SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2009-2010
Đề chính thức Môn thi:Toán (chuyên)
Ngày thi:19/06/2009
Thời gian:150 phút
Bài 1(1.5điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
b c c a a b
< + + <
Bài 2(2điểm)
Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình
0
x m+x n+x p=
Bài 3(2điểm)
Với số tự nhiên n,n³ 3.Đặt n 3 1( 1 2) (5 21 3) (2 1)( 1 1)
S
Chúng minh Sn<1
2
Bài 4(3điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D
a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC
b.Tính độ dài AD theo a,b,c
Bài 5(1.5điểm)
1 2
m
n - ³ n
+ Với mọi số nguyên m,n
**********************************************
Trang 2b a
D
O
C
E
ĐÁP ÁN MễN TOÁN THI VÀO 10 TRƯỜNG CHUYấN Lấ QUí ĐễN NĂM 2009
Bài 1:
Vỡ a,b,c là độ dài ba cạnh tam giỏc nờn ta cú:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c <
a+b
b c a b c a b c
+
b c>a b c
a b c<c b<a b c
a b c<c a<a b c
2 (3)
a b c<b a<a b c
Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta cú điều phải chứng minh
Bài 2:
Û 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1)
(m n p) 3(mn mp np)
= + + - + + = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np = m2+n2+p2 –mn-mp-np =1
2[(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0 Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np
Ta cú f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)
(m-p) ạ 0
= >m,n,p khụng phải là nghiệm của pt(1)
Vậy PT đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt
Bài 3
2
Ta có :
2 1
2
n
+
+
n
S
< ỗỗ - + - + + - ữữ= ỗỗ - ữữ<
Bài 3:
Ta cú BADã =CAEã ( Do cung EB = cung EC)
Và AECã =DBAã ( Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung
AC) nờn ΔBAD ΔEAC
BA AE
AB AC AE AD
AD AC
Ta cú ãADC=BDCã (Đối đỉnh) và CADã =DBEã
(2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CE) nờn ΔACD
ΔBDE
AD DB
AD DE DB DChay
DC DE
AD(AE-AD) = DB.DC
Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))
Trang 34b)Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú
DC hay
b
+
2
2
DB DC
b c =b c b cị = b c
theo cõu a ta cú AD2 = AB.AC – DB.DC =
ỗ
ữ ỗ
2
2
AD bc
b c
ỗ
ữ
Bài 5:
Vỡ là số hữu tỉ và 2là số vô tỉ nên m 2
n
m
Ta xet hai trường hợp:
2 Khi đó m 2 2 1 hay m 2n 1
m
Từ đú suy ra :
2
1
n
+ -+
ữ
2 Khi đó m 2 2 1 hay m 2n 1
m
-Từ đú suy ra :
2
2
2 2
2
1
2 2
1
n
n n
n
- +
+
************************************************