Chuỗi vô hạn trong toán cao cấp

Chương : Chuỗi vô hạn Mục lục CHUỖI VÔ HẠN 8.1 Dãy số giới hạn dãy số 8.1.1 Dãy số 8.1.2 Giới hạn dãy số 8.1.3 Dãy số bị chặn, dãy số đơn điệu 13 8.2 Giới thiệu chuỗi vô hạn, chuỗi cấp số nhân 19 8.2.1 Định nghĩa chuỗi vô hạn 19 8.2.2 Tính chất chung chuỗi vô hạn 22 8.2.3 Chuỗi cấp số nhân 23 8.2.4 Ứng dụng chuỗi cấp số nhân 25 8.3 Tiêu chuẩn tích phân, p_chuỗi 28 8.3.1 Tiêu chuẩn phân kỳ 28 8.3.2 Chuỗi số khơng âm, tiêu chuẩn tích phân 29 8.3.3 p_chuỗi 34 8.4 Các tiêu chuẩn so sánh 36 8.4.1 Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp 36 8.4.2 Tiêu chuẩn so sánh giới hạn 38 8.5 Tiêu chuẩn tỷ số tiêu chuẩn 42 8.5.1 Tiêu chuẩn tỷ số 42 8.5.2 Tiêu chuẩn 45 8.6 Chuỗi đan dấu, hội tụ tuyệt đối hội tụ có điều kiện 48 8.6.1 Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi đan dấu 48 8.6.2 Ước lượng sai số cho chuỗi đan dấu 52 8.6.3 Hội tụ tuyệt đối hội tụ có điều kiện 54 8.6.4 Tóm tắt tiêu chuẩn hội tụ 58 8.6.5 Sắp xếp lại số hạng chuỗi hội tụ tuyệt đối 60 8.7 Chuỗi lũy thừa 61 8.7.1 Sự hội tụ chuỗi lũy thừa 62 Trang Chương : Chuỗi vô hạn 8.7.2 Đạo hàm tích phân số hạng chuỗi lũy thừa 66 8.8 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurent 70 8.8.1 Đa thức Taylor Maclaurent 71 8.8.2 Định lý Taylor 72 8.8.3 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurent 74 8.8.4 Các phép toán chuỗi Taylor chuỗi Maclaurent 80 Bài tập chương 88 Trang Chương : Chuỗi vơ hạn Chương CHUỖI VƠ HẠN Người khơng đếm khơng biết đếm Anatole France Tóm tắt Liệu tổng vơ hạn số khác khơng số hữu hạn? Khái niệm ngược đời đóng vai trị quan trọng tốn học có nhiều ứng dụng quan trọng Mục đích chương khảo sát lý thuyết ứng dụng tổng vô hạn, mà nhắc đến với tên chuỗi Các chuỗi cấp số nhân, giới thiệu mục 8.2, chuỗi đơn giản mà ta gặp và, theo cách đó, quan trọng Trong mục 8.3 - 8.6, ta phát triển tiêu chuẩn hội tụ, mà cung cấp cách thức để xác định nhanh chuỗi có tổng hữu hạn hay khơng Kế tiếp, ta chuyển hướng quan tâm đến chuỗi hạng tử hàm thay số Ta đặc biệt quan tâm đến tính chất chuỗi lũy thừa, mà xem đa thức bậc vô cùng, dù vài đặc điểm chúng khác với đa thức Ta thấy nhiều hàm phổ biến, chẳng hạn e x , ln  x  1 , sin x , cos x tan1 x biểu diễn chuỗi lũy thừa, thảo luận vài khía cạnh quan trọng thuộc lí thuyết tính tốn loại biểu diễn Mở đầu Chuỗi, hay tổng, nảy sinh theo nhiều cách Ví dụ, giả sử chất gây ô nhiễm xả vào khí tuần bị phân hủy với tốc độ 2% tuần Nếu m gam chất nhiễm xả tuần thời điểm bắt đầu tuần đầu tiên, có S1  m gam chất khơng khí, thời điểm bắt đầu tuần thứ hai, có 0,98m gam chất nhiễm “cũ” cịn lại cộng với m gam chất ô nhiễm “mới” vừa xả Tổng cộng lúc ta có S2  m  0,98m gam chất ô nhiễm Tiếp tục vậy, thời điểm bắt đầu tuần thứ n, có Trang Chương : Chuỗi vô hạn Sn  m  0,98m   0,98 m    0,98  n 1 m gam chất Thật tự nhiên để tự hỏi lượng chất ô nhiễm tích tụ lại thời gian dài (khi n   ) bao nhiêu? Nhưng cách xác, tổng nói lên điều gì, tổng số hữu hạn, làm để tính giá trị nó? Ta thu câu trả lời cho câu hỏi chương 8.1 Dãy số giới hạn dãy số Hầu hết tượng ta khảo sát xảy cách liên tục, thực tế, lĩnh vực khảo sát, có tình mà mơ tả việc danh mục hóa đối tượng riêng biệt theo danh sách số Trong chương này, ta định nghĩa công cụ toán học, gọi dãy số, để thực việc danh mục hóa này, sau định nghĩa giới hạn dãy số Sản xuất phim trình phức tạp, biên tập tất phim vào phim yêu cầu tất khung hình hành động dán nhãn theo thứ tự thời gian Ví dụ R21 - 435 có nghĩa cảnh thứ 435 cuộn phim thứ 21 Một nhà tốn học đề cập đến q trình dán nhãn cho khung hình nhà biên tập phim việc nói khung hình xếp vào dãy 8.1.1 Dãy số Một dãy số dãy liên tiếp số xếp theo quy tắc cho trước Đặc biệt, n số nguyên dương, dãy số có phần tử thứ n số an viết dạng a1 , a2 , , an , Hay đơn giản hơn, a n  Số an gọi số hạng tổng quát dãy Ta làm việc với dãy số vơ hạn, số hạng an có số liền sau an1 số liền trước an1 với n  Ví dụ, việc gắn số nguyên dương n với nghịch đảo nó, ta n 1 1  dãy kí hiệu   , đại diện cho dãy liên tiếp số 1, , , , Số hạng tổng n n  Trang Chương : Chuỗi vô hạn Ví dụ minh họa kí hiệu thuật ngữ sử n quát kí hiệu an  dụng với dãy số Ví dụ 8.1 Tìm số hạng thứ nhất, thứ hai thứ 15 dãy số an  , số hạng tổng quát 1 an    2 n 1 Giải 11 1 Nếu n  a1    2 1 a2    2 1     Tương tự,  2 1  15 1 1 a15    2 14 1     14 2 Câu hỏi ngược lại, tìm số hạng tổng quát biết trước vài số hạng dãy, nhiệm vụ khó hơn, chí tìm thấy số hạng tổng qt, ta khơng có đảm bảo số hạng tổng quát Ví dụ, xét dãy số 2, 4,6,8, Dãy dường có số hạng tổng quát an  2n Tuy nhiên, số hạng tổng quát an   n  1 n   n  3 n    2n có số hạng giống vậy, a5  34 (không phải 10, mong muốn từ dãy 2, 4,6,8 ) Đơi khi, thật hữu ích để bắt đầu dãy số với a0 thay a1 ; có nghĩa là, để có dãy số có dạng a0 , a1 , a2 , Hơn nữa, ta thảo luận khái niệm dãy số cách khơng thức, khơng có định nghĩa Ta thấy dãy an  gắn số an với số ngun dương (hay là, khơng âm) n Do đó, dãy số thật hàm số có miền xác Trang Chương : Chuỗi vô hạn định tập số nguyên dương (hay không âm) Định nghĩa 8.1 Một dãy số an  hàm số mà miền xác định tập hợp số nguyên không âm miền giá trị tập tập hợp số thực Các giá trị hàm số a1 , a2 , a3 , gọi số hạng dãy số, an gọi số hạng thứ n , số hạng tổng quát dãy số 8.1.2 Giới hạn dãy số Người ta thường muốn xem xét biến đổi dãy an  cho trước n đủ lớn Ví dụ, xét dãy an  n n 1 Vì a1  , a2  , a3  , , vẽ số hạng dãy trục số, hình 8.1a, dãy vẽ theo hai chiều, hình 8.1b Hình 8.1 Đồ thị dãy an  n n 1 Nhìn vào đồ thị hình 8.1a hay 8.1b, ta thấy hạng tử dãy an  ngày gần số Nhìn chung, hạng tử dãy ngày gần số L n tăng vô hạn, ta nói dãy hội tụ giới hạn L viết L  lim an n Bởi việc nhìn vào hình 8.1, ta đốn trước n  n  n  lim an  lim n  Ta có định nghĩa giới hạn thức sau Trang Chương : Chuỗi vô hạn Định nghĩa 8.2 Dãy số an  hội tụ số L , ta viết L  lim an n với   , tồn số nguyên N cho an  L   với n  N Nếu không, dãy số phân kì Điều nói lên kí hiệu L  lim an có nghĩa hạng tử dãy an  n làm cho gần L tùy ý việc lấy n đủ lớn Một minh họa hình học cho định nghĩa biểu diễn hình 8.2 Hình 8.2 Minh họa hình học dãy hội tụ Chú ý số an đâu n nhỏ, nhưng, n đủ lớn chúng phải chụm lại gần giá trị giới hạn L Định lí giới hạn hàm số thực dãy Ta có kết hữu ích sau Định lí 8.3 Nếu lim an  L lim bn  M n n Luật tuyến tính lim  ran  sbn   rL  sM Luật tổng lim  anbn   LM Luật thương lim n n an L M   n  b M n Trang Chương : Chuỗi vô hạn lim m an  m L Luật n  m an xác định với n m L tồn Ví dụ 8.2 Tìm giới hạn dãy số hội tụ sau 100  a    n   n  5n   b   n3    3n  n   c    5n  n   Giải a Khi n ngày lớn, 100 ngày nhỏ Vì n vậy, 100  n  n lim Đồ thị minh họa biểu diễn hình 8.3 Hình 8.3 Đồ thị biểu diễn dãy an  100 n b Ta khơng thể dùng luật thương Định lí 8.3 hai giới hạn tử mẫu không tồn Tuy nhiên n  5n  7   2 n3 n n n việc dùng luật tuyến tính, ta thấy 2n  5n  1 lim  2lim  5lim  7lim 3 n  n  n n n n  n n  2.0  5.0  7.0 Đồ 0 thị minh họa biểu diễn hình 8.4 Hình 8.4 Đồ thị an  n  5n  n3 Trang Chương : Chuỗi vô hạn c Chia tử số mẫu số cho n4 , lũy thừa cao n có mặt biểu thức, để 1  3n  n  n n  lim  lim n  5n  n  n 5  n n 3 Đồ thị minh họa biểu diễn hình 8.5 Hình 8.5 Đồ thị an  3n  n  5n  n  Ví dụ 8.3 Chứng minh dãy số sau phân kì a  1  n  n5  n3   b    7n  n   Giải a Dãy xác định  1  1,1, 1,1, dãy phân kì phần n tử dao động -1 Vì vậy, an khơng thể ngày gần số L cụ thể n ngày lớn  n n 2 n n b lim  lim n  n  n  n  3 n n n 1 Tử số có xu hướng tiến n   , mẫu số ngày gần Do thương số tăng khơng bị chặn, dãy phải phân kì Nếu lim an khơng tồn số an ngày lớn n   , ta viết n  lim an   n  Ta tóm tắt điều cách xác định nghĩa sau Định nghĩa 8.4 lim an   có nghĩa với số thực A bất kì, ta có an  A với n đủ lớn n  Trang Chương : Chuỗi vô hạn lim bn   có nghĩa với số thực B bất kì, ta có bn  B với n đủ n  lớn Viết lại câu trả lời cho ví dụ 8.3b theo kí hiệu này, ta có n  n3   n  n  n  lim Ví dụ 8.4 Xác định hội tụ hay phân kì dãy số   n2  3n  n Giải Sẽ khơng để áp dụng luật tuyến tính cho dãy số (bởi lim n  3n lim n không tồn tại) Cũng không để dùng điều n n  lí để nói giới hạn dãy số khơng tồn vơ trừ vơ dạng vơ định Bạn thử vài giá trị n (như bảng số liệu 8.6) để đốn có giới hạn Bảng 8.6 Đây đồ dãy hội tụ hay phân kì? Tuy nhiên, để tìm giới hạn, ta dùng biến đổi đại số để viết lại số hạng tổng quát sau: n  3n  n   n  3n  n  n  3n  n n  3n  n  n  3n  n n  3n  n  1 1 n Do đó, Trang 10 Chương : Chuỗi vơ hạn chứa Ta làm trực tiếp cách sử dụng định nghĩa chuỗi Maclaurin, ta sửa đổi chuỗi biết Ta biết u  ta viết   u  u  u  1 u Thay u  x ta có 1   1 x  x  x  2 1 x 1 x  với x  ; nghĩa 1  x  Do đó, từ định lý tính nhất, biểu diễn mong muốn  k  1 x k với 1  x   1 x k 0 Ví dụ 8.63 Tìm chuỗi Maclaurin cách sửa đổi chuỗi cấp số nhân Tìm chuỗi Maclaurent cho hàm f ( x)   2x xác định khoảng hội tụ  2x Giải Mục tiêu viết lại f ( x) dạng chuỗi cấp số nhân 1 u  2x  1   2x  2x  1    1  x   8   1    x   k 0  16 32 64  1   x  x  x3  27 81  k   Khoảng hội tụ cho f ( x) tương tự cho chuỗi   x , cụ thể   k 0   k Trang 81 Chương : Chuỗi vô hạn 3  x  hay   x  2 Ví dụ 8.64 Tìm chuỗi Maclaurent cho hàm a f ( x)  cos x b g ( x)  cos x Giải a Ở ví dụ 8.57 ta biết cos u   u u u6    với u 2! 4! 6! Do cách thay u  x ta có  x2   1 cos x 2!  x2    x2   4! 6! 12 x x x  1    2! 4! 6!  u  x  với x b Với hàm cos x ta sử dụng định nghĩa chuỗi Maclaurin, thay ta sử dụng cơng thức nhân đôi lượng giác sau 1  cos x 2  2 x  2 x  1  2 x    1     u  x  2 2! 4! 6!   1 2x x x       2 2! 4! 6!   x  x  x  45 cos x  với x 1  x  Ví dụ 8.65 Tìm chuỗi Maclaurent cho hàm f ( x)  ln  sử dụng để tính 1  x  ln2 xác đến chữ số thập phân Giải Với hàm này, ta sử dụng tính chất hàm logarithms Trang 82 Chương : Chuỗi vô hạn 1  x  f ( x )  ln   ln 1  x  ln 1  x  1  x  Từ ví dụ 8.59 ta có 1 ln x   x 1   x 1   x 1  Vì 1 ln 1  x  1  x 1  1  x 1  1  x 1  3 x x x  x     1 ln 1  x   1  x 1  1  x 1  1  x 1   x  x  2  x 3  x  4  x x3 x      Bằng chuỗi thay thế, ta f ( x)  ln 1  x  ln 1 x      x x3 x x x3 x   x       x        4     x x5   x       Tiếp theo, giải phương trình 1 x  , ta x  Vì ta tìm giá trị 1 x 1  x  cho hàm ln  x  Nghĩa 1  x  3              1  3  5      3    ln                 3   3            Theo định lý Taylor, ta có n1 2 1 1   ln            3     2n    1  Rn     Trang 83 Chương : Chuỗi vô hạn 1 1 Rn   phần dư Để ước lượng phần dư này, ta ý Rn   phần     đuôi chuỗi vơ hạn ln2 Do n 3 1   Rn      2n    n3      2n    n3      2n    n 5      2n    n 7      2n    n3        2n      1  1      81  Vì chuỗi cấp số nhân ngoặc hội tụ đến 1 1  n3        2n   81   , ta có  n3 1     Rn        2n    Cụ thể, để đạt độ xác chữ số thập phân, ta phải chắn số hạng bên phải phải nhỏ 0.000005 Sử dụng máy tính ta thấy n = 4, ta có      0.0000012   4    11 Do đó, ta xấp xỉ ln2 với n = 4: 1 2 1 1 1 1 ln  T4                 0.6931460   3  3    3   Mà sai số không vượt 0.0000012; 0.6931460  0.0000012  ln  0.6931460  0.0000012 0.6931448  ln  0.6931472 Làm trịn đến chữ số thập phân ta có ln  0.69315 Ta kiểm tra máy tính (chính xác đến 10 chữ số thập phân) ln  0.6931471806 Chúng ta cần phải quan tâm đến kết sau Nó tổng quát hóa cho định lý nhị thức phát Issac Newton từ ơng ta cịn sinh viên đại học Cambridge Trang 84 Chương : Chuỗi vô hạn Định lý 8.35 (Chuỗi nhị thức) Nếu p số thực 1  x  (1  x) p   px     p p( p 1) p( p 1)( p  2) x  x      x k   2! 3! k 0  k   p p!    với p k số nguyên thỏa p  k   k  k !( p  k )! Chuỗi nhị thức hội tụ khoảng 1  x  hội tụ đầu mút x  1 x  phụ thuộc vào số mũ p Trong trường hợp đặc biệt thấy 1  p  chuỗi hội tụ x  ; p  chuỗi hội tụ đầu x  1 x  Hơn p số nguyên không âm chuỗi kết thúc sau số hữu hạn  p số hạng (vì    với k  p ) quy khai triển nhị thức thông thường  k  dĩ nhiên chuỗi hội với x Bảng 8.2 Chuỗi lũy thừa cho số hàm Tên Chuỗi Khoảng hội tụ Chuỗi hàm mũ eu   u  u2 un   2! n! e x   e c  x  c  Chuỗi Cosin Chuỗi Sin cos u   ec ec n  x  c     x  c   2! n! u2 u4 u 2n     (1) n  2! 4! (2n)! cấp ,  ,  ( x  c)2 ( x  c )3 cos x  cos c  ( x  c )sin c  cos c  sin c  2! 3! ,  u3 u5 u n1 n sin u  u      (1)  3! 5! (2n  1)! ,  sin x  sin c  ( x  c)cos c  Chuỗi ,  ( x  c) ( x  c) sin c  cos c  2! 3!   u  u  u   u n  số  u ,  1,1 nhân Trang 85 Chương : Chuỗi vô hạn Chuỗi nghịch 0, 2  1 ( x 1)  ( x 1)  ( x 1)3  x đảo Chuỗi Logarit ln x  ( x 1)  ln(1  u )  u  ln x  ln c  Chuỗi -1 Tan Chuỗi Sin -1 Chuỗi nhị thức  x 1 2   x 1 3 n   c 2c    (1)  x  c n n1 0, 2 1,1 u u3 un    (1) n1   n  x  c  x  c tan 1 u  u     (1)  x 1 n n1 nc n  u3 u5 u n1     (1) n  (2n  1) u 1.3.u 1.3.5.(2n  3)u n1 sin u  u      2.3 2.4.5 2.4.6.(2n  2).(2n 1) 1 0, 2c  1,1 1,1 p ( p 1) p ( p 1)( p  2) u  u  2! 3! (1  u ) p   pu  Ví dụ 8.66 Tìm chuỗi Maclaurin hàm f ( x)   x khoảng hội tụ Giải  x Ta có f ( x)   x  9  x  31     2 Vì  x  x  31              1 1  2      x    x     x           .  1           2!   3!       1  1  x  x  x    18  648 11664 1  3 x x  x  216 3888 Trang 86 Chương : Chuỗi vô hạn Vì số mũ p  với thỏa p  , p số nguyên, theo định lý 8.35 chuỗi hội tụ x  nghĩa x  9 Trang 87 Chương : Chuỗi vô hạn BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 8.1 Viết số hạng (bắt đầu từ n = 1) dãy số sau a 1  1  n n   b n sin  2  c an  a1  256 an  d an  a1  an   an1  an1 với n  2  an1  với n  Bài 8.2 Tìm giới hạn dãy hội tụ sau  8n2  6n  4000  a   n3    d  n5 n  n  b  n  4  n  ln n  e   n   n  c    n  n  f   ln n n  Bài 8.3 Chứng minh dãy số sau hội tụ cách dãy tăng bị chặn dãy giảm bị chặn   n   a ln     n   3n   b    n  n c  n  2  Bài 8.4 Giải thích dãy số sau phân kỳ  n3  7n   a   100n  219   b   1 n  c cos n  Bài 8.5 Các dãy số sau hội tụ hay phân kỳ 1  a   sin n   n     b n sin    n   Bài 8.6 Thuốc đưa vào thể cho cuối giờ, lượng thuốc nửa lượng thuốc thời điểm cuối trước Hỏi lượng thuốc cuối thứ cuối thứ n Bài 8.7 Xác định xem chuỗi cấp số nhân sau hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ tìm tổng chúng Trang 88 Chương : Chuỗi vô hạn  a  k 0  c   3 e b k 5 k 0 k k 1 2k 1 d   1 k 3 k 2  0.2 k k 1 e  2 k 1 1     22 23 24 f     10 1 1 1 g            4  4  4 Bài 8.8 Với chuỗi sau đây, tìm Sn tổng riêng thứ n chuỗi xác định xem chuỗi hội tụ hay phân kỳ cách kiểm tra lim Sn n  1  a   0.1  0.1  k  k 1  k        b  c   k 1 k  2 k 0 1  ln 1  k  k 1 Bài 8.9 Hãy biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng số hữu tỷ a 2.231 b 1.405  Bài 8.10 Cho chuỗi số c 41.2010 k 1 2 k 1 k 1 a Tìm số A, B cho k 1 Ak B  k  1   2k 1 2k 2k 1  b Tính tổng chuỗi k 1 2 k 1 k 1 Bài 8.11 Tính tổng chuỗi số sau ak  3k a  biết k 0   a k 0 k  0.54 Trang 89 Chương : Chuỗi vô hạn  1 1 b   k  k   k 0  2 Bài 8.12 Một bánh máy bay quay tốc độ 500 vòng/phút chậm dần theo cách mà phút sau quay trịn với tốc độ 2/3 tốc độ phút trước Tìm tổng số vịng quay mà bánh máy bay quay trước dừng hẳn Bài 8.13 Một bóng ném từ độ cao 10ft Mỗi lần bóng nẩy lên lên cao khoảng 0.6 lần độ cao trước Hỏi tổng quãng đường di chuyển bóng bao nhiêu? Bài 8.14 Giả sử phận máy trị giá $10000 năm bị giá 20% so với giá trị đầu năm Nếu giá dự kiến vơ hạn tổng thiệt hại bao nhiêu? Bài 8.15 Một bệnh nhân tiêm 20 đơn vị thuốc 24 Thuốc bị phân hủy theo quy luật hàm mũ cho lượng thuốc lại thể bệnh nhân sau t ngày f t   e t Nếu trình điều trị kéo dài có khoảng đơn vị thuốc thể bệnh nhân trước tiêm Bài 8.16 Các chuỗi số sau áp dụng tiêu chuẩn phân kỳ? Vì sao?  k a  k 1 k   d  ke k 1 k  b e 1  k k 1  e  k 2 k k 1 k  1 c  1   k k 1   f  cos k k 0 Bài 8.17 Sử dụng tiêu chuẩn tích phân để kiểm tra xem chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ Trang 90 Chương : Chuỗi vô hạn  a b   k 1  2k  3  k 2  ln k  k  c  tan k  1 1 k k 1   ke d 2 k2 k 1 Bài 8.18 Xét hội tụ chuỗi số sau k  sin k b  k 1 3k  2sin k   ln k a  k 1 k   2 d  1   k k 1  k   c k 1 2k  f  k5 k 1   e  k 2 k ln k  i  k 1 2k k  k sin k   1 k   k   k k 1  j  k  k k 1 e  e Bài 8.19 Tìm tất giá trị m để chuỗi số sau hội tụ  a  k 2 k k 1 m  k 2  ln k  k b m Bài 8.20 Xét hội tụ chuỗi số sau tiêu chuẩn so sánh trực tiếp   a  cos   6 k 1   k c  k ln k  ln k k 2  b  k k 1   d 2k  k 1 Bài 8.21 Xét hội tụ chuỗi số sau tiêu chuẩn so sánh giới hạn    a  k 1 k  k  d  k 1 k  k  1 2k  c k 1 k  b 2k  k 1 k   e  k 1  k 1 k  f k   k  2 k 1 k Bài 8.22 Xét hội tụ chuỗi số sau 2k  k  a  k 1 k  k    c  k 1 k k  2.8 k Trang 91 Chương : Chuỗi vô hạn   b  k  2 k  3 k k 1  d k 1k k k 1 Bài 8.23 Sử dụng tiêu chuẩn tỷ số tiêu chuẩn để xét hội tụ chuỗi sau   k5 b  k k 1 10  k! a  3k k 1   k  d    k 1  3k   k10 2k c  k 1 k !  k ! e  k 1  2k  ! k   k 2 f     k 1  k  k2 Bài 8.24 Xét hội tụ chuỗi số sau cho biết bạn sử dụng tiêu chuẩn để xét 5k  a  k k 1 k  d  k 1 k 1 c  2 k 1 k  k  2   22 k k ! b  k k 1 k   k 2 e     k 1  k  k! 2k k  f  k 1 cos k 2k Bài 8.25 Xác định giá trị x để chuỗi số sau hội tụ  x2k a  k 1 k b   x  0.5 k 1 k k  k Bài 8.26 Xác định xem chuỗi số sau hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hay phân kỳ  a  1 k 1 k 1  d  1 k  2k ! k k 1  i  1 k 1   1 k 1 k 1 k k 1 k 1 b  1 k 1 k 1  e k 1   k   1 k 1 k 2  k j  1 k 1 k 1  k2 ek c k 2  k ln k  k     k 1   1 f  1 k 1 k k! ln k k 1 ln k k2 k k k 5k 2 23k Bài 8.27 Với chuỗi số sau Ước tính tổng chuỗi cách lấy tổng số hạng cho biết sai Trang 92 Chương : Chuỗi vô hạn số ước lượng Cần số hạng chuỗi để ước lượng tổng đạt độ xác chữ số thập phân Tính ước lượng  a  k 1  1 k 1  b 22k 2  k 1  1 k 1   1 c     k 1   k! k Bài 8.28 Sử dụng tiêu chuẩn tỷ số tổng quát để tìm tất giá trị x cho chuỗi số sau hội tụ  a  k 1  2x  k  2k xk b  k 1 k ! k  k  2 xk  k 1 k  k  3  c  d  1 k 1 k 1  x   k k Bài 8.29 Tìm khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa sau k  k  1 xk a  k 2 k 1   b  k 1   2k 2k d   2x 1 k 0 k ! k  x  2  1 kxk c  k 1 ln  k   k 3k e  k  x  1 k   k k xk f  k 1 k ! k 1 k 1 Bài 8.30 Tính đạo hàm f '  x hàm sau   x a f  x     k 0    c f  x    k 0  1 k  k b f  x    k  2 x k 0 k k 1 xk x Bài 8.31 Tính tích phân  f  u du hàm sau  a xk k 0 k ! f  x    k b f  x    1 x k k 0 Bài 8.32 Áp dụng đạo hàm số hạng chuỗi cấp số nhân để tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn hàm Trang 93 Chương : Chuỗi vô hạn f  x  1 x  Với giá trị x chuỗi lũy thừa hội tụ Bài 8.33 Tìm bán kính hội tụ chuỗi  k  3! xk  k 1 k ! k  4 !  a  b 1.2.3 k.  x  2k 1  1.3.5  2k 1 k 1 Bài 8.34 Cho hàm f xác định chuỗi lũy thừa 1 x2k 1  f  x   k 0  2k  1 !  k với x Chứng minh f ''  x    f  x  với x Bài 8.35 Tìm chuỗi Maclaurin cho hàm sau Giả sử a số tất đạo hàm cấp tồn tại x = a f  x   ex d f  x   f  x  b f  x   sin 1  4x x x 2x c f  x   e  e e f  x   ln   x  f , a0 a  x2 Bài 8.36 Tìm số hạng chuỗi Taylor hàm sau giá trị c a f  x   ln x c = b f  x   sin x c  c f  x   x c = d f  x    c = 2x 1 Bài 8.37 Khai triển hàm sau thành chuỗi nhị thức tìm miền hội tụ a f  x    x 1 b f  x   Bài 8.38 Tìm chuỗi Maclaurin hàm f  x   Bài 8.39 Tìm chuỗi Maclaurin hàm f  x   x  x2 x  3x  2 x2  x  2  x2 1 Trang 94 Chương : Chuỗi vô hạn   2x  Bài 8.40 Tìm chuỗi Maclaurin hàm f  x   ln  1  3x  2x  Trang 95 ... Taylor 72 8. 8.3 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurent 74 8. 8.4 Các phép toán chuỗi Taylor chuỗi Maclaurent 80 Bài tập chương 88 Trang Chương : Chuỗi vơ hạn Chương CHUỖI VƠ.. .Chương : Chuỗi vô hạn 8. 7.2 Đạo hàm tích phân số hạng chuỗi lũy thừa 66 8. 8 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurent 70 8. 8.1 Đa thức Taylor Maclaurent 71 8. 8.2 Định lý Taylor... f  x   L (xem hình 8. 8b) n x  Trang 11 Chương : Chuỗi vơ hạn Hình 8. 8 So sánh đồ thị lim f  x  lim an f  n   an với n  1, 2, x  n  n2  n2 lim Ví dụ 8. 5 Biết dãy số  hội tụ,