Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A... 3 Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD.. Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm t
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
1) Cho
1 12 135 12 135 1
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức
M= 9x − 9x − 3 .
2) Cho trước ,a b R∈ ; gọi ,x y là hai số thực thỏa mãn
x y a b
x y a b
+ = +
Chứng minh rằng: x2011+ y2011 =a2011+b2011.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x3 +ax2 +bx− =1 0 (1)
1) Tìm các số hữu tỷ a và b để phương trình (1) có nghiệm
x= − .
2) Với giá trị ,a b tìm được ở trên; gọi x x x là ba nghiệm của1; ; 2 3
phương trình (1) Tính giá trị của biểu thức 15 25 35
S
x x x
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn điều kiện:
2 2 5 2 2 60 37
x + y + x y + = xy.
2) Giải hệ phương trình: ( )
4
x x x y y
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R)
Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A Gọi B
và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của
tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là
Trang 2O’A) Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khác điểm I ).
1) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD Chứng minh:
2
KB = KI.KJ ; từ đó suy ra KB = KD
2) AO’ cắt BC tại H Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một
đường tròn
3) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tiếp Δ IBD
Câu 5 (1,0 điểm)
Mọi điểm trên mặt phẳng được đánh dấu bởi một trong hai dấu (+)
hoặc (−)
Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành
tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu
-Hết -Họ tên thí sinh: Số báo
danh:
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị
2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 Đáp án gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
1 Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối
đa
2 Việc chi tiết điểm số (với cách khác, nếu có) phải được thống nhất
Hội đồng chấm
3 Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Cho
1 1 12 135 12 135
M= 9 - 9x x - 3
1,00
Trang 3Từ
3 3
3x 1 8 3 3x 1
9x 9x 2 0
( )2
M
0,25
0,25 0,25 0,25
1 2 Cho trước ,a b R∈ ; gọi x,y là hai số thực thỏa mãn
x y a b
I
x y a b
+ = +
.Chứng minh rằng: x2011 +y2011 =a2011+b2011.
1,00
( )
x y a b I
x y xy x y a b ab a b
+ = +
(1)
(*)
x y a b
xy a b ab a b
+ = +
+/Nếu a b+ ≠0 thì (*)⇔
x y a b
xy ab
+ = +
=
=> x, y là 2 nghiệm của phương trình X2 − +(a b X ab) + =0
Giải ra ta có
;
x b x a
y a y b
= =
=> x2011+y2011 =a2011+b2011.
+/Nếu a b+ =0 => a = −b.
Ta có hệ phương trình 3 3
0 0
x y
x y
x y
+ =
⇔ = −
=>
0 0
=>x2011+ y2011 =a2011+b2011
0,25
0,25 0,25
0,25
2 1 x3+ax2 +bx− =1 0 (1) Tìm ,a b Q∈ để (1) có nghiệm x= −2 3. 1,00
Trang 4Thay x= −2 3vào (1)ta có :( ) (3 ) (2 )
2 − 3 +a 2 − 3 +b 2 − 3 − = 1 0
3 4a b 15 7a 2b 25
+/Nếu (4a b+ +15) ≠0
=> 3 (74 2 1525)
a b
a b
=
+ + (vô lí vì VT là số vô tỷ , VP là số hữu tỷ).
+/ Suy ra (4a b+ +15) = ⇒0
a b
a b
+ + =
Giải hpt ,kết luận :
5 5
a b
= −
=
0,25
0,25
0,25
0,25
Với a=-5 ;b=5 Tính giá trị của biểu thức 15 52 35
S
x x x
1,00
+/
5 5
a b
= −
=
(1) có dạng x3 − 5x2 + 5x− = ⇔ 1 0 ( )x-1 (x2 − 4x+ = 1) 0.
Không mất tính tổng quát coi x3 =1 thì x x là 2 nghiệm của phương1, 2
trình (x2 −4x+ =1) 0( có ' 3 0∆ = > ) =>
1 2
4 1
x x
x x
+ =
x +x = x +x − x x = .
+/ 5 5 ( 2 2)( 3 3) 2 2( )
x +x = x +x x +x −x x x +x =
=>S = 725
0,25
0,25
0,25 0,25
3 1 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 + y2 +5x y2 2 +60 37= xy(1) 1,00
(1)⇔ x y− = −5x y +35xy−60⇔ x y− =5 xy−3 4−xy
Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn, VT 0≥
5 xy- 3 4 xy 0 3 xy 4
Do ,x y Z∈ => xy Z∈ =>
3 4
xy xy
=
=
0,25
0,25
0,25
Trang 5+/ ( )2 2
3
3 0
x
x y
=
2 4
0
x y x
x y
=
Vậy
2 2
x y
x y
= =
= = −
là các giá trị cần tìm.
0,25
Giải hệ phương trình: ( )
4
(1)
x x x y y
1,00
Điều kiện :y≥0.
(1) ( ) ( 2 1) 0
1
x y
x y x
x
=
⇔ − − = ⇔ = ± .
+/Nếu x = ±1 thay vào phương trình (2) ta có : y − = ⇔ =1 0 y 1.
+/Nếu x y= ≥0
Khi đó (2)⇔ 2( x4 + −1) 4 x + =2 0
(3)
do 2( x4 + ≥1) 2.2 x4.1 4= x2⇒ 2( x4 + ≥1) 2 x =2x
VT(3) 2( - 2≥ x x + =1) 2 x −1 ≥0
Do đó Pt (3)
1 0
x
x
=
− =
Vậy hệ phương trình có nghiệm
;
= =
0,25 0,25
0,25
0,25
4 1 K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB = KD 1,00
Trang 6H J
O' O
K D
C
B
I
M
A
Do AO và AO’ là hai tia phân giác của ·BAC => A,O,O’ thẳng hàng
Có
BJI IBK
2
sđ ºBI ; ·BKI chung
Δ KBI
⇒ đồng dạng vớiΔ KJB (g.g)=>
2
KI KB
(1)
Tương tự: Δ KDI đồng dạng với Δ KJD
2
KI KD
= KD =KI.KJ
KD KJ
(2)
Từ (1) và (2) =>KB=KD
0,25
0,25
0,25 0,25
4 2 Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn 1,00
+/Xét tam giác vuông ABO’ có: AB =AH.AO' (3)2
+/ Có :
ABI AMB
2
sđ ºBI ; ·BAI chung
Δ ABI đồng dạng vớiΔ AMB (g.g)
2
AM AB
(4)
Từ (3),(4) =>
AH AM
AI AO'
⇒
=>Δ AHI đồng dạng với Δ AMO' ( vì
AH AM
=
AI AO' ; µA chung )
=> ·AHI=AMO' => tứ giác MIHO’ nội tiếp hay 4 điểm I, H, M, O’ ·
cùng thuộc một đường tròn
0,25
0,25
0,25
0,25
4 3 Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD 1,00
Trang 7Do OD // O’B (cùng ⊥AB)
nhưng OI cắt O’I và A,I,M thẳng hàng => OI // O’M
=> ·DOI=BO'M ·
mà
sđ ºDI và
sđ ¼BM
=>BDI BIM· = · =>IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔBID
hay AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD
0,25 0,25 0,25
0,25
5 Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành
tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu
1,00
D
B A
C
I
Dựng tam giác vuông cân ABC đỉnh A Do chỉ đánh bởi hai dấu (+), (
−) nên tồn tại hai điểm cùng dấu , không mất tổng quát giả sử hai
điểm A, B cùng dấu và cùng dấu (+)
+ Nếu C có dấu (+) thì tam giác vuông cân ABC là tam giác phải tìm
+ Nếu C có dấu (- ) thì ta dựng điểm D sao cho ABDC là hình vuông
_ Nếu D có dấu (+) thì tam giác ABD là tam giác cần tìm
_ Nếu D có dấu (-) thì gọi I là giao điểm của AD và BC
* Nếu I có dấu (+) thì tam giác vuông cân ABI là tam giác
cần tìm
* Nếu I dấu (-) thì dễ thấy tam giác vuông cân CID có ba
đỉnh cùng dấu (-) là tam giác cần tìm
0,25
0,25 0,25 0,25