đề xuất ngân hàng đề Đề thi Học sinh giỏi THPT - Môn Toán o0o -C©u 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 c) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5) d) Trên đờng thẳng y = 9x 4, tìm điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến Câu 2: (3 điểm) Giải phơng trình sau: a) (7 2)cos x (17 12 2)cos x cos3x b) x 3x x x2 C©u 3: (4 điểm) a) Tìm m để bất phơng trình sau cã nghiÖm nhÊt: log m 11 log ( x mx 10 4)log m (x mx 12) 0 b) Tìm m để bất phơng trình sau với mäi x 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – Câu 4: (2,5 điểm) a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm x = 0: ax cos x víi x f(x) ln(1 2x) b víi x 0 1 b) TÝnh tÝch ph©n: I x2 (x x 1)(1 2006x ) dx Câu 5: (2,5 điểm) 2 2 15 6 15 Cho elÝp (E1): x y 1 , (E2): x y 1 vµ parabol (P): y2 = 12x a) ViÕt phơng trình đờng tròn qua giao điểm elíp b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung (E1) (P) Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vuông góc với đáy SA = a M điểm khác B trªn SB cho AM MD TÝnh tØ sè - SM SB ®Ị xuất ngân hàng đề Đáp án đề thi Học sinh giỏi THPT Môn Toán o0o -Chó ý: + Đáp án gồm trang +Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết cho điểm tối đa Câu ý 1a Nội dung điểm 0,25 - Tập xác định: D = R - Sù biÕn thiªn: x 0 x + ChiỊu biÕn thiªn: y’ = 3x2 + 6x = Hàm số đồng biến khoảng (-; -2) (0; +); hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại điểm (0; 1) đạt cực tiểu điểm (-2; 5) 0,25 0,25 + Giới hạn: lim y đồ thị hàm số không cã tiÖm cËn x + TÝnh låi lâm điểm uốn: y = 6x + = x = -1 Đồ thị hàm số lồi khoảng (-; -1), lõm khoảng (-1; +) có điểm uốn (-1; 3) + Bảng biến thiên: x - -2 -1 + y’ + 0 + + y - - Đồ thị: Đồ thị hàm số qua điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) vµ (1; 5) NhËn điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng y 0,25 0,25 0,25 -3 1b -2 -1 x Ta cã: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1) x3 + 3x2 + = m2 + 3m2 + = a sè nghiƯm cđa phơng trình (1) số giao điểm đồ thị (C) đờng thẳng y = a, từ đồ thị câu a ta có: - Phơng trình (1) cã nghiƯm nÕu a > hc a < - Phơng trình (1) có nghiệm a = a = - Phơng trình (1) cã nghiÖm nÕu < a < XÐt hµm sè f(m) = m3 + 3m2 + f(m) có đồ thị (C), nên từ đồ thị câu a ta có: 0,25 0,25 1c - a > m > 1; a = m = hc m = -2 - a < m < -3; a = m = -3 hc m = - < a < -3 < m < VËy ta cã: + Víi m > hc m < -3 phơng trình (1) có nghiệm + Với m = -3 hc m = -2 hc m = m = phơng trình (1) có nghiƯm + Víi -3 < m < vµ m -2, m phơng trình (1) có nghiệm phân biệt Gọi phơng trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng: y = k(x – 1) + y = kx + k Vì tiếp tuyến (C) nên ta cã: x 3x kx k x 2, k 0 x 1, k 9 k 3x 6x 1d Cã tiÕp tuyÕn (C) qua điểm (1; 5) là: y = vµ y = 9x – Gäi M (x0; 9x0 4) điểm đờng thẳng y = 9x Đờng thẳng qua M có phơng trình dạng: y = k(x x0) + 9x0 – Ta cã: x 3x k(x x ) 9x k 3x 6x Để có tiếp tuyến qua M hệ cần có nghiệm phơng trình sau cần có nghiƯm ph©n biƯt: (x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + – 9x0] = 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 x 1/ Tõ ®ã ta cã ®iỊu kiƯn cđa x0 lµ: x x Vậy điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x 4) với điều kiện: 0,25 x 1/ x x 1 2a 0,25 TËp xác định: D = R Phơng trình đà cho tơng đơng với phơng trình: (1 2)3 cos x (1 2)4 cos x 4 cos3 x 3cosx (1 2)3 cos x 3cosx 4 cos3 x (1 2)4 cos x XÐt hµm sè f(t) = (1 2)t t , ta có f(t) đồng biến với t nên ta cã: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x cos3x = x = 2b k , k Z Ta cã: x4 + x2 + = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > x2 – 3x + = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1) 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 Đặt t x x , t > Ph¬ng trình trở thành: 0,50 x x t 0 2t t 0 t 0,25 x2 x 1 x2 x 0,25 x=1 3a Điều kiện: m > m 1, x2 + mx + 10 BÊt phơng trình đà cho tơng đơng với: log7 ( x mx 10 4)log11 (x mx 12) 0 (*) log11 m §Ỉt u = x2 + mx + 10, u + Víi < m < 1: (*) f(u) = log7( u + 4)log11(u + 2) Ta thấy f(9) = f(u) hàm đồng biÕn nªn ta cã: f(u) f(9) u x2 + mx + 10 x2 + mx + Vì phơng trình trªn cã = m2 – < víi < m < nên phơng trình vô nghiệm bất phơng trình đà cho vô nghiệm + Víi m > 1: Ta cã: f(u) = f(9) u 0,50 0,50 0,50 x mx 10 0 (1) x + mx + 10 x mx (2) 3b Xét phơng trình x2 + mx + = cã = m2 – NÕu < m < < (2) vô nghiệm bất phơng trình đà cho vô nghiÖm NÕu m > > phơng trình có nghiệm thoả mÃn (1) (2) bất phơng trình đà cho có nhiều h¬n mét nghiƯm NÕu m = (2) cã nghiệm x = -1 bất phơng trình ®· cho cã nghiÖm nhÊt x = -1 VËy giá trị cần tìm m là: m = -2 §Ỉt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở thành: tìm m cho maxf(x) 2m – Ta cã f2(x) = + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx §Ỉt t = sinx + cosx, t Ta cã: 0,50 f2(x) = g(t) = + 4t + 22t2 + 2t – 1 víi 0,25 t XÐt sù biÕn thiªn cđa g(t) ta cã: max g(t) 4( 1) 2; 0,25 0,25 0,75 Vì f(x) nên ta có: maxf(x) = max f (x) max g(t) 2( 1) VËy ta cã: 2( 1) 2m m 3 2 4a Hàm số có đạo hàm x = liên tục x = 0,25 0,25 0,25 0,50 lim f(x) lim f(x) f(0) b 1 x x 3 Ta l¹i cã: f '(0 ) lim ax cos x a x 0 x ln(1 x) Vµ f '(0 ) lim 2 a = x x 0,25 4b Vậy hàm số có đạo hàm x = a = vµ b = Chứng minh đợc: I x 1 (x x 1)(1 2006 x ) dx 1 1 x2 x x dx 1 1 x I dx 1 (x ) 1 x /4 §Ỉt x tgt I dt x /4 1 5 5a 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 Toạ độ giao điểm elíp (E1) (E2) nghiệm hệ phơng x2 y2 15 1 60 2 tr×nh: x y 2 x y 1 15 0,50 0,50 Vậy đờng tròn qua giao điểm elÝp lµ: x2 y2 5b 60 Gọi đờng thẳng Ax + By + C = (A2 + B2 0), lµ tiÕp tun chung cđa (E1) vµ (P) Ta cã: 15A 6B C 0 6B 2AC C 5A C 5A VËy cã tiÕp tuyến cần tìm là: 3x 5y 0 1,0 0,50 S H 0,25 D A B C Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ nh h×nh vÏ Suy ta cã: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a ) vµ a a B= ; ;0 Suy phơng trình SB lµ: 2 2x 2y z a a a a Gäi M(x0; y0; z0) thuéc c¹nh SB, ta cã: y 3x z a 3x Mặt khác AMDN AM.DM 0 3a x02 – 2ax0 + y02 + z02 = x 3 3a 3a a SM M ; ; SM SB hay 8 4 SB 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 -HÕt Hướng dẫn tìm tải tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6