Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC.. Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q.. Chứng minh tứ giác AOQM ;
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1 : ( 1 điểm )
Cho
( ) 3
4 2 3 3
5 2 17 5 38 2
+ − − tính ( 2 )2009
1
Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 ( 1 )
và x2 - b2 x + bc = 0 (2 )
biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm
3 ; 4
x x thoả mãn điều kiện x3 − =x1 x4 −x2 = 1 xác định b và c
Bài 3 : ( 2 điểm )
1 Cho các số dương a; b; c Chứng minh rằng (a b c) 1 1 1 9
2 Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ 3 Chứng ming rằng
1 2009
670
Bài 4 : ( 3, 5 điểm )
Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N lần lượt
là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và
BC Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC
1 Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp
2 Chứng minh Q; E; F thẳng hàng
3 Chứng minh MP NQ PQ OM
+ +
Bài 5 : ( 2 điểm )
1 Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1
2 Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không
Trang 2Lời giải Bài 1 :
3 3
3
3
4 2 3 3 3 1 3
5 2 17 5 38 2 5 2 (17 5 38) 2
1
1 2
17 5 38 17 5 38 2
−
vậy P = 1
Bài 2 : vì x3 − =x1 x4 −x2 = 1=> x3= +x1 1;x4 =x2+ 1
Theo hệ thức Vi ét ta có ( ) ( )
1 2
1 2
2
(1) (2)
1 1 (3)
1 1 (4)
Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0 b = 1 ; b = -2
từ ( 4 ) => x x1 2 + + + =x1 x2 1 bc => c - b + 1 = bc ( 5 )
+) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x2 + +b x + c = 0 trở thành
X2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu 1 4 0 1
4
+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = 0 trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 1 ± 2
vậy b= 1; c 1
4
b = -2 ; c = -1
Bài 3 :
1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương
3
1 1 1 1
3
=> (a b c) 1 1 1 9
a b c
dấu “=” sảy ra a = b = c
3
a b c
2007
669
ab bc ca
Áp dụng câu 1 ta có
2 2 2 9
1
vậy 2 2 2
1 2009
670
+ + + + dấu “=” sảy ra a = b = c = 1
Trang 3Bài 4 : a) ta có
· · · (µ µ )
· µ (µ µ )
· ·
0
1 2
180 1
2 2
C
BOP PNC
−
=> tứ giác BOPN nội tiếp
+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp
+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> · · 0
90
tứ giác BOPN nội tiếp => · · 0
90
=> · · 0
90
AQB= APB= => tứ giác AQPB nội tiếp
b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA
=> · · 1µ ·
2
Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC
Q; E; F thẳng hàng
c)
~ ( )
~ ( )
~ ( )
+ +
Bài 5 :
1) 3x - y3 = 1
3x 1 1
⇒ = + − + => tồn tại m; n sao cho 2
1 3 9 3.3 3 3
+) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0
+) nếu m > 0 thì 9 3.3 3 3 3 3 1
9 3.3 3 9 3 9
=> 9m− 3.3m+ = ⇒ 3 3 3 3m( m− = 3) 0 => m = 1 => y = 2 ; x = 2
vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )
2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua
Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 2009 là một số lẻ
sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ
vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu hạn các phép thưc hiện thao tác T