Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ.. Chứng minh rằng: a MB.BD MD.BC= b MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.. c Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BC
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo
Hng yên
đề chính thức
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2009 2010–
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
Hãy lập một phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
x 16 xy
xy
− =
− =
b) Tìm m để phơng trình ( 2 )2 2
x −2x −3x +6x m 0+ = có 4 nghiệm phân biệt
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn k2+4 và k2 +16 là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5
b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì p a− + p b− + p c− ≤ 3p
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB tại C Chứng minh rằng:
a) MB.BD MD.BC=
b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD
c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8- giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8-giác EFGHIJKM là các
số hữu tỉ thì EF = IJ
Hết
-Họ và tên thí sinh:……… ……… …… .
Chữ ký của giám thị ……… … …… …
Số báo danh: .… … ………Phòng thi số: … …
Trang 2Hớng dẫn chấm thi
Bài 1: (1,5 điểm)
7
a = 2 : 2 7
Đặt x a 1= − ⇔ =x 7 1− ⇔ + =x 1 7⇒x2+2x 1 7+ = 0,5 đ
2
Vậy phơng trình x2+2x 6 0− = nhận 7 1− làm nghiệm 0,25 đ
Bài 2: (2,5 điểm)
a)
x 16
xy
xy
ĐK: x, y 0≠ 0,25 đ
Giải (2) ⇔6y2−6x2 =5xy⇔(2x 3y)(3x 2y) 0+ − = 0,25 đ
* Nếu 2x 3y 0 x 3y
2
−
Thay vào (1) ta đợc y 3y 3 16
* Nếu 3x 2y 0 x 2y
3
Thay vào (1) ta đợc y2 = ⇔ = ±9 y 3
0,25 đ
- Với y 3= ⇒ =x 2 (thoả mãn điều kiện)
- Với y= − ⇒ = −3 x 2 (thoả mãn điều kiện)
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
0,25 đ
x −2x 1 y+ = ⇔ x 1− = ⇔ = ±y x 1 y (y 0)≥ (*)
Phơng trình đã cho trở thành: ( )2 ( )
y 1− −3 y 1− + =m 0 2
0,25 đ
Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình
⇔ > ⇔ >
> + >
0,25 đ
Trang 34 m 4
4
<
> −
VËy víi 4 m 9
4
− < < th× ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt
0,25 ®
Bµi 3: (2,0 ®iÓm)
a) V× k > 1 suy ra k2+ >4 5; k2+16 5>
- XÐt k 5n 1 (víi n= + ∈¢)⇒k2 =25n2 +10n 1+ ⇒k2 +4 5M
2
⇒ + kh«ng lµ sè nguyªn tè
0,25 ®
k 5n 2 (víi n= + ∈¢)⇒k =25n +20n 4+ ⇒k +16 5M
2
k 16
- XÐt k 5n 3 (víi n= + ∈¢)⇒k2 =25n2+30n 9+ ⇒k2+16 5M
2
k 16
- XÐt k 5n 4 (víi n= + ∈¢)⇒k2 =25n2 +40n 16+ ⇒k2+4 5M
2
⇒ + kh«ng lµ sè nguyªn tè
Do vËy k 5M
0,25 ®
b) Ta chøng minh: Víi a, b, c∀ th× ( )2 ( 2 2 2)
a b c+ + ≤3 a +b +c (*) ThËt vËy (*)⇔a2+b2+ +c2 2ab 2bc 2ca 3a+ + ≤ 2+3b2+3c2
(a b) (b c) (c a) 0
0,5 ®
¸p dông (*) ta cã:
p a− + p b− + p c− ≤3 3p a b c− − − =3p
Suy ra p a− + p b− + p c− ≤ 3p (®pcm)
0,5 ®
Bµi 4: (3,0 ®iÓm)
J I
C N
M
O
D
a) XÐt MBC∆ vµ MDB∆ cã:
·BDM MBC (haigãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)= ·
·BMC BMD=·
0,5 ®
Trang 4Do vậy MBC∆ và MDB∆ đồng dạng
Suy ra MB MD MB.BD MD.BC
b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp BDC∆ ⇒BJC 2BDC 2MBCã = ã = ã
MBC
2
ã 1800 BJCã BCJ cân tại J CBJ
2
−
0,5 đ
Suy ra ã ã BJC 180ã O BJCã O
−
Suy ra MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB
0,5 đ
c) Kẻ đờng kính MN của (O) ⇒ NB ⊥ MB
Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC∆
Chứng minh tơng tự I thuộc AN
Ta có ãANB ADB 2BDM BJC= ã = ã = ã ⇒CJ // IN
Chứng minh tơng tự: CI // JN
0,5 đ
Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành ⇒ CI = NJ
Suy ra tổng bán kính của hai đờng tròn (I) và (J) là:
IC + JB = BN (không đổi)
0,5 đ
Bài 5: (1,0 điểm)
g
b
a
G F
I
H
J
M
C
D
E
K
Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với
a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dơng)
Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 cạnh có
số đo là:
O
O
8 2 180
135 8
0,25 đ
Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O
Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân
⇒ MA = AE = h
2 ; BF = BG =
b
2 ; CH = CI =
d
2 ; DK = DJ =
f 2
Ta có AB = CD nên: h a b f e d
2 + + 2 = 2 + + 2
0,5 đ
Trang 5⇔ (e - a) 2 = h + b - f - d
NÕu e - a ≠ 0 th× 2 h b f d
e a
+ − −
− ¤ (®iÒu nµy v« lý do 2 lµ sè v« tØ)
HÕt