ÔN TOÁN CAO CẤP bài tập tổng hợp giải chi tiết

Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết PAGE: Love NeverDies GROUP: Toán cao cấp – Tài liệu NEU ĐỀ BÀI: SƯU TẦM HD GIẢI: LND9492 SĐT: 0986.960.312 FB: https://www.fb.com/LND9492 TOÁN CAO CẤP - NEU BÀI TẬP TỔNG HỢP & GIẢI CHI TIẾT Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết LỜI NĨI ĐẦU Chào em, họ Hoàng Bá, tên Mạnh (1994 – chưa rõ)! Đây tập tổng hợp biên soạn dựa câu hỏi từ đề kì, đề cuối kì khóa Tài liệu chia thành chương theo nội dung chương trình học tốn NEU, tập chương lại phân nhỏ dạng để người dùng dễ dàng tiếp cận nắm bắt Tất nhiên lời giải chỗ sơ sót, thay số sai, nên gặp vấn đề vướng mắc, chưa rõ, sai rõ ràng mong em thơng cảm, bình tĩnh gửi phản hồi cho page Love NeverDies Mình đỗi cảm ơn chắn giải đáp tận tình, chu đáo! Ôn tập chăm thi tốt đồng môn đệ, sư muội! Sưu tầm & Biên soạn LND9492 Manh163 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết Mục Lục PHẦN I: ĐỀ BÀI Chương 1: Giới hạn tính liên tục hàm số 1.1 Bài tập giới hạn 1.2 Bài tập liên tục hàm số Chương 2: Đạo hàm vi phân hàm số 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau 2.1.2 Chứng minh hàm số sau liên tục đạo hàm x 2.1.3 Chứng minh hàm số có hàm ngược tính 2.1.4 Tìm khoảng tăng giảm cực trị (điểm cực trị) hàm số 2.1.5 Khai triển Taylor, Mac Laurin 2.1.6 Ứng dụng phân tích kinh tế 2.2 Vi phân Chương 3: Hàm nhiều biến: Đạo hàm riêng – vi phân – cực trị 3.1 Đạo hàm riêng 3.2 Vi phân toàn phần 3.3 Cực trị 3.4 Ứng dụng phân tích kinh tế Chương 4: Tích phân 10 Chương 5: Phương trình vi phân 11 PHẦN II: GIẢI CHI TIẾT 12 Chương 1: Giới hạn tính liên tục 12 1.1 Giới hạn 12 1.2 Tính liên tục 16 Chương 2: Đạo hàm - vi phân – PT kinh tế 18 2.1 Đạo hàm 18 2.1.1 Dùng định nghĩa 18 2.1.2 Xét tồn đạo hàm điểm 20 2.1.3 Bài toán hàm ngược 21 2.1.4 Tìm khoảng tăng giảm, cực trị (điểm cực trị) hàm số 22 2.1.5 Khai triển Tay-lor, Mac Laurin 25 2.1.6 Ứng dụng phân tích kinh tế 27 2.3 Vi phân 29 Chương 3: Hàm nhiều biến: đạo hàm_vi phân_cực trị_PT kinh tế 30 3.1 Đạo hàm riêng 30 Dạng 30 Dạng 30 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết 3.2 Vi phân toàn phần 32 3.3 Cực trị 34 3.4 Ứng dụng phân tích kinh tế 38 Chương 4: Tích phân 43 4.1 Phân thức 43 4.2 Lượng giác 43 4.3 Căn thức 43 4.4 Từng phần 44 4.5 Tích phân suy rộng 45 Chương 5: Phương trình vi phân 47 5.1 Phân ly biến 47 5.2 Đưa phân ly biến 48 5.3 Phương trình vi phân tồn phần 50 5.4 Thừa số tích phân 51 5.5 Phương trình tuyến tính tổng qt 54 5.6 Phương trình Bernoulli 57 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết PHẦN I: ĐỀ BÀI CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Bài tập giới hạn Thay VCB tương đương L1 = lim ( sin 2x − 4x − L = lim x →3 ( ln x − 26 x →3 ln ( cos3x ) ( ) ) 1− x ln (1 − x ) L = lim x →0 L = lim ) ln + tan x x arcsin ( ( tan − x ) ) L = lim ln (1 + x tan x ) x + sin x x →0 1  − cot 3x   x  3x  L = lim ( ) sin x − x x sin x x →0   Ứng L11 lim− sin (π x ) ln ( − x )  L10 lim  cot x= = − 2 x →3 x →0 x   dụng 1− cos3x đạo hàm ∫0 sin t dt ln (1 + tan 3x ) − 3x L13 = lim+ x L14 = lim −2 x x →0 x →0 e − + tan ( −2x ) ∫ ln ( cos 2t ) dt 3x − + 8x L12 = lim x + − x + 3x x →−∞ x ∫ ln ( − cos t ) dt L15 = lim ∫ (e x →0 ( x x + − cos x = L17 lim sin x + − sin x x →+∞ x →+∞ x − 4x + L16 = lim ( = L19 lim 2x + 2 Lũy x →+∞ thừa 2x mũ L 22 = lim ( tan 3x ) ) x ( = L 20 lim e 3x − cos x x →+∞ −x ( L 23 lim x + cos3x = x →0 + x →0 ) ) t2 ) − dt x Kẹp sin x x3 x →0 sin 3x − 2x − x →2 L lim+  ln x ln (1 + x= = ) L lim x →0 x →0 L = lim − ( cos x ) ) x 3x − sin 5x x →+∞ e 2x L18 = lim L 21 = lim ( x cot x ) x x →0 ( = L 24 lim x + sin x x →+∞ x ) x ) ( Nhân − 5x sin x − 4x + L 25 lim x − 2x + x L 26 = lim liên = = L 27 lim ( 2x + 1) x →−∞ x →0 tan ( −x ) ln ( cos3x ) x →−∞ x3 +x hợp 1.2 Bài tập liên tục hàm số π  ;x ≠  − x cos (1) f ( x ) =  x −1  ;x =  3 ;x ≠  − x sin (3) y =  x −1  ;x =    (2) f ( x ) =  + sin x  e3    + 4x 1−cos2 x ; x ≠ (5) y =   a ;x =0  x  ;x ≠  − x sin (6) y =  x −2  ;x = a  ( ) ( (4) f ( x ) = ) x2 ;x ≠ ;x =0 x +2 1 + e −x ( ( ) Tìm a để hàm số 5 liên ;x ≠3  ( x − 3) arctan (7) f (x ) =  x −3 tục  a ;x =3  ) Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ 2.1.Đạo hàm 2.1.1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau ( ) ( ) a, y = f ( x )= x + − x − b, y = x − sin x + c, f (x ) = x − ln 5x + 4 ; x ≠ −1  ( x + 1) cos d,y =  x +1  ; x = −1 5 ;x ≠  ( x − ) arctan e, y =  2−x  ;x = 2 3 ;x ≠  ( x − 3) sin f, y =  3−x  ;x =  2.1.2 Chứng minh hàm số sau liên tục khơng có đạo hàm x a) x f (x) = x −1 +1 , x0 =1  arctan x ; x ≠ c , f (x ) =  π  ;x =  b) y = x − arctan ( x − 1) , x0 = 2.1.3 Chứng minh hàm số có hàm ngược tính a, y = f ( x ) = x − 3x + 6x − TÝnh f −1 (2) TÝnh f −1 (π ) TÝnh f   2x − x d,y = f ( x ) =− 3x − 3cos  x + e, y = f (x ) = ( )′ ( ) −1 TÝnh f c= , y f (= x ) 2x + ln x b,= y f ( x= ) 2x − cos x ; π  6 (2) f , y = f ( x ) = x − 3x + 3x + ( )′ ( ) TÝnh f ( )′ (π ) TÝnh f −1 −1 −1 2.1.4 Tìm khoảng tăng giảm cực trị (điểm cực trị) hàm số (1) y = − 3x ( + x ) x e x ∫ e t t − 1dt (3) f ( x ) =− (2) f ( x ) e −3x ( 4x + 1) = 2  3x − x  = + 2t dt  (4) y  ∫     x2  πx x2  x π x (5) y arctan −  + ( − x ) arctan + ln  +  + = −x   4   3− x  x −2  (7) y = ∫ + t dt + 2x (6) y  ∫ e t 2t + 3dt  =   x π −2 x − arccos + x − x − x (8) y = ( ) 2.1.5 Khai triển Taylor, Mac Laurin x ) ln (1 + x ) (2) f (= (1) y e x 3x + Mac Laurin cấp = ( ) x +1 Mac Laurin cấp (3) f ( x= ) ln x − 5x + Mac Laurin cấp (4) y= 4xe x + x + , Taylor bậc x = (5) = y x 3x + , Mac Laurin bậc (6) f ( x ) = (7) y = ( x + 1) arcsin ( x + 1) , Taylor bậc −1 (8) y = ( x − 1) arctan ( x − 1) ,Taylor bậc 3 (9) y = 3x − , Taylor bâc −1 x + 5x + x e −6 x , Mac Laurin cấp x + 15x + 26 (10) y = ∫ e sin x dx , Mac Laurin cấp 2.1.6 Ứng dụng phân tích kinh tế Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết D 100 − p Tính hệ số co giãn cầu 1) Một doanh nghiệp độc quyền đứng trước đường cầu Q= theo giá mức giá p = 10 nêu ý nghĩa 2) Hàm cầu hàm cung người tiêu dùng loại sản phẩm 54 p ;Q s = p + 10 Tính hệ số co dãn hàm cung hàm cầu mức giá cân Qd =− giải thích ý nghĩa TR 200Q − Q Tính hệ số co giãn cầu theo giá 3) Một công ty độc quyền có hàm doanh thu= p = 50 giải thích ý nghĩa mức giá 5Q , Q sản lượng Tính hệ số co giãn TC theo Q Q = 17 Q +3 giải thích ý nghĩa kinh tế kết nhận 4) Biết hàm tổng chi phí= TC 5000 + 5) Ước lượng hàm sản suất công ty có dạng = Q 90L ( L > ) Cho biết giá sản phẩm 3, giá thuê đơn vị lao động chi phí cố định 100 000 Xác định mức sử dụng lao động L để công ty tối đa lợi nhuận = 300 − Q hàm tổng chi phí 6) Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biến MR TC = 2Q + 30 Tìm mức sản lượng mà doanh nghiệp tối đa lợi nhuận 7) Hàm cầu đối sản phẩm nhà độc quyền Q= 80 − 0,2 p Hàm chi phí biên nhà sản suất mức sản lượng MC = 3Q − 20Q + 200 Tính hệ số co dãn cầu theo giá mức doanh nghiệp tối da lợi nhuận nêu ý nghĩa kinh tế kết nhận = p 1400 − 4Q : 8) Hàm cầu thị trường sản phẩm hãng độc quyền có dạng a Tính hệ số co dãn cầu theo giá p = 80 ý nghĩa b Biết hàm chi phí sản xuất hãng TC =Q − 7Q + 80Q + 844 , xác định mức sản lượng tối đa lợi nhuận 2.2.Vi phân (1) Viết biểu thức vi phân hàm số sau: ( x − 1) 3x + 2x +   b , y = ln c , y = ln  tan = a, y e x 2x +   (x − 2) ( ) (2) Cho hàm số f (= x ) 3x + 4x Tính df (1) trường hợp a, ∆x = b , ∆x = 0,2 c , ∆x = 0,05 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN: ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN – CỰC TRỊ 3.1.Đạo hàm riêng  3y (2)w = x2 +y2 f  x −y −1 (3) Cho f ( x ) khả vi x f ( −1= ) 1; f ′′ ( −1=) Xét hàm số ) ( ( x + 2y f x − y (1)w = ( ) ( ) ) w = ( 2x + 3y ) f x − y Hãy tính đạo hàm riêng cấp 2: Dạng (4)w e −3x y ( 5zx + y x ) Tính w ( −1;2;0 ) = (6) Cho f (u ;v )   x  −x g     4y  ∂ 2w ( 0; −1) ∂x ∂y x y  ∂u ∂u (5) u = f  ;tan  cmr: x +y = x  ∂x ∂y y thỏa mãn f (1;0 ) = f u′ (1;0 ) = 2; f v′ (1;0 ) = −1 y y −x  w = x y f  ;sin  Tính: w x′ ( 2;2 ) 2x + y  x (2) f ( x= ; y ) y 3 − x Tính f x′ ( 2;1) x;y ) y − Tính f y′ (1;3) (1) f (= x 2y −1  ; ( x ; y ) ∈ 2 : x ≠ x y + arctan x (3) w =  Tính f x′ ( 0;3) ; f y′ ( 0;3)  ; (x ; y ) ∈  ;x =  (  x + xy − y ;x + y ≠  Dạng (4) f ( x ; y ) =  x + y  ; x= y=  )  xy 2x − y  ;x + y ≠ (5) f ( x ) =  x + y  ; x= y=  Tính f xy′′ ( 0;0 ) Tính f x′ ( 0;0 ) , f y′ ( 0;0 )  x + xy − y ;x + y ≠  (6) f ( x ; y ) =  x + y  ; x= y=   x + 2y ;x + y ≠  (7) f ( x ; y ) =  y + 3x  ; x= y=  Tính f xy′′ ( x ; y ) Tính f x′ ( x ; y ) 3.2.Vi phân toàn phần Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số sau 1) = z ( 5x +7 ) −3x + y 2)= w (y + 3arc cot x ) y  5x + 5z  3)w =    2y  sin y x z x 4) z = z ( x ; y ) xác định bởi= ln + 5) z = z ( x ; y ) xác định= z e y sin + y z y z 2 6) Biểu thức vi phân toàn phần cấp F ( x ; y ) =4 + y − 8x + 4x + y 7) Biểu thức vi phân toàn phần cấp z = z ( x ; y ) xác định x + y + z − x + y − z − Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 = Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết 3.3.Cực trị Cực trị tự a, u = 3x + y + 5z − 4xz + 6x + y − 15 b, w = −3x − y − 11z + 6xz − 12x + 12 y + 20z − d, u = −x − y − 9z − yz + 6x + 8z + c, w = 4x + y + 5z − 4xy + 12 y − 15z + 1 f , z = y − 12xy + 6x + 11 e , z = y − 8xy + 4x + 13 = g , z z ( x ; y ) ( z ≥ 1) xác định bởi: = h , z z ( x ; y ) ( z > 1) xác định phương trình: x + y + z − 2x − 12 y − 15z + 27 = x + y + z − 2x − 12 y − z + 14 = Cực trị kèm điều kiện 656 1) w = x 0,5 y 0,3 điều kiện 5x + y = 1 1 3) z= + điều kiện + = x y x y 280 2) w = x 0,8 y 0,6 điều kiện 8x + y = 3.4.Ứng dụng phân tích kinh tế Hàm sản xuất Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = K L a Đánh giá hiệu theo quy mơ doanh nghiệp b Hãy tính sản phẩm vật cận biên tư lao động mức = = L 16; K giải thích ý nghĩa 2 Cho hàm sản xuất Q = 65K L a Tính sản phẩm vật cận biên theo vốn lao động mức K = 64, L = 125 cho biết ý nghĩa kinh tế b b Nếu giá đơn vị tư K 16$ giá đơn vị lao động L 7$ doanh nghiệp sử dụng yếu tố đầu vào mức k = 64, L = 125 doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị tư hay đơn vị lao động ngày? Vì sao? Giả sử hàm tổng chi phí doanh nghiệp cạnh tranh là:TC = 7Q12 + 2Q 22 + 5Q1Q = p 45 Hãy định mức sản lượng cho Biết giá sản phẩm tương ứng = p1 65, lợi nhuận tối đa Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí: TC = Q12 + 2Q1Q + Q 22 + 40 Cực trị tự 35 − 0,5 p1 ; Q = 40 − p Hãy Cầu thị trường xác sản phẩm sau Q1 = chọn mức sản lượng kết hợp giá bán cho lợi nhuận tối đa Tại điểm tối đa hóa lợi nhuận, giả sản phẩm tăng 3% cầu sản phẩm thay đổi nào? Một doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất kết hoạp loại sản phẩm với hàm tổng chi phí kết hợpTC = Q12 + 2Q 22 + Q 32 + Q1Q + 2Q 2Q Hãy chọn kết hợp sản lượng cho = p 28$; = p 26$ lợi nhuận tối đa giá sản phẩm= p1 20$; Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán hai thị trường khác (Được phép phân biệt giá) Cho biết hàm chi phí cận biên: MC = 3,5 + 0,1Q ; (Q = Q1 + Q ) 24 − 0,3Q1 p= 18 − 0,15Q Và cầu thị trường sản phẩm: p= Xác định giá bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết Cho hàm lợi ích hộ gia đình tiêu dùng loại hàng hoá U = 10x 0,6 y 0,4 x lượng hàng hố thứ nhất, y lượng hàng hoá thứ Trong điều kiện giá hàng hoá thứ 10$, giá hàng hoá thứ 3$ thu nhập dành cho tiêu dùng 3000$ Hãy xác định cấu tiêu dùng tối đa hố lợi ích xác định mức lợi ích tối ưu tăng thêm lượng tiền dành cho tiêu dùng tăng 1$ (và tăng 1%) Cực trị điều kiện Cho hàm lợi ích U = 20x y với x,y lượng cầu hàng hóa Biết giá đơn vi ḥ àng hóa $8 $4 Hãy tìm lượng cần x,y để người tiêu dùng tối thiểu hóa chi tiêu với lợi ích khơng đổi 400 Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 120K 0,7 L0,4 Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm mức sử dụng yếu tố đầu vào sản xuất cho doanh nghiệp phải bỏ chi phí nhỏ sản xuất Q = 4000 đơn vị sản phẩm Cho biết giá thuê tư = ; w L 14 lao động lần lượt= w K 16 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 20K 0,4 L0,4 Giả sử giá thuê đơn vị tư $10, giá thuê đơn vị lao động $8 doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định $320 Tìm mức sử dụng lao động tư để doanh nghiệp có sản lượng cực đại Khi ngân sách sản xuất tăng 3% sản lượng cực đại thay đổi nào? CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN 4.1 Phân thức 4.2 Lượng giác 4.3 Căn thức dx 1)∫ 4x − 5x + 1)∫ 1)∫ dx cos3 x 2)∫ dx + 6x (1 + 3x ) 4.5 Suy rộng Tính cho biết tích phân sau hội tụ hay phân kì xdx x + 5x + 3)∫ dx cos4 x 3)∫ −1 dx 2)∫ x − 4x + d ,∫ e, ∫ ln ( 2x + 5) x2 1)∫ dx dx x 4x − 5x + x 4) ∫ x 2e dx −∞ 7) ∫ e −2 x cos 2xdx −∞ arctan x dx x2 +∞ xdx 2) ∫ 4x − 20x + 26 −∞ +∞ 5) ∫ dx x + (2 + x ) +∞ 8) ∫ ( 3x + ) sin 5xdx 6)∫ dx sin x + cos x + −x − 4x + dx −2 a, ∫ ( 7x − 1) e 3x +1dx 5)∫ dx 3) ∫ 2x + − x dx x2 b , ∫ ( 3x − 1) cos ( −3x ) dx 4)∫ x + x dx 4.4 Từng phần dx 2)∫ −5 + 4x − x x 4x − c , ∫ e −3x sin 2xdx  x  f ,∫4 x +  e dx x x   +∞ 3) ∫ dx x + 3x − 4 +∞ 6) ∫ e − x cos 2xdx +∞ 9) ∫ ln ( 5x − ) x2 dx 10 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết d (x ) arctan x arctan x arctan x dx xdx ⇒I= − +∫ = − + = − + = ∫ ∫ x (1 + x ) x x x x (1 + x ) x (1 + x ) arctan x  1  arctan x x2 ln dx = − + ∫ − = − + +C   x + x2  + x2 x x f ex  x  x + = + x e dx xe dx I1 + I 4  ∫  ∫ ∫ x x dx = x x e x dx Trong đó: I = ∫ x x  e x e x dx  2e x dx I1 = ∫ xe x dx = ∫ xd ( e x ) = xe x − ∫ d ( e x ) = xe x −  = xe x − ∫ + ∫ = x x  x x x  x ex e x dx  −∫ = 4 x −  e − I2 x x x  x  x  x   Vậy, ∫  x +  e dx = I1 + I =  x − e + C x x x   = xe x − 4.5 Tích phân suy rộng 3 dx dx (1) = = lim lim I ( t ) ∫ ∫ 2 x x − 5x + I (t ) = ∫ t + t →1 t x x − 5x + x x2 − 5x + = ∫ t 1 d  x dx 1 5 = −∫ = − ln − +  −  − = t 2 x x   t   4− +  −  − x x  x 2 dx t →1+ x2 13 22 13 − 22 1  1  = ln − +  −  − − ln − + = ln − +  −  − − ln 6 t t t 2 t 2 2  13 − 22  13 − 22 1   lim+ I ( t )= lim+ ln − +  −  − − ln = ln − ln = ln t →1 t →1  6 t  13 − 22 t 2   +∞ xdx xdx (2) ∫ = + ∫ x − 20 x + 26 −∞ x − 20 x + 26 −∞ Trước hết, ta tìm nguyên hàm: +∞ ∫ 4x xdx = I1 + I − 20 x + 26 d ( x2 ) 1 d ( x − 5) xdx arctan ( x − ) + C = = 2 ∫ x= ∫ ∫ − 20 x + 26 + ( x − ) + ( x − 5) Từ ta có:  5  arctan ( 2u − )  xdx xdx π  arctan ( x − )  = I1 = lim ∫ = lim  = lim  − − ∫−∞ x − 20 x + 26 =  u →−∞ u →−∞ x − 20 x + 26 u →−∞ 4   u  u   v  +∞ v  arctan ( 2v − )  π xdx xdx  arctan ( x − )  =  lim = lim = I ∫=  ulim →−∞ x − 20 x + 26 v →+∞ ∫5 x − 20 x + 26 v →+∞  4      2 5 45 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 +∞ ⇒ ∫ 4x −∞ Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết xdx = I1 + I = − 20 x + 26 +∞ t dx dx (3) = = lim I ( t ) ∫2 x + 3x − tlim →+∞ ∫ x + x − t →+∞ dx dx dx  1  1 ∫2 ( x − 1)( x + ) = ∫2  x − − x +  dx = ∫2 ( x − 1)( x + 1) − ∫2 x + = t t dx = I (t ) = ∫ x + 3x − t  1  −   dx − ∫ ∫ 10  x − x +  20 t = = t dx x 1+   2 = t t x −1 t xt − arctan = ln 10 x + 10 22 π t −1 t − arctan + ln + ln 10 t + 10 40  1 π  π  t −1 t t 1− t  − arctan = + ln −  lim − arctan = + ln + ln ⇒ lim I ( t ) = lim  ln t →+∞ 10 t →+∞ t + 10 40  t →+∞  10 + 10 40   t   π π π = = ln − ln1 − + ln + 10 20 40 40 0 x x (4) = = ∫ x e dx lim ∫ x e dx lim I ( t ) t →−∞ −∞ t →−∞ t 0 x x t x u = x d = xdx  3 3 I ( t ) = ∫ x e dx : đặt  6 I t x e xe dx t e xe ⇒ ⇒ = − = − − x ( ) x  ∫t ∫t dx t 3 t dv = e dx v = 3e = u x= du dx t x t t t  0 x    ⇒ −3t e −  xe − 3∫ e dx  = −3t e − 18 xe − 54e + 54 Đặt  x x ⇒ I (t ) = t t   dv e= = dx v 3e t t t   2t + ( L ) t + 6t + 18 ( L ) 3 lim I ( t ) =lim  −3t e − 18 xe − 54e + 54  =54 − lim =54 − lim = t t t →−∞ t →−∞ t →−∞ t →−∞ − −3   e − e ( L) = 54 − lim = 54 − = 54 t →−∞ − t e x Vậy, I = x x e dx ∫= 54 −∞ +∞ t dx dx = = lim I ( t ) (5) ∫0 x + ( + x ) tlim ∫ →+∞ x + + x ( ) t →+∞ ( ) x +1 t π arctan = x +1 arctan t + − ∫0  = 2 1+ x +1    π  1π π π 1 − = lim I ( t= lim  arctan t + − = )  t →+∞ t →+∞ 8 2 8  I (t ) = t d ( +∞ ) t −x −x (6) = = ∫ e cos xdx lim ∫ e cos xdx lim I ( t ) t →+∞ t →+∞ 46 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 t Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết t I (t ) = − ∫ cos xd ( e ∫ e cos xdx = −x 0 −x t −e cos x + ∫ e )= t −x −x t sin xdx = − e cos 2t − ∫ sin xd ( e − x ) = −t   t = − e − t cos 2t −  e − x sin x − ∫ e − x cos xdx  = − e − t cos 2t − 2e − t sin 2t + I (t ) 0   1 ⇒ 3I ( t )= e − t ( cos 2t + 2sin 2t ) − ⇒ I ( t )= e − t ( cos 2t + 2sin 2t ) − 3 1 1 1 ⇒ lim I ( t ) =lim  e − t ( cos 2t + 2sin 2t ) −  =− + lim e − x ( cos 2t + 2sin 2t ) t →+∞ t →+∞ 3 3 t →+∞  −t e −2t cos x lim= e −2t sin x nên: Ta thấy lim e = cos x ≤ 1; sin 2t ≤ ⇒ lim= t t →+∞ t →+∞ t →+∞ 1 lim I ( t ) =− + lim e − t cos x + lim e − t sin 2t =− t →+∞ 3 t →+∞ t →+∞ +∞ Vậy, ∫ e− x cos xdx = − CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 5.1 Phân ly biến (1) −1 −1 − dx xy′ xdy dy dy dx dx = ⇒ = ⇒ = ⇒∫ = −∫ ⇒ ln y = −∫ y ydx y x 2x + y x 2x + x 2x + 2x + 2x + t −3 dx : đặt = Tính I = ∫ t ⇒ dx= tdt thay vào I ta được: x + ⇒ x= x 2x + tdt dt dt  1  =2 ∫ =2 ∫ = ∫ − I =∫  dt = t −3 t −3 t− t+ 3 − + t t 3 t ( = t− +C ln = t+ ln ) )( 2x + − +C 2x + + Từ ta có tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: 2x + − ln y = ln − +C 2x + + (2) y′ − 3x y = x y ⇒ y′ = 3x y + x y ⇒ dy dy dy x3 = x2 (3 y + y3 ) ⇒ = ⇒ = x dx ∫ y + y3 + C dx y + y3 Tính dy = = I ∫ y + y3 ∫ dy y2 1 4y  1 = = ln y − ln ( + y ) + C= + C0 dy ln  −  6 + y2 y (3 + y2 ) ∫  y + y  Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: (3) ( x − 3x + ) y′ + y= y ( x + 1) ⇒ ( x − 1)( x − ) y′= y ( x − 1) (*) Dễ thấy x = thỏa mãn phương trình Xét x ≠ , từ (*) ta có: y2 x3 = +C ln + y2 dy dy dx dy dx =y⇒ = ⇒∫ =∫ ⇒ ln y = ln C ( x − ) ⇒ y = C ( x − ) dx y x−2 y x−2 Rõ ràng x = nằm nghiệm nên nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho là= y C ( x − 2) ( x − 2) 47 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết 5.2 Đưa phân ly biến a) = y′ sin ( x − y ) dy  dz dz dz dz  = 2− Đặt z = x − y ⇒  dx = − sin z ⇒ = dx ⇒ ∫ = x + C (*) dx ⇒ − sin z − sin z dx  y′ = sin z Tính I = ∫ dz z 2t 2dt ; dz = : đặt t = tan ⇒ sin z = 2 1+ t 1+ t2 − sin z 2dt + t2 = ⇒ I ∫ 1= 2t 2− 1+ t2 arctan dt dt dt = = ∫  2t −   1 1+  + t −    2   ∫t = − t +1 ∫  2t −  d    = ∫  2t −  1+     2t − arctan= 3 z tan − +C z tan − = x + C , thay = z x − y ta tích phân tổng quát 2x − y tan −1 2 phương trình vi phân cho là: arctan = x+C 3  z= x + y 2 z ′.z= + y′ dz ⇒ ⇒ z ′.z = + z ⇒ z = + z b) Đặt z = x + y ⇒  dx y = z  y′ = z zdz zdz   ⇒ = dx ⇒ ∫ = x + C ⇒ 2∫ 1 −  dz = x + C ⇒ z − 8ln z + = x + C 4+ z 4+ z  z+4 Thay= z x + y ta tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: Thay vào (*) ta được: arctan x + y − 8ln x + y + =x + C c) ( −2 x + y + 3) dx − ( x − y + 1) dy =0 ⇒ dy −2 x + y + (nếu x − y + ≠ ) = dx x − 3y +1 dy  dz  dx = − dx dz dz z − z +1 −6 z + x 3y ⇒  ⇒ =− ⇒ = ⇒ dz = dx ( z − ≠ ) Đặt z =− 7z − dx z +1 dx z +1  dy = −2 z + z +1  dx z +1 ⇒∫ dz = x+C 7z − z +1  15  z 15 Tính I = ∫ dz = ∫ 1 +  dz = + ln z − + C0 7z −  7z −  49 z 15 Từ ta có: + ln z − = x + C , thay z= x − y vào ta tích phân tổng quát phương 49 x − y 15 + ln x − 21 y − = x + C trình vi phân cho là: 49 dy dz dy x − y d) : đặt y =zx ⇒ =z + x ⇒ thay vào phương trình vi phân cho ta được: = dx dx dx x + y 48 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết 1+ 2z dz x − zx dz − z dz − z − z dx ⇒x = −z⇒x = ⇒ z+x = dz = 1+ 2z − 2z − 2z dx x + zx dx + z dx x 1+ 2z 1 −2 − z x x x ln ⇒∫ = ⇒− ∫ = ⇒ − ln − z − 2= ⇒ dz ln z ln 2 − 2z − 2z 2 − 2z − 2z C C C C ⇒ − z − z =2 x y Thay z = ta tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: x y y2 C − − 2 = ⇒ x − xy − y = C x x x dy  dz = +  dy dx = ( x + y + 1) : đặt z = x + y + ⇒  dx e) dx  dy = z  dx dz dz dz dz ⇒ = + 2z2 ⇒ = 2dx ⇒ ∫ = 2x + C ⇒ ∫ = 2x + C 2 dx 4+ z 4+ z z 1+   2 z d  z z 1 ⇒ ∫   = x + C ⇒ arctan = x + C ⇒ arctan = x + C 2 2 z 1+   2 Thay z = x + y + vào ta tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: 8x + y + = 4x + C arctan dy dy x + xy − y Khi x − xy ≠ ) f) ( x − x ) y′ + y = x + xy ⇒ ( x − x ) = x + xy − y ⇒ = ( dx dx x − xy dz dy =z + x , thay vào phương trình ta được: dx dx 2 dz x + x z − x z dz + z − z dz z + z + 1− 6z dx z + x= ⇒ x= − z ⇒ x= ⇒ = dz 2 dx x − 6x z dx dx x 1− 6z 1− 6z 3z + z + 1− 6z ⇒∫ dz = ln Cx (*) 3z + z + d ( 3z + z + 5) 1− 6z 2dz 1+ 6z 2dz Tính I = ∫ + z + 3z dz = ∫ 3z + z + − ∫ 3z + z + dz = ∫ 59  2 − ∫ 3z + z + = + 3 z +  12 6  24 dz 6z +1 = − ln = 3z + z + 5) arctan − ln ( z + z + ) + C0 ( ∫ 59 59 59  6z +1  1+    59  6z +1 Từ ta có (*) trở thành − ln ( z + z + ) = arctan ln Cx 59 59 y Thay z = vào ta tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: x  y2 y  6y + x − ln  + +  = arctan ln Cx x 59 x 59  x  Đặt y =zx ⇒ 49 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết g) ( 3x + y ) dx − ( x + y ) dy =0 ⇒ dy x + y (điều kiện x + y ≠ ) = dx x + y dy dz =z + x , thay vào phương trình ta được: dx dx dz x + zx dz + z dz − z dx 1+ 2z 1+ 2z = ⇒x = −z⇒x = ⇒ z+x dz = ⇒ ∫ dz =ln Cx (*) dx x + zx dx + z dx + z − 2z x − 2z2 1+ 2z 1+ 2z  1− 1+  dz dz = = + Tính I =   dz = ∫ − 2z ∫ 3−z 3+z 2 ∫  + z − z  Đặt y =zx ⇒ ( = )( ) 1− 1+ ln + z − ln − z + C0 6 Thay vào (*) ta được: 1− 1+ ln + z − ln − z = ln Cx 6 y vào ta tích phân tổng qt phương trình cho là: x y y 1− 1+ ln + 2− ln − = ln Cx x x 6 dy y − x + (nếu 3x − y + ≠ ) h) ( y − x + 3) dx − ( 3x − y + ) dy =0 ⇒ = dx x − y + dy  dz  dx = − dx dz dz z + z+4 −4 z + 3x − y ⇒  dz = dx (nếu z + ≠ ) ⇒ =− ⇒ = ⇒ Đặt z = 7z + dx z+4 dx z +  dy = −2 z + z+4  dx  43  z+4 z 43 dz = x + C ⇒ ∫ 1 + ⇒∫  dz = x + C ⇒ + ln z + = x + C 7z +  7z +  49 Thay = z x − y vào ta tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: x − y 43 + ln 21x − 14 y + = x + C 49 Thay z = 5.3 Phương trình vi phân tồn phần (1) Đặt M = xy − x y + 2; N = x y − x3 + y + ta thấy My′ = xy − x ≡ Nx′ = xy − x nên phương trình vi phân cho phương trình vi phân toàn phần với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số Φ ( x; y )= x ∫( y y 1 x y xy − x y + dx + ∫ y + dy=  x y − x y + x  +  + y  = 2 0  0 ) ( ) 2 y3 x y − x y + x + + 5y = 3 2 y3 x y − x y + x + + 5y = C 3 2 2x (2) Đặt M = ta thấy My′ = x + ≡ Nx′ = x + nên phương trình vi phân xy − ; N =+ x2 y y y y Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: cho phương trình vi phân tồn phần với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số x  Φ ( x; y ) =∫  xy − y 0 y   x x x 0.dy = dx +   x y −  =x y − ∫ y 0 y   50 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: x y − = M (3) Đặt x C = y2 2x y2 − 3x 6x 6x = ; N ta thấy My′ = − ≡ Nx′ = − nên phương trình vi phân cho y y y y phương trình vi phân toàn phần với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số y 2x x2 x y x2 Φ ( x; y ) = ∫ dx + ∫ dy = − = − +1 y y y y y3 y x x2 Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: − + =C y y 2 = xy; N = x − y ta thấy My′ = x ≡ Nx′ = x nên phương trình vi phân cho phương (4) Đặt M trình vi phân tồn phần với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số x y 0 Φ ( x; y ) =∫ xydx − ∫ y dy =x y x − y3 y y3 =x y − 3 Ta có tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: x y − y3 = C 3 Thay= C ⇒ C =− x 0;= y vào tích phân tổng qt, ta có − = y3 = − 3 (5) Đặt M =+ y ( x + y ) ln ( x + y ) ; N =+ x ( x + y ) ln ( x + y ) ta thấy My′ ≡ Nx′ ≡ + ln ( x + y ) nên Vậy, tích phân riêng cần tìm là: x y − phương trình vi phân cho phương trình vi phân tồn phần với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số y y x x x   ln ln ln Φ ( x; y ) = y + x + y x + y dx + y ydy = xy + x + y x + y dx + ( ) ( ) ( ) ( )  ∫0  ∫1 ∫0 ∫1 y ln ydy Xét nguyên hàm: ∫ x ln = xdx Từ ta có: 1 1 x2 = − = − + C1 ln xd x x ln x xdx x ln x 2∫ 2∫ ( )  ( x + y )2 x + y)  x 1 ( y2  y Φ ( x; y ) = xy +  ln ( x + y ) −  +  y ln y −  = 0 1  2  1 2 = xy + ( x + y ) ln ( x + y ) − ( x + y ) + 2 Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: xy + ( x + y ) ln ( x + y ) − 1 C ( x + y) + = 2 5.4 Thừa số tích phân (1) ydx = ( x + y ) dy ⇒ ydx + ( − x − y ) dy = (*) −1 ≠ Nx′ = Đặt M =y; N =− x − y ta thấy My′ = dy − y ∫ − ln y số tích phân cho (*) là: p= ( y ) e = e= Nhân vào hai vế (*) với My′ − Nx′ M = nên ta tìm thừa y y2  dx  x ta phương trình vi phân toàn phần: −  + y  dy = y y y  51 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết y x dx x x y2 y x y2 Với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số: Φ ( x; y ) =∫ − ∫ ydy = − = − + y y y 2 x y2 C Vậy, tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: − + = y 2 dy (2) ( 3x + 1) y′ = x + 5y ⇒ ( 3x + 1) = x + 5y ⇒ ( x + 5y ) dx − ( 3x + 1) dy = (*) dx My′ − Nx′ −8 −3 ≠ Nx′ = nên ta tìm Đặt M = x + y; N = −3 x − ta thấy My′ = = N 3x + dy −∫ − ln ( x +1) x +1 thừa số tích phân cho (*) là: = p x e= e 3= ( ) Nhân vào hai vế (*) với 3 ta phương trình vi phân tồn phần: ( 3x + 1) x + 5y ( 3x + 1) ( 3x + 1) dx − ( 3x + 1) dy = Với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số: Φ (= x; y ) x ∫ y xdx ( 3x + 1) −∫ = dy ( 3x + 1) x ∫ xdx − ( 3x + 1) y = ( 3x + 1) y  x  1 y  dx − − ∫  ( 3x + 1)5 ( x + 1)8  ( 3x + 1)     1 y  x− = −  + =  ( 3x + 1)2 ( 3x + 1)5  ( 3x + 1)8   = 14 = − − − 15 3 ( x + 1)2 15 ( x + 1)5 y ( 3x + 1) Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: 14 − − − 15 3 ( x + 1)2 15 ( x + 1)5 (3) Đặt M = 2x + y ( 3x + 1) = C My′ − Nx′ 2y −2 y2 = y ≠ Nx′ = − y = nên + 3x ; N = − xy − y ta thấy My′ = N − xy − y x + 2 dx ∫ x +1 e − ln= ( x +1)2 p ( x ) e= ta tìm thừa số tích phân là: = − Nhân vào hai vế phương trình cho với ( x + 1) ( x + 1) ta phương trình vi phân toàn phần: y2 + 3x dx − ydy = ( x + 1) 2x + Với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số: 52 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Φ= ( x; y ) Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết x x + 3x ∫ ( x + 1) y x dx −= ∫ ydy ∫ ( x + 1) − ( x + 1) + 11 ( x + 1) − ( x + 1) y2 y dx −=  y2  x 11   x y2 =∫ 3 ( x + 1) − + −  dx − = − x + 11ln x + +  − = x + ( x + 1)2  x +1 2     x2 y2 = − x + 11ln x + + − −5 x +1 x Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: x2 y2 − x + 11ln x + + − −5= C x +1 M ′ − Nx′ = nên ta tìm x ≠ Nx′ = −2 x y (4) Đặt M =2 xy; N =− y − x ta thấy My′ = M y dy ∫ y − ln y2 thừa số tích phân là: p= e= ( y) e = − y2 ta phương trình vi phân tồn phần: y2 Nhân vào hai vế phương trình cho với  x2  xdx −  +  dy = y y  Với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số: y x x y dy Φ ( x; y ) =∫ xdx − ∫ =x − ln y =x − ln y y Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: x − ln y = C dy dx (5) = + xy ⇒ (1 + xy ) dx − ( x + 1) dy = (*) x +1 x ≠ Nx′ = −1 Đặt M =1 + xy; N =− x − ta thấy My′ = My′ − Nx′ N = −1 nên ta tìm ∫ thừa số tích phân cho (*) là: p= e− x ( x ) e= − dx Nhân vào hai vế (*) với ta phương trình vi phân tồn phần: y2 (1 + xy ) e− x dx − ( x + 1) e− x dy = Với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số: x y −x Φ ( x; y ) = −e − x ∫ e dx − ∫ ( x + 1) e dy = −x x y − ( xy + y ) e − x = − e − x − ( xy + y ) e − x 0 C Vậy, tích phân tổng quát phương trình vi phân cho là: − e − x − ( xy + y ) e − x = ′ y cos xy − xy sin xy ≠ N ′ y cos xy − xy sin xy (6) Đặt M= y cos xy; N= y + xy cos xy ta thấy M= = y x M y′ − N x′ M dy −∫ y cos xy ±1 − ln y y = nên ta tìm thừa số tích phân là: p= e= ( y ) e= y cos xy y ta phương trình vi phân toàn phần: y y cos xydx + (1 + x cos xy ) dy = Nhân vào hai vế phương trình cho với Với vế trái biểu thức vi phân toàn phần hàm số: 53 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết y x y − y = sin xy − y + 1 Vậy, tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: sin xy − y + = C Φ ( x ; y= ) = ∫ y cos xydx − ∫ dy sin xy x 5.5 Phương trình tuyến tính tổng quát (1) y′ − y = x −1 (x + x − ) ln x (*) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân liên kết với (*) y0= Ce dx ∫ x −1= Ce = C x − 1= C ( x − 1) ln x −1 Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng = y C ( x )( x − 1) ⇒ = y′ C ′ ( x )( x − 1) + C ( x ) Thay vào (*) ta được: C ′ ( x )( x − 1) + C ( x ) − C ( x )( x − 1) = x −1 (x + x − ) ln x ⇒ C ′ ( x )( x − 1) = ( x − 1)( x + ) ln 3x ⇒ ⇒ C ′ ( x ) =− ( x ) ln 3x ⇒ C ( x ) = ∫ ( x − ) ln 3xdx Đặt  du = dx   x2   x2   x2  u = ln x  x x  ⇒ ⇒ C x =− x x − − dx =− x x − ln 2 ln ( )       − 2x  + C   ∫ x 2  dv= x − =       v − 2x  Vậy, ta có nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho là:  x2   x2  y =− ( x 1)  − x  ln 3x − ( x − 1)  − x  + C ( x − 1)     y (2) xy′ − y= x e x ⇒ y′ − = xe x (*) x Nghiệm tổng quát phương trình vi phân liên kết với (*) dx ln x ∫x = y0 Ce= Ce= C= x Cx y C ( x ) x ⇒= y′ xC ′ ( x ) + C ( x ) Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng= Thay vào (*) ta được: C ( x ) x xe x ⇒ C ′ ( x ) =⇒ ex C ( x) = e x dx =+ ex C = ∫ x Vậy, ta có nghiệm tổng qt phương trình vi phân cho là:= y xe x + Cx dy 2  (3) x + ( − x ) y = ( x + x ) e − x ⇒ y ′ +  −  y = (1 + x ) e − x (*) dx x  xC ′ ( x ) + C ( x ) − Nghiệm tổng quát phương trình vi phân liên kết với (*)  2 ex ∫ 1− x  dx x − ln x = y0 Ce= Ce = C x x e ex e x x − 2e x Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng = y C ( x) ⇒ = y′ C ′ ( x ) + C ( x ) x x x3 Thay vào (*) ta được: C′ ( x ) ex x2 + C ( x) e x x − 2e x x3 e 2  −  C ( x ) =(1 + x ) e − x ⇒ C ′ ( x ) =( x + x ) e −2 x ⇒ C ( x ) =∫ ( x + x ) e −2 x dx x x  x + du = ( x + x ) dx = u x + x3 x + x3 −2 x  Đặt  ⇒ ⇒ = − C x e + ∫ ( x + x ) e −2 x dx ( )  −2 x −2 x 2 dv = e dx v = − e  54 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết du= ( + x ) dx = u x + 3x  x + x3 −2 x  x + x −2 x  ⇒ ⇒ C x = − e + − e + ∫ (1 + x ) e −2 x dx  Đặt  ( )  −2 x −2 x 2 dv = e dx  v = − e  x + x −2 x x + x −2 x e − e + ∫ (1 + x ) e −2 x dx ⇒ C ( x) = − du = 3dx u = + x  ⇒ Đặt  −2 x −2 x dv = e dx v = − e  2 x + x −2 x x + x −2 x  + x −2 x −2 x  e − e + − e + ∫ e dx  ⇒ C ( x) = − 2 2  x + 10 x + 10 x + x + x −2 x x + x −2 x + x −2 x −2 x e − e − e − e +C = = − − +C 4 8e x Vậy, ta có nghiệm tổng qt phương trình vi phân cho là: x + 10 x + 10 x + ex y= − +C x 2e x x (4) y′ + y= x + x x (*) ∫ = Ce − x Nghiệm tổng quát phương trình vi phân liên kết với (*) = là: y0 Ce Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng = = y C ( x ) e− x ⇒ y′ C ′ ( x ) e − x − C ( x ) e − x Thay vào (*) ta được: − dx  x  ⇒ C′ ( x ) = x + e ⇒ x x x x   x e x dx  x ⇒ C ( x) = x + e dx = xe dx + I1 + I  ∫  ∫ ∫x x = x x e x dx Trong đó: I = ∫ x x  e x e x dx  2e x dx x x x x x x = xe − ∫ + ∫ I1 = ∫ xe dx = ∫ xd ( e ) = xe − ∫ d ( e ) = xe −  = x x  x x x C ′ ( x ) e− x − C ( x ) e− x + C ( x ) e− x = x + ex e x dx   x −∫ = 4 x −  e − I2 x x x  x  x  ⇒ C ( x ) = I1 + I =  x − e + C x  = xe x − Vậy, ta có nghiệm tổng qt phương trình vi phân cho là: y = x + x x + Ce − x 2− x x e (*) x3 (5) y′ − y = ∫ = y0 Ce = Ce x Nghiệm tổng quát phương trình vi phân liên kết với (*) là: Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng= y C ( x ) e x ⇒= y′ C ′ ( x ) e x − C ( x ) e x Thay vào (*) ta được: dx 2− x 2− x 1   C′ ( x ) ex + C ( x ) ex − C ( x ) ex = ex ⇒ C′ ( x ) = ⇒ C ( x ) = − + +C  −  dx = ∫ x x x x x x   1 x x Vậy, ta có nghiệm tổng qt phương trình vi phân cho là: y =−  +  e + Ce x  x 55 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết y ( x + 1) ⇒ ( x − 1)( x + ) y ′ + (1 − x ) y = ⇒ y ′− (6) ( x − 3x + ) y ′ + y = y = (nếu x ≠ ) x +2 Đây phương trình vi phân tuyến tính nhất, nghiệm tổng quát phương trình là: dx ∫ y= Ce x + = Ce ln x + (7) ( 3x + 1) y′ = x + y ⇒ ( 3x + 1) y′ − y = x ⇒ y′ − = C x + = C ( x + 2) 4x (*) y= 3x + 3x + Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (*) là: dx 5 x +1 ln x +1 5 ∫ x +1 Ce ln= = y0 Ce= Ce = C 3 x = +1 C ( x + 1) Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng: = y C ( x ) ( x + 1) = ⇒ y′ C ′ ( x ) ( x + 1) + 5C ( x ) ( x + ) 5 Thay vào (*) ta được: C ′ ( x ) ( x + 1) + 5C ( x ) ( x + ) − C ( x) = ∫ xdx ( 3x + 1) =∫ xdx ( 3x + 1) = 4x C ( x ) ( x + 1= ⇒ C′ ( = x) ) 3x + 3x +   − ∫  ( x + 1)5  dy dx ( 3x + 1) ⇒   dx = − − +C  5 3 ( x + 1) 15 ( x + 1) ( 3x + 1)  Vậy, nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho là: y = − (8) = 4x + xy x (*) ⇒ y′ − = y x +1 x +1 x +1 ( 3x + 1) − + C ( 3x + 1) 15 Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (*) là:   xdx  dx ex ex x − ln x +1 ∫ x +1 Ce ∫ 1−= x +1  y0 Ce Ce = C = C = = x +1 x +1 Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng: e x ( x + 1) − e x ex ex ex ex x ′ ′ ′ = ⇒ y C ( x) + C ( x) = + C ( x) y C ( x) = C ( x) 2 x +1 x +1 x +1 ( x + 1) ( x + 1) Thay vào (*) ta được: C′ ( x ) ex ex x x ex C x e− x ⇒ C ( x ) = + C ( x) − = ⇒ C′ ( x ) = −e − x + C ( ) x +1 x +1 x +1 ( x + 1) x + 1 x +1 Vậy, nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho là: y = − +C (9) y′ − 2x + y= x + (*) x + x + 13 ex x +1 Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (*) là: x+6 ln ( x + x +13) ∫ x + x +13 dx y= Ce = Ce = C x + x + 13 2 ( ) Tìm nghiệm tổng quát (*) dạng: = y C ( x ) ( x + x + 13) ⇒ = y′ C ′ ( x ) ( x + x + 13) + C ( x )( x + ) Thay vào (*) ta được: 56 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết 2x + 2x + ⇒ C ( x ) ( x + x + 13) = x + ⇒ C ′ ( x ) = x + x + 13 x + x + 13 dx dx 2x + 2x + ⇒ C ( x= = ln ( x + x + 13) + ∫ = dx= ∫ dx + ∫ ) ∫ 2 x + x + 13 x + x + 13 x + x + 13 + ( x + 3) C ′ ( x ) ( x + x + 13) + C ( x )( x + ) − = ln ( x + x + 13) + 4∫ x+3 = +C ln ( x + x + 13) + arctan 2  x+3 1+     dx Vậy, nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho là: y= (x + x + 13) ln ( x + x + 13) + x+3 x + x + 13) arctan + C ( x + x + 13) ( 2 5.6 Phương trình Bernoulli x (*) (1) y y′ − xy = Đặt z = z ( x ) = y ⇒ z ′ = y y′ ⇒ y y′ = z′ z′ , thay vào (*) ta được: − xz = x ⇒ z ′ − 14 xz = x (**) 2 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính liên kết với (**) là: 14 ∫ xdx = z0 Ce = Ce7 x ta có z ′ C ′ ( x ) e7 x + 14 xC ( x ) e7 x Tìm nghiệm tổng quát (**) dạng: z = C ( x ) e7 x ,= Thay vào (**) ta được: 2 2 2 2 −7 x2 −7 x C ′ ( x ) e7 x + 14 xC ( x ) e7 x − 14 xC ( x ) e7 x = e d ( x2 ) 4x ⇒ C′ ( x ) = xe −7 x ⇒ C ( x ) = ∫ xe dx = ∫ 2 ⇒ C ( x) = − e −7 x + C 7 Ta có nghiệm tổng quát (**) z =− + Ce7 x 2 Thay z = y ta đươc tích phân tổng qt phương trình cho là: y =− + Ce7 x (2) Dễ thấy y = nghiệm phương trình cho, xét y ≠ , nhân hai vế phương trình ta được: y5 y′ ln x + =(1) y5 x y4 x z′ ln x 8z ln x y′ (2) −4 Đặt z = ⇒ z′ = −4 thay lại (1) ta được: − + z = ⇒ z′ − = x x x x y y cho với dx ∫ x Ce 8ln x = = Cx Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (2)= z Ce có z′ C′ ( x ) x + x C ( x ) Tìm nghiệm tổng quát (2) dạng z = C ( x ) x , ta = ln x ln x ln x ⇒ C′ ( x ) = − ⇒ C′ ( x ) x + x C ( x ) − C ( x ) x = −4 ⇒ C′ ( x ) x = −4 x x x x ln x ln x   ⇒ C(x) = −4 ∫ dx = ln x.d   = =+ + C (dùng phần) ∫ x 2 x 16 x x   ln x  1 ⇒ nghiệm tổng quát (2) z = C ( x ) x8 = + ln x + Cx  x + 16 x + C  x = 16   1 1 Thay z = ta tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: = + ln x + Cx 16 y y 57 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết (3) Dễ thấy y = nghiệm phương trình cho, xét y ≠ , nhân hai vế phương trình cho với ta được: y3 y′ x − = x (1) y3 y z′ y′ y′ z′ x ⇒ z′ + x z = −8 x (2) ⇒ z′ = −2 ⇒ = − thay vào (1) ta được: − − x z = 2 y y y −6 ∫ x dx Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (2) là: z Ce = = Ce −2 x Đặt z = Tìm nghiệm tổng quát (2) dạng z = C ( x ) e−2 x = , ta có z′ C′ ( x ) e−2 x − x C ( x ) e−2 x 3 ⇒ C′ ( x ) e −2 x − x C ( x ) e −2 x + x C ( x ) e −2 x = −8 x ⇒ C′ ( x ) e −2 x = −8 x ⇒ C′ ( x ) = −8 x e2 x 3 3 3 3 4 ⇒ C(x) = −8∫ x e2 x dx = − ∫ e2 x d x = − e2 x + C 3 3  x3  −2 x ⇒ nghiệm tổng quát (2) z = = − + Ce −2 x C ( x ) e −2 x =−  e + Ce   1 Thay z = ta có tích phân tổng qt phương trình cho =− + Ce−2 x y y x x (4) y′ − y e + y =0 ⇔ y′ + y =y e Dễ thấy y = nghiệm phương trình cho, xét y ≠ , nhân hai vế phương trình cho với ta được: y y′ + = e x (1) y2 y y′ Đặt z = ⇒ z′ = − , thay lại (1) ta được: − z′ + z =e x ⇒ z′ − z =−e x (2) y y ∫ dx Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (2)= là: z Ce = Ce2 x ( ) Tìm nghiệm tổng quát (2) dạng z = C ( x ) e2 x , = ta có z′ C′ ( x ) e2 x + 2C ( x ) e2 x ⇒ C′ ( x ) e x + 2C ( x ) e x − 2C ( x ) e x = −e x ⇒ C′ ( x ) e x = − e x ⇒ C′ ( x ) = −e − x ⇒ C ( x ) = e− x + C ( ) e − x + C e2 x = e x + Ce2 x ⇒ nghiệm tổng quát (2) là: z = 1 ta = e x + Ce2 x ⇒ y = x nghiệm tổng quát phương trình cho y y e + Ce2 x (5) Đặt z = y3 ⇒ z′ = 3y′y thay lại phương trình cho ta được: z′ + z + x =0 ⇔ z′ + z =− x (1) Thay z = ∫ Nghiệm tổng quát phương trình liên kết với (1)= là: z Ce = Ce − x có: z′ C′ ( x ) e− x − C ( x ) e− x Tìm nghiệm tổng quát (2) dạng z = C ( x ) e − x , ta = − dx ⇒ C′ ( x ) e − x − C ( x ) e − x + C ( x ) e − x =− x ⇒ C′ ( x ) e − x =− x ⇒ C′ ( x ) =− xe x ⇒ C ( x ) =− ∫ xe x dx ⇒ C ( x ) =− (1 x ) e x + C (từng phần) ⇒ nghiệm tổng quát phương trình (1) z = (1 − x ) e x + C  e − x = (1 − x ) + Ce − x Thay z = y3 ta y3 =1 − x + Ce− x ⇔ y = − x + Ce− x nghiệm tổng quát phương trình cho (6) ( y − x ) dx − ( y − xy ) dy =0 ⇒ ( y − x ) − ( y − xy ) y′ =0 ⇒ ( x − 1) y y′ + y =x ⇒ y y′ + y2 = x (*) 6x −1 58 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết z′ , thay vào (*) ta được: z′ + z = x ⇒ z′ − z = x (**) 6x −1 1− 6x Đặt z = z ( x ) = y ⇒ z ′ = y y′ ⇒ y y′ = Nghiệm tổng qt phương trình vi phân tuyến tính liên kết với (**) là: ∫ 1−6 x dx Ce − ln 1−6 x z0 Ce= = = Tìm nghiệm tổng quát (**) dạng: z = C C = 1− 6x 1− 6x C ′ ( x ) 6C ( x ) C ( x) = z′ + , ta có − x (1 − x )2 1− 6x Thay vào (**) ta được: C ′ ( x ) 6C ( x ) C ( x) + − = x ⇒ C ′ ( x ) = x − 12 x3 ⇒ C ( x ) = − x (1 − x ) − x − x ∫ ( 2x − 12 x3 ) dx = x − 3x + C 3 x − 3x C = + Ta có nghiệm tổng quát (**) z 1− 6x 1− 6x x − 3x C 2 = + Thay z = y ta đươc tích phân tổng quát phương trình cho là: y 1− 6x 1− 6x dy − y tan 2x = y ( + cos 2x ) ⇒ y ′ − y tan 2x = y ( + cos 2x ) ⇒ (7) dx y′ ⇒ − y tan 2x = + cos 2x (*) y y′ y′ + cos x (**) Đặt z = z ( x )= y ⇒ z ′= ⇒ = z ′ , thay vào (*) ta được: z ′ − z tan x = y y Nghiệm tổng qt phương trình vi phân tuyến tính liên kết với (**) là: ∫ tan xdx − ln cos x = z0 Ce = Ce= Tìm nghiệm tổng quát (**) dạng: z = Thay vào (**) ta được: C C = cos x cos x C ( x) C ′ ( x ) 2C ′ ( x ) sin x , ta = có z ′ + cos x cos x cos 2 x C ′ ( x ) 2C ′ ( x ) sin x C ( x) + −2 tan x = + cos x ⇒ C ′ ( x ) = cos x + cos 2 x ⇒ cos x cos x cos x 1 + cos x 1 ⇒ C (= x ) ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx = 2sin x + ∫ dx = 2sin x + x + sin x + C 2 16 Ta có nghiệm tổng quát (**) z= 2sin x + 1 x + sin x + C x C 16 = tan x + + sin x + cos x cos x cos x Thay z = y ta được: x C 1 x C  + sin x + ⇒ y =  tan x + + sin x + y = tan x +  cos x cos x 4 cos x cos x  Vậy, nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho là: 1 x C  = y + sin x +  tan x +  4 cos x cos x  59 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 ... liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết Mục Lục PHẦN I: ĐỀ BÀI Chương 1: Giới hạn tính liên tục hàm số 1.1 Bài tập giới hạn 1.2 Bài tập liên... liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết LỜI NĨI ĐẦU Chào em, họ Hoàng Bá, tên Mạnh (1994 – chưa rõ)! Đây tập tổng hợp biên soạn dựa câu hỏi từ đề kì, đề cuối kì khóa Tài liệu chia thành... NeverDies Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU TCC2 - Bài tập tổng hợp & Giải chi tiết PHẦN I: ĐỀ BÀI CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Bài tập giới hạn Thay VCB tương đương L1 = lim