Chương Tích Phân Toán 12

Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Mục lục Contents Chương Các phương pháp tính tích phân 7.1 ƠN TẬP VỀ PHÉP ĐỔI BIẾN VÀ BẢNG TÍCH PHÂN 7.1.1 Ôn tập phép đổi biến 7.1.2 Sử dụng bảng tích phân 7.2 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 10 7.2.1 Cơng thức tích phân phần 10 7.2.2 Sử dụng nhiều lần tích phân phần 12 7.2.3 Tích phân phần cho tích phân xác định 14 7.3 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 15 7.3.1 Lũy thừa Sin Cos 15 7.3.2 Lũy thừa Sec Tan 17 7.3.3 Đổi biến lượng giác 19 7.3.4 Tích phân dạng bậc hai 23 7.4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH HỮU TỶ 24 7.4.1 Phân tích thành phân thức tối giản 24 7.4.2 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 31 7.4.3 Phân thức hữu tỷ sin cos 35 7.5 TÓM TẮT CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN 36 7.6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC NHẤT 39 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT 39 MỘT ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 43 7.7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 51 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 51 Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 59 Tiêu chuẩn so sánh hội tụ phân kỳ 63 7.8 CÁC HÀM HYPERBOLIC VÀ CÁC HÀM NGƯỢC CỦA CHÚNG 64 Hàm hyperbolic 64 Đạo hàm tích phân hàm hyperbolic 66 Các hàm hyperbolic ngược 68 BÀI TẬP CHƯƠNG 75 Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Chương Các phương pháp tính tích phân 7.1 ÔN TẬP VỀ PHÉP ĐỔI BIẾN VÀ BẢNG TÍCH PHÂN 7.1.1 Ôn tập phép đổi biến Khi đổi biến ta chọn u, tính du, sau đổi biến để dạng ta tính tích phân giống với cơng thức tính phân biết Ví dụ 7.1 Tích phân phép đổi biến Tìm  x dx x  2 Giải Đặt u  x  Khi du  3x 2dx ,  x x 2dx 2 du    u3 (sử dụng đổi biến) 1 u 4 5   u du  C 3 4 4  x  C 12   Với tất tích phân bất định, bạn kiểm tra kết cách tìm đạo hàm kết vừa tính để xem có với hàm dấu tích phân không Chẳng hạn, Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân d dx   x 2  12    4    C    4 x   12     x2 3x  0   x 2    5  ■  Ví dụ 7.2 Đưa dạng tích phân biết phép đổi biến Tìm t dt  1t Giải Ta ý tương tự tích phân tính tích phân cho hàm ngược hàm sin, ta đặt u  t Khi du  2tdt   tdt 1t4   1 sin u  C du    u2 du  u2  sin1 t  C ■ Phương pháp đổi biến (mục 5.5) quan trọng, nhiều kỹ thuật trình bày chương sử dụng kết hợp với phép đổi biến Ví dụ minh họa thêm cách đổi biến sử dụng tốn tích phân Ví dụ 7.3 Nhân với để cơng thức tích phân Tìm  sec x dx Giải Nhân hàm dấu tích phân sec x với sec x  tan x chia cho đại lượng này:  sec x dx     sec x sec x  tan x  sec x  tan x du u dx   (với u  sec x  tan x , du  sec2 x  sec x tan x dx ) Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân  ln u  C  ln sec x  tan x  C ■ Bạn thắc mắc lại nghĩ đến nhân chia hàm dấu tích phân sec x ví dụ với sec x  tan x Nói ta làm “nó hiệu quả” khơng câu trả lời thỏa đáng Tuy nhiên, kỹ thuật có từ lâu, nhân với phương pháp quan trọng toán học để đổi dạng biểu diễn có sẵn sang dạng biểu diễn mới, nhằm giải tốn dễ dàng Ví dụ 7.4 Đổi biến sau biến đổi đại số Tìm dx   ex Giải Đổi biến trực tiếp u   e không giải toán: x dx  e x   du ex  u du  ue x Đây khơng dạng thích hợp x chưa bị khử hết Thay vào đó, ta viết lại hàm dấu tích phân sau:  dx   ex   e x  dx  e x e x  e xdx e x   (nhân với 1) (đặt u  e x  , du  e xdx ) du   ln u  C u     ln e x   C   (e x   0, x , ln e x   ln e x  ) ■ Tích phân chứa số hạng có lũy thừa phân số Khi hàm dấu tích phân chứa số hạng với lũy thừa phân số, thường cách tốt chọn đổi biến x  u n , với n số nguyên dương bé mà chia hết cho tất mẫu số số mũ (đó bội chung nhỏ mẫu số) Chẳng hạn, hàm dấu tích phân chứa số hạng Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân 14 23 x ,x ,x 16 , đổi biến x  u 12 , 12 số nguyên dương bé chia hết cho tất mẫu số số mũ 4, 3, Lợi cách giải đảm bảo lũy thừa phân số x trở thành lũy thừa nguyên u Như vậy, x 16   16  u 12  u 2, x   14  u 12 14  u 3, x    u 12  u8 Ví dụ 7.5 Đổi biến với lũy thừa phân số x Tìm 13 dx x 12 Giải Vì số nguyên bé chia hết cho mẫu số 3, nên ta đặt x  u , dx  6u 5du Ta đổi biến: x   13 dx x 12   u  6u 5du 13    u6 12   6u 5du u2  u 6u 6  6u  6u   ) 1u 1u  6u 3du 1u    6u  6u   6  du  2u  3u  6u  ln  u  C   u   2x 12  3x (Chia 13  6x 16   ln  x 16  C (vì  x 16  ) (thay u  x 16 ) ■ 7.1.2 Sử dụng bảng tích phân Để sử dụng bảng tích phân, phân loại dạng tích phân Để dễ dàng đổi biến, ta sử dụng u biến tích phân, đặt a, b, c, m, n biểu diễn số Các dạng liệt kê phụ lục D sau: Dạng (công thức 1-29) Dạng bậc bậc hai (công thức 30-76) Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Các dạng bao gồm au  b; u  a ; u  a ; a  u ; au  bu  c Dạng (công thức 77-121) Các dạng bao gồm au  b ; u2  a2 ; u2  a2 ; a2  u2 Dạng lượng giác (công thức 122-167) Các dạng bao gồm sec au; csc au cos au; sin au; sin au cosau ; tan au; cot au; Dạng lượng giác ngược (công thức 168-182) Dạng mũ logarit (công thức 183-200) Các dạng bao gồm e au ; ln u Có quan niệm sai thường thấy, tính tích phân dễ có bảng sẵn, chí với bảng có sẵn cịn số lượng lớn công việc Sau định dạng áp dụng, phải làm khớp toán giải với dạng áp dụng việc lựa chọn thích hợp số Ta áp dụng nhiều dạng, lấy kết để đạo hàm giống Trong bảng tích phân khơng ghi số C, bạn phải nhớ thêm chúng vào kết sử dụng bảng để tính tích phân Chú ý bảng phụ lục D có hai loại công thức Loại thứ cho công thức nguyên hàm, loại thứ hai (gọi công thức rút gọn (reduction formula)) đơn giản viết lại tích phân dạng khác Ví dụ 7.6 Tích phân sử dụng bảng tích phân  Tìm x 3  x  dx Giải Ta tính tích phân sử dụng đổi biến:  x 3  x  dx   3  u  u du  (Nếu u   x du  dx ) Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân     u  6u  9u du    u 6u 9u   C 8 6 3  x     x   3  x   C  Mặc dù ví dụ khơng q khó, nhàm chán, ta nghĩ cách tìm tích phân việc sử dụng bảng tích phân Đây tích phân chứa dạng au  b ; ta tìm cơng thức 32 với u  x , a  1, b  3, n  3  x   3 3  x   x 3  x  dx  3 5  31 5  21 53  2 32 3  x  1  5  11 C 6 3  x     x   3  x   C  ■ Ví dụ 7.7 Tích phân sử dụng cơng thức rút gọn từ bảng tích phân Tìm  ln x  dx Giải Hàm dấu tích phân có dạng logarit; từ bảng tích phân ta thấy áp dụng công thức 198, phụ lục D, với u  x , n  Công thức cơng thức rút gọn (reduction formula) ta tính tích phân cho trước qua tích phân dạng với lũy thừa thấp  ln x  dx  x ln x    ln x  dx 4 1 31    x ln x   x ln x    ln x  dx    (công thức 198) (công thức 198)  x ln x   4x ln x   12  ln x  dx 4    x ln x   4x ln x   12 x ln x   2x ln x  2x   C   (công thức 197) Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân  x ln x   4x ln x   12x ln x   24x ln x  24x  C ■ Chú ý từ ví dụ ta ghi số C sau tính tích phân cuối (thay ghi số C 1, C 2,  tích phân tích được, C  C    C số bất kỳ) Thông thường ta cần đổi biến trước sử dụng công thức tích phân, điều ví dụ sau Ví dụ 7.8 Sử dụng bảng tích phân sau đổi biến x dx  Tìm  5x Giải Tích phân có dạng a  u , khơng thực khớp hồn tồn với cơng thức bảng Tuy nhiên, ngoại trừ hệ số 5, giống cơng thức 111 Đặt u  5x , du  dx : xdx    5x u   du 1 5  u2     u C   udu  u2 (công thức 111 với a  )  5x  C ■ Đối với ví dụ 8, bạn đặt u   5x , du  10xdx :  xdx  5x   du 10   u 1 2du   2u  C    5x  C 10  10 u   Kết giống với kết tính Tính tốn để nhấn mạnh Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân bạn nên thử phương pháp tích phân đơn giản trước dùng bảng tích phân Ví dụ 7.9 Tích phân bảng Tìm  5x 3x  dx Giải Tích phân tương tự công thức 87   u  du 5x 3x  dx  5   u    3 u   2x 3x   24    32  32 3x du  3dx ) (cơng thức 87 với a  ) u  du  2  u u    3   (Nếu u   12 u u  12 14   ln u  u  12 8    x 3x  12  ln     C       3x  3x    C   ■ 7.2 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 7.2.1 Cơng thức tích phân phần Nhớ lại cơng thức vi phân tích Nếu u v hàm khả vi d uv   udv  vdu Tích phân hai vế phương trình để tìm cơng thức cho tích phân phần:  d uv    udv   vdu uv   udv   vdu Viết lại phương trình cuối, ta cơng thức tổng qt sau Trang 10 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Ví dụ 7.50 Đạo hàm liên quan đến hàm hyperbolic Tìm dy với hàm sau đây: dx   c y  ln sinh x  b y  x  a y  cosh Ax , A số Giải a d d cosh Ax   sinh Ax  Ax   A sinh Ax  dx dx         d  d x    sech2 x  x   2x sech2 x     dx dx d  d c ln sinh x   sinh x    cosh x   coth x    dx sinh x dx sinh x b Định lý 7.5 Quy tắc tích phân hàm hyperbolic  sinh x dx  cosh x  C  sech x dx  x  C  sech x x dx   sech x  C  cosh x dx  sinh x  C  csch x dx   coth x  C  csch x coth x dx   csch x  C Ví dụ 7.51 Tích phân liên quan đến dạng hyperbolic Tìm tích phân sau đây: a  cosh x sinh x dx   b  x sech x dx c  x dx Giải a Đặt u  cosh x du  sinh x dx Ta có  b Đặt u  x cosh x sinh x dx   u 3du  u4  C  cosh x  C 4 du  x dx Ta có Trang 67 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân    x sech x dx   1  1 sech 2u  du   u  C  x  C   c Đặt u  cosh x du  sinh x dx Ta có  x dx   sinh x dx cosh x   du  ln u  C  ln cosh x   C u Các hàm hyperbolic ngược Các hàm hyperbolic ngược quan tâm trước hết chúng cho ta biểu diễn số tích phân dạng đơn giản Vì sinhx liên tục đơn điệu ngặt (tăng), một-một có hàm ngược, hàm ngược định nghĩa y  sinh1 x x  sinh y với x y Đây gọi hàm sin hyperbolic ngược, đồ thị nhận cách lấy đối xứng đồ thị hàm y  sinh x qua đường thẳng y  x , Hình 7.19 Các hàm hyperbolic khác định nghĩa theo hàm mũ, nghĩ tới việc biểu diễn hàm hyperbolic ngược theo hàm logarit Những mối quan hệ tổng kết định lý sau Hình 7.19 Định lý 7.6 Công thức dạng logarit cho hàm hyperbolic ngược   sinh1 x  ln x  x  , x ;   cosh1 x  ln x  x  , x  1; tanh1 x  1x ln , x  1; 1x   1  x  csch 1x  ln   , x   x  x    1   x  1 sech x  ln  ,  x   x   x 1 coth1 x  ln , x 1 x 1 Định lý 7.7 Đạo hàm tích phân hàm hyperbolic ngược Trang 68 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân d dx d dx d dx d dx sinh u   du  u dx du cosh1 u  u  dx du tanh1 u  u 1  u dx 1 du csch1 u  dx u 1u 1               1u du  sinh1 u  C  cosh1 u  C u 1 du 1   u  u  C u  du 1  u  u   csch u  C du 1  u  u   sech u  C du 1   u  coth u  C u  d 1 du sech1 u  dx u  u dx d du coth1 u  u 1 dx  u dx  du      Ví dụ 7.52 Đạo hàm liên quan đến hàm hyperbolic ngược dy với dx Tìm b y  cosh1 sec x  ,  x  a y  sinh1 ax  b   Giải a d  sinh1 ax  b      dx b d dx  ax  b  d ax  b   dx a  ax  b  sec x tan x d sec x    sec x  sec2 x  dx tan2 x cosh1 sec x     ( tan x   x   ) Ví dụ 7.53 Tích phân liên quan đến hàm hyperbolic ngược Tính  dx  x2 Giải  dx  x2    sinh1 x   ln x  x   0      ln   ln1  ln   Trang 69 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 7.1 Tính tích phân sau 2x   dx x  5x 16 x dx  x4   cos x e dx  1  cot x  csc sin x   x3 x x x dx a x 2 4x  4 x sin 5xdx xdx  12  sin xdx dx 9x  6x  dx sin x cos x 14  15 x dx  9x x dx 19 x e xdx  1e  14 18 tan t sec t 2 2  tan t  x 13 4dx  2x dt 12  x tan x dx 21  e cos 4x dx 22  x ln x dx 23  x  sin x  dx 24  sin ln x dx 1 20 3x  x sin x cos x dx 26  ln x  1dx 25 27 28 29  sin   x dx xe x dx x  1 ln sin x  tan x dx  sin 2x ln cos x  dx ln x sin ln x  31  dx x  e 34  35  2x sin e xdx sin x cos 2x sin x ln 2  cos x  dx   dx 2x  1e 2x x2  cos x dx 37  sin x cos dx 36 x dx 38  39   sin x dx cos t sin t dt cos x  e sin x dx 41  cos 2t dt 42  sin x cos x dx 43  tan 2 d  cos x 40 2 44 x  sec dx  tan x sec x dx 46  sec x tan x dx 47  tan x  sec x dx 48  sin x  cos x  dx 45 30 32 33 x 2 x  sec3  dx   11 12 xdx e 10  ln  18 dx   2x  dx a  be 2x  13 17 x dx 2  tan u sec u du 50  sec x dx 49 51  tan x sec2 x dx Trang 70 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân  x sin x cos x dx 53  x sec x dx 54  csc 2 d  55  csc x cot x dx 56  csc x cot x dx 57  csc x cos x dx 58  tan x csc x dx 52  72  9x  60  61  62 63 64 65 66 67 68 69 70  sin u du cos5 u sec x dx tan2 x  sec2 x sin 3x sin 5x dx x cos sin 2x dx  sin 3x cos 4x dx  cos 7x cos 3x  sin 4x dx x 1  4x    dx dx x x 2  75  x2  dx x2  x  76 x 74 77 78 dx x  2x  x x  1 dx dx 8 x4 1 dx x4 1 x3 1 dx x3 1 x dx 80  x x  1x  2 81 83  x  1     x2 dx   x2 x2 1 dx 79 82 x2  dx x   x2 x4 x2  7x  dx xdx  59 x  8x  2x  9x  73 2 dx 71 x  1 dx    x dx x  1x  2 5x  dx x  2x  dx 87 x 23 88 x 14 89  90  sin x  cos x 91  92  sin x  93  sec x  tan x 94  sin x  cos x  95  96  x 3  ln x 1  ln x  97  csc x  cot x  98  99 x 12 dx x dx cos x  sin x dx sin x  cos x dx sin x  cos x dx dx dx dx sin x  cos x  dx dx  2x  x  x  tan ln x  dx x 3x  2x  dx x  x  4x  100 e dx  5e x   101  1e x 84  2e 85  86  sec 2x cos xdx sin x  sin x  2 tan x dx x 4 102 103 dx tan x dx dx x 2x  cos x dx 2x  1 dx  4x  4x  Trang 71 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân  104  105 e x dx 1e sec2 x dx x dx x sinh  108 sec2 x   x cosh 1  x  dx 106  107 2x sech ln x  dx x2  coth x dx 109 Bài 7.2 Tính tích phân sau (khơng dùng máy tính)  x ln x dx  x ln x dx  e  13  ln 3x  dx e cos 2x dx   x sin x  cos x  dx 14 t 2t  e  e dt 15  10 dt 4t  4t  x 11   16 17 x 3 x 3  x2 x x  4dx  x dx e x dx e 2x    dx 12 x ln 9x ln x  dx 2x dx  2 1 13 e e  x dx t 5dt  t 12  x sech x dx dx 32 18  ln  sinh 3x dx Bài 7.3 Tìm thể tích khối tạo cách quay miền định bên quanh trục Ox Miền đường cong y  x 32 x 9  Miền đường cong y  x  x , x  x   14 từ x  đến x  Miền đường cong y  ln x đoạn 1, e    Miền đường cong y  cos x , x  x   Trang 72 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Miền bị chặn y  xe x , y  0, x  x  Bài 7.4 Tìm thể tích khối tạo cách quay miền định bên quanh trục Oy Miền đường cong y  1  x  x 13 trục Ox, x  x  Miền đường cong x  4  y trục Oy, y  y    Miền đường cong y  sin x  cos x đoạn  0,   4   Miền đường cong e x đoạn  0, 2   Miền đường cong y  ln x đoạn 1, e    Miền bị chặn đường cong y  sin2 x , x   0,   trục Ox   Bài 7.5 Tìm độ dài cung sau Cung y  f x  thỏa phương trình vi phân xy     Cung y  ln cos x  đoạn  0,   4   ln x   x , x  1 x  Bài 7.6 Tìm diện tích mặt tạo cách quay cung định bên quanh trục Ox Cung y  x đoạn  0, 1   Đường tròn x  y  b   1, b  Cung y  ln x từ x  đến x  Bài 7.7 Tìm diện tích mặt tạo cách quay cung y  x đoạn  0, 1   quanh trục Oy Bài 7.8 Sau t làm việc, cơng nhân sản xuất 100te 0.5t sản phẩm/giờ Hỏi có đơn vị sản phẩm công nhân sản xuất suốt đầu? Trang 65 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Bài 7.9 Sau t giây, vật di chuyển dọc theo đường thẳng với vận tốc te t mét/giây Hãy biểu diễn vị trí vật hàm số theo thời gian Bài 7.10 Sau t tuần, đóng góp cho chiến dịch gây quỹ địa phương có tốc độ 2000te 0.2t đơla/tuần Hỏi có tiền đóng góp suốt tuần đầu tiên? Bài 7.11   Tìm hàm y  f x  mà đồ thị qua điểm 0, có tính chất đường pháp   tuyến điểm x , y đồ thị có hệ số góc sec x xy   Tìm hàm y  f x  mà đồ thị qua điểm 1, có tính chất điểm x, y  đồ thị, hệ số góc tiếp tuyến y tan Bài 7.12 Giả sử biết f  0  1 x    f x   f  x  sin x dx  Tìm f   Bài 7.13 Trong vật lý, người ta biết độ ồn L âm có mối liên hệ với cường độ I thể qua phương trình L  10 log I (decibel), với I  1012 I0 (watt/m2) ngưỡng nghe (tức cường độ nhỏ nghe được) Giá trị trung bình L cường độ tivi khoảng I I  3.105 watt/m2? Bài 7.14 Vì tên lửa đốt nhiên liệu bay, nên khối lượng giảm theo thời gian, ảnh hưởng đến vận tốc Người ta thấy vận tốc v t  tên lửa w  kt  gt , với w w trọng lượng ban đầu tên lửa (tính nhiên liệu) r, k tương ứng tốc độ phóng thời điểm t q trình bay có cơng thức v t   r ln hệ số tiêu thụ nhiên liệu (r, k số) Lấy giá trị gia tốc trọng trường g  32 ft/s2 Giả sử w  30000 lb, r  8000 ft/s, k  200 lb/s Hỏi độ cao tên lửa sau phút (120 giây)? Bài 7.15 Một nhiếp ảnh gia chụp hình biển báo thông minh đuôi Trang 66 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân xe tải Biển báo cao ft cạnh thấp máy ảnh ft Lúc đầu xe tải cách nhiếp ảnh gia ft, sau di chuyển Hỏi giá trị trung bình góc  (hình vẽ) xe tải di chuyển cách nhiếp ảnh gia từ ft đến 20 ft? Bài 7.16 Nếu n mole khí lý tưởng tăng nhiệt độ khơng đổi T, áp suất p thể tích V khối khí thỏa phương trình pV  nRT , với R số Người ta công thực khối khí làm tăng từ thể tích V1 đến thể tích V W  nRT ln V V1 Giá trị trung bình cơng thể tích tăng từ V1 đến V2  10V1 ? Bài 7.17 Một chất điểm di chuyển dọc theo trục Ox, có gia tốc thời điểm t a t   sin2 t Tổng quãng đường chất điểm khoảng thời gian 0,   vận tốc ban đầu v 0  (mét/giây)?   Bài 7.18 Tìm trọng tâm miền sau Miền bị chặn đường cong y  e x , y  e x đường thẳng x  Miền góc phần tư thứ bị chặn y  sin x , y  cos x trục Oy Miền bị chặn đường cong y  cos2 x , trục Ox đường thẳng x    ,x  Bài 7.19 Tìm diện tích miền bị chặn đường cong y  đường thẳng  5x  x Trang 67 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân x , x  ,y  Tìm diện tích đường cong y  x  x  x  5x  Bài 7.20 Tìm thể tích khối tạo đường cong y  quanh đường thẳng x  1 ,  x  quay x  5x  Bài 7.21 Giải phương trình vi phân sau 12 dy  5x  dx dP  0.02P dx dy 3y  x dx x dy 2y   x 1 dx x x dy  xy  dx 10 dy  2y  xe x dx dy  2x  1  y  e 2x   dx  x  x 11 12 dy 2y ln x   dx x x dy   tan x y  sin x dx dy  sec x  y  sin 2x dx dy y   tan1 x dy dx x x  2x y  dx Bài 7.22 Tìm nghiệm đặc biệt phương trình vi phân sau: dy  x 2y 2 , với y  x  dx x x dy  y 2 , với y  x  dx x  dy  y x  , với y  x  dx dy xy  , với y  x  1 dx  x2 dy xy   x 1  x , x  1 , dx  x dy xy   x 1  x , x  , dx  x y  x  dy  2y  2x , x  , với y  dx x  x 10 với dy 2xy   cos x , với y  dx  x x  với y  1 x  dy 2xy   sin x , với y  dx  x 2 dy y   x 2e x , x  , với y  dx x x  Trang 68 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Bài 7.23 Năm 2010, tổng sản phẩm quốc nội (GDP) Mỹ 14.26 nghìn tỷ đơla Giả sử tốc độ tăng GDP từ 2009 đến 2010 1.8% Hãy dự đoán GDP năm 2020 Bài 7.24 Theo cục điều tra dân số Mỹ, số người Mỹ kết hôn năm 2005 lả 2230000 người Tốc độ kết hôn 0.71% Hỏi dự đốn có người kết ghi nhận vào năm 2010 tốc độ kết hôn số ? Bài 7.25 Một thùng chứa 10 pound (lb) muối hòa tan 30 galon (gal) nước Giả sử có gal dung dịch chứa lb muối gal chảy vào thùng phút, dung dịch sau trộn cho chảy với tốc độ (2gal/phút) a Tìm lượng muối thùng thời điểm t b Bao lâu thùng 15 lb muối ? Bài 7.26 Trong 7.25, giả sử thùng tích 100 gal tốc độ chảy gal/phút a Sau thùng đầy ? b Có muối thùng đầy ? Bài 7.27 Tốc độ thuốc hấp thu vào máu cho db    b , với b t  nồng độ dt thuốc mạch máu thời điểm t Hỏi b t  tiến đến thời gian t   ? Khi b t  nửa giá trị giới hạn đó? Giả sử b 0  Bài 7.28 Một mạch RL có điện trở R (ohm), cuộn cảm L (henry) sức điện động E (volt) (R, L, E số) Giả sử khơng có dịng điện qua mạch thời điểm t  Nếu L tăng gấp đơi, E R khơng đổi, điều có ảnh hưởng đến cường độ dịng điện “dài hạn” mạch điện (tức cường độ dòng điện t   )? Bài 7.29 Năm 2000 có 31.1 triệu người Hispanic Mỹ Nếu tốc độ tăng dân số tỷ lệ với dân số tại, có người Hispanic ghi nhận vào năm 2010 ? Biết có 15.5 triệu người Hispanic năm 1990 Bài 7.30 Số lượng động vật đảo Catalina bị giới hạn lượng thức ăn sẵn có Nghiên cứu có 1800 vật năm 2005, 2000 vật năm 2011 5000 vật sống điều kiện đảo (số động vật đảo không vượt 5000) Hãy sử dụng mơ hình logistic để dự đốn số vật vào năm 2030 Trang 68 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Bài 7.31 Năm 1986, thảm họa hạt nhân Chernobyl Xô Viết làm ô nhiễm bầu khí Sự tích tụ chất phóng xạ khí thỏa phương trình vi phân k  dM  r   M   r dt  với M lượng chất phóng xạ khơng khí thời điểm t (đơn vị : năm), k tỉ lệ chất phóng xạ đưa vào khơng khí, r tốc độ phân rã hàng năm chất phóng xạ Hãy tìm nghiệm M(t) (tính M(t) theo r k) từ phương trình vi phân này, biết M  t  Bài 7.32 Một vật có khối lượng m thả từ độ cao lớn rơi theo đường thẳng Giả sử có lực trọng trường mg lực cản khơng khí kv tác động lên vật (nhớ   g  32 ft/s ) a Theo định luật thứ Newton m dv  mg  kv dt Hãy giải phương trình vi phân này, giả sử vật có vận tốc v  t  / b Tìm quãng đường s t  vật rơi thời điểm t Giả sử s  t  c Nếu vật có khối lượng m  100 lb k  0.35 vật chạm đất từ độ cao thả ban đầu 10000 ft? Bài 7.33 Một mạch RL có điện trở R  10 ohm cuộn cảm L  henry Hãy tìm cường độ dòng điện I t  mạch thời điểm t I 0  sức điện động a E  15 (volt) b E  5.e 2t sin t (volt) Bài 7.34 Một mạch RL có cuộn cảm L  henry điện trở R  ohm, với sức điện động E  50 sin 30t Giả sử I 0  a Tìm cường độ dịng điện I t  thời điểm t b Cường độ dòng điện ổn định ? Cường độ dòng điện tức thời bao nhiêu? Trang 69 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân Bài 7.35 Tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ? Nếu tích phân hội tụ tìm giá trị          dx 2x  11  dx ex 12  x3  e      dx x  x ln x dx 17  dx 14 dx x   15   16     xe  19 x 20 x ln x  2x dx 21 x 1  22 2  dx 23 2x 26 e  ln x dx e xdx  1  27 15  ex sec2 x dx   tan x  dx x 25 dx ln x dx dx dx dx 18  x 1  dx x ln x dx x  x  e  10x 13 x dx xe  2x  1  5xe dx   10   dx x 0.99  dx x3 28 x  dx sin x dx  cos x 1  x  dx 12 1  x   ln x dx 5  x  24 xdx  1x Bài 7.36 Tìm diện tích miền bị chặn trục Ox đường cong y  x  4 , với a x  b x  Bài 7.37 Giả sử giếng dầu sản xuất P(t) ngàn barrel dầu thô tháng theo công thức sau P t   100e 0.02t  100e 0.1t , với t số tháng giếng dầu khai thác Hãy tìm tổng lượng dầu sản xuất từ giếng dầu Bài 7.38 Tìm tất giá trị p cho tích phân sau hội tụ, tìm giá trị tích phân hội tụ Trang 70 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân a   b dx x ln x  dx x p 12 c  p dx x ln x  p Bài 7.39 Cách tính tích phân sau hay sai? Tại sao? Nếu sai giải lại cho 1 dx 1 a     1  1  2   x 1 x 1 b   x  1e x dx     L 'H x 1 dx   x dx (dùng qui tắc l’hơpital) x e e  Bài 7.40 Tìm e  f x dx , với   ,  x f x     ,   x  1  x 1 1x 2 Bài 7.41 Tính giá trị hàm hyperbolic hàm ngược hàm hyperbolic sinh ln 2 cosh 3 sech Bài 7.42 Tìm dy dx 1 cosh1 coth tanh1 sinh1 coth1 3 y  sinh x 1 Trang 72 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân  y  cosh 2x  3x y  cosh1 x  y  sinh1 tan x    x   y  sech  1  x  x cosh y  y sinh x  y  x cosh1 x  x  y  tanh1 sin x  Bài 7.43 Chứng minh a x  y   x  y  x y b sinh 2x  sinh x cosh x c cosh 2x  cosh2 x  sinh2 x d x y2   , với x  a cosh t, y  b sinh t a, b số dương, t a2 b2 số Bài 7.44 Tìm thể tích V khối tạo quay miền bị chặn đường cong y  sinh x , y  cosh x , trục Oy đường thẳng x  c c  0 quanh trục Ox Tìm c để thể tích V  Bài 7.45 Tìm thể tích khối tạo cách quay miền bị chặn đường cong y  x đoạn 0, 1 quanh trục Ox   Bài 7.46 Tìm độ dài cung y  a cosh x x  a x  a a Trang 73 ... mạnh Trang Chương 7: Các phương pháp tính tích phân bạn nên thử phương pháp tích phân đơn giản trước dùng bảng tích phân Ví dụ 7.9 Tích phân bảng Tìm  5x 3x  dx Giải Tích phân tương tự cơng thức... tích trước Ví dụ 7.24 Tích phân phân tích thành bình phương Tìm  16x  2x  23 dx Giải Phân tích thành bình phương phần Trang 23 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân     16x  2x  23... giúp ta có bước làm tổng quát để có phân tích hàm phân thức hữu tỷ thành phân thức tối giản Trang 30 Chương 7: Các phương pháp tính tích phân PHÂN TÍCH THÀNH PHÂN THỨC TỐI GIẢN: Cho f x   P