Chương vecto

Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Mục lục Chương VECTƠ 9.1 VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG 9.1.1 Giới thiệu vectơ 9.1.2 Các phép toán vectơ 9.1.3 Phép biểu diễn tắc vectơ mặt phẳng 10 9.2 TỌA ĐỘ VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 15 9.2.1 Hệ tọa độ ba chiều 12 9.2.2 Đồ thị không gian 16 9.2.3 Vectơ không gian 19 9.3 TÍCH VƠ HƯỚNG 21 9.3.1 Định nghĩa tích vơ hướng 21 9.3.2 Góc hai vectơ 22 9.3.3 Cosin định hướng 23 9.3.4 Phép chiếu 24 9.3.5 Cơng tích vơ hướng 25 9.4 TÍCH CĨ HƯỚNG 27 9.4.1 Định nghĩa tích có hướng 27 9.4.2 Biểu diễn hình học tích có hướng 27 9.4.3 Tính chất tích có hướng 29 9.4.4 Tích hỗn tạp thể tích 30 9.4.5 Moment quay 31 9.5 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 33 9.5.1 Phương trình đường thẳng không gian 33 9.5.2 Phương trình tham số 33 9.5.3 Tham số hóa đường cong 41 9.6 MẶT TRONG KHÔNG GIAN 43 Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian 9.6.1 Các dạng phương trình mặt phẳng không gian 43 9.6.2 Phương pháp vectơ đo khoảng cách không gian 49 9.7 CÁC MẶT BẬC HAI 53 9.7.1 Các mặt bậc hai 53 9.7.2 Phương pháp phác họa mặt bậc hai 57 Bài tập chương 65 Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Chương VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 9.1 VECTƠ TRONG  Nhiều ứng dụng tốn học liên quan đến đại lượng có độ lớn hướng lực, vận tốc, gia tốc xung lượng Vectơ công cụ quan trọng tốn học phần này, chúng tơi giới thiệu thuật ngữ ký hiệu biểu diễn vectơ 9.1.1 Giới thiệu vectơ Một vectơ đại lượng có độ lớn chiều (như vận tốc hay lực) Đôi biểu diễn vectơ đoạn thẳng có định hướng, mũi tên nối từ điểm bắt đầu P đến điểm kết thúc Q Hướng vectơ hướng mũi tên độ lớn chiều dài mũi tên (hình 9.1 a) Chúng ta vectơ cách viết PQ  thực hành, nên viết P Q Thứ tự ký tự viết quan trọng, PQ nghĩa hướng vectơ từ P đến Q QP nghĩa hướng vectơ từ Q đến P Ký tự đầu điểm bắt đầu ký tự sau điểm kết thúc Chúng ta ký hiệu độ dài vectơ PQ Hai vectơ gọi chúng có độ lớn chiều (hình 9.1 b) a Vectơ PQ có độ dài PQ b Hai vectơ Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian Hình 9.1 Vectơ mặt phẳng Một vectơ v với độ lớn gọi vectơ không ký hiệu Vectơ khơng có hướng cụ thể quy ước hướng 9.1.2 Các phép toán vectơ Nếu vectơ khác vectơ không s số thực vectơ sv gọi phép nhân vơ hướng v Vectơ sv có độ lớn gấp s lần độ lớn vectơ v , hướng với vectơ v s  ngược hướng với vectơ v s  Ta có PQ   QP s0  với s số thực tùy ý Hình 9.2 Một số vector tỷ lệ với vector u Ta định nghĩa vectơ u  v tổng vectơ u vectơ v Với cách biểu diễn theo quy tắc tam giác, vectơ u  v nối từ điểm bắt đầu vectơ u đến điểm kết thúc vectơ v hình vẽ 9.3a Vectơ u  v biểu diễn theo quy tắc hình bình hành hình vẽ 9.3b Phép cộng hai vectơ có tính giao hốn, tức u  v  v  u Ta định nghĩa vectơ u – v vectơ thỏa mãn v   u – v   u Cách biểu diễn vectơ u – v hình vẽ 9.3c Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian a Quy tắc tam giác b Quy tắc hình bình hành c Quy tắc hiệu Hình 9.3 Biểu diễn hình học vectơ Vectơ v biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vẽ 9.4, với điểm bắt đầu  0,  điểm kết thúc  v1 , v2  Khi v1 v2 gọi thành phần chuẩn vectơ v ta viết v  v1 , v2 Hình 9.4 Các thành phần chuẩn vectơ  Nếu P  a, b  Q  c, d  điểm mặt phẳng tọa độ vectơ PQ có biểu diễn thành phần chuẩn PQ  c – a, d – b Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian Hình 9.5 Các phép tốn vectơ biểu diễn dạng thành phần Cụ thể, ta có: a1 , b1  k a,b a2 , b2  a1  b1 , a2  b2 ;  ka , kb , với k tùy ý; a , b  c , d  ac , bd a,b – c,d  a – c,b – d Những cơng thức kiểm chứng hình học giải tích Ví dụ, quy tắc nhân vơ hướng thu từ việc sử dụng mối liên hệ mơ tả hình 9.6 a, từ 9.6 b ta thu quy tắc cho phép nhân vectơ Hình 9.6 Ví dụ 9.1 Phép toán vectơ: Cho vectơ u  2,  v  1, , tìm a u  v Đáp số: a 1, 4 c 3u  v b u b / 2,  / c 13 / 2,  25 / Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Vectơ au  bv gọi kết hợp tuyến tính vectơ u vectơ v Nếu u  u1 , u2 v  v1 , v2 au  bv  a u1 , u2  b v1 , v2  au1  bv1 , au2  bv2 Các phép cộng nhân vectơ vô hướng giống với phép cộng nhân thơng thường Định lý sau trình bày số tính chất hữu ích cho phép tốn vectơ : Định lý 9.1 Các tính chất phép tốn vectơ Cho vectơ u, v, w mặt phẳng vơ hướng s t Ta có Tính chất giao hốn: u  v  v  u Tính chất kết hợp: u Tính chất kết hợp phép nhân:  st  u Tính đồng phép cộng: u   u Tính đảo ngược phép cộng: u  Tính chất phân phối vectơ: s Tính chất phân phối vơ hướng: s  u  v   su  sv  v   w  u   v  w  s  tu   u    t  u  su  tu Ví dụ 9.2 Sử dụng vectơ chứng minh tính chất hình học Chứng minh đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh tam giác song song với cạnh thứ ba có độ dài nửa cạnh thứ ba Hình 9.7 Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Giải Xét tam giác ABC P, Q trung điểm cạnh AC BC Theo giả thiết AP  PQ  1 AC BQ  BC , ta cần chứng minh PQ song song với AB 2 1 AB , nghĩa ta cần thiết lập phương trình vectơ PQ  AB 2 Ta có AC  PQ  BQ 1  ( A B  BC )  P Q  B C  A B  P Q 2 AB  AP  PQ  QB  Vậy ta có AB  PQ (Điều phải chứng minh) Khi vectơ u biểu diễn dạng thành phần u  u1 , u2 , độ dài vectơ u tính || u ||  u 12  u 22 Đây ứng dụng đơn giản định lý Pytago hình 9.8a Một mối quan hệ quan trọng liên quan đến độ dài vectơ u, v bất đẳng thức tam giác || u  v ||  || u ||  || v || Đẳng thức xảy vectơ u v hướng Để thiết lập bất đẳng thức tam giác, ta sử dụng hình 9.8b a Độ dài vector u b Bất đẳng thức tam giác Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian Hình 9.8 Đối với dạng thành phần, vectơ thành phần chúng nhau, nghĩa Nếu u  u1 , u2 v  v1, v2 ta định nghĩa  u1  v1 uv   u2  v2 Ví dụ 9.3 Nếu u  , 2 v  3, , tìm s t cho su  tv  w biết w  2, Đáp số: s  1, t  Ví dụ 9.4 Sử dụng vectơ toán vận tốc Con tàu đặc biệt, Earthrace, thu hút ý chuyển động Một sông rộng dặm chảy hướng nam với tốc độ dòng chảy dặm/ Trong triển lãm, tàu phải chạy thẳng từ đông sang tây, qua điểm quan sát 20 phút Hỏi hướng cần đạt tàu? Hình 9.9 Con tàu Earthrace Giải Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian \ Hình vẽ 9.10 Giả sử B vectơ vận tốc tàu theo hướng hợp với phương ngang góc  Nếu dịng chảy sơng có vận tốc C C   mi / h  C hướng nam Hơn nữa, tàu chuyển động từ đông sang tây 20 phút (tức 1/3 giờ), vận tốc hữu dụng tàu vector V hướng tây Ta tính V để tìm vận tốc hữu dụng tàu tìm độ lớn hướng B V = Độ rộng sông / thời gian chuyển động   ( m i / h ) 1/3 Vận tốc hữu dụng tàu V tổng B C Vì V C vng góc với nhau, theo định lý Pytago ta tìm || B ||  || V ||2  || C ||2  12   13 Dựa vào hình vẽ 9.10, ta có ta n   5 h a y   ta n  ( )  12 12 Vậy tàu chuyển động với vận tốc 13 mi / h theo hướng hợp với phương ngang góc xấp xỉ 0.3948 rad hay 22.62 o Một vectơ đơn vị vectơ có độ dài vectơ định hướng cho vectơ v khác không cho trước vectơ đơn vị u u hướng với vectơ v, xác định v || v || Trang 10 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Vẽ vết mặt phẳng tọa độ, trường hợp này, mặt phẳng x  Nếu cần thiết, điều chỉnh thang chia độ z để vết rõ Tiếp tục vẽ vết mặt phẳng khác, trường hợp y  Vẽ thêm nhiều đường cong vết khác để làm lộ đường đồng mức mặt Xóa đường bị che khuất, dùng bút màu để tô cho mặt mặt phẳng xy Biểu diễn Trang 63 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian điểm  4,10,0 lên mặt phẳng xy Trang 64 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 9.1 Vẽ vectơ sau, giả sử điểm đầu vectơ gốc tọa độ b  i  j a 3i  j c 2 i  j  Bài 9.2 Cho điểm đầu P điểm cuối Q vectơ Hãy vẽ vectơ viết chúng dạng thành phần tìm PQ a P  3, 1 , Q  7,2 1  c P  ,6  , Q  3, 2 2  b P  3,4 , Q  2,4 Bài 9.3 Tìm dạng chuẩn chiều dài vectơ P Q , biết a P  1, 2 , Q 1, 2 b P  4, 3 , Q  0, 1 c P  3, 5 , Q  2,8 Bài 9.4 Tìm vectơ đơn vị thỏa điểm theo hướng vec tơ cho sau a i  j b 3i  j c  4i  j Bài 9.5 Giả sử cho u  3i  j , v  i  j , w  i  j Biểu diễn biểu thức sau dạng chuẩn a 2u  3v  w b v u  u v c u v w Bài 9.6 Tìm số thực x, y thỏa phương trình vectơ sau a  x  y 1 i   2x  3y 12 j  b  x  y  i  yj  20i   x   j c  y  1 i  yj   log x  i  log  log  x    j Bài 9.7 Cho u  i  j , v  i  j , w   3i  j a Tìm vectơ đơn vị hướng với vectơ u  v b Tìm vectơ có độ dài hướng với u  2v  2w Bài 9.8 Tìm điểm cuối vectơ 5i  j biết điểm đầu  2, 3 Bài 9.9 Nếu u, v vectơ khác vectơ không r  u v rv gì? Trang 65 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Bài 9.10 Nếu u  2i  j , v  xi  yj , mô tả tập hợp điểm mặt phẳng có tọa độ  x, y thỏa v u  Bài 9.11 Cho u0  x0i  y0 j với x0, y0 số, u  xi  yj Mơ tả tập hợp điểm mặt phẳng có tọa độ thỏa a u  u0 1 b u  u0  r Bài 9.12 Giả sử cho u , v vectơ khác vectơ không không song song Tìm a , b, c thỏa au  b  u  v  c  u  v  Bài 9.13 Hai lực F1  3i  j, F2  3i  j tác động vào vật Hỏi lực tăng thêm cần tác động để vật đứng yên? Bài 9.14 Một sông rộng 2.1 dặm chảy theo hướng nam với vận tốc 3.1 dặm/h Hỏi tốc độ hướng xuồng máy giả sử cho di chuyển theo chiều ngang sông theo hướng từ đông sang tây 30 phút? Bài 9.15 Bốn lực tác động vào vật : F1 có độ lớn 10 lb tác động với góc  ngược chiều kim đồng hồ từ trục dương O x , F2 có độ lớn 8lb tác động theo hướng vectơ j , F3 có độ lớn 5lb tác động với góc  ngược chiều kim đồng hồ từ trục dương O x Hỏi lực tác động F4 để giữ vật đứng yên? Bài 9.16 Trong tam giác, gọi u, v, w vectơ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện Sử dụng phương pháp vectơ chứng minh u  v  w  Bài 9.17 Chứng minh đường trung tuyến tam giác giao điểm đơn cách hồn thành chứng minh sau (xem hình bên dưới) Trang 66 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian a Cho M , N trung điểm AC, AB Chứng minh rằng: CN  1 AB  AC BM  AC  AB 2 b Cho P giao đường trung tuyến CN , BM Chứng minh tồn số r , s thỏa 1  1  CP  r  AB  AC  BP  s  AC  AB  2  2  Chú ý CP  PB  CB Sử dụng mối liên hệ để chứng minh r  s  Giải thích điều chứng tỏ cặp trung tuyến giao điểm cách đỉnh khoảng độ dài từ đỉnh đến điểm cạnh đối diện Vì điều chứng tỏ ba trung tuyến đồng quy điểm? c Trọng tâm trung tuyến giao điểm ba đường trung tuyến Chứng minh A x1 , y1  , B  x2 , y2  , C  x3 , y3  tọa độ đỉnh tam giác trọng x x x y y y  tâm có tọa độ  ,  3   Bài 9.18 Cho A, B , C , D bốn đỉnh mặt phẳng Chứng minh M , N trung điểm AC , BD MN   AB  AD  CB  CD  Bài 9.19 Gọi A, B , C , D đỉnh tứ giác M , N , P , Q trung điểm cạnh bên AB, BC, CD, DA Sử dụng phương pháp vectơ để chứng minh MNPQ hình bình hành Trang 67 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Bài 9.20 Tính vectơ u  v , u  v , u , 2u  3v , biết a u  4, 3,1 , v  2,5,3 b u  2, 1,0 , v  5, 3,4 c u  1, 2,5 , v  0, 1,3 Bài 9.21 Biểu diễn P, Q không gian 3 tính PQ a P  3, 4,5 , Q 1,5, 3 b P  3,0,0 , Q  2,5,7 c P  0,5, 3 , Q  2, 1,0 Bài 9.22 Tìm tâm, bán kính mặt cầu có phương trình sau a x  y  z 2y  2z   2 b x  y  z  4x  2z 8  2 c x  y  z 2y  2z   2 Bài 9.23 Tìm dạng chuẩn vectơ P Q PQ a P 1, 1,3 , Q  1,1,4 Bài 9.24 Thực b P  0,2,3 , Q  2,3,0 phép tính c P  3,0, 4 , Q  0, 4,3 bên dưới, biết u  i  j  k , v  i  j  k , w  5i  k a u  v  2w b 2u  v  3w c 4u  w Bài 9.25 Tìm vectơ đơn vị hướng với vectơ a v  3, 2,1 b v  5,3,4 v cho trước c v  1, , Bài 9.26 Vẽ mặt trụ cho phương trình a x  y  2 b z   x c y  3z Bài 9.27 Tìm phương trình mặt cầu biết điểm cuối đường kính cầu Trang 68 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian 1, 2, 3 ,  2,3,3 Bài 9.28 Tính giá trị biểu thức sau a i  j  k b  i  j  k    2i  j  k  c 2i  j  3k Bài 9.29 Cho v  i  j  k , w  2i  j  k , tìm vectơ tích vơ hướng yêu cầu a v w c v  w  v  w b v  w Bài 9.30 Cho đỉnh A, B , C tam giác Tìm độ dài cạnh xác định tam giác tam giác vuông, cân hai không hai: a A1,1,1 , B  3,3,2 , C  3, 3,5 b A 3, 1,0 , B  7,1,4 , C 1,3,4 c A 2, 4,3 , B  3, 2, 4 , C  6,8, 10 d A1,2,3 , B  3,2,4 , C 1, 4,3 Bài 9.31 Xác định điểm sau có cộng tuyến hay không (cùng nằm đường thẳng) Chú ý: với A , B, C cộng tuyến AC phải bội AB a  2,3,2 ,  1,4,0 ,  4,5, 2 b  3,0,3 ,  2, 3,5 ,  4,3,1 Bài 9.32 Cho u  1,1,2 , v  0,2, 3 , w  5, 1,0 Tìm vectơ q cho 2u  v  q  w Bài 9.33 Tìm điểm P nằm cách khoảng cách từ A 1,3,9 đến điểm đoạn tạo hai điểm B  2,3,7  C  4,1, 3 Bài 9.34 Cho P 3,2, 1 , Q 2,1, c R c,1,0 điểm 3 Với giá trị c PQR tam giác vng ? Bài 9.35 Tìm tích có hướng v.w biết a v  3, 2,4 , w 2, 1, 6 b v  2, 6,0 , w  0, 3,7 c v  3i  j , w  i  j Bài 9.36 Các cặp vectơ sau có trực giao hay khơng? a v  3i  j , w  6i  j b v  i  j  k , w  8i  10 j  k Bài 9.37 Cho v  3i  j  k , w  i  j  k , xác định giá trị biểu thức sau a  v  w    v  w  b  v w    w v  c 2v  3w 3v  2w Trang 69 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Bài 9.38 Tìm góc hợp vectơ sau: a v  i  j  k , w  i  j  k b v  2i  k , w  j  3k c v  4i  j  k , w  2i  j  k Bài 9.39 Tìm hai vectơ đơn vị phân biệt trực giao với hai vectơ v  i  j  k , w  i  j  k Bài 9.40 Tìm vectơ có hướng với v  i  j  k có độ lớn Bài 9.41 Tìm a để hai vectơ v  3i  j  k w  i  aj  ak trực giao Bài 9.42 Tìm cosin định hướng góc định hướng cho vectơ sau a v  2i  j  5k b v  i  j  k c v  j  k Bài 9.43 Cho v  i  j  k w  4i  3k Hãy tìm a vw b cos  với  góc v w s cho v trực giao với v  sw d vô hướng t cho v tw trực giao với w c vô hướng Bài 9.44 Tìm cosin góc hai vectơ v  i  j  k w  2i  j  k phép chiếu vectơ v lên w Bài 9.45 Tìm phép chiếu vơ hướng của lực F  4i  j  k theo hướng vectơ v  4i  j  3k Bài 9.46 Tìm cơng thực lực không đổi F  2i  j  k để làm dịch chuyển vật theo đường thẳng từ P1,0, 1 đến Q  3,1,  Bài 9.47 Giả sử gió thổi với lực F có độ lớn 1000 lb theo hướng N 60 W vào phía sau cánh buồm thuyền Hỏi cơng thực gió để đẩy thuyền hướng bắc khoảng 50 ft Đưa câu trả lời theo foot  pounds Bài 9.48 Ta nói hai hàm f g trực giao  a, b b  f  x  g  x dx  a a Chứng minh hai hàm x , x 5x trực giao  b, b với b số dương bất Trang 70 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian kỳ b Với hai số nguyên dương k , n phân biệt, chứng minh sin kx , sin nx trực giao   ,  Điều có nghĩa họ hàm sin x,sin2x, trực giao lẫn   ,  Lưu ý: cơng thức khai triển tích thành tổng 2sin  sin   cos      cos     Bài 9.49 Chứng minh vectơ B  v u  u v chia đơi góc  hai vectơ khác vectơ không u , v Bài 9.50 Tìm vw với a v  3i  k , w  2i  j b v  3i  j  k , w  i  j  k c v  3i  j  k , w  i  j  k d v  i  j  10 k , w   i  j  k e v  cos  i  sin  j , w  cos  i  sin  với  Bài 9.51 Sử dụng tích có hướng để tìm sin  biết  góc hợp v,w a v  i  k , w  i  j b v  i  j , w  i  j  k Bài 9.52 Tìm vectơ đơn vị trực giao với c v  j  k , w  i  k v w a v  2i  k , w  i  j  k b v  i  j  k , w  3i  12 j  k c v  i  j  k , w  i  j  k Bài 9.53 Tính diện tích hình bình hành xác định vectơ a v  3i  j , w  i  j  k b v  4i  j  k , w  2i  j  k c v  i  3k , w  j  3k Bài 9.54 Tính diện tích tam giác PQR biết a P  0,1,1 , Q1,1,0 , R 1,0,1 b P 1,2,3 , Q  2,3,1 , R  3,1,2 Trang 71 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian c P 1,0,0 , Q  2,1, 1 , R  0,1, 2 Bài 9.55 Tính thể tích hình hộp xác định vectơ u, v, w a v  j  k , v  2i  j  k , w  5i b v  i  j , v  j  k , w  3k c v  i  j  k , v  i  j  k , w  i  k Bài 9.56 Tìm Bài 9.57 s cho vectơ i , i  j  k , i  j  sk đồng phẳng Tìm góc vectơ 2i  j  k mặt phẳng xác định điểm P 1, 2,3 , Q  1,2,3 , R 1,2, 3 Bài 9.58 a Chứng minh vectơ u, v, w đồng phẳng u   v  w   u  v  w  b Các vectơ u  i  j  k , v  2i  j  k w  j  3k có đồng phẳng? Bài 9.59 Một vật nặng 3lb treo vào đầu cuối Q P Q dài 5ft giữ nghiêng góc 0 so với phương ngang, xem hình bên Hỏi moment vật nặng tạo điểm P bao nhiêu? Bài 9.60 Tìm phương trình tham số phương trình đối xứng đường thẳng qua điểm cho trước với tính chất mơ tả tốn cho a 1, 1, 2 song song với 3i  j  k b  2,2,3 qua 1,3, 1 Trang 72 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian c 1, 1,2 song song x   y   z  5 d 1,0, 4 song song với x    3t , y   t , z   t Bài 9.61 Tìm dạng tham số phương trình đường thẳng qua  3, 1,0 song song với hai mặt phẳng O xy , O x z Bài 9.62 Tìm giao điểm đường thẳng sau với mặt phảng tọa độ a x   y   z  b x   2t , y   t , z  3t c x   3t , y   t , z  2t Bài 9.63 Xác định cặp đường thẳng sau cắt nhau, song song, chéo hay trùng ? tìm giao điểm có a x   2t , y  6t , z   4t x   t , y   3t , z    2t b x   4t , y   t , z   5t x  3t , y    t , z   2t c x   y   z  x   y   z  2 1 1 Bài 9.64 Tìm hàm liên hệ x y cách khử tham số Vẽ đường cong phương trình tham số khoảng cho trước a x  t , y  t  1,  t  b x  60t , y  80t 16t ,  t  3 c x  t , y  t , t  d x  2sin  , y  2cos  ,    2 e x  4tan 2t, y  3sec2t,  t   Bài 9.65 Tìm phương trình tham số đường cong tốn sau a Đường trịn bán kính 3, tâm gốc tọa độ, theo hướng ngược chiều kim đồng hồ b Đường trịn bán kính 2, tâm gốc tọa độ, theo hướng chiều kim đồng hồ Trang 73 Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian x2 y c Elip có phương trình   1, ngược chiều kim đồng hồ d Parabol y  4x  , hướng từ  4, 5 đến  0,3 e Hyperbol x2 y   16 Bài 9.66 a.Cho x  4asin t, y  bcos t Biểu diễn y hàm theo x b Cho x  a cost, y  2bsin t Biểu diễn y hàm theo x Bài 9.67 Chứng minh vectơ 3i  j  k trực giao với đường thẳng qua điểm P 0,0,1 Q 2,1, 1 Bài 9.68 Tìm số a , b cho hai đường thẳng sau trùng x 1 y  a z  x  b  y   z    2 4 8 Bài 9.69 Tìm phương trình đường thẳng L1 chứa điểm P 2,3, 1 trực giao với L2 : x  2t, y 1 2t, z  5 t Bài 9.70 Viết phương trình cho mặt phẳng sau dạng chuẩn a 2  x 1   y  3  8z  b  x  1   y  1   z  2  c 2  x 1   y  3  8z  d 3 x  4   y  1   z  1  Bài 9.71 Phác họa mặt phẳng a  x  5  3 y  4   z  7  b 3 x  4   y  7  2 z  4  Bài 9.72 Tìm phương trình mặt phẳng chứa điểm P có vectơ pháp tuyến N : a P  0, 7,1 , N  i  k b P  0, 3,0 , N  2 j  3k c P  0,0,0 , N  k d P  1,3,5 , N  2i  j  3k Bài 9.73 Trang 74 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian a Tìm hai vectơ đơn vị vng góc với mặt phẳng x  y  z  15 b Tìm hai vectơ đơn vị vng góc với mặt phẳng x  y  z  Bài 9.74 Tính khoảng cách điểm mặt phẳng cho trước, với a  a P  0,0,0 , 2x  y  5z  10 b P 1,0, 1 , x  y  z  c P  1, 2,1 , mặt phẳng qua điểm  0,0,0 , 1,2,4 ,  2, 1,1 d P  1,2,1 , mặt phẳng qua điểm 1,0,1 có vectơ pháp tuyến 2i  j  k Bài 9.75 Tính khoảng cách điểm P mặt phẳng L a P  9, 3 ; 3x  y   b P  4, 3 ; 12x  y   c P 1, 0,1 ; x  y   z Bài 9.76 Tính khoảng cách đường thẳng a x   t , y   2t , z  3t x  t , y    t , z   t b x    t , y   t , z  đường thẳng qua  0, 1,2 1, 2,3 Bài 9.77 a Chứng minh đường thẳng x   y  z  song song với mặt phẳng x  y  z  2 b Tìm khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng câu a Bài 9.78 Tìm phương trình cho tập hợp điểm P  x, y, z  cho khoảng cách từ P đến P0  1,2,4 với khoảng cách từ P đến mặt phẳng x  y  z  Bài 9.79 Tìm phương trình mặt cầu có tâm P  2,3,  tiếp xúc với mặt phẳng 2x  3y  6z  Bài 9.80 Tìm vectơ song song với đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng x  y  0; x  y  z  Bài 9.81 Tìm cosin định hướng vectơ xác định đường thẳng giao hai mặt Trang 75 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian phẳng x  y  z  x  y  z  Bài 9.82 Tìm hai vectơ đơn vị song song với đường thẳng giao hai mặt phẳng x  y  1, x  z  Bài 9.83 Tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song x  y  z  x  y  z  Bài 9.84 Vẽ đồ thị phương trình sau không gian 3 a x  y  z  b x  y  z  10 c x  y  z  d z  e y e x  y  z f z  sin y 2 Bài 9.85 Vẽ đồ thị mặt cho phương trình a x  1 y2  z b x  y  z 1 2 c y  1  x2  z2 Bài 9.86 Nhận biết mặt bậc hai mô tả vết Vẽ đồ thị a 9x  4y  z 1 x2 y 2   z 1 b c x 2y  9z x2 y2 d z   16 x2 y e z  1  f x  2y  9z 2 2 2 2 Bài 9.87 Các phương trình sau đại diện cho mặt bậc hai có trục đối xứng Ox O y Nhận xét vẽ đồ thị y2 z b x   a y  x  9z  2 c x  y  3z 2 Bài 9.88 Hãy mô tả mặt sau chuyển dạng mặt bậc hai  x  1 a   y  2  z  3  1 c 7x  y  3z  9x  4y  7z 1 2 b z   x  1  y  1  3 d z  x  y  2x  y  z  2 Bài 9.89 Mô tả đường cong giao mặt bậc hai sau a x2 y2 z2 x2 y    z   Trang 76 Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian b z  y2 x2 x2 y2 z    1 16 16 Bài 9.90 Sử dụng phương pháp mặt cắt ngang để tìm thể tích bao mặt z  parabolic 9z  x  y 2 Bài 9.91 Tìm giao mặt z  x  y với z  1 y z  y 2 Bài 9.92 Cho đường thẳng x   t , y   t , z  3t giao với khối hyperboloid có phương z x2 y    hai điểm P , Q Tìm khoảng cách P Q trình Bài 9.93 Tìm phương trình mặt S bao gồm tất điểm  x, y, z  cho khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ với khoảng cách từ điểm đến mặt x  y  z  S có mặt bậc hai hay không? Trang 77 .. .Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian 9. 6.1 Các dạng phương trình mặt phẳng khơng gian 43 9. 6.2 Phương pháp vectơ đo khoảng cách không gian 49 9.7 CÁC MẶT BẬC HAI 53 9. 7.1... 53 9. 7.2 Phương pháp phác họa mặt bậc hai 57 Bài tập chương 65 Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Chương VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 9. 1 VECTƠ... điểm ấy, Hình 9. 39 Hình 9. 39 Chú ý với giá trị t, khoảng cách từ điểm P  x, y  đường cong đến gốc tọa độ x2  y  e t cos t    et sin t   e2t 1  et 2 Trang 42 Chương 9: Vectơ mặt