 + · · · + 2020 Hướng dẫn a) S = + + + · · · + 200 Ta có số hạng đầu 2, số hạng cuối 200, khoảng cách hai số 2, số số hạng tổng 200 − + = 100 số hạng Áp dụng cơng thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng S = + + +· · ·+ 200 = = (200 + 2).100 = 10100 b) S = 100 + 102 + · · · + 220 Ta có số hạng đầu 100, số hạng cuối 220, khoảng cách hai số 2, số số hạng tổng 220 − 100 + = 61 số hạng Áp dụng cơng thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng S = 100+102+· · ·+220 = TEX hóa sách hình học = (220 + 100).61 = 9760 PHẦN CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO c) S = + + 12 + · · · + 404 Ta có số hạng đầu 4, số hạng cuối 404, khoảng cách hai số 4, số số hạng tổng 404 − + = 101 số hạng Áp dụng cơng thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng S = 4+8+12+· · ·+404 = = (404 + 4).101 = 20604 d) S = 1002 + 1004 + · · · + 2020 Ta có số hạng đầu 1002, số hạng cuối 2020, khoảng cách hai số 2, số số hạng tổng 2020 − 1002 + = 510 số hạng Áp dụng cơng thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng (2020 + 1002).510 S= = 2 = 770610 Cho tổng S = + + + · · · Tìm số hạng thứ 100 tổng tính tổng 100 số hạng Hướng dẫn Lưu ý công thức “Số số hạng = (số hạng đầu − số hạng cuối) : khoảng sách + 1” Số hạng cuối = (số số hạng −1) khoảng sách + số hạng đầu Vậy số hạng thứ 100 tổng (100 − 1).2 + = 200 Khi đó, tổng 100 số hạng số cuối + số đầu số số hạng S = + + + · · · + 200 = = (200 + 2).100 = 10100 Cho tập A tập hợp số tự nhiên chẵn có chữ số Tính tổng phần tử tập A Hướng dẫn Theo đề bài, ta có A = 100; 102; 104; ; 998 998 − 100 + = 450 phần tử Vậy tổng phần tử tập A số cuối + số đầu số số hạng (998 + 100).450 S = 100 + 102 + · · · + 998 = = = 247050 2 Số phần tử tập A Người ta dùng chữ số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, để đánh số dãy nhà phố Biết tổng dãy số 650 Hỏi nhà cuối đánh số dãy phố có nhà? Hướng dẫn Gọi dãy số nhà đánh số 2, 4, 6, , n Theo đề tổng dãy số 650 nên + + + · · · + n = 1190 Áp dụng cơng thức tính tổng, ta có ( n + 2) 2+4+6+···+ n = n−2 +1 ( n + 2).n = · Nhóm LATEX 10 Chun đề Tính tổng dãy số tự nhiên ( n + 2).n = 650 nên n( n + 2) = 2600 hay n = 50 (vì 50.52 = 2600) 50 − Vậy nhà cuối số 50 dãy phố có + = 25 nhà Do tổng đề 1.3 Tính tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp Giả sử cần tính tổng S = 2k + + 2(k + 1) + + · · · + 2n + với k, n ∈ N∗ ≥ k < n Chúng ta dùng cách sau Xác định số số hạng dùng công thức tổng dãy số cách n + − (2 k + 1) + = n − k + (2 k + + n + 1).( n − k + 1) Tổng dãy số S = = ( k + n + 1).( n − k + 1) Số số hạng dãy Đưa tổng số tự nhiên liên tiếp Đặt làm thừa số chung: S = k + (k + 1) + · · · + n + (n − k + 1) Suy S = ( k + n).( n − k + 1) + ( n − k + 1) = ( k + n + 1).( n − k + 1) Ví dụ 1.1.5 Tính tổng sau a) S = + + + · · · + 25; b) S = 11 + 13 + 15 + · · · + 299; c) S = 69 + 71 + 73 + · · · + 609; d) S = 103 + 105 + 107 + · · · + 1001 GIẢI a) S = + + + · · · + 25; Số số hạng dãy số cuối − số đầu 25 − +1 = + = 13 khoảng cách Khi tổng S = + + + · · · + 25 = số cuối + số đầu số số hạng b) S = 11 + 13 + 15 + · · · + 299; = (25 + 1) 13 = 169 299 − 11 + = 145 (299 + 11) 145 Tổng S = 11 + 13 + 15 + · · · + 299 = = 22475 c) S = 69 + 71 + 73 + · · · + 609; 609 − 69 Số số hạng dãy + = 271 (609 + 69) 271 Tổng S = 69 + 71 + 73 + · · · + 609 = = 91869 d) S = 103 + 105 + 107 + · · · + 1001 1001 − 103 Số số hạng dãy + = 450 (1001 + 103) 450 Tổng S = 103 + 105 + 107 + · · · + 1001 = = 248400 Số số hạng dãy TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC 15 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Nhân vào hai vế đẳng thức với số 2, ta 2S = + 22 + 23 + 24 + · · · + 2100 + 2101 Lấy 2S trừ S , ta 2S − S = + 22 + 23 + 24 + · · · + 2100 + 2101 − + + 22 + 23 + 24 + · · · + 2100 S = 2101 − Vậy, S = 2101 − b) Nhân vào hai vế đẳng thức với số 6, ta 6.S = 62 + 63 + 64 + · · · + 699 + 6100 Lấy 6S trừ S , ta 6S − S = 62 + 63 + 64 + · · · + 699 + 6100 − + 62 + 63 + 64 + · · · + 699 5S = 6100 − S= Vậy, S = 6100 − · 6100 − · Ví dụ 1.2.2 Tính tổng 1 1 1 + + + + · · · + 98 + 99 · 5 5 5 1 1 b) S = + + + + · · · + 99 + 100 · 2 2 a) S = GIẢI a) Định hướng cách giải: Kể từ số hạng thứ hai, nhận thấy số hạng tiếp hai vế đẳng thức ta tổng 5S có số hạng giống tổng S , ta lấy tổng 5S trừ tổng S thực phép biến đổi ta tính tổng S theo số hạng đứng trước nhân với Do ta nhân vào Nhân vào hai vế đẳng thức với số 5, ta 1 1 1 + + + + · · · + 98 + 99 5 5 5 1 1 1 5.S = + + + + + · · · + 97 + 98 · 5 5 5 5.S = Lấy 5.S trừ S , ta 1 1 1 1 1 1 + + + + · · · + 97 + 98 − + + + + · · · + 98 + 99 5 5 5 5 5 5 4.S = − 99 1 − 99 · S= 1 − 99 · Vậy, S = 5.S − S = + Nhóm LATEX 16 Chuyên đề Tính tổng dãy số lũy thừa b) Nhân hai vế S với 2, ta 2S = + + Lấy 2S trừ S , ta 2.S − S = + + S = 2− 2100 1 1 + + + · · · + 98 + 99 · 2 2 1 1 1 1 1 + + + · · · + 98 + 99 − + + + + · · · + 99 + 100 2 2 2 2 2 · Vậy, S = − 2100 · Bình luận: Nếu gặp tổng có dạng S = 1+ 1 1 + + + · · · + n−1 + n a a a a a ta thực theo hai bước sau: Nhân vào hai vế đẳng thức với số a ta a.S = a + + 1 1 + + + · · · + n−2 + n−1 a a a a a Lấy a.S trừ S , ta a.S − S = a − ĄĄĄĄĄǸ a n+1 − 1 · ⇒ S = an a n (a − 1) BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ S = 35 + 36 + 37 + 38 + · · · + 399 + 3100 Hướng dẫn Nhân vào hai vế đẳng thức với số 3, ta 3S = 36 + 37 + 38 + · · · + 3100 + 3101 Lấy 3S trừ S , ta 3S − S = 36 + 37 + 38 + · · · + 3100 + 3101 − 35 + 36 + 37 + 38 + · · · + 3100 2S = 3101 − 35 S= 3101 − 35 243 96 = −1 2 96 Vậy, S = 243 −1 Tính tổng số tự nhiên mà số có số số mũ tăng dần từ đến 2019 Hướng dẫn Gọi dãy số cần tính tổng S , ta có S = + + 32 + 33 + · · · + 32018 + 32019 Nhân hai vế S với 3, ta 3S = + 32 + 33 + · · · + 32019 + 32020 Lấy 3S trừ S , ta 3S − S = + 32 + 33 + · · · + 32019 + 32020 − + + 32 + 33 + · · · + 32019 2S = 32020 − TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC S= Vậy, S = 17 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 32020 − · 32020 − · Tính S = + 22 + 23 + 24 + · · · + 299 + 2100 Hướng dẫn Ta có S = + + + 22 + 23 + 24 + · · · + 299 + 2100 Đặt P = + + 22 + 23 + 24 + · · · + 299 + 2100 Khi S = + P Ta tính giá trị biểu thức P sau, nhân hai vế P với 2, ta 2P = + 22 + 23 + 24 + · · · + 2100 + 2101 Lấy 2P trừ P , ta 2P − P = + 22 + 23 + 24 + · · · + 2100 + 2101 − + + 22 + 23 + 24 + · · · + 2100 P = 2101 − Mà S = + P nên S = 2101 Vậy, S = 2101 Tìm n ∈ N để dãy số 2, 22 , 23 , 24 , , 2n có tổng 1022 Hướng dẫn Vì 1022 tổng dãy số 2, 22 , 23 , , 2n nên ta có 1022 = + 22 + 23 + · · · + 2n (1) Nhân hai vế đẳng thức với 2, ta 2.1022 = 22 + 23 + · · · + 2n + 2n+1 (2) Lấy (2) trừ (1) vế theo vế, ta 2.1022 − 1022 = 22 + 23 + · · · + 2n + 2n+1 − + 22 + 23 + · · · + 2n 2n+1 − = 1022 2n − = 511 2n = 512 n = 29 n = Vậy, với n = dãy số 2, 22 , 23 , 24 , , 29 có tổng 1022 Cho biểu thức S = 53 +54 +55 +· · ·+52018 +52019 Tìm số tự nhiên n cho 4S +125 = 5n Hướng dẫn Xét biểu thức S = 53 + 54 + 55 + · · · + 52018 + 52019 Nhân hai vế S với số 5, ta 5S = 54 + 55 + · · · + 52019 + 52020 Lấy 5S trừ S vế theo vế, ta 5S − S = 54 + 55 + · · · + 52019 + 52020 − 53 + 54 + 55 + · · · + 52018 + 52019 4S = 52020 − 53 4S + 53 = 52020 4S + 125 = 52020 Nhóm LATEX 18 Chuyên đề Tính tổng dãy số lũy thừa Theo đề 4S + 125 = 5n ⇒ n = 2020 Vậy, n = 2020 giá trị cần tìm Tính S = + + 3 3 + + · · · + 99 + 100 7 7 Hướng dẫn Nhân hai vế S với 7, ta 3 3 + + + · · · + 99 + 100 7 7 3 3 7.S = + + + + + · · · + 98 + 99 7 7 7.S = + Lấy 7.S trừ S , ta 7S − S = + + 6S = − 3 3 3 3 3 + + + · · · + 98 + 99 − + + + + · · · + 99 + 100 7 7 7 7 7 7100 S= − 3.7100 Vậy, S = − · 3.7100 Tính S = 1 1 + + + + · 14 14.7 98.7 686.7 4802.7 Hướng dẫn Định hướng cách giải: Nếu ta thực phép tính cách quy đồng tìm mẫu số chung khó khăn Nhưng để ý 14, 98, 686, 4802 số chia hết cho 7, ta biến đổi 14, 98, 686, 4802 thành tích nhân với thừa số để đưa dạng tính tổng theo quy luật biết Ta có: 1 1 + + + + 14 14.7 98.7 686.7 4802.7 1 1 + + + + = 2.7 2.7 2.7 75 1 1 1 = + 2+ 3+ 4+ 7 7 Nhân vào hai vế đẳng thức với 2, ta 1 1 2S = + + + + · 7 7 Nhân vào hai vế đẳng thức với 7, ta 1 1 14S = + + + + · 7 7 Lấy 14S trừ cho tổng 2S , ta 1 1 1 1 14S − 2S = + + + + − + + + + 7 7 7 7 12S = − · S= TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC Suy S = 75 12 1− 19 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO · Tính S = − + 22 − 23 + 24 − · · · − 299 + 2100 Hướng dẫn Nhân vào hai vế đẳng thức với số 2, ta 2.S = − + 22 − 23 + 24 − · · · − 299 + 2100 2.S = − 22 + 23 − 24 + 25 − · · · − 2100 + 2101 Lấy 2S cộng với S , ta 2.S + S = − 22 + 23 − 24 + 25 − · · · − 2100 + 2101 + − + 22 − 23 + 24 − · · · − 299 + 2100 3.S = 2101 + 2101 + · 2101 + · Vậy, S = S= Tổng quát, S = − a + a2 − a3 + · · · − a2n−1 + a2n ; a, n ∈ N; a > 1, n ≥ a2n+1 + Ta nhân hai vế S với a Rồi cộng vế theo vế, ta S = · a+1 2.2 Tính tổng lũy thừa có số mũ chẵn liên tiếp Tính tổng S = + a2 + a4 + a6 + · · · + a2n , a, n ∈ N∗ Để tính tổng trên, ta dùng cách sau Đưa tổng mục 1.4 cách đặt b = a2 Đặt b = a2 Khi S = + b + b2 + b3 + b4 + · · · + b n Tương tự mục 1.4., tính S= b n+1 − a2(n+1) = · b−1 a −1 Nhân hai vế tổng cần tính cho a2 , trừ với S , tìm kết Cụ thể sau: Nhân vào hai vế đẳng thức với số a2 ta a2 S = a2 + a4 + a6 + a8 + · · · + a2n+2 (1.2.1) Lấy a2 S trừ S , ta được: a2 S − S = a2n+2 − ⇒ S = Ví dụ 1.2.3 Tính tổng a) S = + 22 + 24 + 26 + · · · + 2100 a) Ta có a2(n+1) · a2 − b) S = + 62 + 64 + 66 + · · · + 6120 GIẢI S = + 22 + 24 + 26 + · · · + 2100 Nhóm LATEX 50 20 Chuyên đề Tính tổng dãy số lũy thừa 22 S = 22 + 24 + 26 + · · · + 2100 50 + 2102 Suy 4.S − S = 2102 − 102 Vậy S = −1 b) Ta có S = + 62 + 64 + 66 + · · · + 6120 62 S = 62 + 64 + 66 + · · · + 6100 60 60 + 6122 Suy 36.S − S = 6122 − 122 Vậy S = 35−1 · Ví dụ 1.2.4 Tính tổng a) S = 54 + 56 + 58 + · · · + 5100 b) S = + 1 1 + + + · · · + 100 5 5 GIẢI a) Ta có S = 54 + 56 + 58 + · · · + 5100 48 52 S = 56 + 58 + 510 + · · · + 5100 48 + 5102 Suy 25.S − S = 5102 − 54 102 Vậy S = 24−5 · b) Ta có 1 1 S = + + + + · · · + 100 5 5 48 1 52 S = 52 + + + · · · + 98 · 5 Suy 25.S − S = 52 − 100 Vậy S = 5100 24 52 − 102 −1 = 24.5 100 · ĄĄĄĄĄǸ BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ Tính tổng a) S = + 22 + 24 + 26 + · · · + 2102 b) S = + 62 + 64 + 66 + · · · + 6198 c) S = 58 + 510 + 512 + · · · + 5102 d) S = 1 1 + + + · · · + 80 · 5 5 2.3 Tính tổng lũy thừa có số mũ lẻ liên tiếp Tính tổng S = a + a3 + a5 + a7 + · · · + a2n+1 , a, n ∈ N∗ Để tính tổng trên, ta dùng cách sau Đưa tổng mục 2.2 cách đặt a vế trái làm thừa số chung Ta có S = a + a2 + a4 + a6 + · · · + a2n TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC 21 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Tương tự mục 2.2., tính S = a a2(n+1) a2n+3 = · a2 − a −1 Nhân hai vế tổng cần tính cho a2 , trừ với S , tìm kết Cụ thể sau: Nhân vào hai vế đẳng thức với số a2 ta a2 S = a3 + a5 + a7 + a9 + · · · + a2n+3 (1) Lấy a2 S trừ S , ta được: a2 S − S = a2n+3 − ⇒ S = Ví dụ 1.2.5 Tính tổng a) S = + 33 + 35 + 37 + · · · + 399 a2n+3 · a2 − b) S = + 53 + 55 + 57 + · · · + 5129 GIẢI a) Ta có S = + 33 + 35 + 37 + · · · + 399 49 49 32 S = 33 + 35 + 37 + 69 + · · · + 399 + 3101 Suy 9.S − S = 3101 − 101 Vậy S = −3 · b) Ta có S = + 53 + 55 + 57 + · · · + 5129 52 S = 53 + 55 + 57 + · · · + 5129 64 64 + 5131 Suy 25.S − S = 5131 − 131 Vậy S = 24−5 · Ví dụ 1.2.6 Tính tổng a) S = 55 + 37 + 59 + · · · + 5101 b) S = 1 1 + + + + · · · + 101 · 5 5 GIẢI a) Ta có S = 55 + 57 + 59 + · · · + 5101 48 52 S = 57 + 59 + 511 + · · · + 5101 48 + 5103 Suy 25.S − S = 5102 − 55 103 Vậy S = 24−5 · b) Ta có 1 S= + 5 + 5 1 S = + + 5 2 + · · · + 99 + 5 49 + + · · · + 99 Nhóm LATEX 5101 49 Chuyên đề Tổng bình phương lập phương 22 Suy 25.S − S = − Vậy S = 5101 24 5− 5101 102 −1 = 24.5 101 ĄĄĄĄĄǸ BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ Tính tổng a) S = + 33 + 35 + 27 + · · · + 3103 b) S = + 73 + 75 + 77 + · · · + 7199 c) S = 29 + 211 + 213 + · · · + 2201 d) S = 1 1 + + + · · · + 99 · 3 3 CHUYÊN ĐỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG VÀ LẬP PHƯƠNG Để tính tổng bình phương số tự nhiên theo qui luật đó, kết mục 1.4 thường sử dụng Cụ thể: T = 1.2 + 2.3 + · · · + n.( n + 1) = n.( n + 1).( n + 2) · (1.3.1) 3.1 Tính tổng bình phương số tự nhiên Tính tổng S = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + n2 , n ∈ N∗ Để tính tổng S ta tách số hạng k(k + 1) (1.3.1) thành k2 + k để xuất số hạng bình phương Ta có T = 1.2 + 2.3 + · · · + n.( n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(2 + 1) + · · · + n.( n + 1) = 12 + 22 + · · · + n + + + · · · + n + =S+ Suy S = T − ( n + 1)( n + 2) · ( n + 1)( n + 2) · Rút gọn kết để tính S Ví dụ 1.3.1 Tính tổng a) S = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + 102 a) Xét A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + · · · + 10.11 Ta có b) S = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + 792 GIẢI A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + · · · + 10.11.3 TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC 23 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO = 1.2.3 + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + · · · + 10.11.(12 − 9) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + 10.11.12 − 9.10.11 Suy A = 4.10.11 = 440 Mặt khác, A = 1.(1 + 1) + 2.(2 + 1) + 3.(3 + 1) + · · · + 10.(10 + 1) = 11 + + 22 + + 32 + + · · · + 102 + 10 = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + 102 + + + + · · · + 10 (1 + 10).10 · Suy S = A − 55 = 440 − 55 = 385 =S+ b) Xét A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + · · · + 79.80 Ta có A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + · · · + 79.80.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + · · · + 79.80.(81 − 78) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + 79.80.81 − 78.79.80 78 Suy A = 27.79.80 Mặt khác, A = 1.(1 + 1) + 2.(2 + 1) + 3.(3 + 1) + · · · + 79.(79 + 1) = 11 + + 22 + + 32 + + · · · + 792 + 79 = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + 792 + + + + · · · + 79 80.79 =S+ · Suy S = A − 40.79 = 27.79.80 − 40.79 = 79.40.(27.2 − 1) = 508760 Ví dụ 1.3.2 Tính tổng S = 102 + 112 + 122 + · · · + 902 GIẢI Xét A = 10.11 + 11.12 + 12.13 + · · · + 90.91 Ta có A = 10.11.3 + 11.12.3 + 12.13.3 + · · · + 90.91.3 = 10.11.(12 − 9) + 11.12.(13 − 10) + 12.13.(14 − 11) + · · · + 90.91.(92 − 89) = 10.11.12 − 9.10.11 + 11.12.13 − 10.11.12 + 12.13.14 − 11.12.13 80 + 90.91.92 − 89.90.91 90.91.92 − 9.10.11 Suy A = = 30.91.92 − 30.11 Mặt khác, A = 10.(10 + 1) + 11.(11 + 1) + 12.(12 + 1) + · · · + 90.(90 + 1) = 102 + 10 + 112 + 11 + 122 + 12 + · · · + 902 + 90 = 102 + 112 + 122 + · · · + 902 + 10 + 11 + 12 + · · · + 90 =S+ (10 + 90).(90 − 10 + 1) = S + 50.81 Nhóm LATEX Chuyên đề Tổng bình phương lập phương 24 Suy S = 30.91.92 − 30.11 − 50.81 = 246780 ĄĄĄĄĄǸ BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ Tính tổng a) S = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + 112 b) S = 12 + 22 + 32 + 42 + · · · + 832 Tính tổng S = 132 + 112 + 122 + · · · + 1012 3.2 Tính tổng bình phương số tự nhiên chẵn Tính tổng S = 22 + 42 + 62 + · · · + (2 n)2 , n ∈ N∗ Để tính tổng S ta gộp cặp số (1.3.1) để xuất số chẵn bình phương Ta có T = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + · · · + ( n − 1).n + n.( n + 1) = 2.(1 + 3) + 4.(3 + 5) + · · · + n.( n − + n + 1) = 2.4 + 4.8 + · · · + n(2.n) Suy S = T2 · Ví dụ 1.3.3 Tính tổng a) S = 22 + 42 + 62 + · · · + 202 b) S = 22 + 42 + 62 + · · · + 1902 GIẢI a) Xét A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + · · · + 20.21 Ta có A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + · · · + 10.11.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + · · · + 20.21.(22 − 19) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + 20.21.22 − 19.20.21 19 Suy A = 7.20.22 Mặt khác, A = 2.(1 + 3) + 4.(3 + 5) + · · · + 20.(19 + 21) = 2.4 + 4.8 + · · · + 20.40 = 2.22 + 2.42 + · · · + 2.202 = 22 + 42 + 62 + · · · + 202 = 2.S Do đó, S = A = 7.10.22 = 1540 b) Xét A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + · · · + 190.191 Ta có A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + · · · + 190.191.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + · · · + 190.191.(192 − 189) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC 25 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO + 190.191.192 − 189.190.191 189 Suy A = 64.190.191 Mặt khác, A = 2.(1 + 3) + 4.(3 + 5) + · · · + 190.(189 + 191) = 2.4 + 4.8 + · · · + 190.380 = 2.22 + 2.42 + · · · + 2.1902 = 22 + 42 + 62 + · · · + 1902 = 2.S Do đó, S = A = 32.190.191 = 1161280 Ví dụ 1.3.4 Tính tổng S = 122 + 142 + 162 + 182 + · · · + 1102 GIẢI Xét A = 11.12 + 12.13 + 13.14 + 14.15 + · · · + 110.111 Ta có A = 11.12.3 + 12.13.3 + 13.14.3 + 14.15.3 + · · · + 110.111.3 = 11.12.(13 − 10) + 12.13.(14 − 11) + 13.14.(15 − 2) + · · · + 110.111.(112 − 109) = 11.12.13 − 10.11.12 + 12.13.14 − 11.12.13 + 13.14.15 − 12.13.14 + 110.111.112 − 109.110.111 99 Suy A = 37.110.112 − 4.10.11 Mặt khác, A = 2.(1 + 3) + 4.(3 + 5) + · · · + 110.(109 + 111) = 2.4 + 4.8 + · · · + 110.220 = 2.22 + 2.42 + · · · + 2.1102 = 22 + 42 + 62 + · · · + 1102 = 2.S Do đó, S = A = 37.55.112 − 2.10.11 = 227700 ĄĄĄĄĄǸ Tính tổng a) S = 22 + 42 + 62 + · · · + 202 BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ b) S = 22 + 42 + 62 + · · · + 1902 Tính tổng S = 162 + 142 + 162 + 182 + · · · + 2002 3.3 Tính tổng bình phương số tự nhiên lẻ Tính tổng S = 12 + 32 + 52 + · · · + (2 k − 3)2 + (2 k − 1)2 , k ∈ N∗ Để tính tổng S ta gộp cặp 2-3, 4-5, 6-7, (1.3.1) để xuất số lẽ bình phương Ta có T = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + · · · + (2 k − 2).(2 k − 1) + (2 k − 1).2 k = + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + · · · + (2 k − 1).(2 k − + k) = 12 + 32 + 52 + · · · + (2 k − 3)2 + (2 k − 1)2 Nhóm LATEX 26 Chuyên đề Tổng bình phương lập phương Suy S = T2 Ví dụ 1.3.5 Tính tổng a) S = 12 + 32 + 52 + 72 + · · · + 332 b) S = 12 + 32 + 52 + 72 + · · · + 3932 GIẢI a) Xét A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + · · · + 33.34 Ta có A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + · · · + 33.34.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + · · · + 33.34.(35 − 32) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + 33.34.35 − 32.33.34 32 Suy A = 11.34.35 Mặt khác, A = 2.1 + 3.(2 + 4) + · · · + 33.(32 + 34) = 2(1 + 3.3 + · · · + 33.33) = 2.S Do đó, S = A = 11.17.35 = 6545 b) Xét A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + · · · + 393.394 Ta có A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + · · · + 393.394.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + · · · + 393.394.(395 − 392) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + 393.394.395 − 392.393.394 392 Suy A = 131.394.395 Mặt khác, A = 2.1 + 3.(2 + 4) + · · · + 393.(392 + 394) = 2(1 + 3.3 + · · · + 393.393) = 2.S Do đó, S = A = 131.197.395 = 10193765 Ví dụ 1.3.6 Tính tổng S = 152 + 172 + 192 + 212 + · · · + 1212 GIẢI Xét A = 15.16 + 16.17 + 17.18 + · · · + 120.121 + 121.122 Ta có 3.A = 15.16.3 + 16.17.3 + 17.18.3 + · · · + 120.121.3 + 121.122.3 = 15.16.(17 − 14) + 16.17.(18 − 15) + 17.18.(19 − 16) + · · · + 120.121.(122 − 119) + 121.122.(123 − 120) = 15.16.17 − 14.15.16 + 16.17.18 − 15.16.17 + 17.18.19 − 16.17.18 + 121.122.123 − 120.121.122 106 Suy A = 41.121.122 − 5.14.16 Mặt khác, A = 15.(30 − 14) + 17.(16 + 18) + · · · + 121.(120 + 122) TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC 27 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO = 2.152 + 2.172 + · · · + 2.1212 − 14.15 = 2.S − 14.15 Do đó, S = A +14.15 = 41.121.61 − 5.7.16 + 7.15 = 302166 ĄĄĄĄĄǸ BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ Tính tổng a) S = 12 + 32 + 52 + 72 + · · · + 292 b) S = 12 + 32 + 52 + 72 + · · · + 1992 Tính tổng S = 132 + 172 + 192 + 212 + · · · + 3212 3.4 Tính tổng lập phương số tự nhiên Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + 43 + · · · + n3 , n ∈ N∗ Để tính tổng ta tính tổng B = 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + (n − 1).n.(n + 1) hai cách Ta có 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + · · · + ( n − 1).n.( n + 1).4 = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 − 1) + 3.4.5.(6 − 2) + · · · + ( n − 1).n.( n + 1) n + − ( n − 2) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 1.2.3.4 + 3.4.5.6 − 2.3.4.5 + · · · + ( n − 1).n.( n + 1).( n + 2) − ( n − 2).( n − 1).n.( n + 1) n−2 = ( n − 1).n.( n + 1).( n + 2) Trong số hạng, tách thừa số đầu thừa số sau theo tổng hiệu thừa số với Ta B = (2 − 1).2.(2 + 1) + (3 − 1).3.(3 + 1) + · · · + ( n − 1) n( n + 1) = (23 − 2) + (33 − 3) + · · · + ( n3 − n) = (23 + 33 + · · · + n3 ) − (2 + + · · · + n) = S − (1 + + + · · · + n) Suy S = n.( n + 1) ( n − 1).n.( n + 1).( n + 2) n.( n + 1) + = 2 Ví dụ 1.3.7 Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + 43 + · · · + 513 GIẢI CÁCH Xét tổng A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + · · · + 50.51.52 Ta có A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + · · · + 50.51.52.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 − 1) + 3.4.5.(6 − 2) + · · · + 50.51.52.(53 − 49) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 1.2.3.4 + 3.4.5.6 − 2.3.4.5 + · · · + 51.52.53.54 − 50.51.52.53 49 = 50.51.52.53 Suy A= 50.51.52.53 = 13.50.51.53 Nhóm LATEX (1) 28 Chuyên đề Tổng bình phương lập phương Mặt khác, A = (2 − 1).2.(2 + 1) + (3 − 1).3.(3 + 1) + (4 − 1).4.(4 + 1) + · · · + (51 − 1).51.(51 + 1) = 2.(2 − 1).(2 + 1) + 3.(3 − 1).(3 + 1) + 4.(4 − 1).(4 + 1) + · · · + 51.(51 − 1).(51 + 1) = 2.(22 − 1) + 3.(32 − 1) + 4.(42 − 1) + · · · + 51.(512 − 1) = 23 − + 33 − + 43 − + · · · + 513 − 51 = 23 + 33 + 43 + · · · + 513 − (2 + + · · · + 51) = S − (1 + + + · · · + 51) Thay (1) vào kết trên, ta 52.51 = 13.50.51.53 − 26.51 = 26.51.(25.53 + 1) Vậy S = 1758276 CÁCH Xét tổng A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + · · · + 51.52.53 S = 13.50.51.53 + Ta có A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + · · · + 51.52.53.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 − 1) + 3.4.5.(6 − 2) + · · · + 51.52.53.(54 − 50) 50 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 1.2.3.4 + 3.4.5.6 − 2.3.4.5 + · · · + 51.52.53.54 − 50.51.52.53 = 51.52.53.54 Suy A= Mặt khác, 51.52.53.54 = 13.51.53.54 (1) A = 1.(1 + 1).(1 + 2) + 2.(2 + 1).(2 + 2) + 3.(3 + 1).(3 + 2) + · · · + 51.(51 + 1).(51 + 2) = 13 + 3.12 + + 23 + 3.22 + 2.2 + 33 + 3.32 + 2.3 + · · · + 512 + 3.512 + 2.51 = S + 12 + 22 + · · · + 512 + (1 + + + · · · + 51) 52.51 51.52.103 + = S + Thay (1) vào kết trên, ta S = 13.51.53.54 − 51.26.103 − 52.51 Vậy S = 1758276 Ví dụ 1.3.8 Tính tổng S = 213 + 223 + 233 + 243 + · · · + 803 GIẢI Xét tổng A = 20.21.22 + 21.22.23 + 22.23.24 + · · · + 79.80.81 Ta có A = 20.21.22.(23 − 19) + 21.22.23.4 + 22.23.24.4 + · · · + 79.80.81.4 = 20.21.22.(23 − 19) + 21.22.23.(24 − 20) + 22.23.24.(25 − 21) + · · · + 79.80.81.(82 − 78) = 20.21.22.23 − 19.20.21.22 + 21.22.23.24 − 20.21.22.23 + 22.23.24.25 − 21.22.23.24 + · · · + 79.80.81.82 − 78.79.80.81 78 = 79.80.81.82 − 19.20.21.22 Suy A = 20.79.81.82 − 5.19.21.22 (1) Mặt khác, A = 21.(21 − 1).(22 − 1) + 22.(22 − 1).(22 + 1) + 23.(23 − 1).(23 + 1) + · · · + 80.(80 − 1).(80 + 1) TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC 29 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO = 213 + 223 + 233 + 243 + · · · + 803 − (21 + 22 + 23 + · · · + 80) =S− Suy (21 + 80).(80 − 21 + 1) S = 20.79.81.82 − 5.19.21.22 + 30.101 = 10453500 ĄĄĄĄĄǸ BÀI TẬP ǸĄĄĄĄĄ Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + 43 + · · · + 603 Tính tổng S = 193 + 223 + 233 + 243 + · · · + 823 Nhóm LATEX ...2 TEX hóa sách hình học PHẦN PHẦN CÁC TIỂU CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO MỤC LỤC CHUYÊN CHUYÊN CHUYÊN ĐỀ ĐỀ ĐỀ TÍNH TỔNG DÃY SỐ TỰ NHIÊN TÍNH TỔNG... cơng thức tính tổng dãy số cách đều, ta có số cuối + số đầu số số hạng S = 100+102+· · ·+220 = TEX hóa sách hình học = (220 + 100).61 = 9760 PHẦN CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO c) S = + + 12 + · · · + 404... dãy TEX hóa sách hình học PHẦN CÁC 11 CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Ví dụ 1.1.6 Hãy viết số 100 dạng tổng số lẻ liên tiếp GIẢI Gọi dãy số cần lập 1; 3; 5; ; n Theo đề ta có tổng dãy 100 nên ta có + + +