Đề thi và đáp án môn toán chuyên Hưng Yên 2009 2010

Sở giáo dục đào tạo Hng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán đề thức (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) Cho a = : +1 ữ +1 +1ữ Hãy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) x 16 xy = y a) Giải hệ phơng trình: xy y = x ( ) b) Tìm m để phơng trình x 2x 3x + 6x + m = có nghiệm phân biệt Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k + k + 16 số nguyên tố k chia hết cho b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a + p b + p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng: a) MB.BD = MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ Hết -Họ tên thí sinh: . Chữ ký giám thị . Số báo danh: ..Phòng thi số: Hớng dẫn chấm thi Bài 1: (1,5 điểm) 1 +1 +1 +1 +1 a = 2: ữ= : 7 +1 +1 +1ữ = a = 2: Đặt x = a x = x + = x + 2x + = x + 2x = Vậy phơng trình x + 2x = nhận làm nghiệm 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Bài 2: (2,5 điểm) x 16 x 16 xy = (1) xy = y y a) ĐK: x, y y x y xy = = (2) x y x Giải (2) 6y 6x = 5xy (2x + 3y)(3x 2y) = 3y 3y 16 y + = 2 0,25 đ 0,25 đ * Nếu 2x + 3y = x = Thay vào (1) ta đợc 3y 23 (phơng trình vô nghiệm) = 2y * Nếu 3x 2y = x = Thay vào (1) ta đợc y = y = - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) b) Đặt x 2x + = y ( x 1) = y x = y (y 0) (*) Phơng trình cho trở thành: ( y 1) ( y 1) + m = 0,25 đ y 5y + m + = (1) Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có nghiệm dơng phân biệt > 4m > S > > P > m + > 0,25 đ 0,25 đ m < < m < m > Vậy với < m < phơng trình có nghiệm phân biệt 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > suy k + > 5; k + 16 > - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 10n + k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố 0,25 đ 0,25 đ - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 40n + 16 k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố Do k M5 ( ) 2 b) Ta chứng minh: Với a, b, c ( a + b + c ) a + b + c (*) Thật (*) a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 3a + 3b + 3c 0,5 đ (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (luôn đúng) áp dụng (*) ta có: ( pa + pb + pc Suy ) ( 3p a b c ) = 3p 0,5 đ p a + p b + p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) N D J I A O C B M a) Xét MBC MDB có: ã ã BDM = MBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ã ã BMC = BMD 0,5 đ Do MBC MDB đồng dạng MB MD = MB.BD = MD.BC Suy BC BD 0,5 đ ã ã ã b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC = 2BDC = 2MBC ã BJC ã hay MBC = ã 180 BJC ã BCJ cân J CBJ = 0,5 đ ã ã BJC 180 O BJC ã ã Suy MBC + CBJ = + = 90 O MB BJ 2 Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB 0,5 đ c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC Chứng minh tơng tự I thuộc AN ã ã ã ã Ta có ANB = ADB = 2BDM = BJC CJ // IN Chứng minh tơng tự: CI // JN 0,5 đ Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) A E 0,5 đ F a B b h c M K D G H g d f e J I C Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có (8 2).180O số đo là: = 135O Suy góc hình cạnh là: 180O - 135O = 45O Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân h b d f MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 2 2 h b f d +a+ = +e+ Ta có AB = CD nên: 2 2 0,25 đ 0,5 đ (e - a) = h + b - f - d h +bf d Ô (điều vô lý Nếu e - a = ea Vậy e - a = e = a hay EF = IJ (đpcm) Hết số vô tỉ) 0,25 đ ... + không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố 0,25 đ... 3y 3y 16 y + = 2 0,25 đ 0,25 đ * Nếu 2x + 3y = x = Thay vào (1) ta đợc 3y 23 (phơng trình vô nghiệm) = 2y * Nếu 3x 2y = x = Thay vào (1) ta đợc y = y = - Với y = x = (thoả mãn điều kiện)...Hớng dẫn chấm thi Bài 1: (1,5 điểm) 1 +1 +1 +1 +1 a = 2: ữ= : 7 +1 +1 +1ữ = a = 2: Đặt x = a x = x +