chương vectơ

Ôn tập Chương I- Hình học 10 Cơ bản- Trường THPT Trần Quốc Tuấn TOÁN HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 1. VECTƠ I. Các định nghĩa cơ bản. a. Vectơ Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã quy định rõ điểm đầu, điểm cuối. Ví dụ:  Kí hiệu : AB uuur ( đọc là “ vectơ AB” )  a r ( đọc là “ vectơ a r ” )  Với vectơ AB uuur thì A gọi là điểm đầu, B gọi là điểm cuối. b. Giá của vectơ, sự cùng phương cùng hướng của hai vectơ, độ dài vectơ - Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. - Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng Chú ý: Ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB uuur và BC uuur cùng phương - Độ dài của vectơ AB uuur bằng độ dài của đoạn thẳng AB.  Kí hiệu: AB AB= uuur  Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. c. Hai vectơ bằng nhau. Vectơ – không 1 A B Giá của vectơ A Giá trùng nhau Giá song song C D B BA C A B Điểm đầu Điểm cuối Vectơ Vectơ Ôn tập Chương I- Hình học 10 Cơ bản- Trường THPT Trần Quốc Tuấn 1. Hai vectơ bằng nhau : ,a b a b a b   = ⇔  =   r r r r r r cuøng höôùng a b= r r AB CD= uuur uuur Cho một điểm O và một vectơ a r thì có duy nhất một điểm A sao cho OA a= uuur r . Nếu a b= r r và b c= r r thì a c= r r ( tính chất bắc cầu) 2. Vectơ – không:  Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu là 0 r Quy ước:  Vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.  0 0= r Chú ý: 0AA BB CC= = = = uuur uuur uuur r với mọi điểm A, B, C,… II. Ba phép toán quan trọng a. Tổng ( cộng) hai vectơ Định nghĩa: Cho hai vectơ a r và b r . Từ điểm A tùy ý ta vẽ ,a AB b BC= = r uuur r uuur Vectơ AC uuur được gọi là tổng của hai vectơ a r và b r . Kí hiệu a b AC+ = r r uuur - Hai quy tắc: o Qui tắc 3 điểm Cho ba điểm A, B, C bất kì. Khi đó: o Qui tắc hình bình hành Cho hình bình hành ABCD Khi đó: - Các tính chất: Với ba điểm , ,a b c r r r tùy ý, ta có o a b b a+ = + r r r r o ( ) ( )a b c a b c+ + = + + r r r r r r 2 A B C B A D C AB BC AC + = uuur uuur uuur a r b r a r b r A B C a b+ r r a r b r A B C D Ôn tập Chương I- Hình học 10 Cơ bản- Trường THPT Trần Quốc Tuấn o 0 0a a a+ = + = r r r r r b. Hiệu (trừ) hai vectơ 1. Vectơ đối Định nghĩa: Cho vectơ a r . Vectơ có cùng độ dài, ngược hướng với a r được gọi là vectơ đối của vectơ a r . Kí hiệu: a− r Như vậy, * ( ) 0a a+ − = r r r * Vectơ đối của AB uuur là vectơ BA uuur , tức là ( )AB BA= − uuur uuur * Vectơ đối của vectơ 0 r là 0 r . 2.Hiệu hai vectơ . Định nghĩa: Cho hai vectơ a r và b r . Ta gọi hiệu của hai vectơ a r và b r là tổng của vectơ a r và vectơ đối của vectơ b r . Kí hiệu: a b− r r Như vậy ( )a b a b − = + − r r r r Quy tắc ba điểm với phép trừ:  Cho ba điểm O, A, B tùy ý ta có: OB OA AB− = uuur uuur uuur c. Tích của một vectơ với một số Định nghĩa: Cho số 0k ≠ và 0a ≠ r r . Tích của vectơ a r với số thực k là một vectơ, kí hiệu là ka r , được xác định như sau:  Hướng : 0k > , cùng hướng với a r 0k < , ngược hướng với a r  Độ lớn: ka k a= r r Qui ước: 0 0, 0 0a k= = r r r r .  Tính chất Với hai vectơ a r và b r tùy ý, ta có  ( )k a b ka kb+ = + r r r r  1. , ( 1)a a a a= − = − r r r r  ( )h k a ha ka+ = + r r r  0 0 0 k ka a =  = ⇔  =  r r r r  ( ) ( )h ka hk a= r r  Tính chất trung điểm và trọng tâm tam giác 3 O A B a r a r a− r b r b− r c r c− r Ôn tập Chương I- Hình học 10 Cơ bản- Trường THPT Trần Quốc Tuấn Tính chất trung điểm  I là trung điểm đoạn thẳng 0AB IA IB⇔ + = uur uur r  I là trung điểm đoạn thẳng 2 ,AB MA MB MI M⇔ + = ∀ uuur uuur uuur Trọng tâm tam giác  G là trọng tâm của 0ABC GA GB GC∆ ⇔ + + = uuur uuur uuur r  G là trọng tâm của 3 ,ABC MA MB MC MG M∆ ⇔ + + = ∀ uuur uuur uuuur uuuur  Điều kiện để hai vectơ cùng phương  a r cùng phương với b r ( 0) :b k a kb≠ ⇔ ∃ ∈ = r r r r ¡  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng :k AB k AC⇔ ∃ ∈ = uuur uuur ¡  Biểu diễn một vectơ qua hai vectơ không cùng phương Cho ,a b r r không cùng phương. Khi đó, mọi vectơ x r đều có thể phân tích được một cách duy nhất qua hai vectơ a r và b r , nghĩa là có duy nhất cặp số ,h k sao cho x ha kb= + r r r PHẦN BÀI TẬP Các bài tập nhận dạng Bài tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Hãy a) Kể tên các vectơ khác vectơ không được lập từ các đỉnh của tam giác. b) Kể tên các vectơ không lập từ các đỉnh của tam giác c) Kể tên các vectơ có độ dài bằng nhau ( khác vectơ không). Giải thích vì sao chúng bằng nhau. Bài tập 2. Cho hình vuông ABCD. 1. Liệt kê các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình vuông. 2. Hãy chỉ ra: a) Các vectơ ( khác vectơ không) cùng phương với nhau. b) Các vectơ (khác vectơ không)cùng hướng với nhau. c) Các vectơ có độ dài bằng nhau. Bài tập 3. Cho hình bình hành ABCD có I là giao điểm hai đường chéo. a) Chỉ ra các vectơ bằng nhau ( khác vectơ không). 4 A B I A B M I A B C D E F G g Ôn tập Chương I- Hình học 10 Cơ bản- Trường THPT Trần Quốc Tuấn b) Chỉ ra các cặp vectơ đối ( khác vectơ không). Các bài tập vẽ hình Bài tập 1. Cho tam giác ABC. Tìm điểm X, Y, Z sao cho a) AX AB= uuur uuur b) YB BC= uur uuur c) CZ AC= uuur uuur Vẽ các vectơ lên cùng một hình ( cả 3 câu a, b, c) Bài tập 2. Cho hình vuông ABCD. Tìm điểm X, Y, Z sao cho a) 1 2 AX AB= uuur uuur b) 3YB BC= uur uuur c) 2CZ AC= − uuur uuur d) 1 2 DM DB − = uuuur uuur Bài tập 3. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G, đường trung tuyến AI. Tìm số 0k ≠ sao cho. a) BI k IC= uur uur b) AI k AG= uur uuur c) GI k AI= uur uur d) BI k BC= uur uuur Các bài tập độ tính độ dài vectơ Bài tập 1. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có 3AB cm = , 4AC cm = . Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC. Hãy tính a) BC uuur b) AH uuur c) BH uuur d) CH uuur Bài tập 2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, có trọng tâm G và đường trung tuyến AI. Tìm a) AI uur b) AG uuur c) GI uur d) AB AC+ uuur uuur e) AB BC+ uuur uuur f) AB BC− uuur uuur Bài tập 3. Cho hình vuông ABCD có một cạnh bằng a, tính độ dài vectơ AC uuur . Bài tập 4. Cho hình thoi ABCD có một cạnh bằng a, góc · 0 120BAC = . Tính độ dài hai vectơ AC uuur và BD uuur . Các bài tập chứng minh Bài tập 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB DC= uuur uuur Bài tập 2. Cho hình bình hành ABCD.Gọi E là điểm sao cho BE AC= uuur uuur . Chứng minh: CE AB= uuur uuur Bài tập 3. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Chứng minh rằng AB CD EA CB ED+ + = + uuur uuur uuur uuur uuur Bài tập 4.Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: AF BC ED AC BD EF+ + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1) Bài tập 5. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì, ta có: OA OB OC OM ON OP+ + = + + uuur uuur uuur uuuur uuur uuur Bài tập 6 Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: 0RF IQ PS+ + = uuur uur uuur r 5 . đọc là “ vectơ AB” )  a r ( đọc là “ vectơ a r ” )  Với vectơ AB uuur thì A gọi là điểm đầu, B gọi là điểm cuối. b. Giá của vectơ, sự cùng phương cùng hướng của hai vectơ, độ dài vectơ. Vectơ – không 1 A B Giá của vectơ A Giá trùng nhau Giá song song C D B BA C A B Điểm đầu Điểm cuối Vectơ Vectơ Ôn tập Chương I- Hình học 10 Cơ bản- Trường THPT Trần Quốc Tuấn 1. Hai vectơ. được gọi là vectơ đối của vectơ a r . Kí hiệu: a− r Như vậy, * ( ) 0a a+ − = r r r * Vectơ đối của AB uuur là vectơ BA uuur , tức là ( )AB BA= − uuur uuur * Vectơ đối của vectơ 0 r là