Các ứng dụng của tích phân

Chương 6: Các ứng dụng tích phân Mục lục MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hai đường .3 6.1.1 Diện tích đường 6.1.2 Tính diện tích dải thẳng đứng 6.1.3 Tính diện tích dải ngang 6.2 Thể tích 10 6.2.1 Phương pháp lát cắt 10 6.2.2 Phương pháp vòng đệm (vật thể tròn xoay) 12 6.2.3 Phương pháp ống trụ .16 6.3 Dạng cực diện tích 20 6.3.1 Hệ tọa độ cực 20 6.3.2 Đồ thị cực 21 6.3.3 Tóm tắt đường cong dạng cực 22 6.3.4 Giao đường cong dạng cực 24 6.3.5 Diện tích tọa độ cực 24 6.4 Độ dài cung diện tích mặt 27 6.4.1 Độ dài cung đường cong 27 6.4.2 Diện tích mặt trịn xoay 29 6.4.3 Độ dài cung diện tích mặt dạng cực 30 6.5 Các ứng dụng vật lý: công, lực chất lỏng trọng tâm 31 6.5.1 Công 32 6.5.2 Mơ hình hóa áp suất lực chất lỏng .34 6.5.3 Mơ hình hóa trọng tâm miền phẳng 37 6.5.4 Định lý thể tích Pappus 39 6.6 Ứng dụng vào thương mại, kinh tế khoa học đời sống 40 Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân 6.6.1 Giá trị tương lai giá trị dòng thu nhập 40 6.6.2 Thay đổi tích lũy lợi nhuận rịng 41 6.6.3 Thặng dư khách hàng nhà sản xuất 43 6.6.4 Sống sót đổi 45 6.6.5 Dòng máu qua động mạch 46 Bài tập chương 49 Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Cách để học toán làm toán Paul Halmos, Hilbert Space Problem Book 6.1 Diện tích hai đường 6.1.1 Diện tích đường Ta cần tìm diện tích miền 𝑅 nằm hai đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) tính từ đường thẳng 𝑥 = 𝑎 đến đường thẳng 𝑥 = 𝑏 Chọn phân hoạch {𝑥 = 𝑎, 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 𝑏} khoảng [𝑎, 𝑏] lấy đại diện 𝑥 ∗ từ khoảng [𝑥 , 𝑥 ] Tiếp theo, với 𝑘, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛, ta xây dựng hình chữ nhật có chiều rộng Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥 chiều cao 𝑓(𝑥 ∗ ) − 𝑔(𝑥 ∗ ) Chiều cao với khoảng cách đứng hai đường 𝑥 = 𝑥 ∗ Ta gọi hình chữ nhật xấp xỉ dải thẳng đứng Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Hình chữ nhật đại diện có diện tích Δ𝐴 = [𝑓(𝑥 ∗ ) − 𝑔(𝑥 ∗ )]Δ𝑥 Khi đó, tổng diện tích hai đường 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) ước lượng tổng 𝐴 =∑ [𝑓(𝑥 ∗ ) − 𝑔(𝑥 ∗ )]Δ𝑥 Khi phân hoạch 𝑃 bị chia nhỏ cho ||𝑃|| dần việc ước lượng diện tích xác Do diện tích hai đường cong viết 𝐴 = lim ∑ || ||→ [𝑓(𝑥 ∗ ) − 𝑔(𝑥 ∗ )]Δ𝑥 Đây tích phân hàm số 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) đoạn [𝑎, 𝑏] Diện tích hai đường cong Nếu 𝑓 𝑔 liên tục thỏa mãn 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) khoảng đóng [𝑎, 𝑏] diện tích hai đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) and 𝑦 = 𝑔(𝑥) cho 𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 Nói cách khác, để tìm diện tích hai đường khoảng đóng [𝑎, 𝑏] ta dùng cơng thức sau 𝐴 = ∫ [ĐƯỜNG PHÍA TRÊN − ĐƯỜNG PHÍA DƯỚI]𝑑𝑥 Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Chú ý: Ta khơng cần phải yêu cầu đường cong nằm trục hoành Thật ra, sau ta thấy đường cong chí cắt miền tính diện tích phần đường nằm phần khác nằm Ví dụ (Diện tích hai đường cong) Tìm diện tích miền nằm đường cong 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 khoảng [0,1] Giải Miền cần tính diện tích minh họa Hình 6.3 Phương trình hồnh độ giao điểm: 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 ⇔ 𝑥 = Vậy 𝐴 = ∫ [𝑥 − (𝑥 − 𝑥)] 𝑑𝑥 = (đvdt) (đường nằm 𝑦 = 𝑥 , đường nằm 𝑦 = 𝑥 − 𝑥) Ví dụ (Diện tích cho hàm số có đồ thị nằm bên trục 𝑶𝒙) Tìm diện tích miền tạo đường cong 𝑦 = 𝑒 − 3𝑒 + trục 𝑂𝑥 Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Giải Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒 − 3𝑒 + Hình 6.4 Ta tìm giao điểm đường cong với trục hồnh, cách giải phương trình hoành độ giao điểm: 𝑒 − 3𝑒 + = ⇔ 𝑥 = 𝑥 = 𝑙𝑛2 Dễ thấy rằng, với 𝑥 ∈ [0; 𝑙𝑛2] 𝑓(𝑥) ⩽ Do đó, diện tích miền cần tìm là: 𝐴=∫ [0 − (𝑒 − 3𝑒 + 2)] 𝑑𝑥 = − 2𝑙𝑛2 (đvdt) (đường nằm 𝑦 = 0, đường nằm 𝑦 = 𝑒 − 3𝑒 + 2) 6.1.2 Tính diện tích dải thẳng đứng Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Phương pháp tốn học đắn để thiết lập công thức tích phân tính tổng Riemann lấy giới hạn Tuy nhiên, ta mơ q trình cách dùng dải xấp xỉ Việc đặc biệt hữu ích tìm diện tích miền phức tạp tạo hai đường cắt nhiều lần Trong trường hợp này, chiều cao dải thẳng đứng đại diện |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)| diện tích dải Δ𝐴 = |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|Δ𝑥 = |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 ta có cơng thức tích phân cho diện tích 𝐴 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 Lưu ý: Ta sử dụng công thức 𝐴 = ∫ [𝑓 − 𝑔] 𝑑𝑥 trực tiếp giải thiết 𝑓 ≥ 𝑔 không thỏa mãn Để sử dụng công thức 𝐴 = ∫ |𝑓 − 𝑔| 𝑑𝑥, ta phải nhớ |𝑓 − 𝑔| 𝑓 − 𝑔 phần miền 𝑔 − 𝑓 phần khác miền tùy theo đường nằm phía Ví dụ (Diện tích sử dụng dải thẳng đứng) Tìm diện tích miền bao đường thẳng 𝑦 = 3𝑥 đường cong 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Giải Miền cần tính diện tích minh họa Hình 6.6 Phương trình hồnh độ giao điểm: 𝑥 + 2𝑥 = 3𝑥 ⇔ 𝑥 ∈ {−3; 0; 1} Dựa vào Hình 6.6, ta thấy đoạn [−3; 0] đường cong 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 nằm đường thẳng 𝑦 = 3𝑥, đoạn [0; 1] đường thẳng 𝑦 = 3𝑥 nằm đường cong 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 Do diện tích miền cần tìm 𝐴=∫ [(𝑥 + 2𝑥 ) − (3𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [3𝑥 − (𝑥 + 2𝑥 )]𝑑𝑥 = (đvdt) Ví dụ 4( Diện tích sử dụng tính đối xứng) Tìm diện tích miền bao đường cong 𝑦 = sin𝑥 trục 𝑂𝑥 hai đường 𝑥=− 𝑥 = Giải Miền cần tính diện tích minh họa Hình 6.7 Diện tích miền cần tìm 𝐴 = ∫ (0 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 0)𝑑𝑥 = (đvdt) (Hoặc: 𝐴 = ∫ (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 0)𝑑𝑥 = (đvdt) ) 1.3 Tính diện tích dải ngang Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Đối với số miền, việc xấp xỉ dải ngang dể dàng dải đứng Ta kí hiệu chiều rộng dải nằm ngang Δ𝑦 Chẳng hạn hai đường cong cắt 𝑦 = 𝑏 với 𝑏 nằm khoảng [𝑐, 𝑑], diện tích tính nhờ vào cơng thức sau 𝐴 = ∫ |𝐺(𝑦) − 𝐹(𝑥)| 𝑑𝑦 Lưu ý Cơng thức viết lại thành 𝐴 = ∫ [𝐺(𝑦) − 𝐹(𝑥)] 𝑑𝑦 + ∫ [𝐹(𝑦) − 𝐺(𝑥)] 𝑑𝑦 ằ ướ ằ ướ Ví dụ 5( Tính diện tính dải nằm ngang) Tìm diện tích miền 𝑅 nằm đường parabol 𝑥 = 4𝑦 − 𝑦 đường thẳng 𝑥 = 2𝑦 − Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Giải Miền cần tính diện tích minh họa Hình 6.9 Phương trình tung độ giao điểm: 4𝑦 − 𝑦 = 2𝑦 − ⇔ 𝑦 = −1 𝑦 = Dựa vào Hình 6.9, ta thấy diện tích miền cần tìm 𝐴=∫ [(4𝑦 − 𝑦 ) − (2𝑦 − 3)]𝑑𝑦 = (đvdt) 6.2 Thể tích Phương pháp sử dụng mục 6.1 để tính diện tích tích phân điều chỉnh để tính thể tích miền đặc Chúng ta bắt đầu với trường hợp miền đặc có mặt cắt biết 6.2.1 Phương pháp lát cắt Cho 𝑆 khối đặc giả sử với 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 lát cắt 𝑆 vng góc với trục 𝑂𝑥 𝑥 có diện tích 𝐴(𝑥) Để tìm thể tích 𝑆 , trước hết ta chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành 𝑥 = 𝑎, 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 = 𝑏 chọn đại diện 𝑥 ∗ khoảng [𝑥 , 𝑥 ] Ta cắt khối 𝑆 𝑥 = 𝑥 ∗ lấy lát mỏng có diện tích bề mặt 𝐴(𝑥 ∗ ) bề dày Δ𝑥 hình bên Trang 10 Chương 6: Các ứng dụng tích phân = ∫ 2𝜋𝑘(𝑅 𝑟 − 𝑟 ) 𝑑𝑟 = Trang 48 Chương 6: Các ứng dụng tích phân BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 6.1 Phác họa miền bị giới hạn đường cong cho sau tìm diện tích nó: Bài 6.2 Chứng minh rằng, miền phẳng xác định bất đẳng thức sau: x  y  8, x  y, y  có diện tích  (đvdt) Bài 6.3 Tìm diện tích miền giới hạn đường cong: x  y  trục tọa độ Bài 6.4 Một cơng ty S tìm hàm chi phí để sản xuất sản phẩm thứ x cho công thức: C ( x)  100  50 x  25 Hỏi tổng chi phí để sản xuất 2000 sản phẩm bao nhiêu? Trang 49 Chương 6: Các ứng dụng tích phân Bài 6.5 Doanh thu biên chi phí biên theo ngày (đơn vị: $) xác định theo tháng thứ t công thức: R / (t )  500e 0,01t C (t)  50  0,1t Hãy tính tổng lợi nhuận năm Bài 6.6 Tính thể tích vật thể tạo quay miền bị giới hạn đường cong sau quanh trục Ox: y  x , với  x  y  x , với  x  y  x, y  x, x  x  0, x  1, y  x  1, y  x  y  sin x, y  cos x,  x   y  e x , y  e x ,  x  Bài 6.7 Tính thể tích vật thể tạo quay miền bị giới hạn đường cong sau quanh trục Oy: y  x, y  trục Oy y  x , y  trục Oy y   x trục Oy tia Ox y  x , y   x trục Oy, x0 y  e  x , y  trục Oy Bài 6.8 Tính thể tích vật thể tạo quay miền bị giới hạn đường cong sau quanh đường thẳng tương ứng: y   x, y  0, x  1, x  quanh Ox y  x  1, y  0, x  quanh Ox x  y , x  0, y  quanh Oy x  y  y , x  quanh Oy y  x , y   x , x  quanh Ox Trang 50 Chương 6: Các ứng dụng tích phân 6, y  x , x  y quanh đường thẳng: y  y  x , y  quanh đường thẳng: y  y   sec x, y  quanh đường thẳng: y  y  sin x, y  cos x,  x   quanh đường thẳng: y  1 10 y  x , x  y quanh đường thẳng: x  1 11 x  y , x   y quanh đường thẳng: x  12 y  x, y  0, x  2, x  quanh đường thẳng: x  Bài 6.9 Vẽ đồ thị đường cong sau tọa độ cực: r  3,      =-  r  2 ,   , 0 r 3 r    1,     r  co s  r  sin 3 r  co s 2    r  co s          r  co s          r  s in  2     r   s in     r  co s       rc o s   r   co s  r   s in  1 r   co s  Bài 6.10 Tìm tất điểm giao đường cong cực cho bởi:  r  cos   r  s in   r  c o s 2  r  r  r r      sin    3   Trang 51 Chương 6: Các ứng dụng tích phân  r  1  s i n    r  1  s i n     r  s i n    r  s i n   r  1  c o s    r  s i n    r    co s  r  c o s  Bài 6.11 Tìm diện tích miền phẳng giới hạn đường cong cực: f   ,   a,   b, với a    b , biết: f    sin  ,     f    cos  ,     f    sec  ,   sin  ,  f    f    e      ,    2 f    sin   cos  ,      ,    2  2 f    ,    2  f    Bài 6.12 Tìm diện tích tạo thịng lọng đường hoa hồng bốn cánh: r  2sin 2 Bài 6.13 Tìm diện tích miền giới hạn đường hoa hồng ba cánh: r  a sin 3 Bài 6.14 Tìm diện tích miền nằm bên đường tròn: r  4cos nằm bên ngồi đường trịn: r  Bài 6.15 Tìm diện tích miền nằm bên đường trịn: r  a nằm bên đường cardioid: r  a 1  cos  Bài 6.16 Tìm diện tích miền nằm bên đường trịn: r  6cos  nằm bên Trang 52 Chương 6: Các ứng dụng tích phân ngồi đường cardioid: r  1  cos  Bài 6.17 Vẽ đồ thị đường cong cực: r   2sin 5 tìm diện tích miền giới hạn đường cong Bài 6.18 Tìm độ dài cung đường cong y  f ( x) đoạn sau: f ( x)  x   1; 2 f ( x)   x  2;0 f ( x)   x 1;3 f ( x)   x  0;1 f ( x)  32 x   0; 4 f ( x)   x   0;3  f ( x)  3 x  x 1; 2 12 10 f ( x)  12 f ( x)  x3  f ( x)  32 x  1; 4 f ( x)   x   1; 4 x  ln x 1; 2 11 f ( x)  x 1  x  4;16 1 x 12 1; 2 13 f ( x)  e x   sec 1 (e x )  0;ln 2   Bài 6.19 Tìm độ dài cung đường cong: x  y điểm  0;0  3;3 Bài 6.20 Tìm độ dài cung đường cong:  y  1  x điểm (0;-1) (1;1) Trang 53 Chương 6: Các ứng dụng tích phân x Bài 6.21 Tìm độ dài cung đường cong xác định  t  1dt đoạn [1;2] x Bài 6.22 Tìm độ dài cung đường cong xác định  t  1dt đoạn [0;1] Bài 6.23 Tìm diện tích mặt trịn xoay tạo thành quay đường cong sau quanh trục Ox: f ( x)  x   0; 2 f ( x)  x  2;6 f ( x)  x  1; 2 f ( x)  1 x  x 1; 2 Bài 6.24 Tìm độ dài cung đường cong cực sau: r  cos r  e3 ,     r   ,    r  sin  r  sin   cos  r  e1 ,    r  cos  Bài 6.25 Tìm diện tích mặt trịn xoay tạo thành quay đường cong cực sau quanh trục Ox: r  5,    r  csc ,      r   cos  ,     r  cos  ,   Bài 6.26 Tìm diện tích mặt trịn xoay tạo thành ta quay cung đường cong: y  x3   x  , với  x  quanh trục: a.) 1 Ox Trang 54 Chương 6: Các ứng dụng tích phân b.) Oy Bài 6.27 Tìm diện tích mặt trịn xoay tạo thành ta quay đường cong: x 3 13 y  y , với  y  quanh: a.) trục Oy b.) trục Ox c.) đường thẳng y=-1 Bài 6.28 Tìm diện tích mặt trịn xoay tạo thành quay cung đường cong sau quanh trục Oy: f ( x)  12  x  f ( x)  32 x 3 f ( x)  [0;3] [0;3] x 3  x  f ( x)   x [1;3] [1;3] Bài 6.29 Chứng minh rằng, diện tích mặt tròn xoay ta quay phần đồ thị b hàm số y  f ( x) , với a  x  b quanh trục Oy S  2  x   f / ( x)  dx a Trang 55 Chương 6: Các ứng dụng tích phân BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 6.1 Phác họa miền bị giới hạn đường cong cho sau tìm diện tích nó: Bài 6.2 Chứng minh rằng, miền phẳng xác định bất đẳng thức sau: x  y  8, x  y , y  có diện tích  (đvdt) Bài 6.3 Tìm diện tích miền giới hạn đường cong: x  y  trục tọa độ Bài 6.4 Một cơng ty S tìm hàm chi phí để sản xuất sản phẩm thứ x cho công thức: C ( x)  100  50 x  25 Hỏi tổng chi phí để sản xuất 2000 sản phẩm bao nhiêu? Trang 56 Chương 6: Các ứng dụng tích phân Bài 6.5 Doanh thu biên chi phí biên theo ngày (đơn vị: $) xác định theo tháng thứ t công thức: R / (t )  500e 0,01t C (t)  50  0,1t Hãy tính tổng lợi nhuận năm Bài 6.6 Tính thể tích vật thể tạo quay miền bị giới hạn đường cong sau quanh trục Ox: y  x , với  x  y  x , với  x  y  x, y  x, x  x  0, x  1, y  x  1, y  x  y  sin x, y  cos x,  x  y  e x , y  e x ,  x   Bài 6.7 Tính thể tích vật thể tạo quay miền bị giới hạn đường cong sau quanh trục Oy: y  x, y  trục Oy y  x , y  trục Oy y   x trục Oy tia Ox y  x , y   x trục Oy, x  y  e  x , y  trục Oy Bài 6.8 Tính thể tích vật thể tạo quay miền bị giới hạn đường cong sau quanh đường thẳng tương ứng: y   x, y  0, x  1, x  quanh Ox y  x  1, y  0, x  quanh Ox Trang 57 Chương 6: Các ứng dụng tích phân x  y , x  0, y  quanh Oy x  y  y , x  quanh Oy y  x , y   x , x  quanh Ox 6, y  x , x  y quanh đường thẳng: y  y  x , y  quanh đường thẳng: y  y   sec x, y  quanh đường thẳng: y  y  sin x, y  cos x,0  x   quanh đường thẳng: y  1 10 y  x , x  y quanh đường thẳng: x  1 11 x  y , x   y quanh đường thẳng: x  12 y  x, y  0, x  2, x  quanh đường thẳng: x  Bài 6.9 Vẽ đồ thị đường cong sau tọa độ cực: r  3,      =-  r  2 ,   , 0 r 3 r    1,     r  cos r  sin 3 r  c o s 2    r  cos          r  co s          r  s in       r   sin     r  co s       rc o s   r   co s  r   sin  11 r   cos Bài 6.10 Tìm tất điểm giao đường cong cực cho bởi: Trang 58 Chương 6: Các ứng dụng tích phân  r  cos   r  s in  r  r r      r  c o s 2  r   r  1  s i n    r  1  s i n     r  1  c o s    r  s i n    sin    3    r  s i n    r  s i n   r    cos  r  c o s  Bài 6.11 Tìm diện tích miền phẳng giới hạn đường cong cực: f   ,   a,   b, với a    b , biết: f    sin  ,     f    cos  ,     f    sec  ,     sin  ,      f    f    e  ,    2 f    sin   cos  ,      ,    2  2 f    ,    2  f    Bài 6.12 Tìm diện tích tạo thòng lọng đường hoa hồng bốn cánh: r  2sin 2 Bài 6.13 Tìm diện tích miền giới hạn đường hoa hồng ba cánh: r  a sin 3 Bài 6.14 Tìm diện tích miền nằm bên đường tròn: r  4cos  nằm bên Trang 59 Chương 6: Các ứng dụng tích phân ngồi đường trịn: r  Bài 6.15 Tìm diện tích miền nằm bên đường trịn: r  a nằm bên ngồi đường cardioid: r  a 1  cos  Bài 6.16 Tìm diện tích miền nằm bên đường trịn: r  6cos  nằm bên ngồi đường cardioid: r  1  cos   Bài 6.17 Vẽ đồ thị đường cong cực: r   2sin 5 tìm diện tích miền giới hạn đường cong Bài 6.18 Tìm độ dài cung đường cong y  f ( x) đoạn sau: f ( x)  3x   1; 2 f ( x)   x  2;0 f ( x)   x 1;3 f ( x)   x  0;1 f ( x)  32 x   0;4 f ( x)  32 x  1; 4 f ( x)  2  x  0;3   f ( x)   x  1; 4  f ( x)  3 x  x 1; 2 12 10 f ( x)  x  ln x 1; 2 Trang 60 Chương 6: Các ứng dụng tích phân 1  x  4;16 11 f ( x)  x 12 f ( x)  x  13 f ( x )  e x   sec 1 (e x )  0;ln 2 1 x 1; 2 12  Bài 6.19 Tìm độ dài cung đường cong: x  y điểm  0;0  3;3 Bài 6.20 Tìm độ dài cung đường cong:  y  1   x điểm (0;-1) (1;1) x Bài 6.21 Tìm độ dài cung đường cong xác định  t  1dt đoạn [1;2] x Bài 6.22 Tìm độ dài cung đường cong xác định  t  1dt đoạn [0;1] Bài 6.23 Tìm diện tích mặt tròn xoay tạo thành quay đường cong sau quanh trục Ox: f ( x)  x   0;2 f ( x)  x  1; 2 f ( x)  x  2;6 f ( x)  1 x  x 1; 2 Bài 6.24 Tìm độ dài cung đường cong cực sau: r  cos  r  e3 ,0     r   ,    r  sin  2 r  sin   cos  r  e1 ,    r  cos  Trang 61 Chương 6: Các ứng dụng tích phân Bài 6.25 Tìm diện tích mặt tròn xoay tạo thành quay đường cong cực sau quanh trục Ox: r  5,    r  csc ,      r   cos  ,     r  cos  ,   Bài 6.26 Tìm diện tích mặt trịn xoay tạo thành ta quay cung đường cong: y  x3   x  , với  x  quanh trục: 1 a.)Ox b.) Oy Bài 6.27 Tìm diện tích mặt tròn xoay tạo thành ta quay đường cong: x 3 13 y  y , với  y  quanh: a.) trục Oy b.) trục Ox c.) đường thẳng y=-1 Bài 6.28 Tìm diện tích mặt trịn xoay tạo thành quay cung đường cong sau quanh trục Oy: f ( x)  12  x  f ( x)  32 x 3 f ( x)  x 3  x  f ( x)   x [0;3] [0;3] [1;3] [1;3] Bài 6.29 Chứng minh rằng, diện tích mặt tròn xoay ta quay phần đồ thị b hàm số y  f ( x) , với a  x  b quanh trục Oy S  2  x   f / ( x )  dx a Trang 62 .. .Chương 6: Các ứng dụng tích phân 6. 6.1 Giá trị tương lai giá trị dịng thu nhập 40 6. 6.2 Thay đổi tích lũy lợi nhuận ròng 41 6. 6.3 Thặng dư khách hàng nhà sản xuất 43 6. 6.4 Sống... 43 6. 6.4 Sống sót đổi 45 6. 6.5 Dòng máu qua động mạch 46 Bài tập chương 49 Trang Chương 6: Các ứng dụng tích phân Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Cách... 47 Chương 6: Các ứng dụng tích phân = ∫ 2