Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 TỔ 3- LẦN 2- 3- LẦN 2-N 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG N CAO BẰNG NG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CAO BẰNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 12 Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: ĐỀ BÀI y x x (4 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y 3x C Tìm tọa độ điểm M thuộc Parabol ( P) : y x b) Gọi A, B điểm cực trị cho tam giác AMB vuông M (4 điểm) 2x y ln 3 x a) Tìm tập xác định hàm số b) Giải phương trình: sin x 6sin x cos x (3 điểm) Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà Toán học nam, nhà Vật lý nữ nhà Hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác, tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba mơn (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x y 0 , phương trình cạnh AC : x y 0 Biết trọng tâm tam giác G 3; Xác định tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC Câu 5: (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vng B , AB a , ACB 60 , ABC hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng trọng tâm tam giác ABC , gọi E trung điểm AC biết SE a Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng Câu 6: SAB (2 điểm) Một khách sạn có 50 phịng Nếu phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng ngày tồn phịng th hết Biết lần tăng giá lên 20 ngàn đồng có thêm hai phịng bỏ trống khơng có người th Hỏi giám đốc khách sạn phải chọn giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn nhất? Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Câu 1: TỔ 3- LẦN 2- 3- LẦN 2-N 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG N CAO BẰNG NG HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT (4 điểm) Cho hàm số y x x có đồ thị (C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y 3x C Tìm tọa độ điểm M thuộc Parabol ( P) : y x b) Gọi A, B điểm cực trị cho tam giác AMB vuông M Lời giải a) Ta có y 3x x C song song với đường thẳng y 3x 1 nên hoành độ tiếp điểm Vì tiếp tuyến nghiệm phương trình: x x x 1 Với x 1 y 2 Phương trình tiếp tuyến: y 3( x 1) hay y 3x (thỏa mãn song song với đường thẳng y 3x ) x 0 y 0 x x 0 x 2 b) A 0; B 2;0 Ta có điểm cực trị (C) là: M x; x AM x ; x BM x 2; x2 Vì A, B khơng P Khi đó: Gọi thuộc thuộc ( P ) nên AM BM 0 x x x x 0 x x3 x 0 tam giác AMB vuông M x 0 x x 1 x 0 x x 2 Câu 2: Vậy có ba điểm thuộc (4 điểm) P M 0; , M 1;1 , M 2; để tam giác AMB vuông M 2x y ln 3 x 3 a) Tìm tập xác định hàm số b) Giải phương trình: sin x 6sin x cos x Lời giải 2x y ln 3 x 3 xác định a) Hàm số 2x 30 x 10 10 x x 3 x 3 x 0 D 10; 3 Vậy tập xác định hàm số b) Ta có: sin x 6sin x cos x 2sin x.cos x 6sin x 2sin x 2sin x cosx sin x 3 0 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Câu 3: TỔ 3- LẦN 2- 3- LẦN 2-N 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG N CAO BẰNG NG sin x 0 sin x cos x 3 (VNo) x k Vậy nghiệm phương trình cho x k (3 điểm) Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà Toán học nam, nhà Vật lý nữ nhà Hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác, tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba mơn Lời giải Chọn ngẫu nhiên nhà khoa học 16 nhà khoa học có C164 cách Chọn người cơng tác thỏa mãn u cầu tốn có trường hợp sau: 1 Chọn nhà Toán học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C8 C5 C3 cách Chọn nhà Toán học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C8 C5 C3 cách 1 Chọn nhà Toán học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C8 C5 C3 cách 1 1 Số cách chọn đồn cơng tác C8 C5 C3 C8 C5 C3 C8 C5 C3 cách P Vậy, xác suất cần tìm là: Câu 4: C82 C51.C31 C81.C52 C31 C81.C51.C32 C164 (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x y 0 , phương trình cạnh AC : x y 0 Biết trọng tâm tam giác G 3; Xác định tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC Lời giải x y 0 Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x y 0 x 3 A 3;1 Giải hệ phương trình ta y 1 Do đó: Gọi B b; b AB C 2c; c AC , 3 b 2c 9 b 2c 1 b c G ABC b c 7 Do trọng tâm tam giác nên: b 5 c 2 Hay B 5;3 ; C 1; u BC 4; 1 BC Một vectơ phương cạnh Phương trình cạnh BC là: x y 0 Câu 5: (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vng B , AB a , ACB 60 , ABC hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng trọng tâm tam giác ABC , gọi E Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 TỔ 3- LẦN 2- 3- LẦN 2-N 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG N CAO BẰNG NG trung điểm AC biết SE a Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB Lời giải S H E A N G K C M B Gọi G trọng tâm tam giác ABC , M , N trung điểm BC AB Theo giả thiết có: SG ABC a) Xét tam giác ABC tam giác vuông B có: AC AB AB 2a BC a GE BE a sin ACB tan ACB 3 , , a2 SABC AB.BC 2 Xét tam giác SGE vuông G có: SG SE GE 3a a a 26 1 a 26 a a 78 VS ABC SG.S ABC 3 18 (đvtt) Khi đó: d C , SAB b) Ta có: d G, SAB CN 3 d C , SAB 3.d G , SAB GN AB SG AB SGK Dựng GK // BM với K AB Ta có: AB GK GH AB GH SAB SGK GH SK H SK GH SK Trong dựng với Ta có: Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Suy Ta có: d G, SAB GH GK BM Do TỔ 3- LẦN 2- 3- LẦN 2-N 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG N CAO BẰNG NG d C , SAB 3.GH GK AG 2 BC a GK BM BM AM 3 3 Tam giác SGK vuông G có đường cao GH nên: 1 9 243 a 78 2 GH 2 2 GH GS GK 26a a 26a 27 a 78 Vậy: (2 điểm) Một khách sạn có 50 phịng Nếu phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng ngày tồn phịng th hết Biết lần tăng giá lên 20 ngàn đồng có d C , SAB 3.GH Câu 6: thêm hai phịng bỏ trống khơng có người thuê Hỏi giám đốc khách sạn phải chọn giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn nhất? Lời giải Gọi x ( ngàn đồng) giá phòng khách sạn cần đặt ra, x 400 Giá thuê phòng chênh lệch sau tăng là: x 400 ( ngàn đồng) Số lượng phòng cho thuê giảm chọn mức giá thuê phòng là: x 400 x 400 20 10 (phòng) Số phòng cho thuê với giá x là: Tổng doanh thu ngày là: Xét hàm số f x f x 50 x x 400 900 x 10 10 900 x x2 90 x 10 10 x2 90 x 10 với x 400 x 90 f x 0 x 450 Qua bảng biến thiên ta thấy f x đạt giá trị lớn x 450 Vậy thuê với giá 450 ngàn đồng khách sạn có doanh thu cao ngày