Đề thi và đáp án môn toán chuyên Hải Phòng 2009 2010

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2009-2010 Bài : ( điểm ) Cho x = ( 4+2 − 5+2 ) 17 − 38 − tính P = ( x + x + 1) 2009 Bài : ( 1, điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = ( ) x2 - b2 x + bc = (2 ) biết phương trình ( ) có hai nghiệm x1 ; x2 phương trình ( ) có hai nghiệm x3 ; x4 thoả mãn điều kiện x3 − x1 = x4 − x2 = xác định b c Bài : ( điểm )   Cho số dương a; b; c Chứng minh ( a + b + c )  + + ÷ ≥ a b c  1  Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng ming 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca Bài : ( 3, điểm ) Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N tiếp điểm đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với cạnh AC BC Đường thẳng MN cắt tia AO : BO P Q Gọi E; F trung điểm AB ; AC Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp Chứng minh Q; E; F thẳng hàng Chứng minh MP + NQ + PQ OM = a+b+c OC Bài : ( điểm ) Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, ô lúc đầu đặt viên sỏi Gọi T thao tác lấy ô có sỏi chuyển từ ô viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau số hữu hạn phép thực thao tác ta đưa hết sỏi bảng ô không Lời giải Bài : x= = ( 4+2 − 5+2 ( 17 ) 17 − 38 − )( +1− = ( ) − 38 17 + 38 − = ) + (17 − 38) − = −1 1− P = Bài : x3 − x1 = x4 − x2 = => x3 = x1 + 1; x4 = x2 +  x1 + x2 = −b(1)  x x = c(2)  Theo hệ thức Vi ét ta có  x + + x + = b2 (3) ( ) ( ) ( x + 1) ( x + 1) = bc(4)  Từ (1 ) ( ) => b2 + b - =  b = ; b = -2 từ ( ) => x1 x2 + x1 + x2 + = bc => c - b + = bc ( ) +) với b = ( ) , phương trình x2 + +b x + c = trở thành X2 + x + = có nghiệm ∆ = − 4c ≥ ⇔ c ≤ +) với b = -2 ( ) trở thành c + = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = trở thành x2 - x - = có nghiệm x = ± b= 1; c c ≤ ; b = -2 ; c = -1 Bài : Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương 1 1 + + ≥33 a b c abc a + b + c ≥ abc   => ( a + b + c )  + + ÷ ≥ a b c 1   dấu “=” sảy  a = b = c ta có ab + bc + ca ≤ a + b + c ⇒ 2 ( a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ ≤3 2007 ≥ 669 ab + bc + ca Áp dụng câu ta có 1   2 + +  ÷( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ) ≥ 2 ab + bc + ca ab + bc + ca  a +b +c 1 => a + b2 + c + ab + bc + ca ≥ a + b + c ≥ ( ) 2009 + ≥ 670 dấu “=” sảy  a = b = c = 2 a +b +c ab + bc + ca ( · · · µ BOP = BAO + ABO = µA + B µ 1800 − C Bài : a) ta có PNC · µ = = µA + B 2 · · ⇒ BOP = PNC ( ) ) => tứ giác BOPN nội tiếp +) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp · · +) tứ giác AOQM nội tiếp=> AQO = AMO = 900 · · tứ giác BOPN nội tiếp => BPO = BNO = 900 · · => AQB = APB = 900 => tứ giác AQPB nội tiếp b ) tam giác AQB vuông Qcó QE trung tuyến nên QE = EB = EA · · µ = QBC · = EBQ = B => EQB => QE //BC Mà E F đường trung bình tam giác ABC nên E F //BC  Q; E; F thẳng hàng c) MP OM OP = = a OC OB NQ ON OM ∆NOQ ~ ∆COA( g − g ) ⇒ = = b OC OC PQ OP OM ∆POQ ~ ∆BOA( g − g ) ⇒ = = c OB OC OM MP NQ PQ MP + NQ + PQ => = = = = OC a b c A+ B +C ∆MOP ~ ∆COB ( g − g ) ⇒ Bài : 1) 3x - y3 =  y + = 3m  y = 3m −   ⇒ 3x = ( y + 1) ( y − y + 1) => tồn m; n cho  y − y + = 3n ⇔ 9m − 3.3m + = 3n m + b = x m + b = x   +) m = y = x = m m n 9 − 3.3 + 3M3 3 M3 ⇔ n +) m >  m m 9 − 3.3 + 3M9 3 M9 ⇔ n =1 => − 3.3 + = ⇒ ( − 3) = => m = => y = ; x = p/ trình có hai nghiệm ( ; 0 ; ( ; ) 2.Ta tô màu ô vuông bảng hai màu đen trắng bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi ô đen 1005 2009 số lẻ sau mối phép thực thao tác T tổng số sỏi ô đen số lẻ chuyển tất viên sỏi bẳng ô vuông ô sau số hữu hạn phép thưc thao tác T m m m m ... 2ca ) ≥ 2 ab + bc + ca ab + bc + ca  a +b +c 1 => a + b2 + c + ab + bc + ca ≥ a + b + c ≥ ( ) 2009 + ≥ 670 dấu “=” sảy  a = b = c = 2 a +b +c ab + bc + ca ( · · · µ BOP = BAO + ABO = µA +... 0 ; ( ; ) 2.Ta tô màu ô vuông bảng hai màu đen trắng bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi ô đen 1005 2009 số lẻ sau mối phép thực thao tác T tổng số sỏi ô đen số lẻ chuyển tất viên sỏi bẳng ô vuông