Bài tập toán cao cấp 3

Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn CHƯƠNG I: LOGIC - TẬP HỢP - ÁNH XẠ (2,5 tiết) 1.1 Tìm tập nghiệm phương trình hay bất phương trình bi ểu di ễn chúng trục số: a x b x - 4x + > c x - 4x + = -x+1≤0 Giải: a {1, 3} b (-∞, 1) ∪ (3, +∞) c ∅ 1.2 Tìm tập nghiệm hệ phương trình hay bất phương trình bi ểu di ễn chúng mặt phẳng toạ độ: a b y=8 {34xx−+2y=7 =2 {−63xx−+2yy=−4 c 3x - y = d 3x - y > e 3x - y < Giải: a {(2, 1)} b {(x, y) | x tuỳ ý, y = 3x -2} ⟺ đường thằng y = 3x - c {(x, y) | x tuỳ ý, y = 3x} ⟺ đường thằng y = 3x d {(x, y) | x tuỳ ý, y < 3x} ⟺ điểm nằm đường thẳng y = 3x e {(x, y) | x tuỳ ý, y > 3x} ⟺ điểm nằm đường thẳng y = 3x 1.3 Trong trường hợp sau đây, hỏi A = B không a A tập số thực không âm, B tập số thực không nhỏ trị tuyệt đối b A tập số thực không âm, B tập s ố th ực không l ớn h ơn tr ị ệt đ ối Page Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn c A tập số nguyên không âm không lớn 100 có luỹ thừa bậc m ột số lẻ không chia hết cho 3, B tập số nguyên không âm không lớn h ơn 100 có bình phương trừ chia hết cho 24 Giải: a x ∈ A ⟹ x ≥ ⟹ |x| = x ⟹ x ∈ B Vậy A ⊂ B x ∈ B ⟹ x ≥ |x| ≥ ⟹ x ∈ A Vậy B ⊂ A b Xét x > Khi x < nên x ∉ A Nhưng x < nên x < |x|, x ∈ B Vậy A ≠ B c Giả sử n ∈ ℕ Chia n cho 12 ta n = 12p + r p ∈ ℕ, r ∈ S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Do đó: n = (12 p)3 + (12 p)2 r + 3(12p) r + r = 12k + r , k ∈ ℕ Vì 12k số nguyên chẵn chia hết n ∈ A r ∈ A Thử trực tiếp giá trị r Ta thấy r ∈ A ⟺ r ∈ T = {1, 5, 7, 11} Vậy n ∈ A ⟺ r ∈ T Mặt khác, n2 = (12 p)2 + 2.(12p).r + r = 24h + r , h ∈ ℕ Vì 24h chia hết cho 24 nên n ∈ B r ∈ B Bằng cách thử trực tiếp, ta thấy n ∈B⟺r∈T Tóm lại ta có: n ∈ A ⟺ r ∈ T ⟺ n ∈ B Vậy A = B Chú ý: có giới hạn n ≤ 100 nên ta giải cách liệt kê 1.4 A, B, C tập E Chứng minh A ∪ C ⊂ A ∪ B A ∩ C ⊂ A ∩ B C ⊂ B Chứng minh: x ∈ C ⟹ x ∈ A ∪ C ⊂ A ∪ B ⟹ x ∈ A ∪ B ⟹ x ∈ A x ∈ B Nếu x ∈ A x ∈ A ⋂ C ⊂ A ⋂ B ⟹ x ∈ B Vậy có x ∈ C ⟹ x ∈ B Nghĩa C ⊂ B 1.5 Chứng minh hệ thức sau: a A ∩ (B\C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C) b A \ (A \ B) = A ∩ B Chứng minh: a x ∈ A ∩ (B\C) ⟹ x ∈ A x ∈ B\C ⟹ x ∈ A x ∈ B x ∉ C ⟹ x ∈ (A ∩ B) \ C ⟹ x ∈ (A ∩ B) \ (A ∩ C) Page Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn x ∈ (A ∩ B) \ (A ∩ C) ⟹ (x ∈ A x ∈ B) (x ∉ A ∩ C) ⟹ x ∈ A x ∈ B x ∉ C ⟹ x ∈ A ∩ (B\C) b x ∈ A \ (A \ B) ⟹ x ∈ A x ∉ A \ B ⟹ x ∈ A x ∈ B ⟹ x ∈ A ⋂ B 1.6 A, B tập E Chứng minh: a Nếu A ⊂ B B ⊂ A b Nếu A B rời phần tử E thuộc A thuộc B c A ⊂ B ⟺ A ∪ B = B ⟺ A ∪ B = E d A ⊂ B ⟺ A ∩ B = A ⟺ A ∩ B = ∅ Chứng minh: a x ∈ B ⟹ x ∈ A x ∉ A tức x ∈ A, theo giả thiết A ⊂ B ta có x ∈ B, điều trái với giả thiết x ∈ B Vậy x ∈ B ⟹ x ∈ A tức B ⊂ A b Xét x ∈ E Khi x ∈ A x ∈ A (Vì A ⋃ A = E) Nếu x ∈ A x ∉ B (vì A ⋂ B = ∅), tức x ∈ B Vậy: x ∈ E ⟹ x ∈ A tức x ∈ B A⋂B= ∅ c Ta cm: (i): A ⊂ B ⟹ A ⋃ B = B: hiển nhiên (ii): A ⋃ B = B ⟹ A ⋃ B = E: A ⊂ E, B ⊂ E nên A ⋃ B ⊂ E Xét x ∈ E x ∈ B x ∈ B Nếu x ∈ B x ∉ B = A ⋃ B nên x ∉ A Do x ∈ A Từ suy E ⊂ A ⋃ B Vậy A ⋃ B = E (iii): A ⋃ B = E ⟹ A ⊂ B: Xét x ∈ A Ta có: x ∈ E = A ⋃ B Nhưng x ∈ A nên x ∉ A Vậy x ∈ B Nghĩa x ∈ A ⟹ x ∈ B Vậy A ⊂ B d Ta cm: (i): A ⊂ B ⟹ A ∩ B = A: hiển nhiên (ii): A ∩ B = A ⟹ A ∩ B = ∅: Xét x ∈ A = A ∩ B ⟹ x ∈ B ⟹ x ∉ B Vậy A⋂B=∅ (iii): A ∩ B = ∅ ⟹ A ⊂ B: Xét x ∈ A Vì A ∩ B ∈ B = ∅ nên x ∉ B Do x Vậy A ⊂ B 1.7 Hãy biểu diễn hình học mặt phẳng toạ độ tập A × B với: a A = { a ∈ ℝ: ≤ a ≤ 3} Page Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn B = { b ∈ ℝ: |b| ≤ 1} b A = { a ∈ ℝ: |a| ≤ 5} B = { b ∈ ℝ: |b| ≤ 5} c A × B = { (x, y) ∈ ℤ × ℤ : x > y } Giải: a Hình chữ nhật có đỉnh M(0, 1), N(3, 1), P(3, -1), Q(0, -1) b Các đoạn thẳng M k N k M k (-5, k), N k (5, k), k = 0, ±1, , ±5 c Những điểm có toạ độ nguyên nằm phía đường phân giác thứ 1.8 ℤ tập số nguyên, N ¿ tập số nguyên dương Quan hệ ~ tập ℤ × N ¿ xác định sau: (a, b) ~ (c, d) ⟺ ad = bc Chứng minh quan hệ tương đương Chứng minh: Quan hệ ~ có tính chất sau: a Phản xạ: a.b = a.b ⟺ (a, b) ~ (a, b) b Đối xứng: (a, b) ~ (c, d) ⟺ a.d = b.c ⟺ c.b = d.a ⟺ (c, d) ~ (a, b) c Bắc cầu: a c ( a , b ) ( c , d ) ⟺ a d=b c ⟺ = b d c e (c , d) ( e , f ) ⟺ c f =d e ⟺ = d f } ⟹ a b = e f ⟺ a.f = b.e ⟺ (a, b)~(e, f) Vậy quan hệ ~ quan hệ tương đương ℤ × N ¿ 1.9 N tập số tự nhiên Trên tập N × N xét quan hệ ≤ xác định sau: (i, j) ≤ (k, m) ⟺ i + j < k + m i + j = k + m i ≤ k Chứng minh quan hệ thứ tự toàn phần tập theo thứ tự phần tử đứng trước phần tử (3, 0) Chứng minh: Ta cần chứng minh quan hệ có tính chất sau: a Phản xạ: i + j = i + j i ≤ i nên (i, j) ≤ (i, j) b Bắc cầu: Ta có (i, j) ≤ (k, m) ⟺ i + j < k + m i + j = k + m i ≤ k (k, m) ≤ (g, h) ⟺ k + m < g + h k + m = g + h k ≤ g Page N × N Viết Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn Do đó: Nếu i + j < k + m i + j < g + h ⟹ (i, j) ≤ (g, h) Nếu i + j = k + m k + m = g + h i + j = k + m = g + h i ≤ k ≤ g ⟹ (i, j) ≤ (g, h) Nếu k + m < g + h i + j = k + m < g + h ⟹ (i, j) ≤ (g, h) Vậy: (i, j) ≤ (g, h) c Phản đối xứng: (i, j) ≤ (k, m) ⟺ i + j < k + m i + j = k + m i ≤ k (k, m) ≤ (i, j) ⟺ k + m < i + j k + m = i + j k ≤ i ⟹ i + j = k + m i ≤ k, k ≤ i ⟹ i + j = k + m i = k ⟹ i = k, j = m ⟹ (i, j) = (k, m) Các phần tử đứng trước phần tử (3, 0): (0, 0) ≤ (0, 1) ≤ (1, 0) ≤ (0, 2) ≤ (2, 0) ≤ (0, 3) ≤ (1, 2) ≤ (2, 1) ≤ (3, 0) 1.10 N tập số tự nhiên Trên tập N n xét quan hệ ≤ xác định sau: ( a1 , a2 , , an ) ≤ ( a1 , a2 , , an ) ; ( a1 , a2 , , an ) ≤ ( b1 , b2 , , bn ) tồn i ≤ n cho a k = bk với k = 1, , i-1 a i < bi Chứng minh quan hệ thứ tự toàn phần tập gọi quan hệ thứ tự từ điển N n Quan hệ Chứng minh: Quan hệ ≤ có tính chất sau: a Phản xạ: ( a1 , a2 , , an ) ≤ ( a1 , a2 , , an ) b Bắc cầu: Vì giả sử ( a1 , a2 , , an ) ≤ ( b1 , b2 , , bk với k = 1, , i-1 < bi bn ) ⟹ tồn i ≤ n cho ak = ( b1 , b2 , , bn ) ≤ ( c , c , , bl với l = 1, , j-1 b j < c j c n ) ⟹ tồn j ≤ n cho al = + Nếu i ≤ j ta viết lại sau: ( a1 , a2 , , , , a j , , an ) ≤ ( b1 , b2 , , bi , , b j , , bn ) ≤ ( c , c , , c i , , c j , , c n ) Page Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn Ta có: a k = c k với k = 1, , i-1 an ) ≤ ( c , c , , c n ) < bi = ci ⟹ ( a1 , a2 , , aj = bj < cj ⟹ ( a1 , a2 , , + Nếu i > j ta viết lại sau: ( a1 , a2 , , a j , , , , an ) ≤ ( b1 , b2 , , b j , , bi , , bn ) ≤ ( c , c , , c j , , c i , , c n ) Ta có: al = bl với l = 1, , j-1 an ) ≤ ( c , c , , c n ) c Phản đối xứng: hiển nhiên Mà tập ℕ, quan hệ a ≤ b quan hệ thứ tự toàn phần Vậy quan hệ ≤ tập N n quan hệ thứ tự toàn phần 1.11 Trong tập số tự nhiên, quan hệ sau có phải quan hệ tương đương không? a a chia hết cho b b a không nguyên tố với b Giải: a Quan hệ không đối xứng a chia hết cho b nói chung b không chia h ết cho a b Quan hệ không bắc cầu a không nguyên tố với b, b không nguyên t ố v ới c chưa a c không nguyên tố VD: a = 5, b = 15, c = 1.12 Cho ánh xạ f: X ⟶ Y Giả sử A, B tập tập X; C, D t ập c Y Chứng minh hệ thức sau: a f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) b f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B) c f(A \ B) = f(A) \ f(B) (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) d f e f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) f f −1 −1 (C \ D) = f −1 (C) \ f −1 (D) Chứng minh: a Xét y ∈ f(A ∪ B), ∃x ∈ A ∪ B để f(x) = y Khi Page Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn n ế u x ∈ A f (x )= y ∈ f ( A) n ế u x ∈ B f (x )= y ∈ f (B) } ⟹ y ∈ f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B) Ngược lại, với y ∈ f(A) ∪ f(B) N ế u y ∈ f ( A)⇒ ∃ x ∈ A đ ể f ( x)= y N ế u y ∈ f (B)⇒ ∃ x ∈ B đ ể f (x )= y } ⟹ ∃x ∈ A ∪ B để f(x) = y b Giả sử y ∈ f(A ∩ B) ∃x ∈ A ∩ B để f(x) = y Khi } V ì x ∈ A n ê n f ( x)∈ f ( A ) V ì x ∈ B n ê n f ( x)∈ f (B) ⟹ y ∈ f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B) c Với y ∈ f(A \ B) ∃x ∈ A \ B để f(x) = y } V ì x ∈ A n ê n f ( x)∈ f ( A ) V ì x ∉ B n ê n f ( x)∉ f (B) ⟹ y ∈ f(A \ B) ⊂ f(A) \ f(B) Ngược lại tương tự d Xét x ∈ f −1 (C ∪ D), tức x ∈ E f(x) = y ∈ C ∪ D Khi đó: } −1 n ế u y ∈C th ì x ∈ f (C) −1 n ế u y ∈ D th ì x ∈ f (D ) ⟹ x ∈ f −1 (C ∪ D) ⊂ f −1 (C) ∪ f −1 (D) Ngược lại, x ∈ f −1 (C) ∪ f −1 (D) n ế u x ∈ f −1 ( C ) y ∈C n ế u x ∈ f −1 ( D ) y ∈ D } ⟹ x ∈ f −1 (C) ∪ f −1 (D) ⊂ f −1 (C ∪ D) e Xét x ∈ f −1 (C ⋂ D), tức x ∈ E f(x) = y ∈ C ⋂ D Khi đó: −1 V ì y ∈C x ∈ f (C) −1 V ì y ∈ D x ∈ f ( D) } ⟹ x ∈ f −1 (C ⋂ D) ⊂ f −1 (C) ⋂ f −1 (D) Ngược lại, x ∈ f −1 (C) ⋂ f −1 (D) V ì x ∈ f −1 ( C ) th ì y ∈C V ì x ∈ f −1 ( D ) th ì y ∈ D } ⟹ x ∈ f −1 (C) ⋂ f −1 (D) ⊂ f −1 (C ⋂ D) f Với x ∈ f −1 (C \ D) x ∈ E f(x) = y ∈ C \ D V ì y ∈C n ê n x ∈ f −1 (C) V ì y ∉ D n ê n x ∉ f −1 (D) } ⟹ x ∈ f −1 (C \ D) ⊂ f −1 (C) \ f −1 (D) Ngược lại tương tự 1.13 Các ánh xạ f: A ⟶ B sau đơn ánh, toàn ánh hay song ánh? Xác đ ịnh ánh x ngược có: Page Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn a A = ℝ, B = ℝ, f(x) = x+7 b A = ℝ, B = ℝ, f(x) = x +2x-3 c A = ℝ, B = ℝ, f(x) = 3x-2|x| d A = ℝ, B = (0,+∞), f(x) = e x+1 Giải: a Ta có: x = x x + = x + ⟹ y1 = y Vậy f đơn ánh Với y ∈ B, tồn x = y - ∈ A để f(x) = y Vậy f toàn ánh Ánh xạ ngược: x = f −1 (y) = y - b Xét phương trình y = x +2x-3 ⟺ x +2x-(3+y) Phương trình có ∆ = + y Vậy + y > ⟺ y > -4 phương trình có nghiệm khác Vậy f không đơn ánh Nếu y < -4 phương trình vô nghiệm Vậy f không toàn ánh Do đó, f song ánh, ánh xạ ngược c y = 3x - 2|x| ⟺ y = [5xxkhikhixx≥ b A không chéo hoá (a−d )2 + 4bc < Giải: Ta tìm giá trị riêng A: | | a−λ b c d− λ = λ2 - (a + d)λ + ad – bc = a Nếu (a−d )2 + 4bc > ma trận A có giá trị riêng thực khác nên chéo hoá Page 56 Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn b Nếu (a−d )2 + 4bc < ma trận A giá trị riêng tr ường s ố th ực nên không chéo hoá trường số thực 6.26 Cho ma trận A = ( 3 −2 −1 −1 ) Tìm ma trận khả nghịch T cho ma trận B = T −1 AT ma trận đường chéo Giải: T = ( 1/10 −3/ 14 −3/35 −1/7 1/7 1/3 1/14 1/35 ) ,B= ( 0 0 −4 Page 57 ) Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn CHƯƠNG VII: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG KHÔNG GIAN EUCLID (6 tiết) Tính tích vô hướng Euclid R2 : 7.1 a u = (2, -1), v = (-1, 3) b u = (0, 0), v = (7, 2) Giải: a -5 b Với hai ma trận M : 7.2 u= ( u1 u2 u3 u ) ,v= ( v v2 v3 v ) a Hãy chứng minh biểu thức = u1 v + u2 v +u3 v + u4 v4 tích vô hướng Áp dụng để tính u = (−16 21) ,v= (13 03) kiểm tra lại bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (−12 13) Hỏi ma trận sau, ma trận trực giao với A? (−30 02) , (10 −11 ) , (00 00) , (25 12) b Cho A = Giải: a Kiểm tra lại điều kiện tích vô hướng thoả mãn Kiểm tra bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: ||u|| = √(−1)2 +22 +62 +12 = √ 42 ||v|| = √ 19 ⟹ || = |20| = 20 < ||u||.||v|| b 7.3 (−30 02) , (10 −11 ) Với p q thuộc P2 p = a0 + a1 x + a2 x , q = b0 + b1 x + b2 x a CMR: = a0 b + a1 b1 + a2 b2 tích vô hướng P2 b Áp dụng để tính tích vô hướng của: p = -1 + 2x + x , q = - x c Kiểm tra bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Page 58 Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn Với tích vô hướng Euclid R3 , xác định k để u v trực giao: 7.4 a u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k) b u = (k, k, 1), v = (k, 5, 6) Giải: a k = -3 b k = -2, k = -3 Với tích vô hướng Euclid giao với vectơ sau: 7.5 R , tìm hai vectơ có chuẩn tr ực u = (2, 1, -4, 0), v = (-1, -1, 2, 2), w = (3, 2, 5, 4) Giải: ± (-34, 44, -6, 11) √ 3249 Xét không gian C[0, π] tập hàm số liên tục [0, π] với tích vô hướng: 7.6 π = ∫ f ( x ) g ( x ) dx xét hàm số f n (x) = cosnx, n = 0, 1, 2, Chứng minh f k f l trực giao với k ≠ l Giải: Xét k ≠ l ta có: π < f k , fl > = π ∫ f k ( x ) f l ( x ) dx = ∫ coskx coslx dx cos ( k +l ) x +cos ⁡( k −l) x dx ¿ = π ∫¿ sin ( k +l ) x π 2(k +l) | = + sin ( k−l ) x π 2(k −l) | = k ≠ l Chứng minh họ sau họ trực giao R4 với tích vô hướng Euclid 7.7 u1 = (1, 0, 0, 1), u2 = (-1, 0, 2, 1), u3 = (2, 3, 2, -2), u4 = (-1, 2, -1, 1) Áp dụng trực giao hoá Gram – Schmidt để biến sở sau thành trực chuẩn: 7.8 a u1 = (1, -3), u2 = (2, 2) b u1 c u1 = (1, 1, 1), u2 = (-1, 1, 0), u3 = (1, 2, 1) d u1 = (1, 0), u2 = (3, -5) = (1, 0, 1), u2 = (3, 7, -2), u3 = (0, 4, 1) Giải: Page 59 Bài tập Toán cao cấp A3 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn , √ 10 −3 ), u2 √10 a u1 =( b u1 = (1, 0), u2 = (0, -1) c u1 =( d u1 = (1, 0, 0), , √3 , √ 10 =( ) √10 1 −1 , ), u2 = ( , √3 √ √2 u2 = (0, , √ 53 , 0), u3 √2 =( −2 ), u3 = ( , 30 √ 53 , √6 −2 , ) √6 √ √ 11925 , 105 √ 11925 ) Trong R3 xét tích vô hướng Euclid Hãy tìm s trực chu ẩn không gian sinh vectơ (0, 1, 2) (-1, 0, 1) 7.9 , √5 Giải: (0, 7.10 ), ( √5 √ , −2 , ) √ 30 √ 30 √5 Trong không gian R3 xét tích vô hướng = Hãy áp dụng trực giao hoá Gram – Schmidt để biến: x = (1, 1, 1), x = (1, 1, 0), u1 v + u2 v + u3 v x = (1, 0, 0) thành sở trực chuẩn ¿ Giải: Ta áp dụng ||u|| = ¿ u√,u> ta có: ¿ , √6 x1 = ( 7.11 , √6 ), √6 , √6 −1 , ), √6 √6 x3 = ( −1 , , 0) √6 √6 Trong dạng toàn phương sau, dạng xác định dương, dạng xác định âm: a x1 b x12 - x 22 + x32 - x x - x x + x 22 +5 x 32 - x x + x x Giải: a Không xác định 7.12 x2 = ( b.Xác định dương Với giá trị λ dạng toàn phương R3 sau xác định dương: ω(x) = λ x 12 + x 22 + (λ – 2) x 32 + x x với x = ( x , x , x ) Giải: Dạng toàn phương xác định dương định thức dương ĐS: λ > 7.13 Dùng phương pháp Jacobi đưa dạng toàn phương sau dạng tắc: a x 12 + x 22 + x 32 + x x + x x + x x b x1 + x 22 + x32 - x x - x x + x x Giải: a y 12 + y 22 - y 32 Page 60 Bài tập Toán cao cấp A3 b 7.14 - y1 y2 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn - y3 Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương sau dạng tắc: + x 22 + x32 + x x + x x + x x x1 - x 22 + x 32 + x x + x x + x x x 12 - x 32 - x x + x x - x x a x1 b c Giải: a y 12 + b y1 c y 12 - 7.15 y 22 - - y2 - y 32 y3 y 22 Tìm phép biến đổi tuyến tính để đưa dạng toàn phương d ạng tắc cho biết dạng tắc đó: + x 22 - x 32 + x x - x x a x1 b x 12 c x1 x2 + d x1 e −12 x + x 22 + x 32 - x x + x x - x x x1 x3 + x2 x3 + 18 x22 + x 32 - 12 x x + x x - 27 x x - x 22 - 12 x 32 + 12 x x - 24 x x + x x Giải: a y1 + x1 = b y1 + x1 = c y1 - x1 = d y1 + y2 - 2 y + 2 y1 - y2 y3 - y3 - y1 y2 y3 y 2 y , x3 = y 3 x2 = y2 + y3 , x3 = - y2 + y3 y2 - - x2 = y + y2 , y2 y , y3 y3 , x2 = Page 61 y1 + y2 - y3 , x3 = y3 Bài tập Toán cao cấp A3 x1 = Người soạn: Nguyễn Văn Sơn √2 y √3 y - - √3 y , 3 x2 = - √3 y + √3 y , 3 x3 = √3 y + √3 y 3 e y1 x1 + = y2 - −3 y y3 - y + √3 y , x = −1 y + y , x = y + 2 2 y 2 7.16 Trong không gian Euclid R3 dạng toàn phương ω sở tắc có biểu thức toạ độ: ω(x) = x 12 + x22 + x32 - x x + x x Tìm sở trực chuẩn R3 sở tắc ω Viết dạng tắc ω ứng với sở tắc Giải: Các giá trị riêng vectơ riêng tương ứng: λ1 = 3, u1 = ( , −1 , ) 3 λ2 = 6, u2 = ( −2 −2 , , ) 3 λ3 = 9, u3 = ( −1 , , 3 ) Hệ { u1 ,u , u3 } sở trực chuẩn cần tìm Đối với sở đó, ta có biểu thức to độ: ω(x) = y 12 + y 22 + y 32 Page 62 ... | | a 23 a 13 … a2 n−a1 n x3 −a 13 … a3 n−a1 n … … … … x 3 a 13 … x n−a n = x ( x 2−a12 ).( x 3 a 23 )…( x n−a n−1 n ) Thử với n = 1, n = Giả sử với n – Tức ta có: | x a12 a 13 x x a 23 x x2 x3 … …... 2n a3n … xn (cấp 2(n-1)) = Bài tập Toán cao cấp A3 | = x1 a12 x 2−a12 x 2−a12 … x −a 12 Người soạn: Nguyễn Văn Sơn a 13 a 23 a 13 x 3 a 13 … x 3 a 13 x ( x 2−a12 ) = | … a1 n … a n−a1 n … a3 n −a1... X = c Do X= d ( (−12 − 13 ) (35 −2 −4 ) | | ( −1 3 3 = nên nghiệm phụ thuộc tham số c , c , c 7 3 c 5 3 c 7 3 c c1 c2 c3 c 1−9 c 2 3 c −7 1 … … … … … 0 … ) ) 1 … Page 31