Đề thi và đáp án môn Toán (chuyên) của kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên tỉnh Bình Định, năm học 2009 - 2010

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 1 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐNNH TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2009 – 2010 Đề chính thức Mơn thi: TỐN (chun) Ngày thi: 19/06/2009 Thời gian: 150 phút Bài 1. (1,5 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + Bài 2. (2 điểm) Cho 3 s ố phân bi ệ t m, n, p. Ch ứ ng minh r ằ ng ph ươ ng trình 1 1 1 0 x m x n x p + + = − − − có hai nghi ệ m phân bi ệ t. Bài 3. (2 điểm) V ớ i s ố t ự nhiên n, n ≥ 3. Đặ t S n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 + + + + + + + + ⋯ . Ch ứ ng minh r ằ ng S n < 1 2 . Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC n ộ i ti ế p trong đườ ng tròn tâm O có độ dài các c ạ nh BC = a, AC = b, AB = c. E là đ i ể m n ằ m trên cung BC khơng ch ứ a đ i ể m A sao cho cung EB b ằ ng cung EC. N ố i AE c ắ t c ạ nh BC t ạ i D. a. Ch ứ ng minh: AD 2 = AB.AC – DB.DC b. Tính độ dài đ o ạ n AD theo a, b, c. Bài 5. (1,5 điểm) Ch ứ ng minh r ằ ng: ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 − ≥ + v ớ i m ọ i s ố ngun d ươ ng m, n.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 2 Bùi Văn Chi  GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUN THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐNNH MƠN TỐN CHUN NĂM HỌC 2009 – 2010 Ngày thi: 19/06/2009 – Thời gian: 150 phút Bài 1. (1,5 điểm) Chứng minh: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + (với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác) Ta có: m m k n n k + < + , (v ớ i 0 < m < n, ∀ k > 0) (1) Th ậ t v ậ y, (1) ⇔ 0 < m(n + k) < n(m + k) ⇔ 0 < mk < nk ⇔ 0 < m < n (0 < m, n, k) Áp d ụ ng: 0 < a < b + c ⇒ a 2a b c a b c < + + + 0 < b < c + a ⇒ b 2b c a a b c < + + + 0 < c < a + b ⇒ c 2c a b a b c < + + + C ộ ng v ế theo v ế các b ấ t đẳ ng th ứ c trên : a b c 2(a b c) 2 b c c a a b a b c + + + + < = + + + + + (2) Ta ch ứ ng minh b ấ t đẳ ng th ứ c ph ụ : ( ) 1 1 1 x y z 9 x y z   + + + + ≥     (x, y, z > 0) Ta có: ( ) 1 1 1 x y z x y z   + + + +     = x y y z x z 3 y x z y z x       + + + + + +             ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 Thay x = a + b, y = b + c, z = c + a vào (2): 1 1 1 2(a b c) 9 a b b c c a   + + + + ≥   + + +   ⇔ 1 1 1 9 (a b c) a b b c c a 2   + + + + ≥   + + +   ⇔ c a c 9 1 1 1 a b b c a b 2 + + + + + ≥ + + + ⇔ a b c 9 3 3 1 b c c a a b 2 2 + + ≥ − = > + + + (3) T ừ (2), (3) suy ra: a b c 1 2 b c c a a b < + + < + + + . Bài 2.(2 điểm) Chứng minh phương trình 1 1 1 0 x m x n x p + + = − − − (1) có hai nghiệm phân biệt (∀ m ≠n ≠ p) Đ i ề u ki ệ n xác đị nh c ủ a ph ươ ng trình: x ≠ m, n, p. Bi ế n đổ i ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng: (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x n x p x m x p x m x n 0 − − + − − + − − = ⇔ 3x 2 – 2x(m + n + p) + mn + np + mp = 0 ∆ ’ = (m + n + p) 2 – 3(mn + np + mp) = m 2 + n 2 + p 2 – mn – np – mp = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 m n n p m p 2   − + − + −   > 0 (vì m ≠ n ≠ p) V ậ y ph ươ ng trình (1) ln có hai nghi ệ m phân bi ệ t. BO ẹE THI 10 CHUYEN 3 Buứi Vaờn Chi Bi 3.(2 im) Chng minh S n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 + + + + + + + + , n N, n 3 Ta cú b t ng th c: 2n 1 2 n(n 1) + > + (2n + 1) 2 > 4n(n + 1) 4n 2 + 4n + 1 > 4n 2 + 4n: B T ỳng Do ú: ( ) ( ) ( ) 1 1 2n 1 n n 1 2 n n 1 . n(n 1 < + + + + + + = ( ) n 1 n 1 2 n 1 n n(n 1) + + + = = 1 1 1 2 n n 1 + (1) Cho n l n l t l y cỏc giỏ tr t 1 n n, thay vo (1), r i c ng v theo v cỏc b t ng th c t ng ng, ta c: S n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 + + + + + + + + < < 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 n n 1 + + + + = 1 1 1 1 2 2 n 1 < + . Vy S n < 1 2 , n N, n 3. Bi 4. (3 im) a) Chng minh: AD 2 = AB.AC DB.DC Xột hai tam giỏc ABD v AEC, ta cú: 1 2 A A = (AD l phõn giỏc gúc A) ABD AEC = (gúc n i ti p cựng ch n cung AC) Do ú ABD AEC (g.g) Suy ra AD AB AC AE = AD.AE = AB.AC M t khỏc, ABD CED (g.g), nờn BD DA DE DC = BD.DC = DA.DE T ú: AB.AC BD.DC = AD.AE DA.DE = AD(AE DE) = AD 2 Vy AD 2 = AB.AC DB.DC (1) b) Tớnh AD theo a, b, c Theo tớnh ch t ng phõn giỏc c a tam giỏc, ta cú: DB DC DB DC DB DC BC a AB AC c b c b c b c b + = = = = = + + + Suy ra: 2 DB DC DB.DC a . c b bc b c = = + DB.DC = 2 a .bc b c + (2) Thay (2) vo (1), ta cú: AD 2 = bc - 2 a .bc b c + = ( ) ( ) ( ) 2 b c a b c a a a bc 1 1 bc. b c b c b c + + + + = + + + S S A B C E D c b a 1 2 O BO ẹE THI 10 CHUYEN 4 Buứi Vaờn Chi Vy AD = ( )( ) bc b c a b c a b c + + + + . Bi 5.(1,5 im) Chng minh: ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 + , m, n N * Tr c h t, ta c n ch ng minh ( ) 2 1 1 2 n n 3 2 + , n N * (1) Vỡ n N * nờn b t ng th c (1) t ng ng v i: (1) 2 1 3 2 2 n n (2). t t = 1 n (0 < t 1), ta cú: (2) ( ) 2 3 2 t t 2 0 + ( t: 0 < t 1) (3) Bi n i t ng ng: (3) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t 3 2 t 3 2 t t 2 + + 0 ( ) ( ) 3 2 t(t 1) 3 2 1 t 2 + + 0 ( ) ( ) ( ) 3 2 t(t 1) 3 2 1 t 3 2 1 3 2 2 1 + + + + + 0 ( ) ( ) 3 2 t(t 1) 3 2 1 (t 1) 3 2 2 1 + + + + 0 3 2 2 1 + 0 ( vỡ 0 < t 1 nờn t(t 1) 0) 3 1 2 2 + 4 2 3 + 8 2 3 4 3 < 2 3 < 4: b t ng th c ỳng. Do ú b t ng th c (2) ỳng. Vỡ m 1 2 2 n n , m N * , nờn ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 + , m, n N * Vy ( ) 2 m 1 2 n n 3 2 + , m, n N * Nhn xột: Du = trong bt ng thc khụng xy ra. . BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 1 Bùi Văn Chi  SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐNNH TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2009 – 2 010 Đề chính thức Mơn thi: TỐN (chun) Ngày thi: . d ươ ng m, n.  BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 2 Bùi Văn Chi  GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUN THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐNNH MƠN TỐN CHUN NĂM HỌC 2009 – 2 010 Ngày thi: 19/06 /2009 – Thời gian: 150 phút. ta cú: AD 2 = bc - 2 a .bc b c + = ( ) ( ) ( ) 2 b c a b c a a a bc 1 1 bc. b c b c b c + + + + = + + + S S A B C E D c b a 1 2 O BO ẹE THI 10 CHUYEN 4 Buứi Vaờn