Đề Ôn Luyện Hsg Môn Toán Lớp 12 Số 2 - File Word Có Lời Giải Chi Tiết.doc

ĐỀ BÀI Bµi 1 ( 4 ®iÓm ) Cho hµm sè 1 1 1   x xy ( C ) 1/ Kh¶o s¸t hµm sè 2/ T×m nh÷ng ®iÓm trªn ®å thÞ (C) cã hoµnh ®é lín h¬n 1 sao cho tiÕp tuyÕn t¹i diÓm ®ã t¹o víi 2 ®êng tiÖm cËn mét tam gi¸c[.]

BI Bài 1: ( điểm ) Cho hàm sè : y  x   x (C) 1/ Khảo sát hàm số 2/ Tìm điểm đồ thị (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến diểm tạo với đờng tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Bài 2: (2 điểm ) x 1 BiƯn ln theo m sè nghiƯm d¬ng cđa phơng trình : t dt m t Bài 3: (2 điểm ) Giải phơng tr×nh : x   x  x   x  x   x  x Bµi 4: (2 điểm ) Tìm giá trị thực m để phơng trình sau có nghiệm x  0;  :  4   6m Sin x  3 2m  1 Sinx  2 m  2 Sin xCosx   4m 3Cosx Bài 5: (2 điểm ) Tìm tam giác ABC có B = 2A ba cạnh có số đo ba số nguyên liên tiếp Bài 6: (2 điểm ) Tìm đa thức P x có bậc lớn thoả mÃn hệ điều kiện sau :  x    x   P' '  x   x x   P '  x   12 P x  0 ; x  R P1 27 Bài 7: (2 điểm ) 3Cos x  log 3   y 4  Gi¶i hƯ sau :  2 y  y    y  Bài 8: (2 điểm ) Hai hình chóp tam giác có chung chiều cao , đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp Mỗi cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên l hình chóp thứ tạo với đờng cao góc Cạnh bên hình chóp thứ tạo với đờng cao góc Tìm thể tích phần chung hai hình chóp Bài 9: (2điểm ) Cho c¸c sè thùc a, b, c 2 chøng minh bất đẳng thức sau : Log b c a  Log c a b  Log a b c 3 Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh Thanh hóa; Ngày 18 tháng 10 năm 2005 Lời giải chi tiết biểu điểm đề thi học sinh giỏi toán khối 12 Bài ý Bài 1 Lời giải chi tiết a) TXĐ : D = R b) Sự biến thiên: Điểm CBT: y ' 1   x  1 ; y’ = cã nghiÖm x = ; x = điểm HS đồng biến ;0 ; 2; nghịch biến khoảng 0;1; 1;2 Cực trị : Cực đại x =0 y CD Cực tiểu x=2 y CT Nhánh vô cực tiệm cận: Tiệm cận đứng x = 1; tiệm cËn xiªn y y ; Lim y  = x+1 vµ xLim   x    x  o y’ + - ‖  - + y  BBT : c) Đồ thị : Đồ thị qua gốc toạ độ O=(0;0) Tâm đối xứng I=( 1;2 ) ®iÓm y O x -1 2 Gäi M  a; y  a     C ; a  th× y  a  a    a a a PTTT ( C ) M là: y  y  a   y '  a  x  a   y  a  2a  a  1  x  a  a2 a (d) 0.5 ®iĨm TiƯm cËn ®øng x = ; TiƯm cËn xiªn y = x + Giao điểm tiệm cận I=( ; )   Giao ®iĨm cđa d víi tiƯm cËn ®øng x = lµ A  1; 2a   a  Với tiệm cận xiên : B  2a  1;2a  Ta cã AI  ; BI 2 a  a , nên AI BI a >  suy AB  AI  BI  AI BICos  AI  BI  4 Theo bất đẳng thøc C« si : AB 2 AI BI  AI BI 2   AI BI L¹i cã AIB   AI BI 0.5 ®iĨm  (1) Đặt p chu vi tam giác ABI :  AB 2 2 p  AB  AI  BI  AB  AI BI 2     44 Dấu đẳng thức xảy AI BI a 1  VËy Minp 2 2   44  a 1  1  Hay điểm cần tìm M ;2    2    0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm Bµi x x Ta cã  t   dt tdt  t 1 PT ®· cho tơng đơng với x x t2 1  dt   Ln t   x  ln x   2  1 t x  ln x m (1) 0.5 ®iĨm Sè nghiÖm dơng PT số giao điểm đờng thẳng y = m đồ thị hàm số f  x   x  ln x víi hoành độ dơng Xét hàm số : f  x   x  ln x trªn 0; Đạo hàm y ' x  ; y ' 0  x 1 x 0.5 ®iĨm Lim y  Lim y  x   x BBT x   o  y’ | o + | y   Từ BBT ta đợc : PT vô nghiƯm +/ Víi m  th× PT cã nghiƯm d¬ng nhÊt x = +/ Với m phơng trình có nghiệm dơng phân biệt +/ Với m Bài ĐK : x Đặt a x ; b   x ; c   x Ta cã x 3  a 4  b 5  c ab  bc  ca 3  a ab  bc  ca  Do ®ã 4  b ab  bc  ca  5  c ab  bc  ca  Nh©n vÕ víi vế PT ta đợc a b b  c  c  a  2 15 ( * )  15 a  b   15  Thay lÇn lợt phơng trình hệ vào PT ( * ) sÏ cã : Céng b  c   c  a  15   vế phơng trình hệ, có PT thay lần lợt PT hệ vào PT vừa có.Ta đợc nghiệm phơng trình đà cho là: Bài 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm  a  b  c  a  3   b  c  a  b  4  c  a  b  c  5  x 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm ®iĨm 671 240 Nhận thấy Cosx=0 không thoả mÃn PT , chia vế cho Cos x ta đợc phơng trình : tgx 1tg x 2mtgx 4m Đặt tgx = t , ta cã PT :  t  1 t  2mt  4m  3 0 (1)   §Ĩ PT ®· cho cã nghiƯm x   0;  th× PT (1) ph¶i cã nghiƯm t 1  4 Do PT (1) lu«n cã nghiƯm t 1  0;1 nªn PT t  2mt  4m  0 ChØ cã nghiƯm t = hc nghiệm thuộc đoạn [ ; ] §Ĩ ý r»ng t = không thoả mÃn Do f t   t  m 2t  0.5 điểm 0.5 điểm Xét f(t) [0;1] ta cã :  t  4t    0; t   0;1   f ' t     t  Bài điểm m Lập bảng biến thiên từ BBT ta ®ỵc :   m  Ta chøng minh bổ đề: Điều kiện cần đủ để tam giác ABC cã B= 2A lµ b a  ac (1) Thật vậy: Theo định lý CôSin tam gi¸c b a  c  2acCosB a  ac  c  2aCosB a  c a 2aCosB áp dụng định lý Sin, ta ®ỵc RSinC  RSinA 4 RSinACosB ®iĨm  SinC  SinA Sin A  B   Sin A  B   SinA Sin B  A Bài Do B = 2A  A, B   V× cạnh số nguyên liên tiếp nên với x N * a < b, ta có trờng hợp sau : a) Nếu a=x,b=x+1,c=x+2 : Khi từ (1) ta đợc x=1 suy a=1,b=2,c=3 Không thoả mÃn tính chất cạnh tam giác b) Nếu a=x,b=x+2,c=x+1 : Tõ (1) ta cã PT x  x  0 Suy a=4,b=6,c=5 ( tho¶ m·n ) c) Nếu a=x+1,b=x+2,c=x : Tơng tự x  x  0 , PT kh«ng cã nghiƯm nguyên dơng nên không thoả mÃn Vậy có tam giác thoả mÃn tam giác có độ dài cạnh : a = 4,b = 6,c =5 Giả sử đa thức cần tìm lµ: P x  a n x n  a n  x n    a1 x  a0 ; a n 0 P '  x  na n x n    n  1 a n  x n    2a x  a1 P' '  x  n n  1 a n x n   n  1 n  2 a n  x n   2a ®iĨm 0.5 ®iĨm Từ yêu cầu , ta có điều kiện cần : Hệ số luỹ thừa bậc (n + 1) phải mà hệ số lµ n n  1 a n  2na n n n  3 a n L¹i a n 0; n  nªn n n  3 a n 0  n 3 Do đa thức phải có dạng P x a3 x  a x  a1 x  a ; a3 0 Thay ®a thøc vào điều kiện (1) : 0.5 điểm 12a3 2a  x   8a  24a3  2a1  x   8a1  8a  48a3  x  12a0  16a 0; x  6a3  a 0 4a  12a  a 0  a 6a3     a1 12a3  a1  a  6a3 0  a 8a   3a  4a 0 Nªn P  x  a3  x  x  12 x Mặt khác P 27 ; Suy 27 a3 27  a3 1 0.5 ®iĨm Vậy đa thức cần tìm : P x  x  x  12 x Bài Bài 0.5 điểm Với x  R ta cã   y 4  2 3Cos x  Log 2 2 Log 2 Log 3   ( y  4) 1  y  (1) điểm Đẳng thức xảy Cos x 0  Cosx 0  x   k ; k  Z (2) Với điều kiện (1) / y /  / y  /  ( y  3) 8 trë thµnh : y  y 0    y 0 , kÕt hỵp víi (1) ta cã y = - (3) KÕt hỵp (1);(2) (3) ta có nghiệm hệ đà cho :    x   k ; k Z y Đặt hình chóp tam giác : O.ABC O.ABC với O tâm tam giác ABC O tâm tam giác ABC Theo OO đờng cao chung hình chóp Đặt D,E,F giao điểm cặp cạnh bên tơng ứng hình chóp Phần thể tích chung hình chóp thẻ tích khối đa diện ODEFO Ký hiệu V thể tích V OO'.S DEF OO' C vuông O nên OO ' l cos Do tính đối xứng nên OO qua t©m I cđa DEF Trong IOE ta cã : OI  IE cot g Trong IO' E cã: O' I  IE cot g Suy OO'  IE (cot g  cot g )  IE  OO' l cos   cot g  cot g cot g  cot g 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 điểm Tam giác DEF , đờng cao EJ  EI DiÖn tÝch S DEF  DE víi EJ DE   EI 3 Do ®ã S DEF  3l cos  4(cot g  cot g ) VËy thĨ tÝch phÇn chung cđa hình chóp : V l 3 cos  4(cot g  cot g ) 0.5 ®iĨm C' A' 0.5 ®iĨm O B' D I F E C A O' B Bài Bất đẳng thức Log a Log b Log c   3 (1) Log  b  c  Log  c  a  Log  a  b  1  1  a  b ab ,tơng tự ta đợc : a b b  c bc & c  a ac Do a.b.c nên Khi VT Log a Log b Log c 2x 2y 2z      Log bc Log ca Log ab y  z z  x x  y ®iĨm (2) Víi x  Log a; y  Log b; z  Log c Ta chøng minh: 2x 2y 2z   3; x, y, z 1 yz zx xy  2x   2y    2z             9   xy  yz  zx   1   9   x  y  z .   x  y y  z z  x   0.5 ®iĨm áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế trái , ta đợc điều phải chứng minh 0.5 điểm x; y; z 1  Log a  Log b  Log c    a b c 2 a b c 2 x  y  z  Dấu đẳng thức xảy Chú ý : Nếu thí sinh có lời giải theo cách khác mà cho điểm theo biểu điểm bµi