Sở giáo dục đào tạo Hng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán đề thức (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) Cho a = : +1 ữ +1 +1ữ Hãy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) x 16 xy = y a) Giải hệ phơng trình: xy y = x ( ) b) Tìm m để phơng trình x 2x 3x + 6x + m = có nghiệm phân biệt Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k + k + 16 số nguyên tố k chia hết cho b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a + p b + p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng: a) MB.BD = MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ Hết -Họ tên thí sinh: . Chữ ký giám thị . Số báo danh: ..Phòng thi số: Hớng dẫn chấm thi Bài 1: (1,5 điểm) 1 +1 +1 +1 +1 a = 2: ữ= : 7 +1 +1 +1ữ = a = 2: Đặt x = a x = x + = x + 2x + = x + 2x = Vậy phơng trình x + 2x = nhận làm nghiệm 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Bài 2: (2,5 điểm) x 16 x 16 xy = (1) xy = y y a) ĐK: x, y y x y xy = = (2) x y x Giải (2) 6y 6x = 5xy (2x + 3y)(3x 2y) = 3y 3y 16 y + = 2 0,25 đ 0,25 đ * Nếu 2x + 3y = x = Thay vào (1) ta đợc 3y 23 (phơng trình vô nghiệm) = 2y * Nếu 3x 2y = x = Thay vào (1) ta đợc y = y = - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) - Với y = x = (thoả mãn điều kiện) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) b) Đặt x 2x + = y ( x 1) = y x = y (y 0) (*) Phơng trình cho trở thành: ( y 1) ( y 1) + m = 0,25 đ y 5y + m + = (1) Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có nghiệm dơng phân biệt > 4m > S > > P > m + > 0,25 đ 0,25 đ m < < m < m > Vậy với < m < phơng trình có nghiệm phân biệt 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > suy k + > 5; k + 16 > - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 10n + k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố 0,25 đ 0,25 đ - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 40n + 16 k + M5 0,25 đ k + không số nguyên tố Do k M5 ( ) 2 b) Ta chứng minh: Với a, b, c ( a + b + c ) a + b + c (*) Thật (*) a + b + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 3a + 3b + 3c 0,5 đ (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (luôn đúng) áp dụng (*) ta có: ( pa + pb + pc Suy ) ( 3p a b c ) = 3p 0,5 đ p a + p b + p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) N D J I A O C B M a) Xét MBC MDB có: ã ã BDM = MBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ã ã BMC = BMD 0,5 đ Do MBC MDB đồng dạng MB MD = MB.BD = MD.BC Suy BC BD 0,5 đ ã ã ã b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC = 2BDC = 2MBC ã BJC ã hay MBC = ã 180 BJC ã BCJ cân J CBJ = 0,5 đ ã ã BJC 180 O BJC ã ã Suy MBC + CBJ = + = 90 O MB BJ 2 Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB 0,5 đ c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC Chứng minh tơng tự I thuộc AN ã ã ã ã Ta có ANB = ADB = 2BDM = BJC CJ // IN Chứng minh tơng tự: CI // JN 0,5 đ Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) A E 0,5 đ F a B b h c M K D G H g d f e J I C Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có (8 2).180O số đo là: = 135O Suy góc hình cạnh là: 180O - 135O = 45O Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân h b d f MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 2 2 h b f d +a+ = +e+ Ta có AB = CD nên: 2 2 0,25 đ 0,5 đ (e - a) = h + b - f - d h +bf d Ô (điều vô lý Nếu e - a = ea Vậy e - a = e = a hay EF = IJ (đpcm) Hết số vô tỉ) 0,25 đ ... + không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 20n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố - Xét k = 5n + (với n  ) k = 25n + 30n + k + 16 M5 k + 16 không số nguyên tố 0,25 đ... 3y 3y 16 y + = 2 0,25 đ 0,25 đ * Nếu 2x + 3y = x = Thay vào (1) ta đợc 3y 23 (phơng trình vô nghiệm) = 2y * Nếu 3x 2y = x = Thay vào (1) ta đợc y = y = - Với y = x = (thoả mãn điều kiện)...Hớng dẫn chấm thi Bài 1: (1,5 điểm) 1 +1 +1 +1 +1 a = 2: ữ= : 7 +1 +1 +1ữ = a = 2: Đặt x = a x = x +