Tài Liệu Bồi Dưỡng Đội Tuyển Vmo - Tuyển Chọn Theo Chuyên Đề Các Bài Toán Trong Kì Thi Chọn Đội Tuyển Vmo - File Word Có Lời Giải Chi Tiết.doc

1 Bất đẳng thức Bài 1 1 Cho x,y là các số thực dương sao cho 2x + y và 2y + x khác 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 ( )(4 ) (2 )(4 ) 3( ) (2 2) ( 2 2) x y x y y x y x P x y x y x y  [.]

1 Bất đẳng thức Bài 1 Cho x,y số thực dương cho 2x + y 2y + x khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ( x  y )(4 x  y ) (2 y  x )(4 y  x )   3( x  y ) (2 x  y  2) ( x  y  2) 2 Cho a , b, c, > cho a + b + c = Chứng minh a b c    b (ca  1) c (ab 1) a (bc 1) (1  abc )(ab  bc  ca ) (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) Lời giải Ta chứng minh : (2 x  y )(4 x  y ) 2 x  y  (2 x  y  2)  (2 xy  x  y  2) 0 (đúng) Chứng minh tương tự ta được: P  Vậy GTNN P -1 x  y  x y  9  65 65 Theo BĐT Cauchy-Schwartz 2  1 1  1 1         c a b c a b c  a     1 1 1 cyc a (bc  1) cyc b   a b c   3 c a b c a b c (ab  bc  ca )  abc(ab  bc  ca )  3a 2b c Một điều ln x  y 0 x  27 y 0 Vậy BĐT chứng minh, Dấu xảy a = b = c = Đặt ab + bc + ca = x , abc = y BĐT ban đầu ta chứng minh x2   x  x y 9 xy  27 y 2 xy  y x(1  y )  x( x  y)  y( x  27 y) 0 Bài Tìm số nguyên dương k nhỏ cho bất đẳng thức x k y k z k ( x  y  z ) 3 với số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x + y + x = (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp.HCM) Lời giải Lời giải sau trích từ trang nangkhieutoan.com Dễ dàng tìm số để BĐT không với k = k =2 Nhận xét BĐT với k = BĐT với k > x k y k z k ( x  y  z ) x y z ( x  y  z ).x k  y k  z k  3 Điều gợi ý cho ta chứng minh k = số nhỏ cần tìm, cách chứng minh x y z ( x  y  z ) 3 (1.1) Thật vậy, giả sử z số nhỏ ba số x , y , z suy z 1 Ta có x  y ( x  y )3  xy ( x  y ) (3  z )  xy (3  z ) 3 Khi đó: (1.1)  (3  z )  z  3z  z    x y  xy x y3 z3  x y  xy 3 x y z (1.2) x3 y 2 Để ý rằng: 3  x y  xy 3 3 x y z x y z Đồng thời: 3z  z   3( z  1)3  0 z z Nên (1.2) đúng, BĐT ban đầu chứng minh Vậy k =3 số nguyên dương nhỏ để BĐT ban đầu Dấu xảy x = y = z = Bài Tìm tất số thực k cho bất đẳng thức sau với số thực không âm a, b, c (a  b  c) ab  bc  ca   k max  (a  b) , (b  c ) , (c  a)  a  b  c (THPT chuyên Đại học Vinh) Lời giải 2 2 Không tính tổng qt giả sử a b c Khi max  (a  b) , (b  c ) , (c  a)  (a  c) Như vậy, ta tìm k cho : ab  bc  ca  Cho c = 0, a = 2b ta (a  b  c)  k (a  c )2 a  b  c 1 k  Ta chứng minh 1 (a  b  c) k  ab  bc  ca   k (a  c )2 a  b  c với ( a  b  c) 1  k (a  c )  (k  )(a  c )  (a  c  2b) 0 nên BĐT 12 Đồng thời Ta có ab  bc  ca  (a  b  c) 1  k (a  c) a  b  c  (  k )(a  c)  (a  c  2b) 0 nên BĐT thứ hai Bài Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh bất đẳng thức 1    2 (2 x  y  z ) (2 x  y  z ) (2 x  y  z ) 16 Cho x , y, z không âm thỏa x  y  z 1 Chứng minh bất đẳng thức  1   ( x y  y z  z x)    2  x2 1  y  z    (Bà Rịa – Vũng Tàu) Lời giải Trước hết xin phát biểu không chứng minh bổ bề quen thuộc Bổ đề Co x, y, z > Khi 9( x  y )( y  z )( z  x ) 8( x  y  z )( xy  yz  zx ) Trở lại toán Theo bất đẳng thức AM-GM , ta có  (2 x  y  z )  1  (( x  y )  ( x  z )) 4( x  y )( x  z ) Do BĐT ban đầu ta chứng minh   ( x  y  z ) ( x  y )( y  z )( z  x ) 4( x  y )( x  z ) 16   ( x  y  z )( xy  yz  zx) ( x  y )( y  z )( z  x )( xy  yz  zx ), Nhưng điều xy  yz  zx  x y z 3 theo bổ đề bên Từ ta có điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c = Chúng xin nêu hai cách chứng minh cho câu  Cách 1: Ta có ( x  y  z )( x  y  z )  x3  y  z  x ( y  z )  y ( z  x )  z ( x  y ) Áp dụng bất đẳng thức AM- GM x  y  z 1 ta có x2 y  y x  z x  (x  y  z) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:   1  1    3       2  x 1 y 1 z    x 1 y 1 z 1   Do ta chứng minh   1   3       x  y  z    2( x  y  z  27 1     2 4( x  y  z ) x 1 y 1 z 1  27 x2 y2 z2    3 4( x  y  z ) x  y  z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có VT  ( x  y  z )2 27  2 3 x  y  z 4( x  y  z )  VT  ( x  y  z )2 27  4( x  y  z ) Áp dụng BĐT AM- GM x  y  z  3( x  y  z )  ta có  27 ( x  y  z )2 ( x  y  z) 18 18       3 2 4( x  y  z ) 4( x  y  z ) 4( x  y  z ) 4.3 Từ ta thấy đpcm Cách 2: Ta có ( x  y  z )( x  y  z ) x  y  z x2 y  y z  z x   3 Do cần chứng minh x yz x yz x yz     x2 1 y2 1 z2 Ta có : xy  zx  zx  x  y  z 1 Do x 1 x Do x 1 x   x 1 x x      ( x  y )( x  z )  x  y x  z  y 1 y  z 1 z  Hay chứng minh yz zx xy   3 2 2 2 2x  y  z 2y  z  x 2z  x2  y Ta có :  xy   2x2  y  z  Suy :  y2 z2     x  y x2  z   yz   2x2  y2  z  Mặt khác:   zx     2z  x2  y2   2   x y     z  x2  y     3     yz zx x y     2 2 2   2x2  y  z 2 y  z  x z  x  y    yz zx x y 3     2 2 2   2x  y  z 2y  z  x 2z  x2  y  Suy yz x2  y  z  zx y  z  x2  xy 2z  x2  y       9   3 Do ta có đpcm Bài Cho a, b, c > thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức T ab bc ca    3a  4b  5c 3b  4c  5a 3c  4a  5b ab(a  2c)(b  2c) (Bắc Ninh) Lời giải Ta có ab 2ab 2 5ab ab   3z  4b  5c  5(a  b  2c)  (a  3b) 36   a  b  2c   a  3b  Bây ta chứng minh ab ab 1  a  b  2c  Ta có : ab ab   a  b  2c    c  a   b  c   (a  b  c)  Nên điều ta chứng minh: ab  a  3b  Để ý ab 1  a  3b 16   ab 3ab  1      a   3a   (a  b  c )  a b  16 4  ab 9  3a  4b  5c 18 (5  )  (1.3) Mặt khác 2   ab(a  2c)(b  2c) (ab  2bc)(ab  2ca) 2(ab  bc  ca)  3   2 3(ab  bc  ca) (a  b  c) 27 (1.4) 77 77  Vậy GTLN T Từ (1.3) (1.4) ta : T   a = b = c = 27 108 108 Bài Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1344  a  ab  abc 2016 a b c (Bến Tre) Lời giải Ta có : a  ab  abc a  1008 P  a b c a a a a b  b.4c a   b  (  b  4c)  (a  b  c)  4 4 2016   1008   1  1008  1008 Vậy GTNN P -1008 a b c  a b c  16 a  , b  , c  21 21 21 Bài Cho số thực dương x, y, z Chứng minh ( x) x2 x yz   y  z  ( y  z)    x yz yz xy zx     yz x y zx Bài (x  y )2  xy 0 (đúng) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh : a b c 3    bc a c a b a  b3  c  (Đồng Nai) Lời giải Ta có :  a 9 3 3      3 3 bc bc(b  c)  bc(b  c) 3( bc(b  c)) a  b  c  3abc a  b3  c  Bài Cho a, b, c 0 Tìm giá trị nhỏ P a b c   bc a c a b (Hà Nam) Lời giải Chuẩn hóa a + b + c = Ta chứng minh a a   a Điều tương đương b c 3 a với a (2a  3) 0 , hiển nhiên Cộng lại ta P  2 Vậy GTNN P kho có số hai số Nhận xét Một số bạn giải sau: Ta có P  a 2a 2a   2 phải xét trường hợp có số 0., để b c a b c a(b  c) ý nhân tử mẫu phân thức cho số, số phải khác Bài 10 Cho a, b , c > thỏa mãn ab + bc + ca + 2abc = Tìm giá trị nhỏ 1 P     2(a  b  c ) a b c (Hà Nội) Lời giải Dự đoán GTNN P đạt a b c  , ta cố gắng chứng minh BĐT 1 P     2( a  b  c) 3 a b c Từ giả thiết suy tồn số x, y, z > cho a x y z ,b  ,c  yz zx x y BĐT cần chứng minh trở thành  x yz zx x y y z    2    3 x y z  yz z x x y  Để ý  x yz zx xy y z    4     x y z  yz zx xy Nên BĐT ta chứng minh x y z    yz zx x y Nhưng dây BĐT Nesbitt quen thuộc, BĐT ban đầu x y z ,b  ,c  kinh điển việc đổi biến yz zx x y hóa để chứng minh BĐT, giúp đưa dạng tốn quen thuộc Ngồi cách khác cho loại giả thiết tương tự Cụ thể sau, x , y, z số dương : Nhận xét Cách đặt a   x  y  z  xyz 4  2cosA, y 2cosB, z 2cosC với A, B, C ba góc tam giác  xyz  x  y  z   x  b c ca a b với a, b, c > ,y ,z  a b c Bạn đọc dễ dàng kiểm tra cách đặt Ngồi cịn số toán khác liên quan đến cách đổi biến lượng giác : (USA 2001) Cho a, b, c không âm thỏa mãn a  b  c  abc 4 Chứng minh rằng: ab  bc  ca  abc 2 (Iran 2002) Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  abc 4 Chứng minh : a  b  c 3 Bài 11 Cho số thực dương a, b, c dương thỏa mãn a  b5  c5 3 Chứng minh a 6b  b c  c a 3 (Hà Tĩnh) Lời giải Đặt x a , y b5 , z c5 x + y + z = BĐT cần chứng minh tương đương với xy xy  xy yz  zx zx 3 Thep BĐT AM – GM  xy x, y ,z  xy  cyc xy ( x  y  3) xy ( x  y  x  y  z ) xy ( x  y )  xyz   5 cyc x, y,z 2( x  y  z )( xy  yz  zx)  3xyz 6( xy  yz  zx)  xyz  5 Mặt khác theo BĐT Schur ( x  y  z )3  xyz 4( x  y  z )( xy  yz  zx)  32  xyz 4.3( xy  yz  zx) Suy 6( xy  yz  zx) _ xyz 6( xy  yz  zx)  4( xy  yz  zx)   5 ( x  y  z )2  2( xy  yz  zx)    3 5 Vậy BĐT ban đầu chứng minh Dấu xảy a = b = c = Nhận xét Bằng cách tương tự ta giải toán tổng quát sau: Cho số thực dương a, b, c k 3 thỏa mãn a k  b k  c k 3 Chứng minh a k 1bk 1  b k 1c k 1  c k 1a k 1 3