ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP

Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU PAGE: Love NeverDies GROUP: Toán cao cấp – Tài liệu NEU ĐỀ BÀI: SƯU TẦM HD GIẢI: LND9492 SĐT: 0986.960.312 FB: https://www.fb.com/LND9492 GIỮA KÌ K57 (VỀ TRƯỚC) ĐỀ BÀI – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU LỜI NÓI ĐẦU Chào em, họ Hồng Bá, tên Mạnh (1994 – chưa rõ)! Mình viết tài liệu mục đích khỏi nói em hiểu Điều lo lắng viết tài liệu khơng đến tay em, em cầm tay mà khơng nhận giá trị Cảm giác đó, ngắn gọn gọi “thất bại”, mà tạo sản phẩm khơng cộng đồng đón nhận Thốn lắm! Bởi nên để dùng hiệu quả, có để vài lưu ý cho em sau: (1) Đề kì cũ (từ K57 trước), so sánh với đề 58,59 khẳng định giá trị nhiều, cho dù ơn luyện tổng hợp hay chia dạng - ơn luyện kì hay cuối kì! (2) Một vài ngun nhân khiến khơng đề tên thầy đề, chuyện nghĩ khơng ảnh hưởng tới việc luyện tập em (3) Khác biệt lớn nội dung giảm tải nhiều phần Các em ý lớp, hỏi bạn bè, thầy cô phần lược bỏ Ví dụ như: tốn khai triển bỏ phần dư dạng Lagrange, viết dạng Peano Cho nên viết khai triển với phần dư Lagrange đổi hết dạng Peano Tất nhiên lời giải chỗ sơ sót, thay số sai, nên gặp vấn đề vướng mắc, chưa rõ, sai rõ ràng mong em thơng cảm, bình tĩnh gửi phản hồi cho page Love NeverDies Mình đỗi cảm ơn chắn giải đáp tận tình, chu đáo! Ơn tập chăm thi tốt em ^^ Sưu tầm & Soạn giải LND9492 Manh163 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU ĐỀ GIỮA KÌ K57 VỀ TRƯỚC & HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ MỤC LỤC PHẦN I: Đề kì từ K57 trước Đề Đề (quá rõ) Đề (quá rõ) Đề Đề Đề Đề Đề 9 Đề 10 10 Đề 11 10 11 Đề 14 10 12 Đề 15 10 13 Đề 16 11 14 Đề 17 (quá rõ) 11 15 Đề 18 11 16 Đề 19 11 17 Đề 20 12 18 Đề 21 (quá rõ) 12 19 Đề 22 12 20 Đề 23 13 21 Đề 25 13 22 Đề 26 (Đủ nét) 14 23 Đề 28 14 24 Đề 29 14 25 Đề 30 15 26 Đề 31 15 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI & ĐÁP SỐ 16 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU Đề 16 Đề 17 Đề 18 Đề 19 Đề 20 Đề 21 Đề 23 Đề 24 Đề 10 25 Đề 11 26 Đề 14 27 Đề 15 28 Đề 16 29 Đề 17 30 Đề 18 31 Đề 19 32 Đề 20 33 Đề 21 33 Đề 22 35 Đề 23 35 Đề 25 36 Đề 26 37 Đề 28 38 Đề 29 39 Đề 30 40 Đề 31 41 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU PHẦN I: Đề kì từ K57 trước Đề ( Câu 1: Tính đạo hàm y log x −1 x − = 2+ x ) Câu 2: Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm y = ( x + 3)( x − 1) Câu 3: Khai triển Mac Laurin hàm số: = f ( x ) ln ( x + 1) Câu 4: Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số: u = Câu 5: Tính đạo hàm riêng cấp 1: f ( x; y ) = −2 x 53 y e2 x x + y y − 3z x = 2, y = Câu 6: Hàm sản xuất Q = 30 K 0,3 L0,5 a Đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất b Giả sử= w L 5,= wK Tìm sản lượng tối đa biết ngân sách sản xuất cố định 120 Câu 7: Tìm cực trị hàm số u = x + y + 3z + xz − y + z Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Đề (quá rõ) Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Đề (quá rõ) Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Đề 1  Câu 1: Tính lim  sin + cos  x →∞ x x  cotg Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU x π x −1 x + arctan x − x − ( Câu 2: Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm y = Câu 3: Cho hàm= số u y f ( x − y ) Chứng tỏ rằng: ) ∂u ∂u u + = x ∂x y ∂y y −Q12 − 3Q22 − 7Q32 + 300Q2 + 1200Q3 + 4Q1Q3 + 20 Xác định mức Câu 4: Một doanh nghiệp có hàm lợi nhuận là: π = sản lượng kết hợp Q1 , Q2 , Q3 cho doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa px 8,= py thu nhập cho tiêu Câu 5: Cho hàm lợi ích tiêu dùng là: u = x 0,6 y0,25 ; giá mặt hàng tương ứng là= dùng 680 Xác định lượng cầu với loại hàng hóa x, y để người tiêu dùng tối đa lợi ích Câu 6: Tìm tất nguyên hàm f ( x ) = cos6 x Câu 7: Tính tích phân ∫ x log x dx Đề  dt Câu 1: Xác định khoảng tăng giảm cực trị hàm f ( x ) =  ∫   x ln 3t − 2t + ( −1 Câu 2: Tính tích phân ∫ (4x )     ) − e6 x dx −∞ Câu 3: Tìm cực trị hàm số: w = −6 x − y − z + xz + yz + x − z + 25 Câu 4: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagange tìm cực trị z = x − y − 45 với điều kiện x + 3y = 6 Đề a =− x , b =− y , x, y hai số cuối số thứ tự Ví dụ: STT: 128 a = − = 2, − = Câu 1: Cho hàm số = y f ( x= ) x − cos x a +1 a Chứng minh hàm số có hàm ngược Tính f −1 ( a + 1) π  b Tính ( f −1 )′ ( a + 1) π  Câu 2: Cho hàm số y f= = (t ) t +a dx ∫ (1 + x ) + ( 20 b + x ) a Khảo sát biến thiên tìm cực trị hàm y =  f ( t )  b Tính giới hạn I = lim f ( t ) t →+∞ Câu 3: Tìm cực trị hàm số u = x + ( a + 1) xy − y + z − 12 x + 10 y − ( b + 1) z Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Câu 4: Hàm sản xuất Q = K a +1 10 b+2 10 L Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Tìm mức sử dụng K L thích hợp để doanh nghiệp đạt sản lượng cực đại Biết giá thuê đơn vị K L $(a+1) $(b+2) chi phí dành cho sản xuất $(a+b+3)*100 Nếu chi phí sản xuất tăng thêm 2% sản lượng tối ưu thay đổi nào? Đề Câu 1: Cho hàm số y = x e −3 x +1 Tính y′ (1) Câu 2: Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm = y e −3 x ( x + 1) Câu 3: Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm = w 3x ( x + 5y ) Câu 4: Tính tích phân ∫ ( 3x − 5) ln ( x + 1) dx Câu 5: Tìm cực trị hàm w = x − xy + y + x + Câu 6: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị hàm w = x − y + với điều kiện x + 3y = Đề 4 ; x ≠ −3  ( x + 3) cos Câu 1: Cho hàm số f ( x ) =  Tính f ′ ( x ) x +3  ; x = −3 ) ( y ) với f g hàm khả vi cấp Tính vi phân tồn phần ( Câu 2: Cho hàm = số u ( x; y ) g log y x + f ∂2u u ( x; y ) tính ∂x∂y Câu 3: Tìm cực trị hàm w= 10 x + y + z − 18 xy + x + z Câu 4: Tìm cực trị hàm w = x + y với điều kiện x + y = 16 phương pháp nhân tử Lagrange − Câu 5: Tính tích phân suy rộng ∫ (x −∞ xdx − x + arctan x − ) ( ) Đề 10 3 ; x≠2  ( x − ) sin Câu 1: Cho hàm số f ( x ) =  Tính f ′ ( x ) x −2  ; x=2  x2  u ( x; y ) g ( log x y ) + x f  Câu 2: Cho hàm số= với f g hàm khả vi cấp Tính vi phân tồn phần  y    ∂2u u ( x; y ) tính ∂x∂y Câu 3: Tìm cực trị hàm w = − x − y − z + xz + y − 3z − Câu 4: Tìm cực trị hàm w = x 0,3 y0,6 với điều kiện x + y = phương pháp nhân tử Lagrange ( 3x + 8) dx ∫1 x ( x + ) ln x x + ( ) +∞ Câu 5: Tính tích phân suy rộng Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải 10 Đề 11 Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU 5 ; x≠3  ( x − 3) arctan Câu 1: Cho hàm số f ( x ) =  Tính f ′ ( x ) x −3  ; x =3 ( Câu 2: Cho hàm số = u ( x; y ) g log u ( x; y ) tính x  y  y + x2 f   với f g hàm khả vi cấp Tính vi phân tồn phần  x ) ∂2u ∂x∂y Câu 3: Tìm cực trị hàm w= 17 x + y + z + 24 xy − x + 24 z Câu 4: Tìm cực trị hàm w = x + y với điều kiện x + y = 20 phương pháp nhân tử Lagrange (1 + +∞ ∫ Câu 5: Tính tích phân suy rộng e−1 ( x +1+ x ) x + ) ln ( x + x + dx x +1 ) 11 Đề 14 3 ; x≠2  ( x − ) arctan Câu 1: Cho hàm số f ( x ) =  Tính f ′ ( x ) x −2  ; x=2 ( )  y  Câu 2: Cho hàm số = u ( x; y ) g log y y + x f   với f g hàm khả vi cấp Tính vi phân tồn phần  x u ( x; y ) tính ∂2u ∂x∂y Câu 3: Tìm cực trị hàm w = x + y + z + xy + x − 3z Câu 4: Tìm cực trị hàm w = x 0,4 y0,6 với điều kiện x + y = 15 phương pháp nhân tử Lagrange +∞ Câu 5: Tính tích phân suy rộng ∫x dx x − arctan x − 12 Đề 15 a, b hai số cuối số thứ tự Câu 1: Cho f ( x ) = x +b ∫ a dt t4 +1 a Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số y =  f ( x )  b Tìm nghiệm x0 phương trình f ( x ) = Viết khai triển Tay-lor f ( x ) x0 đến lũy thừa ( x − x0 ) ( ) )  ( b + 1) xy  x − a + y    , x + y2 ≠  2 Câu 2: Cho hàm f ( x; y ) =  Hỏi fxy′′ ( 0;0 ) = fyx′′ ( 0;0 ) hay không? x + a +1 y  , x= y=  ( Câu 3: Tìm cực trị= z ( 7a + − 3b ) x − 12 ( a − b − 1) y − 14 x + 12 xy − y 10 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Đề 15 Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Câu a−b  a−b  −∞;  , cực tiểu xCT =   a−b  ; +∞  , khoảng giảm a Khoảng tăng:    Dưới ví dụ cho trường hợp= a 3;= b D =  : y′ = f ′ ( x ) f ( x ) = x +1 ( x + 1) +1 ∫ dt t +1 = ⇔ x + = ⇔ x = (do t +1 > 0) Vẽ bảng biến thiên ⇒ khoảng tăng: (1;+∞ ) , khoảng giảm ( −∞;1) , cực tiểu xCT = b Khai triển cần viết: f = (x) a−b  x− −  a +1  2  a−b a−b   x− + o  x −          a +1 2a ( ) Dưới ví dụ cho trường hợp a = 3, b = 1: f (x) =0 ⇔ x +1 ∫ dt t4 +1 = ⇔ x =1 ; f ′ ( x ) = (x) Khai triển cần viết: f = 10 ( x − 1) − 10 ; f ′′ ( x ) = − ( x + 1) ( x − 1) + o ( x − 1)    +1 ( x + 1) ( x + 1)2 + 1   28 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Câu 2: fxy′′ ( 0;0 ) = −2 ( b + 1) ≠ fyx′′ ( 0;0 ) = ( b + 1) Dưới ví dụ cho trường hợp= a 3;= b fx′ ( 0;0 ) lim Tính fxy′′ ( 0;0 ) : = x →0 fx′ ( 0; y ) = lim f ( x; y ) − f ( 0; y ) x −0 x →0 fxy′′ ( 0;0 ) = lim f ( x;0 ) − f ( 0;0 ) 0−0 = lim = x →0 x −0 x xy  x − 10 y  = lim fx′ ( 0; y ) − fx′ ( 0;0 ) y−0 y →0 f y′ ( 0;0 ) lim Tính fyx′′ ( 0;0 ) : = y →0 x + 10 y x x →0 = lim y →0 −0 = lim x →0 y  x − 10 y  x + 10 y = −4 y −4 y − = −4 y f ( 0; y ) − f ( 0;0 ) 0−0 = lim = x →0 y −0 y xy  x − 10 y  −0 x  x − 10 y  f ( x; y ) − f ( x;0 ) x + 10 y 4x fy′ ( x;0 ) lim= lim = lim = = y →0 y →0 y →0 y −0 y x + 10 y fyx′′ ( 0;0 ) lim = x →0 fy′ ( x;0 ) − fy′ ( 0;0 ) 4x − = lim = x → x −0 x Vậy, fxy′′ ( 0;0 ) ≠ fyx′′ ( 0;0 ) Câu 3: Cực đại M ( a + 1; b + ) Đề 16 Câu 1: ϕ ( x ) có đạo hàm x0 nghĩa tồn giới hạn: ϕ ′ ( x0 ) ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) f ( x; y0 ) − f ( x0 ; y0 ) = f x′ ( x0 ; y0 ) lim lim = x x → x − x0 x − x0 x → x0 Nghĩa tồn fx′ ( x0 ; y0 ) = ϕ ′ ( x0 ) Câu 2: Cực tiểu M ( 4;4;2 ) , giá trị cực tiểu uCT = −41 29 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU 0,8 0,6 = Câu 3: L= x y + λ ( 420 − 10 x − y ) Cơ cấu mua sắm cần tìm: ( x; y ) Câu 4: Từ lim f ( x ) ≠ , xét lân cận đủ nhỏ quanh x0 , ta có biến đổi x → x0 24;30 ) ; λ (= ϕ (x) f (x) 0,1.240,6.30−0,4 = g (x) ϕ (x) có đạo hàm x0 , điều kéo theo g ( x ) có đạo hàm Giả sử ϕ ( x ) có đạo hàm x0 f (x) x0 , mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Vì ϕ ( x ) khơng thể có đạo hàm x0 Đề 17   x − tan x (*) x − tan x x + tan x x − tan x   = x −  lim  2= −  lim = lim = lim Câu 1: I lim  cot 2= 2 x →0 x →0 x →0 x  x →0  tan x x  x →0 x tan x x x x3  L1 = lim x →0 x + tan x  tan x  = lim  + = 1+1 = x →0 x x   ( ) − + tan x 1 x − tan x ( L )  tan x  (Trong đó: (*) dùng tan x ~ x; x → ) lim lim L2 = = = − lim  = −  x →0 x →0 3x x →0  x  x  1 2−  = L1 L2 = ⇒L= −  3 Câu= 2: f ′ ( x ) − 2x 2x − 1 = = + + 5x − x  + 29 − 29 + 29  − 29  x− x− x −  x −   2     Đạo hàm vài lần ta truy = được: f ( x ) (n) ( −1) ( n − 1)! + ( −1) ( n − 1)! n +1 n +1  + 29   x −    n  − 29   x −    n Vậy, khai triển cần viết là:  f ( x )= 5x −   + 29  (        xn 1 x n  + + −1 + + + o xn ( )   n n − 29    + 29   − 29   n    −   −        ) ( ( ) ) 30 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải − 3y2 = u′y ; 2 ( − xy ) + ( x + y ) Câu 3: u′x u′′y2 = ( )( 2y x2 − x2 + ) ( − xy )2 + ( x + y )2    Câu 4: I = ∫ 3 ( x3 (x ) +1 ( − xy ) + ( x + 2y) u′′x = ; −6 y ′′xy u= ′′yx u= ; − x2 Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU ( − xy ) + ( x + y ) 2 + ( )( ) x 3y − y + ( − xy )2 + ( x + y )2    ( )( y 3y2 − x + ) ( − xy )2 + ( x + y )2    ) x d x + 1  13 − 23  3 dx = = − 256 + (đổi biến đổi cận)  t − t  dt = ∫ ∫ 2 3 2 4  x +1 ) ( 1  Câu 5: Cực tiểu M  ; − ; −3   13 39  Đề 18 ( x − 3) Câu 1: x ≠= : f ′( x ) arctan + 3 − x + ( − x )2 x −3 2 x = : f ′ ( 3) không tồn Thật vậy, xét: lim− f ( x ) − f ( 3) x −3 x →3 = lim− x →3 Tương tự có: lim+ f ( x ) − f ( 3) x −3 x →3 Câu 2: f= (x) x −3 f ( x ) − f ( 3) x →3 Do lim− x −3 ≠ lim+ arctan = lim+ x →3  = −∞  lim− 3− x  x →3 x −3 f ( x ) − f ( 3) x −3 x →3 arctan = −∞; lim− arctan x −3 x →3 π =  3− x  = +∞ 3− x ⇒ ∃ f ′ ( 3) =lim f ( x ) − f ( 3) x −3 x →3 ⇒ g= ( x ) x f ( x ) Khai triển Mac Laurin hàm f ( x ) đến x phần dư Lagrange: 2x − x + 4x −1 24 x − 12 x − 10 192 x − 144 x − 240 x + 66 ′′ ′′′ f ′( x ) = − ; f x = − ; f x = ) ( ) ( 2x2 − x + 2x2 − x + 2x2 − x + ( ( ) ( ) 1 192ε − 144ε − 240ε + 66 f ( x ) = + x + x2 + x với 27 2ε − ε + ( ) ε ) giá trị nằm x x x x 192ε − 144ε − 240ε + 66 g x = x f x = x Khai triển cần viết là: ( ) ( ) + + + 2 27 2ε − ε + ( Câu 3: D = ; F′ ( x ) = x ( x − 1) − ( x − 1) + 2 x −1 ∫ ) x = 5t − t + 3dt = ⇔   x − ( ) 5ε − ε + = 31 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 x = (ĐL giới hạn trung tâm, ⇔  x = ±1 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải ε Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU giá trị nằm x − ) Từ bảng biến thiên ⇒ khoảng tăng ( −1;0 ) (1;+∞ ) ; khoảng giảm ( −∞; −1) ( 0;1) −1; xCT = Một cực đại: xCD = , hai cực tiểu: xCT1 = Đề 19 Câu 1: x ≠ : f ′ ( x ) = − − x arc cot x= 5 (1 − x ) + x − 1 + ( x − 1)2 f ′  :   không tồn tại, thật vậy:   1 f (x) − f     −2 −2 1 2    lim− arc cot cot = lim− = −∞ lim− = −∞; limarc =π − 1 1  x→1 − x  x x 2 − − x − → → x→ x x x− 2   1 1 Do khơng tồn f−′   ⇒ không tồn f ′   2 2 Câu 2: Đặt f (= x) f ′( x ) = x + khai triển f ( x ) đến số hạng chứa ( x − 1) , phần dư Lagrange: 2x ( 33 x2 + ) 2 x x2 + ( = 24 x − f ′′′ ( x ) = x +7 ( ) − ) − 80 x x +7 27 ( + 2 x +7 ( ; f ′′ ( x ) = ) ) − − x2 x2 + ( ) − −8  24ε ⇒ f ( x ) = + ( x − 1) + ( x − 1) +  − ε +7 72  ( ) − 80ε + ε +7 27 ( ) −8  ( x − 1) , ε nằm x   Khai triển cần viết:  24ε g ( x ) = ( x − 1) f ( x ) = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) +  − ε +7 72  ( ; F′ ( x ) = −32 x Câu 3: D = ( 80ε + ε +7 27 ( ) −8  ( x − 1)     x + − x + +  ∫ t − 2t + dt  =    x +1  ) x = F′ ( x ) = ⇔   − x − ( ) − ) ( ) x = (ĐL giá trị trung bình, ⇔ ε − 2ε + =  x = ±1 ε nằm x + ) Từ bảng biến thiên ⇒ khoảng tăng: ( −1;0 ) (1;+∞ ) , khoảng giảm ( −∞; −1) ( 0;1) 32 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU −1; xCT = Một cực đại xCD = , hai cực tiểu: xCT1 = Đề 20  ( − x ) 12  − x arc cot ; x≠2 + − Câu 1: f ′ ( x ) =  x − ( x − )2 +  ; x=2    17 72ε  Câu 2: f ( x ) = =−1 + ( x + 1) − ( x + 1) +  5 25 x −2  25 ε − ( ) 11 528ε − ( 125 ε −  17 72ε ⇒ g (x) = ( x + 1) f ( x ) =− ( x + 1) + ( x + 1) − ( x + 1) +  25  25 ε − ( ) 11 ) 16   ( x + 1)   528ε − ( 125 ε − ) 16   ( x + 1)   Với ε giá trị nằm x −1  x −5  3x − ′ ; 12 3 D  F x x x = = − − +  ∫ 2t − 3t + 4dt  Câu 3: ( )  −1    ( ) x = F′ ( x ) = ⇔   3x − + ( ) ( ) 2 x = ⇔ (ĐL giá trị trung bình, 2ε − 3ε + = x = ±      Từ bảng biến thiên ⇒ khoảng tăng:  − ;0   ; +∞  , khoảng giảm     ε nằm 3x − −1 )      −∞; −   0;  3 3   2 − ; xCT = Một cực đại xCD = , hai cực tiểu xCT1 = 3 Đề 21 1 −  a  x sin  y xe = + Câu 1:  x   ex −  a  x ln  + xe sin   x  ⇔ ln y =  e − x2 −  a  − x a ln  + xe sin  x xe sin   (* ) x a a  lim = x x sin lim x = sin ≤ lim ln y lim  lim = = = 1 x →0 x →0 x →0 x →0 x →0 − − x x e x e x  Vậy, lim  + xe x →0   − x2 sin a x4    ex Trong đó: (*) dùng ln (1 + u ) ~ u u → = e0 = 33 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải a+ Câu 2: f ′ ( x ) a.arctan ax ; f ′′ ( x ) a = + ( ax ) Câu 3: D =  , f ′ ( x= ) ( x − 3) ln 2 x − = ′ f (x)= ⇔   x − x + − ( ) ( Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU ax arctan ax 1 + ( ax )2    ⇒ Khai triển cần viết f = ( x ) a2 x + o ( x ) 2 1 + ( ax )    x x − 3x + + a    ) −3 x + ∫  ln x + adx     x =  ⇔ x = (ĐL giá trị trung bình, ε nằm x − x + 1)  ln ε + a = x =   3   3 Từ bảng biến thiên ⇒ khoảng tăng  1;  ( 2;+∞ ) , khoảng giảm: ( −∞;1)  ;2   2 2  Một cực đại xCD = xCT1 , hai cực tiểu:= 1;= xCT 2 Câu 4: Ví dụ cho trường hợp a = , cực tiểu: M (1;2;3) , giá trị cực tiểu wCT = −31 34 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Đề 22 Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU  12  133 Câu 1: Cực đại ( x; y ) =  ;  , giá trị cực đại fct = 25  5 ( ) t t xdx d x −1 1 Câu 2: I ( t ) = = − = − ∫2 x − x + = ∫ 2 2 x2 −1 x −1 t −1 t ( ) ( ) ( ) +∞ 1  xdx 1  = − = ⇒ = lim I ( t ) = lim  − ∫ t →+∞ t →+∞ x − 2x +1 6 t −   ( y x Câu 3: z = ⇒ y = zx ⇒ ) dy dz , thay vào phương trình vi phân ta được: =z + x dx dx −z dz z2 dz z −1 dx  1 = ⇒x = ⇒ − ⇒ ∫  −  dz = − ln x + C ⇒ dz = dx z − dx z − z x  z y y ⇒ z − ln z =− ln x + C ⇒ − ln + ln x =C x x z+x Tích phân tổng quát phương trình vi phân cho y y − ln + ln x = C x x Đề 23 = Câu 1: y 20 ln ( cos12 x ) 20 x ⇔ ln y ( cos12 x ) tan2 20= tan 20 x 20 ln 1 + ( cos12 x − 1)  (*) 20 ln ( cos12 x ) 20 ( cos12 x − 1) lim ln y lim lim lim = = = 2 x →0 x →0 x →0 x →0 tan 20 x ( 20 x ) ( tan 20 x ) cos12 x − ( L ) 18 −12 sin12 x ( L ) −144 cos12 x lim = = lim = − x →0 x →0 x →0 20 x 40 x 40 = lim 20 Vậy, lim ( cos12 x ) tan x →0 20 x =e − 18 , (*): dùng ln (1 + u ) ~ u tan u ~ u u →   2t 2x Câu 2: I ( t ) = ∫t ( x − 8) e dx =tích phân phần ta =− e −  t −  e ( L)    2t  5 lim I ( t ) = lim  − e −  t −  e  = − e − lim −2 t = − e2 − lim = − e2 + = − e2 −2 t t →−∞ t →−∞ t t →−∞ →−∞ 2 2 e −2e  2   t− Vậy, ∫ ( x − 8) e −∞ 2x − e2 dx = 35 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải  x −2  D ; F′= Câu 3:= ( x ) 24 ( 3x − ) − ( 3x − ) + 10  ∫ t − 4t + 10dt    x −2 ∫ F ′ ( x ) =0 ⇔ Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU t − 4t + 10dt =0 ⇔ ( x − − 1) ε − 4ε + 10 =0 ⇔ x =1 (Định lý giá trị trung bình, ε giá trị nằm 3x − ) Từ bảng biến thiên ⇒ khoảng tăng: (1;+∞ ) , khoảng giảm: ( −∞;1) ; cực tiểu xCT = Câu 4: Cực đại M ( 4;6;2 ) , giá trị cực đại: wCD = 64 − 12 30;128 ) ; λ 30 128 L 30 x y + λ ( 4800 − 96 x − 15y ) , cực= Câu 5: = đại ( x; y ) (= 3 Theo ý nghĩa nhân tử lagrange, ta có ∂Um = λ với Um lợi ích tối đa, I thu nhập cho tiêu dùng ∂I − 12 Theo λ = 30 128 cho biết, ngân sách tiêu dùng tăng đơn vị lợi ích tối đa tăng xấp xỉ − λ = 30 128 đơn vị lợi ích Đề 25 Câu 1: Lopitan trực tiếp vài lần thích hợp ta kết quả: lim x →0 Câu 2: : fx′ ( x; y ) x sin x + y ≠ 0= x= y= : fx′ ( 0;0 )= lim x →0 ln ( sin 2017 x ) ln ( sin 2018 x ) =1 2x − 2 cos 2 x +y x +y x +y f ( x;0 ) − f ( 0;0 ) 1 = lim x sin 2= lim x = sin ≤ x →0 x →0 x x −0 x 2x  2 2 x sin 2 − 2 cos 2 ; x + y ≠ x +y x +y x +y Vậy, fx′ ( x; y ) =   ; x= y=  2y  2 2 y sin 2 − 2 cos 2 ; x + y ≠ x +y x +y x +y Tương tự cho fy′ =   ; x= y=   18  Câu 3: Cực tiểu: ( x; y; z ) =−  ; − ;  , giá trị cực tiểu: uCT =   −3e−2 x − f ( x ) ; f ′′ ( x ) = 6e−2 x − f ′ ( x ) ; f ′′′ ( x ) = −12e −2 x − f ′′ ( x ) Câu 4: f ( x ) = (1 − 3x ) e−2 x ; f ′ ( x ) = 36 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 − 5x − x − f (x) = Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải x + o x3 Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU ( ) Đề 26 2x Câu 1: y′ = ; x +1 y′′ = − 2x2 (x ) +1 y′′′ = ; x − 12 x (x ) +1 ⇒ y = x2 + 2ε − 6ε ( 1+ ε ) x3 − x − y + 3yx − 5z + 3yz + 3x + Câu 2: F ( x; y; z ) = − z′x = Fx′ −2 x + y + −2 − + = − ⇒ z′x (1; −1) = − = − −10 z + y Fz′ 0−3 − z′y = Fy′ −8 y + x + 3z 24 + + = − ⇒ z′y (1; −1) = − = −10 z + 3y Fz′ 0−3 ( −10 z + y ) − ( −10 z′y + 3) ( −2 x + y + 3)  −2 x + y + ′ − = − z′′xy = ( z′x )′y =    −10 z + y  y ( −10z + 3y ) ⇒ z′′xy (1; −1) = − ( − 3) − ( −10.9 + 3)( −2 − + 3) ( − 3) 61 = −4 −4 w′ w′y −3 3 Câu 3: w′x 0,2 x −4 ( 0,2 x −3 + 0,8 y= = ⇒ x ) ; w′y 0,8y −4 ( 0,2 x −3 + 0,8y −3 )= y4 4x4  w′  y y ln  x  =4 ln   − ln ≡ a ln   + b ⇔ a =4; b =− ln  w′  x x  y 37 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Đề 28 Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU Câu a t > 1: Q ( tK ; tL ) =15 tK tL =t 15 K L < t.Q ( K ; L ) nên doanh nghiệp có hiệu giảm theo quy mơ 6  5 15    5 = = K  10 = K= ; L 10 λ với b l = 15K + L + λ (150 − 15 K L ) , cực tiểu  10      15   15  10  15   c Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange, ta có: = là: ε Hệ số co dãn Cm theo Q ∂Cm = λ với Cm chi phí tối thiểu để sản xuất Q0 sản phẩm ∂Q0 ∂Cm Q0 Q = λ ∂Q0 Cm Cm Từ ta có: Q0 = 150; Cm = 15K0 + L0 = 15K0 + ⇒ε = 45 75 K0 = K0 ; λ = K0 2 10 150 K0 = = 1, 75 10 K Cho biết, tăng sản lượng 1% chi phí tối thiểu doanh nghiệp tăng xấp xỉ 1,2% y −0 f y − f 0; 0;0 ) ( ) ( −4 y + xy − x 2 ′ = = = = = x y f : 0;0 lim lim ; Câu 2: x + y ≠ : fy′ ( x; y ) = ) ( y y →0 y →0 y −0 y ( x + 4y) 2  −4 y + xy − x ; x + y2 ≠  ( x + 4y) Vậy, fy′ ( x; y ) =   ; x= y=   −3x + 5y + 9z + xz − 3xy + 5x − y + Câu 3: F ( x; y; z ) = −6 x + z − 3y + 20 y3 − 3x − − dz = z′x dx + z′y dy = dx − dy 18z + x 18z + x Tại x = −2; y = −1 ta có= 1; z = dz 19 dx + dy 11 22 38 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Câu 4: D =  \ {0} ; f ′ ( x ) = + Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU −1 > ∀ x ∈ D ⇒ f ( x ) đơn điệu tăng ⇒ f ( x ) có hàm ngược f ( x ) x −1 −1 ′ = lim f ( x ) − f ( 3) , ( ) x →3 x −3 (f ) −1 Đặt f −1 ( x ) = t ⇒ x = f ( t ) = 3t − 1 + 1; f −1 ( 3) = a ⇔ = f ( a ) = 3a − + ⇔ a = t a ⇒ f −1 ( 3) = x → ⇒ t → , thay lại giới hạn phía ta được: f −1 ′ ( 3) lim = ( ) t →1 ( L) 1 t −1 = lim = t →1 3t − + − 3+ t t Đề 29 ( ) Câu 1: lim sin x + − sin x + =lim cos x →+∞ lim sin x →+∞ x →+∞ 6x + + 6x +1 6x + − 6x +1 sin 2 6x + + 6x +1 6x + − 6x +1 ≤1 = lim sin = sin = 0 cos x →+∞ 2 6x + + 6x +1 Nên lim ( sin x + − sin x + ) = (theo quy tắc kẹp) x →+∞ Câu 2: Hàm lợi nhuận: π = 9Q1 + 20Q2 + 10Q3 − Q12 − 2Q22 − 5Q33 + 4Q1Q3  25  Cực đại ( Q1 ; Q2 ; Q3 ) =  ;5;4    Câu a Hàm cầu Hick với mức lợi ích U0 Hàm Lagrange: L = p1 x + p2 y + λ (U0 − 3x10,4 x20,6 ) −0,6   U0  p1  0,6 0,4 5 p x p x  x1 = 1 2   λ = = p 0,6 0,4    −0,6 0,6  x2 x1  Lx′1 = p1 − 1,2λ x1 x2 =  0,4   p1 U0  p1    0,4 −0,4  x2 = x1 p2 − 1,8λ x1 x2 =⇔ ⇔  x2 =  Điều kiện cần  Lx′2 =   p2  p   0,4 0,6  0,6 0,6   3 x1 x2 = U0   p p1  p2   3 x = U0 λ=      p2   3p1    g1 1,2 x1−0,6 x20,6 > = 0; g2 1,8 x10,4 x2−0,4 > Điều kiện đủ:= L11 = 0,72λ x1−1,6 x20,6 > 0; L22 = 0,72λ x10,4 x2−1,4 > 0; L12 = L21 = −0,72λ x1−0,6 x2−0,4 < 39 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải g1 g2 g1 L11 L21 Group: Toán cao cấp – Tài liệu NEU g2 L12 = g1g2 L12 + g2 g1 L21 − L11g22 − g12 L22 < thỏa mãn điều kiện cực tiểu! L22 U  3p  Vậy, ta có hàm cầu Hick với hai loại hàng hóa là: x1 =    p2  −0,6 U  3p  x2 =    p2  0,4  32 32  b Từ kết phần a), ta có túi hàng phải tìm là: ( x1 ; x2 ) =  ;   3 −2e x − xe x + x; f ′′ ( x ) = −2e x − 2e x − xe2 x + = −4e x − xe x + Câu 4: f ′ ( x ) = f ′′′ ( x ) =−6e x − xe x ⇒ f ( n) ( x ) =−2 ( n + x ) e x ∀n =3, 4,5, Vậy, khai triển cần viết là: f ( x ) =−2 − 2e + ( − 4e )( x − 1) + (1 − 3e )( x − 1) + − 2 ( n + 1) e n! ( x − 1) n n + o ( x − 1)    Đề 30 2 Câu 1: u = u ( x; y ) = x + 5y ⇒ w = u arctan ( + 2u )     2u 2u arctan 2 w′x =u′x 2u.arctan ( + 2u ) + x u u  =  + +  ( ) 2 + ( + 2u )  + ( + 2u )        2u 2u 10 arctan 2 w′y =u′y 2u.arctan ( + 2u ) +  = y  u + u +  ( ) 2 + ( + 2u )  + ( + 2u )    ⇒ 5y.w′x − x.w′y = F′ Fy′ 24 x − y 24 − 3.3 ⇒ f ′ (1) = − = −15 y − 3x − 2.3 − − Câu 2: f ′ ( x ) = − x = − ( ( 48 x − 3y′)( y − 3x − ) − ( y′ − 3) 24 x − 3y  24 x − y ′ − f ′′ ( x ) = −  = ( y − 3x − )  y − 3x −  ) ( 48 − ( −15) ) ( 2.3 − − ) − ( ( −15) − 3) ( 24 − 3.3) = ⇒ f ′′ (1) = − −588 ( 2.3 − − ) 40 Thắc mắc liên hệ: https://www.fb.com/LND9492 Hoàng Bá Mạnh: 0986.960.312 Spring 2019 Page: Love NeverDies Đề kì & HD giải Group: Tốn cao cấp – Tài liệu NEU −0,2Q3 + Q2 + 5Q − 10 20 − 2Q ⇒ TR = pQ = 20Q − 2Q2 ⇒ π = TR − TC = Câu 3: p = Q= > ⇒ Q =5 Q = −