Các chuyên đề tựi chọn nâng cao môn toán 9

Chủ đề : chứng minh tứ giác nội tiếp I/ MC TIấU CA CH . Qua ch ny giỳp hc sinh: - Bit c mt s phng phỏp chng minh t giỏc ni tip ng trũn. - Vn dng linh hot cỏc phng phỏp chng minh c cỏc t giỏc ni tip ng trũn. - Vn dng tớnh cht ca t giỏc ni tip ng trũn chng minh cỏc bi toỏn hỡnh hc cú liờn quan. - Rốn k nng tỡm li gii v trỡnh by li gii ca mt bi toỏn hỡnh hc. - Bit cỏch khai thỏc cỏc bi toỏn hỡnh hc, t ú rốn luyn t duy c lp sỏng to trong hc tp ca hc sinh II/ Một số gợi ý để đi đến chứng minh tứ giác nội tiếp. B A D C 1. Chứng minh cho 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó. 2. Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180 0 . 3. Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dới hai góc bằng nhau. 4. Chứng minh tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau. 5. Sử dụng định lí đảo về hệ thức lợng trong đờng tròn. 6. Trờng hợp phải chứng minh 5 điểm trở lên cùng nằm trên một đờng tròn, ta chọn 3 điểm nào đó cố định, chọn điểm thứ 4 rồi chứng minh cho 4 điểm này nằm trên một đờng tròn. Sau đó lại chứng minh 3 điểm cố định trên cùng với điểm thứ năm nằm trên một đờng tròn và cứ tiếp tục nh thế cho đến điểm cuối cùng. Nh vậy tất cả các điểm đó, kể từ điểm thứ 4 trở đi đều nằm trên đờng tròn đi qua 3 điểm đã chọn làm cố nh, t ú suy ra cỏc im ú u nm trờn mt ng trũn. II/ MT S BI TON MINH HA 1 1. Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và dựng đường tròn đường kính MC. Nối BM và kéo dài gặp đường tròn tại D. Đường thẳng DA gặp đường trò tại S. Chứng minh rằng a. ABCD là tứ giác nội tiếp b. CA là phân giác của góc SCB. 1.1. Phân tích tìm cách giải 2 1 2 1 O 3 O 2 O 1 S T B C A D K M GT ABC∆ có ˆ 90 o A = Đường tròn đường kính MC. MB cắt đường tròn tại D KL a/ ABCD là tứ giác nội tiếp. b/ CA là tia phân giác SCB ∠ 2 Nhận xét: a. Vì A và D nằm cùng phía đối với đoạn thẳng BC mà ˆ 90 o A = theo GT nên để chứng minh được tứ giác ABCD nội tiếp ta phải chứng minh 0 90BDC∠ = . Ta có ∠ MDC 0 90= ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), từ đó suy ra điều phải chứng minh. b. Để chứng minh cho CA là đường phân giác ∠ SCB, lợi dụng kết quả đã chứng minh ở câu a, ta có ∠ ACB = ∠ ADB ( cùng chắn cung AB ). Mặt khác ∠ SCA = ∠ ADB ( cùng chắn cung SM của đường tròn đường kính MC) . Từ đó suy ra ĐPCM. 1.2. Lời giải ( tóm tắt ) a/ ∠ MDC 0 90= ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC ). Mà ∠ BAC 0 90= (GT) Từ A và D nằm cùng phía BC nhìn đoạn BC dưới góc 0 90 nên A và D nằm trên đường tròn đường kính BC ⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp. b/ ∠ ADB = ∠ ACB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ∠ ADB = ∠ SCM ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ ∠ SCM = ∠ ACB ⇒ CA là phân giác ∠ SCB. 1.3. Khai thác bài toán: • Nhận xét 1: Gọi K là giao điểm của BA và CD kéo dài. T là giao điểm của đường tròn đường kính MC với cạnh BC. Vì M là trực tâm tam giác KBC nên KM kéo dài phải qua T. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán 1 c/ Gọi T là giao điểm của đường tròn đường kính MC với BC và K là giao điểm của AB và CD kéo dài. Chứng minh rằng: + K, M, T thẳng hàng + ∠ ATK = ∠ DTK • Nhận xét 2: Theo kết quả đã chứng minh ở câu b thì ∠ SCM = ∠ TCM suy ra cung MS = cung TM ⇒ TS ⊥ MC ⇒ ST // AB. Ta có câu hỏi tiếp cho bài toán 1. d/ Chứng minh rằng tứ giác KBTS là hình thang. • Nhận xét 3: Ta thấy tam giác ASC đồng dạng với tam giác AMD. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán 3 e/ Chứng minh rằng: AS AM SC AC MD AD = = • Nhận xét 4: Nhờ kết quả của câu c ta nhận ra KT, BD và CA là 3 đường phân giác trong của tam V ATD. Mặt khác: 1 2 ˆ ˆ A DAT A+ ∠ + Mà 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ à MA M M A v M DCT = = = = = ∠ ( cùng bù với ∠ DMT), ta lại có 2 ∠ DCT = ∠ DO 1 T ⇒ ∠ DO 1 T = 1 2 ˆ ˆ A A+ ⇒ tứ giác DATO 1 nội tiếp ⇒ O 1 là trung điểm đoạn thẳng MC nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADT. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán trên f/ Gọi O 1 , O 2 3 à Ov lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MC, MB, và MK. Chứng minh rằng O 1 , O 2 3 à Ov nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DAT. 2. Bài toán 2. Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng bốn điểm A, O, H, C nằm trên một đường tròn. Hướng dẫn H2a H2b H ' H ' K M I O K I O H B C A B C A N M N H Ta phân biệt hai trường hợp - H và O nằm cùng phía với AC ( H2a ) - H và O nằm khác phía với AC ( H2b ) • Cách 1 AH cắt BN ở I. Kẻ AH ' vuông góc với đường phân giác CM và cắt CM ở K. Dể thấy IK là đường trung bình của tam giác AHH ' . Từ đó, ta có · IKO bằng ( hoặc bù ) · OCH . Tứ giác AKOI nội tiếp ( 0 ˆ ˆ 90K I= = ) nên · IKO = · OAI . Từ đó suy ra ĐPCM. 4 • Cách 2 Nối OA và OH. Dễ thấy BN là đường trung trực của tam giác ABH ⇒ · · BHO BAO= , nhưng · · BAO OAC= . Do đó · · BHO OAC= , ta suy ra ĐPCM. • Cách 3 Tam giác ABI vuông nên · · · · · 0 0 90 90IBA BAI hayIBA BAO OAI+ = + + = Suy ra · · · 0 ˆ ˆ ˆ 90 ên OAI 2 2 2 B A C OAI hayOAI n+ + = = bằng (hoặc) · OCH Suy ra ĐPCM • Cách 4 · 0 ˆ 90 ( 2 ) 2 B AHC H a= + hoặc · 0 ˆ 90 2 B AHC = − · 0 ˆ 90 2 B AOC = + ( vì O là tâm đường tròn nội tiếp ) Do đó · AHC bằng ( hoặc ) · AOC Suy ra ĐPCM. • Cánh 5 · ˆ ˆ 2 A B AON + = ( góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB ) Nên · ˆ ˆ AOH A B= + . Do đó · 0 ˆ 180 ( 2 )AOH C H a+ = hoặc · · ˆ ˆ ( 2 )AOH ACH A C H b= = + Suy ra ĐPCM. 3. Bài toán 3: Cho hình vẽ a/ CMR: Tứ giác EMFC nội tiếp b/ Từ hình vẽ đó hãy đặt ra một đề toán có áp dụng kết quả ở câu a M F B D C A E a/ Gợi ý: 5 · · · · 0 0 0 0 0 ˆ 180 ˆ 180 ˆ ˆ ính EMF 360 360 ˆ ˆ ˆ ˆ EMF 180 DME A DMF B T A B C A B C DPCM = − = − = − + + ⇒ + = + + = ⇒ b/ Có thể ta có những đề toán khác nhau trong đó có vận dụng kết quả của câu a, chẳng hạn. Cho 3 điểm D, E và F theo thứ tự trên 3 cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC cho trước. Giọ M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và BDF. Chứng minh rằng M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác EFC. 4. Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC Gợi ý: Việc chứng minh bài toán này không có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp : đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh. Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài toán sau: Bài toán 5: Cho đườn tròn (O), A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn. Gợi ý: 6 Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC. Thật vậy ta có: (hệ thức lượng trong tam giác vuông APO) (tam giác APB và ACP đồng dạng). Từ đó ta có , theo bài 4 ta có điều cần chứng minh. Bài toán 6: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp. Gợi ý: Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có: Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có Từ đó ta có , chứng minh tương tự bài 4 ta có tứ giác ADOE nội tiếp. 7 III/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD nội tiế đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh: a/ Tứ giác EBEF, tứ giác DCEF nội tiếp. b/ CA là phân giác của · BCF c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp. Bài tập 2: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh: a/ CEFD là tứ giác nội tiếp b/ Tia FA là phân giác của góc BFM c/ BE.DN = EN.BD. Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh: a/ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b/ Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được một đường tròn c/ AC song song với FG d/ Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy. Bài tập 4: Cho tam giác ABC có 0 ˆ 90A = ; AB > AC, và một điểm M nằm trên đoạn AC ( M không trùng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh: a/ Bốn điểm A, M, N, B cùng thuộc một đường tròn b/ CM là phân giác của góc BCS. c/ TA TC TD TB = Bài tập 5: 8 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M, N là các tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ. a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cùng thuộc một đường tròn b/ Chứng minh LA là phân giác của góc MLN c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA 2 = AI. AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ e/ Chứng minh tam giác KLN cân. Bài tập 6: Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H ) a/ Chứng minh: góc ABE bằng góc EAH và tam giác AHB đồng dạng với tam giác EAH. b/ Lấy điểm C trên d sao cho H lá trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giác nội tiếp c/ Xác định vị trí của điểm H để AB = R 3 Bài tập 7: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) ( M, N là tiếp điểm ). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh: a/ Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn b/ Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn c/ Tam giác PQO cân d/ MP 2 = PE. PF e/ · · PHM PHN= . Bài tập 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: a/ Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp. b/ Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. c/ AE. AC = AH. AD và AD. BC = BE. AC 9 d/ H và M đối xứng nhau qua BC e/ Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài tập 9: Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: a/ Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm N và HE // CD. b/ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF. Bài tập 10: Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của DE. a/ CMR: A, B,糈 H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này. b/ Chứng minh: HA là tia phân giác · BHC . c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB 2 = AI.AH d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK. Bài tập 11: Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó. a/ Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn. b/ Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? Tại sao?. c/ CMR: AC.BD = BC.DA = . 2 AB CD Bài tập 12: Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. a/ Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn b/ Chứng minh: AI. BK = AC. CB 10 [...]... -3x - 3my = -9 (3) Cộng từng vế của (1) và (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m - 9 ⇔ (2 + 3m)y = 9 - m (4) −2 thì (4) trở thành 0 = 29/ 3 vơ nghiệm 3 −2 9 m + Nếu 2 + 3m ≠ 0 ; m ≠ thì : (4) ⇔ y = 2 + 3m 3 9 m m2 + 6 ⇔x= Thế vào (1) ta có : 3x – 2 =m 2 + 3m 2 + 3m Khi đó x > 0 và y > 0 + Nếu 2 + 3m = 0 ⇔m = −2 2 ⇒− 0 khi và chỉ khi -2/3 < m < 9 Kết hợp với... 2 l / x12 x2 + x1 x2 x1 x2 + x2 x1 Bài 2: Cho phương trình –x2 – 4x + 1 = 0 Khơng giải phương trình hãy tính: a/ Tổng bình phương các nghiệm b/ Tổng nghịch đảo các nghiệm c/ Tổng lập phương các nghiệm d/ Bình phương tổng các nghiệm e/ Hiệu các nghiệm f/ Hiệu bình phương các nghiệm Bài 3: Cho phương trình: x2 + 4 3 x + 8 = 0 có hai nghiệm x1; x2 Khơng giải phương trình hãy tính: 2 6 x12 + 10 x1 x2 +... y + y x = −6  x 2 + y 2 − x − y = 102 4/  xy + x + y = 69  xy ( x + 2)( y + 2) = 9 5/  2 2  x + y + 2( x + y ) = 6  x 2 + y 2 + 2 x( y − 3) + 2 y ( x − 3) + 9 = 0 6/ 2( x + y ) − xy + 6 = 0  x 2 + y 2 + xy = 1 7/ 3 3 x + y = x + y x 3 + y 3 = 9 8/  2 2 x + y = 5 x 2 + y 2 = 52  9/  1 1 5 + =  x y 12  1  x+ = −1  x+y  9/  x  = −2  x+y  LOẠI 7: Hệ đối xứng loại 2: - Định nghĩa:... tròn (O) tại A M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M ≠ A, M ≠ Q, Q ≠ A Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P Chứng minh: a/ Tích BN BM khơng đổi b/ Tứ giác MNPQ nội tiếp c/ Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Chđ ®Ị : mét sè bµi to¸n sư dơng hƯ thøc vi- et I/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ Qua chủ đề này giúp học sinh: - HS nắm vững hệ thức Vi- ét - HS vận dụng được... xy − x + 3 y = 0 d / 4x − 9 y = 6  LOẠI 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: DẠNG 1: 29 1 1  x − y =1  a/ 3 + 4 = 5 x y  6 5 x+ y =3  b/  9 − 10 = 1 x y  1 1 1 x + y = 4  c/ 10 − 1 = 1 x y  1 1  x + y = 24  d /  2= 3  x y  1  1 +  x − 2 y −1 = 2  e/  2 − 3 =1  x − 2 y −1  1 8 −  x y + 12 = 1  g/  1+ 5  x y + 12  9  4 +  2x + 1 y − 1 = 1... b ' xy + c ' y = d '(2) - Cách giải: * Cách 1: Nhân 2 vế của phương trình (1) và phương trình (2) với k và k’ sao cho: k.d = k’.d’ rồi trừ từng vế của hai phương trình cho nhau ta được một phương trình dạng: Ax2 + Bxy + Cy2 = 0 (*) +/ Xét y = 0 +/ Xét y ≠ 0, ta đặt: x = yt ⇒ pt (*) trở thành: Ay2t2 + By2t + Cy2 = 0 ⇔ At2 + Bt + C = 0 Giải phương trình trên tìm t * Cách 2: Chọn hai số m và n sao cho:... và Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 , thì hệ phương trình vơ nghiệm - Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vơ số nghiệm III/ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA • Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1 Giải và biện luận Bài tốn 1 : Giải và biện luận hệ : 23 Giải Các bạn có thể chọn một trong ba phương pháp: * Cách 1: Phương pháp thế Ta có: Từ (2) ⇒ y = 3 - x Thế vào (1) ta được: Pt (1) ⇔ mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - 6 (3)... hai nghiệm phân biệt với mọi k b/ CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ khơng phụ thuộc k? d/ Định k để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 1 1 3 + + x1 x2 x1 x2 e/ Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất? x 2 − 2(2m + 1) x + 3m 2 + 6m =0 Bài 4: Cho phương trình: x−2 a/ Giải phương trình trên khi m = 2/3 19 b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn... 2 x 2 + 3 y 2 = 36 k / 2 2 3 x + 7 y = 37 4 5  +  x − 3 y +1  f /  5 + 1 = 29  x − 3 y + 1 20  1  1 +  x −1 y − 2 = 2  i/  2 − 3 =1  y − 2 x −1   7 x 2 + 13 y = − 39 j/ 2  5 x − 11 y = 33 3 x 2 + y 2 = 5 l/ 2 2  x − 3y = 1 */ DẠNG 2: y  2x +  x +1 y +1 = 2  a/  x + 3 y = −1  x +1 y +1  7 5 9  − =  x − y + 2 x + y −1 2  c/ 3 2  + =4  x − y + 2 x + y −1  6  3 −  2... dầu các nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) Điều kiện để phương trình (1) - Có hai nghiệm trái dấu P < 0 - Có hai nghiệm cùng dấu là V≥ 0 và P > 0 - Có hai nghiệm cùng dương là V≥ 0 , P > 0, S > 0 - Có hai nghiệm cùng âm là V≥ 0 , P > 0, S < 0 II/ CÁC BÀI TẬP */ DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trình khi biết hai nghiệm Bài 1: 14 1 3 a/ x1 = 4 ; x2 = - 2 b/ 1 c/ x1 = 1 3 ; x2 = - 0 ,9 d/ . tính: a/ Tổng bình phương các nghiệm b/ Tổng nghịch đảo các nghiệm c/ Tổng lập phương các nghiệm d/ Bình phương tổng các nghiệm e/ Hiệu các nghiệm f/ Hiệu bình phương các nghiệm. Bài 3: Cho phương. ĐPCM. • Cách 3 Tam giác ABI vuông nên · · · · · 0 0 90 90 IBA BAI hayIBA BAO OAI+ = + + = Suy ra · · · 0 ˆ ˆ ˆ 90 ên OAI 2 2 2 B A C OAI hayOAI n+ + = = bằng (hoặc) · OCH Suy ra ĐPCM • Cách 4 · 0 ˆ 90 . vậy tất cả các điểm đó, kể từ điểm thứ 4 trở đi đều nằm trên đờng tròn đi qua 3 điểm đã chọn làm cố nh, t ú suy ra cỏc im ú u nm trờn mt ng trũn. II/ MT S BI TON MINH HA 1 1. Bài toán 1: Cho